向量的加法及几何意义
一、选择题（共20小题）21世纪教育网版权所有
1、把函数y=lg（3x）的图象按向量平移，得到函数为（ ）
A、（﹣1，lg3） B、（1，﹣lg3）21*cnjy*com
C、（﹣1，﹣lg3） 21cnjy D、21cnjy
2、下面有5个命题：21世纪教育网
①单位向量的模都相等．21cnjy
②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量．
③若与满足|与|＞||且与同向，则＞．21世纪教育网版权所有
④两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．21cnjy
⑤对任意非零向量，必有|+|≤||+||．
其中正确的命题序号是（ ）
A、①③⑤ B、④⑤21世纪教育网
C、①④⑤ D、②④
3、设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（ ）
A、0 B、1
C、5 D、10
4、设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M 的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、4
5、）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
6、一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ）
A、6 B、2
C、2 D、2
7、已知向量=（﹣2，2），=（5，k）．若|+|不超过5，则k的取值范围是（ ）
A、[﹣4，6] B、[﹣6，4]
C、[﹣6，2] D、[﹣2，6]
8、若非零向量a，b满足|a+b|=|b|，则（ ）
A、|2a|＞|2a+b| B、|2a|＜|2a+b|
C、|2b|＞|a+2b| D、|2b|＜|a+2b|
9、点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，﹣3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位．设开始时点P的坐标为（﹣10，10），则5秒后点P的坐标为（ ）
A、（﹣2，4） B、（﹣30，25）
C、（10，﹣5） D、（5，﹣10）
10、如图，正六边形ABCDEF中，=（ ）
A、0 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、21cnjy
11、若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有（ ）21世纪教育网
A、a∥b且a、b方向相同 B、a=b21*cnjy*com
C、a=﹣b D、以上都不对21世纪教育网版权所有
12、已知，，则等于（ ）
A、（1，﹣4） B、（﹣1，4）21cnjy
C、（2，﹣1） D、（3，2）21世纪教育网
13、+++等于（ ）
A、 B、
C、 D、
14、已知向量=（1，﹣m），=（m2，m），则向量+所在的直线可能为（ ）
A、x轴 B、第一、三象限的角平分线
C、y轴 D、第二、四象限的角平分线
15、若++=，则、、（ ）
A、都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
B、一定不可能构成三角形
C、都是非零向量时能构成三角形
D、一定可构成三角形
16、向量化简后等于（ ）
A、 B、
C、 D、
17、将向量按平移后的向量为（ ）
A、（4，﹣3） B、（﹣9，5）
C、（1，1） D、（9，﹣5）
18、一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过小时，该船实际航程为（ ）
A、 B、6km
C、 D、8km
19、设M是□ABCD的对角线的交点，O为任意一点（且不与M重合），则等于（ ）
A、 B、221cnjy
C、3 D、421cnjy
20、平行四边形ABCD中，E为CD中点，线段AE与BD相交于点P，记，，则可以表示为（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、21*cnjy*com
二、填空题（共5小题）21世纪教育网
21、已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则等于 _________ ．
22、已知四边形ABCD中，=a﹣2c，=5a+6b﹣8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则= _________
23、已知有公共端点的向量，不共线，||=1，||=2则与向量，的夹角平分线平行的单位向量是 _________ ．
24、若平面向量，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，﹣1），则= _________ ．
25、△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= _________ ．
三、解答题（共5小题）221*cnjy*com世纪教育网版权所有
26、O是平行四边形ABCD外一点，求证：．21世纪教育网
27、已知向量（m∈R），且．设y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在上图象最低点M的坐标．
（2）若对任意，f（x）＞t﹣9x+1恒成立，求实数t的范围．
