向量的减法及几何意义
一、选择题（共20小题）21cnjy 21世纪教育网版权所有
1、平行四边形ABCD中，AD=3，AB=5，则的值是（ ）
A、16 B、3421世纪教育网
C、68 D、3221世纪教育网版权所有
2、已知向量=（x，2），=（3，﹣1）（+）∥（），则实x的值为（ ）
A、﹣3 B、221cnjy21*cnjy*com
C、4 D、﹣621世纪21*cnjy*com教育网
3、若O为ABCD的中心，=4，=6，则3﹣2等于（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、21*cnjy*com
4、化简以下各式：①；②；③；④．
其结果为的个数是（ ）21*cnjy*com
A、1 B、2
C、3 D、4
5、下列等式中，正确的个数是（ ）
①+=+；②﹣=﹣；③﹣=﹣；④﹣（﹣）=；⑤+（﹣）=0．
A、5 B、4
C、3 D、2
6、已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b，=c，则下列命题中正确命题的个数为（ ）
①=cb；②=ab；
③=ba；④=0．
A、1 B、2
C、3 D、4
7、如图，?ABCD 中，=，=，则下列结论中正确的是（ ）
A、+=﹣ B、+=21世纪教育网版权所有
C、=+ D、﹣=+221*cnjy*com 1cnjy
8、在 ABCD中，设=，，，，则下列等式中不正确的是（ ）
A、 B、21世21世纪教育网纪教育网版权所有
C、 D、21世纪21*cnjy*com教育网
9、若非零向量a，b满足|a﹣b|=|b|，则（ ）
A、|2b|＞|a﹣2b| B、|2b|＜|a﹣2b|21cnjy
C、|2a|＞|a﹣2b| D、|2a|＜|a﹣2b|21*cnjy*com
10、已知平面向量，则向量=（ ）
A、（﹣2，﹣1） B、（﹣1，2）
C、（﹣1，0） D、（﹣2，1）
11、已知在平行四边形ABCD中，若，，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
12、如图，为互相垂直的单位向量，向量﹣可表示为（ ）
A、3﹣ B、﹣2﹣4
C、﹣3 D、3﹣
13、如果数轴上A点的坐标是5，B点的坐标是﹣5，那么向量的坐标为（ ）
A、10 B、﹣10
C、±10 D、0
14、在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
15、在四边形ABCD中，﹣﹣等于（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、21世纪教育网
16、△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则=（ ）
A、 B、2121*cnjy*com世纪教育网版权所有
C、 D、2121*cnjy*com世纪教育网
17、如右图，向量﹣等于（ ）
21cnjy
A、﹣2e1﹣4e2 B、﹣4e1﹣2e2
C、e1﹣3e2 D、﹣e1+3e221cnjy
18、若向量=（1，1），=（2，﹣1），则2﹣等于（ ）
A、（0，3） B、（0，2）
C、（﹣1，2） D、（﹣1，3）
19、化简等于（ ）
A、 B、零位移
C、 D、
20、在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
21、向量a=（cos10°，sin10°），b=（cos70°，sin70°），|a﹣2b|= _________ ．
22、已知向量=（2，1），|﹣|=，|+|=5，则||= _________ ．
23、已知点A（0，0），，C（0，1）．设AD⊥BC于D，那么有，其中λ= _________ ．
24、已知，若∥，则k= _________ ．
25、（2011?上城区）设点O在△ABC的外部，且，则S△ABC：S△OBC= _________ ．
三、解答题（共1小题）
26、已知a=（1，sinθ），b=（1，cosθ），（θ∈R）
（1）若，求sin2θ+2sinθcosθ得值．21世纪教育网版权所有
（2）若，求sinθ+cosθ得值．2221*cnjy*com 1cnjy 1世纪教育网
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、平行四边形ABCD中，AD=3，AB=5，则的值是（ ）
A、16 B、3421世纪教育21cnjy网版权所有
C、68 D、32
考点：向量的模；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：由及，代入，展开计算可得结果．
解答：解：∵，，21世纪教育网版权所有
∴，
故选 C．21cnjy
点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的定义，求向量的模的方法．
2、已知向量=（x，2），=（3，﹣1）（+）∥（），则实x的值为（ ）
A、﹣3 B、221世纪教育网
C、4 D、﹣621*cnjy*com
考点：平行向量与共线向量；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：根据两个向量的坐标写出关于两个向量的和与数乘和差的坐标，因为向量平行，所以根据两个向量平行的充要条件写出关于变量x的等式，解出x的值即可．
