相等向量和相反向量
一、选择题（共20小题）21世纪教育网版权所有
1、下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若与是平行向量，则；④若，则；其中正确命题的个数是（ ）2121cnjy世纪教育网版权所有
A、1 B、221cnjy
C、3 D、4
2、（易向量的概念）下列命题中，正确的是（ ）2121cnjy世纪教育网
A、若a∥b，则a与b的方向相同或相反 B、若a∥b，b∥c，则a∥c
C、若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D、若a=b，b=c，则a=c
3、在四边形ABCD中，，其中不共线，则四边形ABCD是（ ）
A、梯形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
4、已知平行四边形ABCD，下列正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、若=31，=﹣51，，1≠0，则四边形ABCD是（ ）
A、平行四边形 B、菱形
C、等腰梯形 D、直角梯形
6、下列结论中，不正确的是（ ）
A、向量，共线与向量∥同义
B、若向量∥，则向量与共线
C、若向量=，则向量=
D、只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b
7、下列命题正确的是（ ）
A、若∥，且∥，则∥
B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
C、向量的长度与向量的长度相等，且它们是始点、终点相反的向量
D、若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线
8、已知向量，，则“∥”是“+=”的（ ）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
9、下列命题正确的是（ ）
A、若，则
B、，则=0
C、若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
D、若与是单位向量，则=1
10、下列命题中正确的是（ ）
A、单位向量必相等
B、相等向量必共线
C、方向相反的向量叫相反向量
D、若，则λ=0
11、下列命题中：①若a与b互为相反向量，则a+b=0；②若k为实数，且k?a=0，则a=0或k=0；③若a?b=0，则a=0或b=0；④若a与b为平行的向量，则a?b=|a||b|；⑤若|a|=1，则a=±1．其中假命题的个数为（ ）
A、5个 B、4个21世纪教育网版权所有
C、3个 D、2个21cnjy
12、关于位移向量说法正确的是（ ）
A、数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量
B、两个相等的向量的起点可以不同
C、每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量
D、的大小是数轴上A，B两点到原点距离之差的绝对值21世纪教育网版权所有
13、已知A={与共线的向量}，B={与长度相等的向量}，C={与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列命题中错误的是（ ）21世纪教育网
A、C?A B、A∩B={}
C、C?B D、A∩B?{}
14、已知两个不共线的向量a，b满足a+2xb=xa+yb，那么实数x，y的值分别是（ ）
A、0，0 B、1，2
C、0，1 D、2，1
15、下列命题正确的是（ ）
A、若、都是单位向量，则=
B、若=，则A、B、C、D四点构成平行四边形
C、若两向量、相等，则它们是始点、终点都相同的向量
D、与是两平行向量
16、过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，xy≠0，则的值为（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
17、已知向量，则与同方向的单位向量等于（ ）
A、（1，﹣1） B、（，）
C、（，﹣） D、（，﹣）或（﹣，）
18、的一个必要不充分的条件是（ ）
A、A与C重合 B、A与C重合，B与D重合
C、 D、A，B，C，D四点共线
19、如图，设ABCD是菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是（ ）
A、 B、
C、 D、21cnjy
20、若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是（ ）