28、如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，证明：
29、若中每两个向量的夹角均为60°，且的值．21世纪教育网
30、如右图，已知点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点，求证：．21*cnjy*com 21世纪教育网版权所有
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、把函数y=lg（3x）的图象按向量平移，得到函数为（ ）
A、（﹣1，lg3） B、（1，﹣lg3）21世纪教育网
C、（﹣1，﹣lg3） D、21世纪教育网版权所有
考点：函数的图象与图象变化；向量的加法及其几何意义。21*cnjy*com
专题：计算题。21cnjy21*cnjy*com
分析：先利用图象的平移变换判断出由函数y=lg（3x）的图象向左移一个单位向下移lg3个单位得到函数y=lg（x+1）的图象得到向量的坐标．21cnjy21*cnjy*com
解答：解：函数y=lg（3x）=lg3+lgx的图象向左移一个单位得到y=lg（x+1）+lg3
再向下移lg3个单位得到函数y=lg（x+1）﹣lg3=lg（x+1）
所以21世纪教育网版权所有21cnjy
故选C．21世纪教育网
点评：本题考查函数图象的变化，只需将原函数式化简，然后遵循相应的变化法则既可．
2、下面有5个命题：
①单位向量的模都相等．
②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量．
③若与满足|与|＞||且与同向，则＞．
④两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．
⑤对任意非零向量，必有|+|≤||+||．
其中正确的命题序号是（ ）
A、①③⑤ B、④⑤
C、①④⑤ D、②④
考点：平行向量与共线向量；向量的加法及其几何意义。
分析：利用单位向量的定义判断出①对；利用共线向量的定义判断出②错；据向量不能比较大小，判断出③错；据向量的表示法，判断出④对；利用向量的运算法则判断出⑤对．
点评：本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量的运算法则、向量是矢量不能比较大小．
3、设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（ ）
A、0 B、1
C、5 D、10
考点：向量的加法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：根据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案．
解答：解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，
再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；
若=成立，21cnjy21*cnjy*com
则有x=，y=；21*cnjy*com
只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；21世纪教育网版权所有
故选B．21cnjy
点评：本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点M的个数转化为求其坐标即关于x、y的方程组的解的组数，易得答案．
4、设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M 的个数为（ ）
A、0 B、121世纪教育网
C、2 D、4
点评：本题考查向量的加法及其几何意义，考查向量的和的意义，本题是一个基础题，没有具体的运算，是一个概念题目．21世纪教育网版权所有
5、已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（ ）
A、221世纪教育网 B、3
C、4 D、5
考点：向量的加法及其几何意义。
分析：解题时应注意到，则M为△ABC的重心．
解答：解：由知，点M为△ABC 的重心，设点D为底边BC的中点，
则==，
所以有，故 m=3，
故选B．
点评：本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．
6、一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ）
A、6 B、2
C、2 D、2
考点：向量的加法及其几何意义。
分析：三个力处于平衡状态，则两力的合力与第三个力大小相等，方向相反，把三个力化到同一个三角形中，又知角的值，在任意三角形中用余弦定理求得结果，最后不要忽略开方运算．
解答：解：∵F32=F12+F22﹣2F1F2cos（1800﹣600）=28，
∴，21cnjy
故选D
点评：生活中常见的向量都是物理中学到的量，比如：速度、位移、加速度、重力，这些量既有大小又有方向，数学中学的向量有了物理中量的形容，更容易接受一些．21cnjy21*cnjy*com
7．已知向量=（﹣2，2），=（5，k）．若|+|不超过5，则k的取值范围是（ ）
A、[﹣4，6] B、[﹣6，4] 21世纪教育网版权所有
C、[﹣6，2] D、[﹣2，6] 21世纪教育网
考点：向量的加法及其几何意义；向量的模。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：利用向量加法的坐标运算求出+的坐标，再代入向量模的公式，由题意列出关于k的不等式，求出解集即是k的范围．
