向量的三角形法
一、选择题（共11小题）
1、设p是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、21cnjy
C、 D、21世纪教育网
2、如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（ ）21世纪教育网版权所有
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A、 B、
C、 D、
3、如图所示，在△ABC中，点D是边AB的中点，则向量=（ ）
A、 B、
C、 D、
4、已知正方形ABCD，E是DC的中点，且=（ ）
A、 B、
C、 D、
5、如图，△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BF交于F，设，，，则（x，y）为（ ）
A、 B、
C、 D、
6、设e是单位向量，，则四边形ABCD是（ ）
A、梯形 B、菱形
C、矩形 D、正方形21世纪教育网版权所有
7、若AD是△ABC的中线，已知=，，则等于（ ）21cnjy
A、 B、
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8、如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分I、II、III、Ⅳ（不包含边界）．设=m+n，且点P落在第III部分，则实数m，n满足（ ）
A、m＞0，n＞0 B、m＞0，n＜0
C、m＜0，n＜0 D、m＜0，n＜021*cnjy*com
9、在△ABC中，D是BC的中点，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
10、若向量、、，满足，则、、满足（ ）
A、一定能构成一个三角形
B、一定不能构成一个三角形
C、都是非零向量时一定能构成一个三角形
D、都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
11、已知M是△ABC的BC边上的中点，若向量，，则向量等于（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共10小题）
12、如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是 _________ ；当时，y的取值范围是 _________ ．
13、若三个向量、、恰能首尾相接构成一个三角形，则++= _________ ．21*cnjy*com
14、某人以时速akm向东行走，此时正刮着时速akm的南风，那么此人感到的风向为 _________ ，风速为 _________ ．21cnjy 21世纪教育网版权所有
15、在△ABC中，设=，=，点D在线段BC上，且=3，则用表示为 _________ ．
16、如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足a _________ 0，b _________ 0（用“＞”，“＜”或“=”填空）．21世纪教育网
17、在△ABC中，=，=，延长AB到D，使BD=AB，连接CD，则用，表示= _________ ．
18、在△ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则= _________ （用b，c表示）．
19、下面五个命题：（1）所有的单位向量相等；（2）长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；（3）由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；（4）对于任何向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|．其中正确命题的序号为： _________ ．
20、已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且，，则= _________ （用，表示）．
21、如图，在矩形ABCD中，，，BE⊥AC于E，，，若以、为基底，则可表示为 _________ ．
三、解答题（共1小题）
22、如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设=，=，试用，表示，，．
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答案与评分标准
一、选择题（共11小题）
1、设p是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
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C、 D、21世纪教育网
考点：向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则。21*cnjy*com
专题：计算题。21cnjy
分析：根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．
解答：解：∵，
∴，
∴
∴
∴
故选B．
点评：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．
2、如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（ ）
A、 B、
C、 D、
点评：本题主要考查了向量加法的三角形法则，结合图形和题意找出向量间的联系，再进行化简．
3、如图所示，在△ABC中，点D是边AB的中点，则向量=（ ）21*cnjy*com
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A、 B、21世纪教育网
C、 D、21cnjy
