向量的加减混合运算
一、选择题（共20小题）21世纪教育网版权所有
1、设a，b为不共线的非零向量，，，，那么（ ）
A、与同向，且 21cnjy
B、与同向，且
C、与反向，且
D、与反向，且21世纪教育网版权所有
2、已知向量、满足，且，则=（ ）21*cnjy*com
A、10 B、2021cnjy
C、21 D、3021世纪教育网21*cnjy*com
3、设0≤θ＜2π，已知两个向量，则向量长度的最大值是（ ）
A、 B、21世纪教育网221*cnjy*com 1cnjy
C、 D、
4、如图，△ABC为等腰三角形，∠A=∠B=30°，设，，AC边上的高为BD．若用表示，则表达式为（ ）
A、 B、
C、 D、
5、平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A、 B、
C、4 D、12
6、如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（ ）
A、++=0 B、﹣+=0
C、+﹣=0 D、﹣﹣=0
7、已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
8、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于F，若，=，则=（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、21世纪教育网版权所有
9、设向量满足，，则=（ ）
A、1 B、221世纪教育网
C、4 D、521世纪教育网版权所有
10、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A、 B、21cnjy21*cnjy*com
C、 D、21世纪教育网21*cnjy*com
11、设向量a=（1，﹣3），b=（﹣2，4），c=（﹣1，﹣2），若表示向量4a，4b﹣2c，2（a﹣c），d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（ ）
A、（2，6） B、（﹣2，6）
C、（2，﹣6） D、（﹣2，﹣6）21*cnjy*com
12、已知向量与的夹角为120°，，则等于（ ）
A、5 B、4
C、3 D、1
13、如图，A、B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：
①；②；③；④；⑤．
这些向量中以O为起点，终点在阴影区域内的是（ ）
A、①② B、①④
C、①③ D、⑤
14、已知非零向量、满足||=||，那么向量+与向量﹣的夹角为（ ）
A、 B、
C、 D、
15、如图，在△ABC中，，，设，，用，表示，则=（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 21cnjy D、21世纪教育网版权所有
16、平面上有一个△ABC和一点O，设，又OA、BC的中点分别为D、E，则向量等于（ ）
A、 21cnjy B、
C、 D、21世纪教育网版权所有
17、下列各式计算正确的是（ ）21世纪教育网
（1）（﹣7）6a=﹣42a （2）7（a+b）﹣8b=7a+15b （3）a﹣2b+a+2b=2a （4）若a=m+n，b=4m+4n，则a∥b?
A、1个 B、2个
C、3个? D、4个
18、若函数y=f（2x﹣1）+1的图象按向量平移后的函数解析式为y=f（2x+1）﹣1，则向量等于（ ）
A、（1，2） B、（﹣1，2）21世纪教育网21*cnjy*com
C、（﹣1，﹣2） D、（1，﹣2）
19、已知向量=（3，﹣4 ），=（5，2），则向量+等于（ ）
A、（2，6） B、（6，2）21*cnjy*com
C、（8，﹣2） D、（﹣8，2）21*cnjy*com
二、填空题（共5小题）
20、点O是四边形ABCD内一点，满足，若，则λ= _________ ．
21、若=3，=λ1+λ2，则λ1λ2= _________ ．21*cnjy*com
22、已知向量满足则= _________ ．
23、在矩形ABCD中，若，，则= _________ ．
24、如图，在△ABC中，|AB|=3，|AC|=1，l为BC的垂直平分线，E为l上异于D的一点，则等于 _________ ．
三、解答题（共5小题）
25、一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进1米，顺时针方向转弯60°，按直线向前行进1米，再顺时针方向转弯60°，继续按直线向前行1米，…，如操作六次．
（1）按1：100的比例，用向量表示赛车的位移；21cnjy
（2）观察赛车位移示意图，你能得到什么结论？
26、如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．21cnjy
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27、设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且，，．若记，，试用m，n表示，，．21*cnjy*com 2121世纪教育网世纪教育网版权所有
28、在△OAB中，C是AB边上一点，且=λ（λ＞0），若=，=，用、表示．21世纪教育网
29、（中向量的概念）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且，其中O为原点，求实数a的值
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、设a，b为不共线的非零向量，，，，那么（ ）
A、与同向，且 B、与同向，且21*cnjy*com
C、与反向，且 21cnjy D、与反向，且21*cnjy*com
考点：向量的模；向量加减混合运算及其几何意义。21世纪教育21世纪教育网21*cnjy*com网版权所有
专题：计算题。21cnjy
分析：利用向量的运算法则求出，得到，利用向量共线的充要条件得到两个向量的方向与模的关系．
解答：解：=，21世纪教育网
∵，21世纪教育网版权所有
∴，
∴同向，且，
故选A．
点评：本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件．
