向量数乘的运算
一、选择题（共10小题）21*cnjy*com21*cnjy*com
1、下列等式错误的是（ ）21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
A、=0 B、=21世纪教育网
C、0?= D、0?a=021世纪教育网版权所有
2、已知AM是△ABC的BC边上的中线，若、，则等于（ ）
A、（﹣） B、﹣（﹣）21世纪教育网版权所有
C、（+） D、﹣（﹣）21cnjy
3、如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ）
21cnjy
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、21cnjy
4、若，，则实数λ的值是（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、﹣
5、已知=（3，4）=（2，3）=（5，0），则||?（）=（ ）
A、（12，3） B、（7，3）
C、（35，15） D、（6，2）
6、在△ABC中，，，且，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
7、如下图所示，两射线OA与OB交于点O，下列5个向量中，
①2②③④⑤
若以O为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（ ）个．
A、1 B、2
C、3 D、4
8、若A，B，C是直线存在实数x使得，实数x为（ ）
A、﹣1 B、021cnjy
C、 D、21世纪教育网版权所有
9、已知△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G，，，其中λ，μ＞0，，S△ABC=1，则S△GMN的取值范围是（ ）21世纪教育网
A、（0，） B、（）21cnjy
C、（） D、（0，）21世纪教育网版权所有
10、下列各式中错误的是（ ）
A、
B、21*cnjy*com
C、
D、（m，n∈R）
二、填空题（共9小题）
11、已知与不共线，=2﹣3，=﹣+5，x+y=2﹣，则x= _________ ，y= _________ ．
12、如图，△ABC中，AB=4，AC=8，∠BAC=60°，延长CB到D，使BA=BD，当E点在线段AB上移动时，若，当λ取最大值时，λ﹣μ的值是 _________ ．
13、已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若=，则x+y+z= _________ ．
14、平面上A（﹣2，1），B（1，4），D（4，﹣3），C点满足，连DC并延长至E，使，则点E坐标为 _________ ．
15、根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律：
（1） _________ ；（2） _________ ；（3） _________ ．
16、若=（2，8），=（﹣7，2），则= _________
17、已知m、n是实数，、是向量，对于命题：①m（﹣）=m﹣m；②（m﹣n）=m﹣n；③若m=m，则=；④若m=n，则m=n；其中正确命题为 _________ ．
18、如图，将45°直角三角板和30°的直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x= _________ ，y= _________ ．21*cnjy*com
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19、在△ABC中，AB=2，AC=1，D为BC的中点，则= _________ ．21世纪教育网版权所有
三、解答题（共4小题）21世纪教育网
20、点O是梯形ABCD对角线的交点，|AD|=4，|BC|=6，|AB|=2．设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．
（1）用和表示和；21cnjy
（2）若点P在梯形ABCD所在平面上运动，且，求的最大值和最小值．
21、如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC，DC的中点G为DE，BF的交点，若，试用，表示、、．
22、已知向量=（sin2x，cos2x），=（cos，sin），函数f（x）=+2a（其中a为实常数）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
23、已知PQ过三角形OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设，，，，求．
答案与评分标准
一、选择题（共10小题）
1、下列等式错误的是（ ）
A、=0 B、=
C、0?= D、0?a=0
考点：向量的减法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义。
分析：向量的加法、减法、实数与向量的乘法结果都是向量，但数量积的结果是实数．
解答：解：∵“向量﹣向量=向量”，知A错，其余均正确．21*cnjy*com
故选项为A21世纪教育网版权所有
点评：向量的加法、减法、实数与向量的乘法结果都是向量，但数量积的结果是实数．
2、已知AM是△ABC的BC边上的中线，若、，则等于（ ）
A、（﹣） B、﹣（﹣）21cnjy 21世纪教育网
C、（+） D、﹣（﹣）
考点：向量的三角形法则；向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：先利用因为AM是△ABC的BC边上的中线得到=，再结合向量的三角形法则，即可求出结论．
点评：本题主要考查向量的三角形法则的应用．在平时的学习中，应把本题作为结论来记．