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A、与共线 B、与相等21世纪教育网
C、与是相反向量 D、与模相等21世纪教育网版权所有
二、填空题（共5小题）21cnjy
21、下列命题中，错误命题的序号有 _________ ．
（1）“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（ x∈R） 为偶函数”的必要条件；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；
（3）已知a，b，c为非零向量，则“a?b=a?c”是“b=c”的充要条件；
（4）若p：?x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：?x∈R，x2+2x+2＞0．
22、零向量可表示为 _________ ，它与任何一向量a求和的结果是 _________ ；用式子表示为 _________ ．相反向量的和是 _________ ；用式子表示为 _________ ．
23、给出下列命题：
①若||=||，则=；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若=，=，则=；
④=的充要条件是||=||，则∥；
⑤若∥，∥，则∥；
其中正确的序号是 _________ ．
24、已知三点O（0，0），A（1，0），P（x，y）且设x≥1，y≠0．
（1）如果选取一点Q，使四边形OAPQ成为一平行四边形，则Q的坐标是 _________
（2）如果还要求AP的中垂线通过Q点，则x，y的关系是 _________ ．
（3）再进一步要求四边形OAPQ是菱形，则x= _________ 时．
25、给出下列命题：
（1）共线向量是平行向量；
（2）平行向量是共线向量；
（3）相等向量是平行向量；
（4）平行向量是相等向量；
（5）共线向量是相等向量．其中真命题是 _________ ．（填上所有真命题的序号）
三、解答题（共4小题）
26、如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少？（忽略滑轮半径、绳子的重量）
27、判断下列各命题是否正确？
（1）若是平行四边形；221cnjy 1世纪教育网
（2）若四边形ABCD是平行四边形，则；21世纪教育网版权所有
（3）若；
（4）若．
28、O是正六边形ABCDEF的中心，且，分别写出图中与相等的向量．
29、已知向量=（x2+y2，xy），=（5，2）．若=，求x，y的值．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若与是平行向量，则；④若，则；其中正确命题的个数是（ ）
A、1 B、221cnjy
C、3 D、421世纪教育网版权所有21cnjy
考点：向量的模；零向量；相等向量与相反向量。21世纪教育网
专题：探究型。
分析：根据零向量的定义，可以判断①④的真假，根据相等向量和相反向量的定义，可以判断②的真假，根据向量模的定义，可以判断③的真假，进而得到答案．
解答：解：∵若，则为零向量，即，故①正确；
若，则两个向量大小相等，但方向不确定，故或不一定成立，故②错误；
若与是平行向量，则向量与的方向相同或相反，但大小关系不确定，故③错误；
若，则，即④正确；
故正确命题的个数2个
故选B
点评：本题考查的知识点是向量的模，零向量，相等向量与相反向量，熟练掌握并真正理解向量的基本概念是解答本题的关键．
2、（易向量的概念）下列命题中，正确的是（ ）
A、若a∥b，则a与b的方向相同或相反 B、若a∥b，b∥c，则a∥c
C、若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D、若a=b，b=c，则a=c
考点：零向量；平行向量与共线向量；相等向量与相反向量。
专题：阅读型。
分析：本题考查的主要知识点是向量平行（共线）的定义及性质，根据平面向量平行（共线）的定义和性质，对四个答案逐一进行分析，不难得到答案．
点评：在判断两个向量的关系时，特别是在判断两个向量的平行（共线）关系，一定要注意两个向量的平行（共线）的定义分为两部分：①与任何向量都平行（共线）②如果两个非零向量的方向相同（或相反），则两个向量平行（共线）．故一定要考虑条件中的向量是否为零向量．
3、在四边形ABCD中，，其中不共线，则四边形ABCD是（ ）
A、梯形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
考点：平行向量与共线向量；相等向量与相反向量。
分析：利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD∥BC，AD=2BC，据梯形的定义得到选项．
解答：解：==