2、已知向量、满足，且，则=（ ）
A、10 B、20
C、21 D、30
所以：?．
∴||====10．
故选：A．
点评：本题主要考查向量的模长计算．解决问题的关键在于根据，两边平方得到．
3、设0≤θ＜2π，已知两个向量，则向量长度的最大值是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量的模；向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：根据向量的减法法则求出的坐标，利用向量模的坐标公式和同角平方关系，化简向量的模代数式，再根据已知角的范围和余弦函数性质，求出模的最大值．21cnjy
解答：解：由向量的减法知，==（2+sinθ﹣cosθ，2﹣cosθ﹣sinθ），
∴||==，
∵0≤θ＜2π，∴﹣1≤cosθ≤1，21cnjy
则当cosθ=﹣1时，的长度有最大值是．21*cnjy*com 21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：本题考查了向量减法和向量模的坐标运算，利用了同角的平方关系和余弦函数的性质，考查了运用知识和解决问题的能力．21世纪教育网
4、如图，△ABC为等腰三角形，∠A=∠B=30°，设，，AC边上的高为BD．若用表示，则表达式为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、21世纪教育网
考点：向量的三角形法则；向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：根据所给的三角形是等腰三角形和角的度数，得到三角形BCD是一个含有30°角的三角形，有边之间的关系，把要求的向量从起点出发，绕着三角形的边到终点，根据三角形边之间的关系得到结果．
点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题．
5、平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A、 B、
C、4 D、12
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
分析：根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．
解答：解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=1221*cnjy*com
∴|a+2b|=，21cnjy
故选B21cnjy
点评：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
6、如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（ ）
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A、++=0 B、﹣+=0
C、+﹣=0 D、﹣﹣=021世纪教育网
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
分析：模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法则得选项．
解答：解：由图可知=，==
在△DBE中，++=0，即++=0．2121世纪教育网世纪教育网版权所有
故选项为A．
点评：考查向量相等的定义及向量加法的三角形法则．
7、已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
分析：本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用
点评：本题是向量之间的运算，运算过程简单，但应用广泛，向量具有代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．
8、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于F，若，=，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：根据题意判断出△DEF∽△BEA，因E是线段OD的中点，则DF=DC，进而得CF=CD，再由向量的减法运算得=﹣，把已知向量代入进行化简．21世纪教育网
点评：本题以平行四边形为载体，用已知向量来表示未知向量，即从利用图中的平行、共线关系，找出向量之间的线性运算，再把已知向量代入．21*cnjy*com 21世纪教育网版权所有
9、设向量满足，，则=（ ）
A、1 B、221世纪教育网版权所有
C、4 D、521世纪教育网
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
分析：要求向量的模，求模时一般先求模的平方，而本题直接求模的平方，故题目省掉一步开方，也使同学们避免了一个错误，根据三个向量和为零，得到要求向量的表示式，再就是向量垂直时数量积为零．
解答：解：∵21cnjy
∴
∵⊥，
∴
∴=
=
=5
点评：两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“?”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
10、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、21cnjy21*cnjy*com
考点：向量加减混合运算及其几何意义。21世纪教育网
分析：应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A和D答案，B符合平行四边形法则．21*cnjy*com
解答：解：在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知，
所以下列结论中错误的是C．21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：数学思想在向量中体现的很好，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题．