点评：从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，今年向量这部分知识仍是继续命题的重点．
3、若O为ABCD的中心，=4，=6，则3﹣2等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平行向量与共线向量；向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：在正方形中看出设的两个向量，把向量的减法变为两个向量的加法运算，根据平行四边形法则，和题目中的数量关系，得到结果．
解答：解：∵=4，=6，
∴3=，
﹣2=，
∴3﹣2=+=，21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．
4、化简以下各式：①；②；③；④．
其结果为的个数是（ ）221cnjy 1世纪教育网版权所有
A、1 B、221*cnjy*com
C、3 D、421世纪教育网
点评：本题考查了向量加法，减法运算以及三角形法则与平行四边形法则，考查了向量加法，减法的几何意义．
5、下列等式中，正确的个数是（ ）221cnjy 1世纪教育网
①+=+；②﹣=﹣；③﹣=﹣；④﹣（﹣）=；⑤+（﹣）=0．
A、5 B、4
C、3 D、2
考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义。
分析：根据向量加法的交换律，我们可以判断①的正误；根据向量减法的定义，我们易得到②和③的真假；根据相反向量的定义我们可判断④与⑤对错．
解答：解：由向量的加法及其几何意义，我们易得：
+=+成立，即①正确；
而﹣=﹣（﹣），即②错误；
由向量的减法及其几何意义，我们易得：
﹣=﹣成立，即③正确；
根据相反向量的定义及性质，我们易得：
﹣（﹣）=，即④正确；
而+（﹣）=≠0，故⑤错误．
故选C
点评：本题考查的知识点是向量加（减）法及其几何意义，其中⑤中+（﹣）=≠0易错．
6、已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b，=c，则下列命题中正确命题的个数为（ ）
①=cb；②=ab；21世纪教育网版权所有
③=ba；④=0．21*cnjy*com 21世纪教育网
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A、1 B、221世纪教育网
C、3 D、4
考点：向量的加法及其几何意义；零向量；向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。21cnjy
分析：本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．
点评：本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，要将未知向量用已知向量表示，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．
7、如图，?ABCD 中，=，=，则下列结论中正确的是（ ）
A、+=﹣ B、+=
C、=+ D、﹣=+
考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量的三角形法则。
专题：计算题。
分析：结合平行四边形可以看出以平行四边形的边做向量，所得到向量之间的关系，依据是平行四边形的一对对边平行且相等，得到相等向量和相反向量．
21世纪教育网版21cnjy权所有 点评：本题考查相等向量和相反向量，以及向量的加法、减法及其几何意义，是一个借助于平行四边形的边之间的关系来解题的，是一个基础题，只要认真就没有问题．221*cnjy*com 1世纪教育网
8、在 ABCD中，设=，，，，则下列等式中不正确的是（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有21cnjy
C、 D、
考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：由题意知本题是一个向量加减的运算，根据平行四边形法则和三角形法则知，以同一个顶点为起点的两条边和对角线所成的向量，对角线所在的向量等于两条边所在的向量之和，另一条对角所在的向量等于两条对角线所在的向量之差，注意方向．
解答：解：根据向量加法的平行四边形法则知，
，
，
即，
得到，
故选B．
点评：用一组为基底向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题是一个简单的向量加减的问题，是一个基础题．
9、若非零向量a，b满足|a﹣b|=|b|，则（ ）
A、|2b|＞|a﹣2b| B、|2b|＜|a﹣2b|
C、|2a|＞|a﹣2b| D、|2a|＜|a﹣2b|
考点：向量的减法及其几何意义。
专题：数形结合。
分析：向量运算的几何意义及向量的数量积等知识．本题是一道选择题，我们可以用选择题的特殊解法来做，可以用选项代入验证，也可以利用排除法，最后留下正确答案．
解答：解：若两向量共线，则由于a，b是非零向量，且|a﹣b|=|b|，
∴必有a=2b；代入可知只有C满足；