∵，21cnjy
∴21世纪教育网版权所有21cnjy
∴AD∥BC，AD=2BC，21世纪教育网
∴四边形ABCD是梯形，
故选A．
点评：本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义．
4、已知平行四边形ABCD，下列正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平行向量与共线向量；相等向量与相反向量。
专题：计算题；数形结合。
分析：画出图形，根据平行四边形的性质以及两个向量相等的条件得出结论，
解答：解：如图所示：由平行四边形的性质可得，
故选B．
点评：本题主要考查两个向量相等的条件以及平行四边形的性质，体现了数形结合的数学思想．
5、若=31，=﹣51，，1≠0，则四边形ABCD是（ ）
A、平行四边形 B、菱形
C、等腰梯形 D、直角梯形
点评：本题是利用向量的共线和模相等来描述四边形的考题，比较容易判断，属于基础题
6、下列结论中，不正确的是（ ）
A、向量，共线与向量∥同义 B、若向量∥，则向量与共线
C、若向量=，则向量= D、只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b
考点：平行向量与共线向量；相等向量与相反向量。21cnjy
专题：向量法。
分析：本题考查共线向量的性质，对于两个共线的向量，它们的四个起点和终点不一定在同一条直线上，叙述共线向量时常常忽略零向量而使得题目出错．21世纪教育网
解答：解析：因为向量是自由向量，只要两个向量方向相同或相反，这两个向量就是共线向量或说是平行向量所以A、B均正确，根据向量相等的概念知C正确，D不正确．21世纪教育网版权所有
故选D．
点评：本题考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．
7、下列命题正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、若∥，且∥，则∥ B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
C、向量的长度与向量的长度相等，且它们是始点、终点相反的向量 D、若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线
考点：平行向量与共线向量；相等向量与相反向量。
分析：用可验证A不对，由相等向量和相反向量的定义知B不对和C对，由共线向量所在直线的位置关系即平行或重合知D不对．
点评：本题的考点是向量的基本概念，考查了对共线向量、相等向量和相反向量的理解，并且对比了几何中的线线关系，注意特殊情况如．
8、已知向量，，则“∥”是“+=”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
考点：平行向量与共线向量；相等向量与相反向量。
分析：利用向量共线的充要条件得到?，通过举反例反之推不出；利用充要条件的定义判断出是必要不充分条件
解答：解：必要性：+=?=﹣，从而有∥；
充分性：当∥时，可以取=2，从而+=3，当≠时+≠．
综上，“∥”是“+=”的必要不充分条件．
故选B
点评：本题考查向量平行的充要条件；通过举反例说明一个命题是错的，是解决选择题常用的方法．
9、下列命题正确的是（ ）
A、若，则 B、，则=0
C、若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量 D、若与是单位向量，则=1
考点：平行向量与共线向量；零向量；相等向量与相反向量。221世纪教育网1世纪教育网版权所有
专题：计算题。21cnjy
分析：当=时，可得A、C不正确，把平方可得=0，得到B正确，根据=1×1cos＜＞，可得D不正确．21cnjy
点评：本题考查两个向量共线的定义和性质，两个向量的数量积的定义，注意零向量的情况，这是解题的易错点．
10、下列命题中正确的是（ ）
A、单位向量必相等 B、相等向量必共线
C、方向相反的向量叫相反向量 D、若，则λ=0
考点：平行向量与共线向量；相等向量与相反向量。
专题：阅读型。
分析：利用相等向量的定义、平行向量的定义、相反向量的定义、数乘运算的法则判断出各选项的对错．
解答：解：相等向量是模相等、方向相同，故A错
相等向量是模相等、方向相同；共线向量是方向相同或相反，故B对
方向相反且模相等的向量是相反向量，故C错
?λ=0或
故选B
点评：本题考查向量中有关的定义|相等向量、共线向量、相反向量、数乘运算的性质．
11、下列命题中：①若a与b互为相反向量，则a+b=0；②若k为实数，且k?a=0，则a=0或k=0；③若a?b=0，则a=0或b=0；④若a与b为平行的向量，则a?b=|a||b|；⑤若|a|=1，则a=±1．其中假命题的个数为（ ）