11、设向量a=（1，﹣3），b=（﹣2，4），c=（﹣1，﹣2），若表示向量4a，4b﹣2c，2（a﹣c），d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（ ）
A、（2，6） B、（﹣2，6）21世纪教育网
C、（2，﹣6） D、（﹣2，﹣6）21世纪教育网版权所有
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
分析：向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标．
点评：本题只是简单的应用向量的加法，其实能与向量与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视．数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
12、已知向量与的夹角为120°，，则等于（ ）
A、5 B、4
C、3 D、1
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
分析：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，再根据和的模两边平方，联立解题，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．
解答：解：∵向量与的夹角为120°，，
∴，
∵，
∴，
∴=﹣1（舍去）或=4，
故选B．
点评：两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
13、如图，A、B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：21世纪教育网
①；②；③；④；⑤．21*cnjy*com
这些向量中以O为起点，终点在阴影区域内的是（ ）21世纪教育网
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A、①② B、①④21cnjy
C、①③ D、⑤
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
分析：题目中要我们判断向量的线性运算结果的情况，这样的题目需要对五个结论挨个验证，①过A作ON的平行线AC，并且使得AC=2OB，根据向量加法的三角形法则，得到和的重点在阴影里，①符合要求．用同样的方法验证其他几个的结果．
21世纪教育网版权所有 点评：向量是集数与形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现，向量也是重要的物理模型，在实际生活中有着广泛的应用，它是高中数学的基础．
14、已知非零向量、满足||=||，那么向量+与向量﹣的夹角为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：通过向量的数量积的计算，得到数量积为0，即可判断两个向量的夹角．
解答：解：向量（+）?（﹣）=2﹣2=0，
所以向量+与向量﹣的夹角为．21*cnjy*com
故选C．
点评：本题是基础题，考查向量的数量积的应用，考查计算能力．
15、如图，在△ABC中，，，设，，用，表示，则=（ ）
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A、 B、21世纪教育网
C、 D、21世纪教育网版权所有
21世纪教育网
点评：本题考查向量加减混合运算及其几何意义，是基础题．
16、平面上有一个△ABC和一点O，设，又OA、BC的中点分别为D、E，则向量等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：利用E为BC的中点，D为OA的中点，=（+），=﹣，化简可得结果．
解答：解：∵，，，E为BC的中点，D为OA的中点，
∴=（+），=﹣，21世纪教育网版权所有
∴=+=（﹣++）21世纪教育网
故选B．21cnjy
点评：本题考查向量中点公式的应用，以及两个向量的加减法的法则和几何意义．
17、下列各式计算正确的是（ ）21*cnjy*com
（1）（﹣7）6a=﹣42a （2）7（a+b）﹣8b=7a+15b （3）a﹣2b+a+2b=2a （4）若a=m+n，b=4m+4n，则a∥b?
A、1个 B、2个21世纪教育网版权所有
C、3个? D、4个21世纪教育网版权所有
点评：本题考查向量加减混合运算及其几何意义，熟练掌握向量加减混合运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．
18、若函数y=f（2x﹣1）+1的图象按向量平移后的函数解析式为y=f（2x+1）﹣1，则向量等于（ ）
A、（1，2） B、（﹣1，2）
C、（﹣1，﹣2） D、（1，﹣2）
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：本题是一个关于函数平移的问题，根据所给的原函数，使它按照设出的向量平移，写出平移后的解析式，同所给的平移后的解析式进行比较，得到向量的坐标．
解答：解：设向量=（h，k），
∵y=f（2x﹣1）+1
∴y=f[2（x﹣h）﹣1]+1+k=f（2x+1）﹣1，
∴h=﹣1，k=﹣2．
∴=（﹣1，﹣2）
故选C．
点评：本题是一个函数平移问题，函数的平移按照向量平移，注意方向，这主要是一个函数问题，解题过程中用到向量，是一个综合题，本题是一个易错题．
19、已知向量=（3，﹣4 ），=（5，2），则向量+等于（ ）
A、（2，6） B、（6，2）
C、（8，﹣2） D、（﹣8，2）
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：利用两个向量的坐标形式的加法法则，两个向量相加，把他们的横坐标和纵坐标分别相加．
解答：解：∵=（3，﹣4 ），=（5，2），21*cnjy*com
∴+=（3，﹣4）+（5，2）=（8，﹣2 ），21世纪教育网21cnjy版权所有
故选C．21cnjy
点评：本题考查两个向量的加法法则，两个向量和的坐标，等于这两个向量的对应坐标的和．
二、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
20、点O是四边形ABCD内一点，满足，若，则λ= 3 ．