点评：本题考查的知识点是向量的三角形法则，要将未知向量用已知向量表示，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．
4、已知正方形ABCD，E是DC的中点，且=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量的三角形法则。
专题：计算题。
分析：利用正方形的性质可得：=+=+=+，从而得到选项．
解答：解：=+=+=+=﹣，
故选B
点评：本题考查两个向量的加法及其几何意义，以及相等的向量，属于基础题．
5、如图，△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BF交于F，设，，，则（x，y）为（ ）
A、 B、
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考点：向量的三角形法则；向量的加法及其几何意义。21*cnjy*com
专题：计算题。21世纪教育网
分析：依题意可分别求得和，进而可分别表示出和，根据C，D，F共线和B，E，F共线分别表示出，最后联立求得m和n，代入=+求得x和y．21cnjy
点评：本题主要考查了向量的三角形法则，向量的基本运算．考查了学生对向量基础知识的综合把握．
6、设e是单位向量，，则四边形ABCD是（ ）21*cnjy*com
A、梯形 B、菱形
C、矩形 D、正方形
点评：本题考查相反向量的定义，菱形满足的条件．21世纪教育网版权所有
7、若AD是△ABC的中线，已知=，，则等于（ ）
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考点：向量的三角形法则。
专题：计算题。
分析：由题意和向量加法的四边形法则得，=，再把已知条件代入即可．
解答：解：∵AD是△ABC的中线，
∴根据向量加法的四边形法则得，=，
∵=，，∴=．
故选B．
点评：本题主要考查了向量加法的四边形法则应用，用已知向量表示所求的向量，再把条件代入，难度不大，是基础题．
8、如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分I、II、III、Ⅳ（不包含边界）．设=m+n，且点P落在第III部分，则实数m，n满足（ ）
A、m＞0，n＞0 B、m＞0，n＜0
C、m＜0，n＜0 D、m＜0，n＜0
考点：向量的三角形法则。
专题：计算题。
分析：利用两个向量的加法法则和几何意义知，m与方向相同，n的方向与的方向相反．
解答：解：∵=m+n，且点P落在第III部分，由两个向量的加法法则和几何意义知，m与方向相同，
n的方向与的方向相反，∴m＞0，n＜0，221*cnjy*com 1世纪教育网版权所有
故选B．
点评：本题考查两个向量的加法法则及几何意义，一个非零向量乘以一个正实数，方向不变，一个非零向量乘以一个负实数，方向变为原来的相反的方向．
9、在△ABC中，D是BC的中点，则等于（ ）
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点评：本题考查向量加法法则，解答本题，关键是理解向量加法的三角形法则与平行四边形法则，作出符合条件的图象，由图得出正确选项．
10、若向量、、，满足，则、、满足（ ）
A、一定能构成一个三角形 B、一定不能构成一个三角形
C、都是非零向量时一定能构成一个三角形 D、都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
考点：向量的三角形法则。
专题：计算题；分类讨论。
分析：先有，得到其对应三种情况，把所对应的三种情况分别举例，再一一进行验证即可判断出结论．
解答：解：因为，
所以三个向量可能存在的情况有三种：
举例如下：①，此时可以排除答案A；
②=2，，；此时可以排除答案C；
③=，，，A，B，C三点不共线，即围成了一个三角形，此时排除答案B
综上得只有D符合．21*cnjy*com
故选D．21*cnjy*com
点评：本题主要考查向量的三角形法则以及分类讨论思想，是对基础知识和基本思想方法的考查，属于基础题．
11、已知M是△ABC的BC边上的中点，若向量，，则向量等于（ ）
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点评：本题考查向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质，平行四边形ANCD中，+=．
二、填空题（共10小题）21cnjy
12、如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是 （﹣∞，0） ；当时，y的取值范围是 ．
考点：向量的三角形法则。
专题：计算题。
分析：根据向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，得到x的取值范围，当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，得到y的范围．
解答：解：如图，OM∥AB，点P在由射线OM，
线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，
且，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，
该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，
∴x的取值范围是（﹣∞，0）；
当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB，
∴y的取值范围是（，）．
故答案为：（﹣∝，0）；（，）
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点评：本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点．
13、若三个向量、、恰能首尾相接构成一个三角形，则++= ．21世21世纪教育网纪教育网版权所有