A、5个 B、4个
C、3个 D、2个
考点：相等向量与相反向量；向量的模；平行向量与共线向量；平面向量数量积的性质及其运算律。
分析：利用相反的向量的定义及向量数乘的意义知，①②为真命题，由两个向量的数量积的定义和公式及单位向量的定义可得 ③④⑤是假命题．
解答：解：①是真命题，若与互为相反向量，则=﹣，∴+=．
②由k为实数 且k?=，则得 k=0 或=，故②是真命题．
③不正确，由两个向量的数量积等于0，能得到这两个向量垂直，或其中一个向量为．
④∵=||?||cos，∴当与为平行向量时，=±||?||，故④是假命题．
⑤若||=1，则是单位向量，有无数个，故=±1 是错误的，此命题是假命题．21世纪教育网
综上，③④⑤是假命题，21世纪教育网版权所有
故选 C．
点评：本题考查相反的向量的定义及向量数乘的意义，两个向量的数量积的定义和公式及单位向量的定义．
12、关于位移向量说法正确的是（ ）
A、数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量 B、两个相等的向量的起点可以不同
C、每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量 D、的大小是数轴上A，B两点到原点距离之差的绝对值21cnjy
考点：相等向量与相反向量。
专题：阅读型。
分析：考查位移向量的定义，判断一个点是否可以构成位移向量，确定A的正误；
考查相等向量的定义，判断不同起点是否可以构成相等向量，确定B的正误
考查位移向量定义，判断一个点是否可以构成位移向量，确定C的正误
考查向量的大小，不是道原点之间距离之差．确定D的正误
13、已知A={与共线的向量}，B={与长度相等的向量}，C={与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列命题中错误的是（ ）
A、C?A B、A∩B={}
C、C?B D、A∩B?{}
考点：相等向量与相反向量；平行向量与共线向量。
专题：计算题。
分析：利用共线向量的定义：方向相同或相反的向量；判断出各个集合的关系．
解答：解：解：与共线的向量是与其方向相同或相反的向量，所以C?A故A对
A∩B={}故B错
∵B中的向量与的长度相同，方向任意，故C?B，故C对
A∩B={}，∴故D对
故选B
点评：本题考查向量共线的定义：方向相同或相反的向量．
14、已知两个不共线的向量a，b满足a+2xb=xa+yb，那么实数x，y的值分别是（ ）
A、0，0 B、1，2
C、0，1 D、2，1
考点：相等向量与相反向量。
专题：计算题。
分析：利用平面向量的基本定理令两个基底的系数对应相等，列出方程组，求出x，y的值．
点评：平面内的向量都可以向一组不共线的向量上分解且分解是唯一的．21世纪教育网版权所有
15、下列命题正确的是（ ）21世纪教育网
A、若、都是单位向量，则= B、若=，则A、B、C、D四点构成平行四边形
C、若两向量、相等，则它们是始点、终点都相同的向量 D、与是两平行向量
考点：相等向量与相反向量；单位向量；平行向量与共线向量。21cnjy
分析：由向量相等知必须要方向相同且长度相等，故A不对，由平行向量的定义知，相等向量和相反向量一定是共线向量，故D正确．
解答：解：A、单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；
B、A、B、C、D四点可能共线，故B不对；
C、只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；
D、因和方向相反，是平行向量，故D对．
故选D．
点评：本题考查了向量相等和平行向量的定义，考查了对向量基础概念的理解和应用．
16、过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，xy≠0，则的值为（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
考点：相等向量与相反向量。
专题：计算题。
分析：三角形的重心分中线的比为，取特殊位置的直线即可求得．
解答：解：∵G是△ABC的重心
∴取过G平行BC的直线DE
∵，，
∴x=，y=
则的值为
==3
故选B．
点评：本题主要考查了三角形的重心分中线的比值及特殊法解选择题，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．
17、已知向量，则与同方向的单位向量等于（ ）
A、（1，﹣1） B、（，）
C、（，﹣） D、（，﹣）或（﹣，）21cnjy
考点：相等向量与相反向量。21世纪教育网