若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，
∴可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；
令=a，=b，则=a﹣b，21*cnjy*com
∴=a﹣2b且|a﹣b|=|b|；又BA+BC＞AC21世纪教育网版权所有
∴|a﹣b|+|b|＞|a﹣2b|21世纪教育网
∴|2b|＞|a﹣2b|
故选A．
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点评：利用向量的几何意义解题是向量中的一个亮点，它常常能起到化繁为简、化抽象为直观的效果，考虑一般情况而忽视了特殊情况
10、已知平面向量，则向量=（ ）
A、（﹣2，﹣1） B、（﹣1，2）21cnjy
C、（﹣1，0） D、（﹣2，1）
11、已知在平行四边形ABCD中，若，，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：先把利用向量的加法和减法的几何运算把，用，表示，再化简即可．
解答：解：∵在平行四边形ABCD中，=，=
∴=
故选A
点评：本题考查了向量的加法与减法的几何运算，属于向量的基本运算，应当掌握．
12、如图，为互相垂直的单位向量，向量﹣可表示为（ ）
A、3﹣ B、﹣2﹣421世纪教育网21cnjy
C、﹣3 D、3﹣21cnjy
考点：向量的减法及其几何意义。21*cnjy*com 21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21世纪教育网
分析：以，互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，求出向量的终点坐标以及的终点21世纪教育网版权所有
坐标，可得向量﹣的坐标，从而得到答案．
点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量坐标形式的运算，求出向量﹣=（1，﹣3），是解题
的关键和难点．
13、如果数轴上A点的坐标是5，B点的坐标是﹣5，那么向量的坐标为（ ）
A、10 B、﹣10
C、±10 D、0
考点：向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标．
解答：解：数轴上A点的坐标是5，B点的坐标是﹣5，那么向量的坐标为﹣5﹣5=﹣10，
故选 B．
点评：本题考查两个向量的减法的法则的应用．
14、在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量的减法及其几何意义；向量的加法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：A：根据向量的运算法则可得，A错误．B：根据向量的运算法则可得B错误．C：因为四边形ABCD不是平行四边形，所以C错误．D：根据三角形法则可得D正确．
解答：解：A：根据向量的运算法则可得：，所以A错误．
B：根据向量的运算法则可得：，所以B错误．21cnjy
C：因为四边形ABCD不是平行四边形，所以错误，所以C错误．21世纪教育网
D：根据三角形法则可得：正确，所以D正确．221*cnjy*com世纪教育网版权21cnjy所有
故选D．21世纪教育网
点评：本题主要考查向量的加法运算与减法运算，即考查三角形法则与平行四边形法则．
15、在四边形ABCD中，﹣﹣等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
16、△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量的减法及其几何意义。
分析：本题考查的知识点是向量的减法及其几何意义，由D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，我们易得==，然后根据图形分析答案中的四个变量，易求出与相等的向量，即可求出答案．
解答：解：如下图所示：
△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点
则21cnjy
=﹣21世纪教育网版权所有21cnjy
=（﹣）21*cnjy*com
===．21世纪教育网
故选D．21*cnjy*com
点评：向量加法的三角形法则，可理解为“首尾相接”，向量减法的三角形法则，可理解为“同起点，连终点，方向指被减．”
17、如右图，向量﹣等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、﹣2e1﹣4e2 B、﹣4e1﹣2e2
C、e1﹣3e2 D、﹣e1+3e2
考点：向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。
点评：本题考查2个向量减法的法则及其几何意义，其中，引入向量=﹣是解此题的关键．
18、若向量=（1，1），=（2，﹣1），则2﹣等于（ ）
A、（0，3） B、（0，2）
C、（﹣1，2） D、（﹣1，3）
考点：向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：先求出 2的坐标，再利用两个向量相减，它们的坐标对应相减，求出2﹣的坐标．