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点评：本题考查了向量加法的三角形法则和相反向量的应用，根据题意画出图形进行求解，本结论可以推广到向量加法的首尾相连法则，这是常用的一种法则．
14、某人以时速akm向东行走，此时正刮着时速akm的南风，那么此人感到的风向为 东南 ，风速为 akm ．
考点：向量的三角形法则。21cnjy
分析：本题考查的知识点是向量加法的三角形法则，我们可以画出示意图，然后利用数形结合的思想，易得到答案．
解答：解：如下图示：
由某人以时速akm向东行走，故会产生时速akm的东风
又由此时正刮着时速akm的南风
故此人感到的风为+=
则此人感到的风向为东南，风速为akm．
故答案为：东南，akm．
点评：向量加法的三角形法则，可理解为“首尾相接”，向量减法的三角形法则，可理解为“同起点，连终点，方向指被减．”
15、在△ABC中，设=，=，点D在线段BC上，且=3，则用表示为 ．
考点：向量的三角形法则。21世纪教育21*cnjy*com网
专题：计算题。21世纪教育网
分析：表示要表示，从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把写成的实数倍，再把写成用表示的形式．2121*cnjy*com世纪教育网版权所有
点评：本题考查向量的加法运算，考查用一组基底表示向量，考查向量的数乘运算，考查三角形法则，是一个向量加减数乘的综合题．21cnjy
16、如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足a ＞ 0，b ＜ 0（用“＞”，“＜”或“=”填空）．
考点：向量的三角形法则。
专题：常规题型。
分析：根据所给的图形知，点P落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a与方向相同，b与方向相反，得到a与b的符号．
解答：解：∵=a+b，
由于点P落在第Ⅲ部分，
则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a与方向相同，
b与方向相反，
∴a＞0，b＜0．
故答案为：＞＜．
点评：本题考查向量的数乘运算，考查向量的加法运算，是一个基础题，但是本题的题意比较新颖，是一个有创新意识的问题．
17、在△ABC中，=，=，延长AB到D，使BD=AB，连接CD，则用，表示= ．
考点：向量的三角形法则。21cnjy
专题：计算题。
分析：作出如图的图象，给出有向线段与向量的对应，由图象根据向量的三角形法则将向量表示出来
解答：解：作出如图的图象，由题意=，=，延长AB到D，使BD=AB，得21*cnjy*com
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故答案为21世纪教育网
点评：本题考查向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握向量三角形法则的规则，借助图形，用已知的向量表示出未知向量．
18、在△ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则= （用b，c表示）．
点评：本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础，若单独出现在试卷上，则是一个送分题目．
19、下面五个命题：（1）所有的单位向量相等；（2）长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；（3）由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；（4）对于任何向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|．其中正确命题的序号为： （4） ．
考点：向量的三角形法则；单位向量；平行向量与共线向量。
专题：阅读型。21*cnjy*com
分析：依次分析4个命题：（1）单位向量方向为任意的，故错误；（2）方向相反的两个向量一定是共线向量，故错误；（3）规定：零向量与任何向量为平行向量，故错误；（4）可两边平方进行证明．
解答：解：（1）单位向量指模为1 的向量，方向可为任意的，故错误；
（2）由共线向量的定义，方向相反的两个向量一定是共线向量，故错误；21cnjy
（3）规定：零向量与任何向量为平行向量，故错误；21世纪教育网
（4）因为|a+b|2=a2+b2+2a?b≤a2+b2+2|a|?|b|=（|a|+|b|）2，故正确21世纪教育网版权所有
故答案为：（4）21世纪教育网
点评：本题考查共线向量、单位向量、零向量、向量的模、数量积等概念，属基本概念的考查．
20、已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且，，则= ﹣﹣ （用，表示）．
考点：向量的三角形法则。
专题：计算题。
21、如图，在矩形ABCD中，，，BE⊥AC于E，，，若以、为基底，则可表示为 ．
考点：向量的三角形法则；向量的几何表示。
专题：计算题。
分析：可由题设条件解出AC，AE的长度，再由向量的线性运算以、为基底表示向量，由题设条件易得答案
解答：解：由题意，如图，AC=5，AE=
∴===﹣+（）=
故答案为
点评：本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是根据题意，由形入数，将几何中的位置关系转化为代数计算，从而得出方程，利用方程得到向量在基向量下的表达式
三、解答题（共1小题）
22、如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设=，=，试用，表示，，．
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考点：向量的三角形法则。21*cnjy*com
专题：数形结合。21世纪教育网21世纪教育网
分析：根据题意知，=，=，并且有=，分别求出和；再由三角形法则对应的首尾相连法则得=++，结合图形和题意用和表示出来．21cnjy世纪教育网