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：由已知中向量，我们根据向量模及向量同向的坐标关系，逐一判断四个答案中的向量，比照后即可得到答案．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查的知识点是向量的模和向量的共线与平行，正确理解数乘向量的几何意义，及向量模的定义是解答本题的关键．
18、的一个必要不充分的条件是（ ）
A、A与C重合 B、A与C重合，B与D重合
C、 D、A，B，C，D四点共线
考点：相等向量与相反向量。
分析：用向量相等的定义：模相等且方向相同．
解答：解：?且的方向相同
∴的一个必要不充分的条件是
故答案为C
点评：考查向量相等的定义．
19、如图，设ABCD是菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：相等向量与相反向量。
分析：题目要找可以用同一条有向线段表示的两个向量，就是要找一对相等向量，即大小相等，方向相同的向量，根据所给的图形，看清各向量的关系，得到结果．
解答：解：由菱形的性质知：
和大小相等，方向相同，21世纪教育网
故选B
点评：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，两个向量相等，以及能解决一些简单问题．
20、若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是（ ）
A、与共线 B、与相等21世纪教育网版权所有
C、与是相反向量 D、与模相等21cnjy
点评：本题主要考查了平面向量的有关基本概念．解题的关键是要明白共线向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念以及矩形的有关性质！21世纪教育网版权所有
二、填空题（共5小题）
21、下列命题中，错误命题的序号有 （1）、（2）、（3） ．
（1）“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（ x∈R） 为偶函数”的必要条件；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；
（3）已知a，b，c为非零向量，则“a?b=a?c”是“b=c”的充要条件；
（4）若p：?x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：?x∈R，x2+2x+2＞0．
考点：函数奇偶性的判断；相等向量与相反向量；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：综合题。
分析：若p?q，则p是q的充分条件；若p?q，则p是q的必要条件．由此可判断（1）、（2）、（3）的正误．
由特称命题“?x∈M，p（x）”的否定为“?x∈m，￢p（x）”，可判断（4）正确．则问题解决．
解答：解：（1）a=﹣1?f（x）=x2+|x+a+1|=x2+|x|（x∈R）?函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数
∴“a=﹣1”一定是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（ x∈R） 为偶函数”的一个充分条件，则（1）错误；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”，可以是“直线l垂直平面α内无数条互相平行的直线”此时不能判断“直线l垂直平面α”．∴“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的不充分条件，则（2）错误；
（3）已知，，为非零向量，若?=?=，则⊥，⊥，所以∥，未必有=，所以（3）错误；
（4）若p：?x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：?x∈R，x2+2x+2＞0．正确．
故答案为：（1）、（2）、（3）．
点评：本题主要考查充分条件、必要条件的含义及特称命题的否定形式，同时对偶函数、线面垂直及向量知识进行了考查，考查知识点还是比较多的．
22、零向量可表示为 ，它与任何一向量a求和的结果是 ；用式子表示为 ．相反向量的和是 ；用式子表示为 ．
考点：零向量；相等向量与相反向量。21世纪教育网版权所有
专题：常规题型。
分析：根据零向量的概念，相反向量的概念和运算以及表示方法进行一一填空．
解答：解：模为零的向量称为零向量，记作，
它与任何一向量求和的结果是；21cnjy
用式子表示为；21世纪教育网
大小相同方向相反的向量称为相反向量，相反向量的和是；
用式子表示为．
故答案为：，．
点评：此题是个基础题．本题的考点是向量的概念和表示方法，纯粹考查了定义的内容．
23、给出下列命题：