3、如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量加减混合运算及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：由向量减法的三角形法则，，，代入，即可将用和表示
点评：本题考查了平面向量的运算法则，平面向量的基本定理，利用向量减法的三角形法则将已知进行转化是解决问题的关键21*cnjy*com
4、若，，则实数λ的值是（ ）21世纪教育网
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C、 D、﹣21cnjy
考点：向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：由题意得，结合图示可得所以．
解答：解：由题意得，结合图示可得
所以．
故选B．
点评：本题主要考查数列的共线问题，解决此类题目的关键是结合图示解题．
5、已知=（3，4）=（2，3）=（5，0），则||?（）=（ ）
A、（12，3） B、（7，3）
C、（35，15） D、（6，2）
考点：向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：根据所给的三个向量的坐标，写出的模长，写出两个向量的和的坐标，题目要求的是一个向量的模长与两个向量的坐标的数乘运算，注意最后结果是一个坐标形式．
解答：解：∵=（3，4）=（2，3）=（5，0），
∴||=5，
+=（7，3），
∴||?（）=5（7，3）=（35，15）
故选C．
点评：本题考查坐标形式的向量的加法和数乘运算，以及向量的模长运算，是一个基础题，在解题时主要应用向量的坐标形式，这样题目变成简单的数字的运算．
6、在△ABC中，，，且，则等于（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、21cnjy
考点：向量数乘的运算及其几何意义。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21cnjy
分析：把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，到要求向量的终点，把整个过程表示出来，即为所求．21世纪教育网
点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的；本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．
7、如下图所示，两射线OA与OB交于点O，下列5个向量中，
①2②③④⑤
若以O为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（ ）个．
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：根据平面向量基本定理，可得到=t+（1﹣t），由M在阴影区域内可得实数r≥1使得=r，从而=rt+r（1﹣t），且 rt+r（1﹣t）=r≥1，由此得出结论．
解答：解：设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为N，则存在实数t∈（0，1]使得=t+（1﹣t），
且存在实数r≥1，使得=r，从而=rt+r（1﹣t），且 rt+r（1﹣t）=r≥1．
①中rt=2，r（1﹣t）=﹣1，rt+r（1﹣t）=r=1，满足r≥1，故①满足条件．
②中rt=，r（1﹣t）=，rt+r（1﹣t）=r=，故②满足条件．
③中rt=，r（1﹣t）=，rt+r（1﹣t）=r=，不满足r≥1，故③不满足条件．
④中rt=，（1﹣t）=，rt+r（1﹣t）=r=，不满足r≥1，故④不满足条件．
⑤中rt=，r（1﹣t）=﹣，rt+r（1﹣t）=r=，不满足r≥1，故⑤不满足条件．
综上，只有①②满足条件，21*cnjy*com
故选：B．21世纪教育网
点评：本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，得到=t+（1﹣t），是解题的关键．
8、若A，B，C是直线存在实数x使得，实数x为（ ）
A、﹣1 B、0
C、 D、21世纪教育网版权所有
考点：向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题。21cnjy
分析：先根据将化为x2+x+﹣=，进而可用，表示出，根据向量相等可求得x的值．
点评：本题主要考查向量的表示和向量相等的意义．向量是高考的重点，高考对其考查一般以基础题为主，平时就要注意基础知识的积累．
9、已知△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G，，，其中λ，μ＞0，，S△ABC=1，则S△GMN的取值范围是（ ）
A、（0，） B、（）
C、（） D、（0，）
考点：向量数乘的运算及其几何意义；线段的定比分点。
专题：计算题。
分析：根据D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G可得G为重心利用重心的性质可求出再根据S△ABC=1可求出再结合条件可得出从而可求出下面只需求出t的范围即可而，且λ，μ＞0可知M不可能与E重合所以0＜t＜即可求出S△GMN的取值范围．21*cnjy*com
解答：解：∵D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G
∴G为三角形ABC的重心
过G作GF⊥BC于F，AH⊥BC于H21*cnjy*com
则Rt△GDE∽Rt△ADF21cnjy
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∵S△ABC=1
∴
∵
∴MN∥BD且
∴
∴
∵，其中λ，μ＞0
∴M不可能与E重合
∵
∴MN∥BD
∵
∴0＜t＜，
∴0＜t2＜
∴0＜＜
∴0＜S△GMN＜
故选D