考点：相等向量与相反向量；向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：设BC中点为E，连接OE．由向量运算的平行四边形法则得出，判断出O为△ABC重心，再对计算化简表示为的形式，求出λ．21世纪教育网
解答：解：设BC中点为E，连接OE．则，又有已知，所以，A，O，E三点都在BC边的中线上，且，所以O为△ABC重心．
=2=2×=3，∴λ=3
故答案为：3．
点评：本题考查向量运算的平行四边形法则，得出O为△ABC重心是本题的关键．
21、若=3，=λ1+λ2，则λ1λ2= ．
考点：相等向量与相反向量；向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：把=﹣，=﹣，代入已知的条件=3，解出的解析式，将此解析式和已知的=λ1+λ2作对照，求出
λ1、λ2的值．
点评：本题考查向量的表示方法，平面向量基本定理，待定系数法求出λ1、λ2的值．
22、已知向量满足则= 4 ．
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：由题意向量和的模与向量差的模相等得出==5，所以2=0，运用向量模的定义就可以求出||．
解答：解：由足得
==521*cnjy*com
即2=0，所以21世纪教育网版权所有
=5，又因为||=3，所以||=421世纪教育网版权所有
故答案为421cnjy
点评：此题主要考查向量和的模与向量差的模的关系，知道向量和的模与向量差的模相等，说明向量的数量积为0，就可以解决此类问题21世纪教育网
23、在矩形ABCD中，若，，则= 5 ．
考点：向量加减混合运算及其几何意义；向量的模。
专题：计算题。21世21cnjy纪教育网
分析：根据平行四边形法则我们易得=||，根据四边形ABCD为矩形，且，，结合勾股定理，我们易求出||得到答案．
点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，向量的模，其中根据向量的平行四边形法则，得到=||是解答的关键．
24、如图，在△ABC中，|AB|=3，|AC|=1，l为BC的垂直平分线，E为l上异于D的一点，则等于 1 ．
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
专题：数形结合。
分析：由已知可得D为BC的中点，=（+）=（+），⊥，再利用两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果．
解答：解：由条件得=（+）?（﹣）=（+）?（﹣）
=+?（﹣）=+?=1+0=1，21*cnjy*com 2121cnjy世纪教育网版权所有
故答案为1．
点评：本题考查两个向量的运算法则及其意义，两个向量垂直的性质．
三、解答题（共5小题）21cnjy
25、一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进1米，顺时针方向转弯60°，按直线向前行进1米，再顺时针方向转弯60°，继续按直线向前行1米，…，如操作六次．
（1）按1：100的比例，用向量表示赛车的位移；
（2）观察赛车位移示意图，你能得到什么结论？21世纪教育网
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点评：本题考查向量的三角形法则．21世纪教育网
26、如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．
考点：向量加减混合运算及其几何意义；向量的加法及其几何意义。
专题：证明题。
分析：由E、F分别是AD、BC的中点，我们根据相反向量的定义，易得+=，+=，利用平面向量加法的三角形法则，我们易将向量分别表示为++和++的形式，两式相加后，易得到结论．
解答：解：如图，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴+=，+=，
又∵+++=，
∴=++①21世纪教育网
同理=++②21cnjy21*cnjy*com
由①+②得，21世纪教育网版权所有
2=+++++=+．21世纪教育网
∴：．
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点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，向量的三角形法则，其中根据向量加法的三角形法则对待证结论中的向量进行分解是解答本题的关键．
27、设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且，，．若记，，试用m，n表示，，．
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：本题考查向量加减混合运算及其几何意义，由向量加减法的三角形法则直接求解即可．
解答：解：∵，，
∴
∴；
=﹣+．
=﹣﹣．
=
=
=．21*cnjy*com
点评：本题考查向量的加法和减法运算、向量加减混合运算及其几何意义，属基本运算的考查．
28、在△OAB中，C是AB边上一点，且=λ（λ＞0），若=，=，用、表示．
考点：向量加减混合运算及其几何意义。21cnjy 21世纪教育网版权所有
分析：用向量共线及三角形法则求，再用三角形法则求
解答：解：∵=λ（λ＞0），
∴21世纪教育网版权所有
在△OAB中，21世纪教育网
∴
∴21世纪教育网
在△OCB中，
==+
答：=+
点评：考查向量共线定理、向量加减运算的三角形法则．
29、（中向量的概念）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且，其中O为原点，求实数a的值
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
分析：用平行四边形法则作出的和与差，由得四边形是正方形，得直线过点（0，2）或（0，﹣2），
解答：解：以OA、OB为邻边作□AOBC，
∵
即，
∴□AOBC为矩形，
又，
∴四边形为正方形，
于是得直线x+y=a经过点（0，2）或（0，﹣2），
∴a=2或﹣2．
答：实数a的值为2或﹣2．
点评：两向量对应的线段为邻边做平行四边形其两对角线分别为两向量的和与差．