①若||=||，则=；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若=，=，则=；
④=的充要条件是||=||，则∥；
⑤若∥，∥，则∥；
其中正确的序号是 ②③ ．
点评：本题考查向量相等的定义、共线向量的定义、相等向量的传递性、共线向量不传递．
24、已知三点O（0，0），A（1，0），P（x，y）且设x≥1，y≠0．
（1）如果选取一点Q，使四边形OAPQ成为一平行四边形，则Q的坐标是 Q（x﹣1，y）．
（2）如果还要求AP的中垂线通过Q点，则x，y的关系是 x2+y2﹣4x+3=0 ．
（3）再进一步要求四边形OAPQ是菱形，则x= 1 时．
考点：平行向量与共线向量；相等向量与相反向量。21世纪教育网
分析：（1）用向量相等坐标分别相等求出Q
（2）用向量垂直数量积为零得x，y的关系21世纪教育网版权所有
（3）四边形OAPQ是菱形，其对角线垂直相应的向量垂直，数量积为零得x．21cnjy
（3）∵四边形OAPQ是菱形
∴∴
∴（x，y）?（x﹣1，y）=0
∴x2+y2﹣x=0
又x2+y2﹣4x+3=0，x≥1，y≠0
解得x=1
点评：本题考查两向量垂直的充要条件在几何问题中的应用．
25、给出下列命题：
（1）共线向量是平行向量；
（2）平行向量是共线向量；
（3）相等向量是平行向量；
（4）平行向量是相等向量；
（5）共线向量是相等向量．其中真命题是 （1）（2）（3） ．（填上所有真命题的序号）
考点：平行向量与共线向量；相等向量与相反向量。
专题：阅读型。
分析：据向量平行的定义及向量相等的定义得到选项
解答：解：若两向量的方向相同，则两向量平行也叫共线向量
若两向量方向相同且模相等，则称两向量相等
故其中真命题是（1） （2） （3）
故答案为（1）（2）（3）
点评：本题考查向量平行定义及向量相等定义并用定义判断它们之间的关系．
三、解答题（共4小题）
26、如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少？（忽略滑轮半径、绳子的重量）
考点：向量的物理背景与概念；相等向量与相反向量。21cnjy
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：设出物体的质量，根据力的平衡列出等式，式子中变量较多，我们从消元开始解题，由两式变形可以消去θ2，把要求的变量用含有θ1的式子表达，根据三角函数的特点，得到结果．
解答：解：设所求物体质量为mkg时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为θ1，F2与竖直方向的夹角为θ2，则有21世纪教育网
（其中g为重力加速度）．
由①式和②式消去θ2，得
m2﹣8mcosθ1+12=0，
即m=4cosθ1±2．③
∵cosθ2＞0，由②式知，③式中m=4cosθ1﹣2不合题意，舍去．
又∵4cos2θ1﹣3≥0，解得≤cosθ1≤1．
经检验，当cosθ1=1时，cosθ2=0，不合题意，舍去．
∴2＜m＜6．
所求物体的质量在2kg到6kg之间变动时，系统可保持平衡．
点评：生活中常见的向量都是物理中学到的量，比如：速度、位移、加速度、重力，这些量既有大小又有方向，数学中学的向量有了物理中量的形容，更容易接受一些．用向量解决物理问题就水到渠成．
27、判断下列各命题是否正确？
（1）若是平行四边形；
（2）若四边形ABCD是平行四边形，则；
（3）若；
（4）若．
考点：平行向量与共线向量；相等向量与相反向量。
专题：常规题型。
分析：根据向量的性质，逐一判断即可得到答案．
解答：解：若，则AB∥CD且AB=CD，则ABCD为平行四边形．反之也成立，故（1）、（2）正确；
由向量相等的定义，易得（3）正确
（4）若=，结论不一定成立，故（4）错误
故答案为：（1）、（2）、（3）正确；（4）错误
点评：两个向量相等，则表示他们的有向线段平行且相等；两个向量相等，则他们的大小相等，方向相同．
28、O是正六边形ABCDEF的中心，且，分别写出图中与相等的向量．21cnjy
考点：相等向量与相反向量。
专题：计算题。
分析：由题意容易直接写出向量即可．21世纪教育网
29、已知向量=（x2+y2，xy），=（5，2）．若=，求x，y的值．21世纪教育网版权所有
考点：相等向量与相反向量。
专题：计算题。
分析：由题意知本题是以向量相等为条件，根据向量相等的充要条件得到关于x，y的方程组，解方程组得到结果，注意本题一共有四组解，不要漏解．
解答：解∵：向量=（x2+y2，xy），=（5，2），=，
∴x2+y2=5，xy=2，
∴x=2，y=1，
x=﹣2，y=﹣1，
x=1，y=2，
x=﹣1，y=﹣2
点评：通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补充．