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点评：本题主要考查了向量的数乘以及向量的几何意义．解题的关键是根据重心的性质结合S△ABC=1和求出，但根据，且λ，μ＞0可知M不可能与E重合求出0＜t＜则是最为重要的！21世纪教育网版权所有
10、下列各式中错误的是（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、（m，n∈R）21*cnjy*com
考点：平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模；向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：，由与大小相等，方向相反，成立，，（m，n∈R）．
点评：本题考查平面向量的数量积的性质及其运算律，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的概念和运算法则的灵活运用．
二、填空题（共9小题）
11、已知与不共线，=2﹣3，=﹣+5，x+y=2﹣，则x= ，y= ．
考点：向量加减混合运算及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：将x+y全部用向量a，b表示，再根据平面向量基本定理即得．
解答：解：∵=2﹣3，=﹣+5，x+y=（2x﹣y）+（﹣3x+5y）=2﹣，则2x﹣y=2，（﹣3x+5y）=﹣1，
解得x=，y=21cnjy
故填：x=，y=
点评：根据平面向量基本定理，可得：若与不共线，且xa+yb=ma+nb，则有
12、如图，△ABC中，AB=4，AC=8，∠BAC=60°，延长CB到D，使BA=BD，当E点在线段AB上移动时，若，当λ取最大值时，λ﹣μ的值是 ．21*cnjy*com
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考点：向量数乘的运算及其几何意义。21cnjy
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：由题意知，当λ取最大值时，点E与点B重合．△ABC中，由余弦定理求得BC 的值，根据λ=，μ=，求出 λ和μ 的值，从而得到λ﹣μ的值．
解答：解：如图所示：设AM∥BN，且 AM=BN，由题意知，当λ取最大值时，点E与点B重合．△ABC中，由余弦定理
求得BC==4．
又∵，∴λ====，
μ====，λ﹣μ=，
故答案为：．
点评：本题考查余弦定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，判断当λ取最大值时，点E与点B重合，是解题的突破口，求出 λ和μ 的值，是解题的关键．
13、已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若=，则x+y+z= 0 ．
考点：向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题；转化思想。
分析：本题中所给的向量方程是以三向量为基向量表示，故依据图形借助三角形法则将之逐步地用三个基向量表示出来，再利用同一性得出三个系数的值求解即可．
解答：解：如图，D是SC的中点，故有
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点评：本题考点是向量的数乘运算及几何意义，考查空间向量基本定理及向量的三角形法则，向量数乘的表示，是空间向量运算的综合运用，求解此类题要注意借助图形，正确转化．本题在求解中用到了同一性的思想，这是由向量基本定理作为理论保证的．21世纪教育网版21cnjy权所有
14、平面上A（﹣2，1），B（1，4），D（4，﹣3），C点满足，连DC并延长至E，使，则点E坐标为 （﹣） ．21*cnjy*com 21世纪教育网
考点：向量数乘的运算及其几何意义；向量的模。21世纪教育网
分析：将用坐标表示求出点C的坐标，据共线向量条件将用向量关系表示，求出点E的坐标．
解答：解：设点C（x，y）则
=（x+2，y﹣1），=（1﹣x，4﹣y）
∵
∴解得即C（﹣1，2）
∵，
∴
设E（m，n）则∴=（4﹣m，﹣3﹣n），=（﹣1﹣m，2﹣n）
∴解得
故答案为点E的坐标为（﹣，）21*cnjy*com
点评：一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标，共线向量的充要条件是一个向量等于一个实数乘以另一个向量．21世纪教育网
15、根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律：21cnjy
（1） λ（μ）=（λμ） ；（2） （λ+μ）=λ+μ ；（3） λ （）=λ+μ ．
考点：向量数乘的运算及其几何意义。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；数形结合；分类讨论。
分析：证明等式成立，把两边看成两个向量，先证模相等，再证明方向也相同．
（2）若λ=0 或μ=0，或=，等式显然成立．若λμ≠0，≠，若λ和μ同号，
|（λ+μ）|=|λ+μ|||=（|λ|+|μ|）||，|λ+μ|=|λ|+|μ|=（|λ|+|μ|）||，
即|（λ+μ）|=|λ+μ|，等式两边都与同向，或都与反向，故等式成立．
若λ和μ异号，当λ＞μ时，等式两边都与λ同向，当λ＜μ时，等式两边都与λ反向，
还可证明|（λ+μ）|=|λ+μ|，故等式一定成立．
（3）当中有一个等于零时，或λ=0或1时，等式显然成立．当都不等于0且λ≠1，λ≠0，
当λ＞0且λ≠1时，如图，=，=，=λ，=λ，
=，=λ+λ，由作法知∥，∴||=λ||，
∴||=λ||，且与方向也相同，故有 λ （）=λ+μ成立．
当λ＜0时，同理可证．
综上，λ （）=λ+μ成立．
故答案为 λ（μ）=（λμ）、（λ+μ）=λ+μ、λ （）=λ+μ．