解答：解：2﹣=（2，2）﹣（2，﹣1）=（0，3），21cnjy
故选A．21cnjy
点评：本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量坐标形式的运算，两个向量相减，它们的坐标对应相减．
19、化简等于（ ）
A、 B、零位移21*cnjy*com
C、 D、
考点：向量的减法及其几何意义。221*cnjy*com 1世纪教育网版权所有
专题：计算题。21世纪教育网
分析：由向量的减法定义得，根据相反向量的定义知=﹣，得到式子的结果为．
解答：解：=﹣=﹣2，21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：本题的考点是向量的减法的应用，即起点相同时结果是由减向量的终点指向被减向量的终点．
20、在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
21、向量a=（cos10°，sin10°），b=（cos70°，sin70°），|a﹣2b|= ．
考点：向量的模；向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：先求向量a﹣2b，然后求它的模，即可．
解答：解：a﹣2b=（cos10°﹣2cos70°，sin10°﹣2sin70°）
|a﹣2b|=
=
故答案为：
点评：本题考查向量的模，三角函数的化简，是基础题．
22、已知向量=（2，1），|﹣|=，|+|=5，则||= 5 ．
考点：向量的模；向量的减法及其几何意义。21cnjy21*cnjy*com
专题：常规题型；计算题。21*cnjy*com
分析：碰到向量模的问题，一般平方即可．将已知两式分别平方，然后相加，即可求出结果．
解答：解：因为||2=5，将已知两式分别平方得：2121cnjy世纪教育网
|﹣|2=2﹣2?+2=10，21世纪教育网
|+|=2+2?+2=50，21世纪教育网版权所有
两式相加得2=25，所以||=5
故答案为：5
点评：本题考查向量的模的运算，属基本题型、基本运算的考查．
23、已知点A（0，0），，C（0，1）．设AD⊥BC于D，那么有，其中λ= ．
考点：平行向量与共线向量；向量的减法及其几何意义。21世纪教育网版权所有
专题：数形结合。
分析：由A，B，C三点的坐标，及AD⊥BC于D，由射影定理我们不难求出线段CD，与CB的长度，由图分析，向量与同向，故λ＞0；综合可得答案．
解答：解：已知如图，A、B、C、D四点坐标如下图示：
由射影定理，可得：CD=，CB=2
由与同向
∴=
故λ=
故答案为：
点评：若向量与非零向量满足，=λ，则：
当λ＞0时，向量与微量同向，且λ=，
当λ=0时，向量=，21cnjy
当λ＜0时，向量与微量反向，且λ=﹣．21世纪教21cnjy育21*cnjy*com网
24、已知，若∥，则k= 6 ．
考点：平行向量与共线向量；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：先根据向量的线性运算可求得与，再由∥可得到（2+2k）×（﹣1）=7（4﹣k），进而可求得k的值．21*cnjy*com
解答：解：∵∴=（2，1）+2（k，3）=（2+2k，7）
=2（2，1）﹣（k，3）=（4﹣k，﹣1）
∵∥21世纪教育网版权所有
∴（2+2k）×（﹣1）=7（4﹣k），
∴k=6
故答案为6．
点评：本题主要考查向量的线性运算和向量平行的坐标运算．考查基础知识的综合应用和灵活能力．考查对向量的掌握程度和计算能力．
25、设点O在△ABC的外部，且，则S△ABC：S△OBC= 4 ．
考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义。
专题：计算题；数形结合。
分析：由于两三角形同底，故可将面积比变为BC边的上高的比，由题设条件变形得出此比值即可得到面积的比值
解答：解：由得
令BC的中点为D则有，
由此知，且A到BC的距离是O到BC的距离的四倍，
故有S△ABC：S△OBC=4
故答案为4
点评：本题考查向量的加法与其几何意义，解题的关键是由向量加法的几何意义以及向量的共线得出两三角形的高的比，由于两三角形的底边相同故可将求三角形面积的比转化为三角形高的比，本题考查了转化的思想
三、解答题（共1小题）
26、已知a=（1，sinθ），b=（1，cosθ），（θ∈R）
（1）若，求sin2θ+2sinθcosθ得值．
（2）若，求sinθ+cosθ得值．
考点：三角函数的化简求值；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21*cnjy*com21*cnjy*com
分析：（1）首先利用向量求出sinθ+cosθ=0，然后对所求的式子除以“1”把“1“写成sin2θ+cos2θ=1，再分子分母同除以cos2θ，即可求出结果．21cnjy
（2）首先利用向量求出sinθ﹣cosθ，然后利用sin2θ+cos2θ=1，求出2sinθcosθ，进而得到（sinθ+cosθ）2，即可取出结果．
解答：解：（1）∵∴sinθ+cosθ=0（2分）
∴（5分）21世纪教育网版权所有
（2）∵，（6分）21世纪教育网
∴即2sinθcosθ=，（8分）
∴（10分）
点评：本题利用向量来考查三角函数的化简求值，本题的关键是利用sin2θ+cos2θ=1，属于基础题．
