上海市松江二中2013-2014学年高一下学期2月开学考数学试题1Word版含答案

松江二中2013学年度第二学期开学考试试卷
高 一 数 学(第1卷)
命题人 李萍 审题人 孙金明
一、填空题（每题分，共分）
1、设都是实数，命题：“若，则”是 命题（填“真”或“假”）。
2、若，则 。
3、已知集合，则 。
4、函数的反函数是，则 。
5、已知函数，，则 。
6、已知函数为偶函数，且，则 。
7、已知函数的定义域为，那么函数的定义域是 。
8、已知函数的图像过的定点在函数的图像上，其中为正数，则的最小值是 。
9、若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。
10、已知函数的图像与轴的负半轴有交点，则的取值范围是 。
11、关于的方程，给出下列四个命题：（1）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（2）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（3）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（4）存在实数，使得方程恰有个不同的实根。其中正确的命题序号是 。
12、当时，函数的最大值为，则实数 。
二、选择题（每题分，共分）
13、“”是“”的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14、函数在上为增函数，则实数的取值范围是 ( )
（A） （B） （C） （D）
15、函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ( )
（A） （B） （C） （D）
16、已知，且，则的值有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）2014个 （D）无数个
三、解答题：（本大题共题，满分分）
17、（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
设函数是定义域为且上的奇函数，当时，。
（1）写出时，函数的解析式；
（2）解不等式：
18、（本题 分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知函数
（1）求函数的反函数；
（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围。
19、（本题 分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知某商品的价格每上涨，销售的数量就减少，其中为正常数。
（1）当时，该商品的价格上涨多少就能使销售的总金额最大？
（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求的取值范围。
20、（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，等式恒成立。
（1）试判断一次函数是否属于集合；
（2）证明属于集合，并写出一个满足条件的常数。
21、（本题12分，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（2）小题6分）
已知函数。
（1）画出函数的图像；
（2）设集合，，试判断集合之间的关系，并给出证明。
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方。
松江二中2013学年度第二学期开学考试答案
高 一 数 学(第1卷)
命题人 李萍 审题人 孙金明
一、填空题（每题分，共分）
1、设都是实数，命题：“若，则”是 命题（填“真”或“假”）。
【真】
2、若，则 。【8】
3、已知集合，则 。【】
4、函数的反函数是，则 。【】
5、已知函数，，则 。【】
6、已知函数为偶函数，且，则 。【】
7、已知函数的定义域为，那么函数的定义域是 。【】
8、已知函数的图像过的定点在函数的图像上，其中为正数，则的最小值是 。【】
9、若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。【】
10、已知函数的图像与轴的负半轴有交点，则的取值范围是 。【】
11、关于的方程，给出下列四个命题：（1）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（2）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（3）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（4）存在实数，使得方程恰有个不同的实根。其中正确的命题序号是 。【（2）、（3）、（4）】
12、当时，函数的最大值为，则实数 。【或】
二、选择题（每题分，共分）
13、“”是“”的 （ ）A
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14、函数在上为增函数，则实数的取值范围是 ( ) A
（A） （B） （C） （D）
15、函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ( )C
（A） （B） （C） （D）
16、已知，且，则的值有 （ ）D
（A）2个 （B）3个 （C）2014个 （D）无数个
三、解答题：（本大题共题，满分分）
17、（本题 分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
设函数是定义域为且上的奇函数，当时，。
（1）写出时，函数的解析式；
（2）解不等式：
解：（1）时，（4分）
（2）当时，，解得（2分）
当时，，解得（2分）
综上得（2分）
18、（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知函数
（1）求函数的反函数；
（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围。
解：（1），，解得，（2分）
所以反函数（2分）
（2）不等式化为（1分）
若，则不等式不成立；（2分）
若，则恒成立，得；（2分）
综上得（1分）
19、（本题 分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知某商品的价格每上涨，销售的数量就减少，其中为正常数，设销售总金额为。
（1）当时，该商品的价格上涨多少就能使销售的总金额最大？
（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求的取值范围。
解：（1）设商品的现价为，销售数量为。
则，（2分），当时，
，所以，（2分）
所以该商品的价格上涨就能使销售的总金额最大。（1分）
（2）函数在上递增，
在上递减，（2分），所以适当地涨价，即，即
（2分）， 所以，能使销售总金额增加。（1分）
20、（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，等式恒成立。
（1）试判断一次函数是否属于集合；
（2）证明属于集合，并写出一个常数。
解：（1）若等式恒成立，则恒成立，（1分）因为
所以，（2分）故不存在非零常数，
函数不属于集合。（1分）
（2）证明：对任意，，（2分）
因为函数与图像有交点，所以存在非零常数，使得
即等式恒成立（2分）。非零常数或（2分）
21、（本题 分，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题 分）
已知函数。
（1）画出函数的图像；
（2）设集合，，试判断集合之间的关系，并给出证明。
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方。
解：（1）图略（3分）
（2）
所以或（1分）
解得（1分）
所以（1分）
（3）时，（1分）
设（2分）
当即时，（1分）
当即时，（1分）
综上当时，在上恒成立，
所以时，在区间上，的图像位于函数图像的上方。（1分）