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点评：本题考查向量的数乘的定义及几何意义，体现了数形结合的数学思想．
16、若=（2，8），=（﹣7，2），则= （﹣3，﹣2） 21cnjy
考点：向量数乘的运算及其几何意义。21世纪教育网版权所有
分析：用向量减法的法则表示出，再用坐标运算求出其坐标．
解答：解：
∴=（﹣3，﹣2）
故答案为（﹣3，﹣2）
点评：本题考查向量的减法运算．
17、已知m、n是实数，、是向量，对于命题：①m（﹣）=m﹣m；②（m﹣n）=m﹣n；③若m=m，则=；④若m=n，则m=n；其中正确命题为 ①，② ．
点评：本题主要考查了向量数乘的运算及其几何意义，属于基础题．
18、如图，将45°直角三角板和30°的直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x= ，y= ．
考点：向量数乘的运算及其几何意义；向量的三角形法则。
专题：计算题。
分析：根据直角三角形中的边角关系求出各边长，余弦定理求出DB2=x2+y2①，Rt△CC′B中，由勾股定理得 BC2=CC'2+C′B2，即 6=（x﹣1）2+y2②，由①②可解得 x、y值．
解答：解：由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC=，AB=2，BC=，由题意知，=x?+y?，
△BCD中，由余弦定理得 DB2=DC2+CB2﹣2DC?CB?cos（45°+90°）=1+6+2×1××=7+2，21cnjy21*cnjy*com
∵，∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2①．21世纪教育网
如图，作=x，=y，则=+，CC′=x﹣1，C′B=y，21世纪教育网版权所有
Rt△CC′B中，由勾股定理得 BC2=CC'2+C′B2，即 6=（x﹣1）2+y2，②
由①②可得 x=1+，y=，故答案为 1+、．
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，余弦定理、勾股定理得应用，体现了数形集合的数学思想．
19、在△ABC中，AB=2，AC=1，D为BC的中点，则= ．
点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求向量的模的方法，把要求的式子化为?（），
是解题的关键．
三、解答题（共4小题）
20、点O是梯形ABCD对角线的交点，|AD|=4，|BC|=6，|AB|=2．设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．
（1）用和表示和；
（2）若点P在梯形ABCD所在平面上运动，且，求的最大值和最小值．21*cnjy*com
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考点：向量的模；向量数乘的运算及其几何意义。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；转化思想。21世纪教育网
分析：（1）根据点O是梯形ABCD对角线的交点，以及向量加减法的三角形法则和共线向量定理，即可求得结果；
（2）由题意知点P是在以点C为圆心，3为半径的圆周上运动，根据的几何意义即可求得其最大值和最小值．
（2）由题意知点P是在以点C为圆心，3为半径的圆周上运动，
所以由几何意义即得的最大值和最小值分别应该为8和4．
点评：此题属于中档题．考查向量加法的三角形法则和平面向量基本定理，注意用已知向量表示未知向量时，把要求的向量放到封闭图形中解决，以及点圆位置关系，体现了转化的思想，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力．
21、如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC，DC的中点G为DE，BF的交点，若，试用，表示、、．
考点：向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题；数形结合。
分析：由题意及图形知，本题考查用两个基向量，表示、、．故利用向量运算的三角形法则与数乘的几何意义将三个向量用两个基向量表示出来即可．
解答：解：由题意，如图（3分）
（5分）
连接BD，则G是△BCD的重心，连接AC交BD于点O则O是BD的中点，∴点G在AC上．
∴（8分）
点评：本题考点是向量数乘的去处及其几何意义，考查向量中两个基本运算向量的三角形法则与向量的数乘运算定义，是考查向量基础运算的一道好题，做题过程中要注意体会向量运算规则的运用．
22、已知向量=（sin2x，cos2x），=（cos，sin），函数f（x）=+2a（其中a为实常数）
（1）求函数f（x）的最小正周期；21*cnjy*com
（2）求函数f（x）的单调递减区间．21cnjy
考点：三角函数的周期性及其求法；向量数乘的运算及其几何意义；复合三角函数的单调性。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：求出f（x）=+2a的表达式，化简为一个角的一个三角函数的形式，然后求其最小正周期，求其单调减区间．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，向量数乘的运算及其几何意义，复合三角函数的单调性，考查计算能力，是中档题．
23、已知PQ过三角形OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设，，，，求．
考点：三角形五心；向量的加法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：先根据重心的性质求出向量，然后根据P、Q、G共线建立等式关系，根据向量的性质可得到方程组，即可求出所求．
解答：解：设D为AB的中点
则
∵P、Q、G共线
∴