8、若非零向量a，b满足|a+b|=|b|，则（ ）
A、|2a|＞|2a+b| B、|2a|＜|2a+b|21世纪教育网版权所有
C、|2b|＞|a+2b| D、|2b|＜|a+2b|21世纪教育网
考点：向量的加法及其几何意义。
分析：本题是对向量意义的考查，根据||a|﹣|b||≤|a+b|≤|a|+|b|进行选择，题目中注意|a+2b|=|a+b+b|的变化，和题目所给的条件的应用．
解答：解：∵|a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|，
∵a，b是非零向量，21*cnjy*com
∴必有a+b≠b，
∴上式中等号不成立．
∴|2b|＞|a+2b|，
故选C
点评：大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．
9、点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，﹣3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位．设开始时点P的坐标为（﹣10，10），则5秒后点P的坐标为（ ）
A、（﹣2，4） B、（﹣30，25）
C、（10，﹣5） D、（5，﹣10）
考点：向量的加法及其几何意义。
分析：本题是一个平移向量问题，即求把P点（﹣10，10）平移5×（4，﹣3）后对应点的坐标，根据向量平移公式，代入计算即可得到答案．
解答：解：5秒后点P的坐标为：
（﹣10，10）+5（4，﹣3）=（10，﹣5）
故选C
点评：平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．再根据平移变换的口决“左加右减，上加下减”即可解答．21cnjy
10、如图，正六边形ABCDEF中，=（ ）21cnjy
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C、 D、
考点：向量的加法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：根据正六边形对边平行且相等的性质，我们可得=，=，然后根据平面向量加法的三角形法则，即可得到答案．221*cnjy*com 1世纪教育网
11、若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有（ ）
A、a∥b且a、b方向相同 B、a=b21世纪教育网
C、a=﹣b D、以上都不对21*cnjy*com
考点：向量的加法及其几何意义。
分析：方向相同时，|a+b|=|a|+|b|，
解答：解：∵a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，
∴a∥b且方向相同．
故选项为：A
点评：考查同向向量模的性质．
12、已知，，则等于（ ）
A、（1，﹣4） B、（﹣1，4）
C、（2，﹣1） D、（3，2）
考点：向量的加法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：根据向量的加法的几何意义可知，将坐标代入运算即可求出所求．
解答：解：∵21世纪教育网版权所21cnjy有
∴=（1，3）+（2，﹣1）=（3，2）21cnjy
故选D．21*cnjy*com
点评：本题主要考查了向量的加法及其几何意义，以及向量的坐标运算，属于基础题．
13、+++等于（ ）21世21世纪教育网纪教育网版权所有
A、 B、21世纪教育网
C、 D、21*cnjy*com
考点：向量的加法及其几何意义；相等向量与相反向量。
分析：用两个大写字母表示向量时，做向量的加法运算，主要是观察向量是否首尾相连，根据向量加法的三角形法则，得到结果．
14、已知向量=（1，﹣m），=（m2，m），则向量+所在的直线可能为（ ）
A、x轴 B、第一、三象限的角平分线
C、y轴 D、第二、四象限的角平分线
考点：向量的加法及其几何意义。
专题：计算题；转化思想。
分析：先求出向量+的坐标，再研究四个选项中所给的直线的方向向量，与向量+共线的即是符合条件的直线
解答：解：+=（1，﹣m）+（m2，m）=（m2+1，0），其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，
又x轴的方向向量有此特征，
∴向量a+b所在的直线可能为x轴，
故选A．
点评：本题考查向量的加法及其几何意义，解题的关键是求出和向量的坐标以及直线的方向向量，由共线的条件作出判断
15、若++=，则、、（ ）
A、都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B、一定不可能构成三角形
C、都是非零向量时能构成三角形 D、一定可构成三角形
考点：向量的加法及其几何意义。
分析：通过举反例，说明B、C、D不正确，只有A正确，从而得到结果．
解答：解：若、、均为共线向量时也可以使++=，但是无法构成三角形，
或者若、、为两两夹角都为120°，且模相等时，++=，但也无法构成三角形，21cnjy
但当、、是非零向量且首尾相连时，便可构成三角形． 21cnjy
故B、C、D不正确，只有A正确，21*cnjy*com
故选A．21*cnjy*com
点评：本题考查向量加法及其集合意义，通过举反例来说明某个命题错误，是一种非常简单有效的方法．
16、向量化简后等于（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 21世纪教育网 D、21世纪教育网版权所有
考点：向量的加法及其几何意义。
专题：计算题。
17、将向量按平移后的向量为（ ）
A、（4，﹣3） B、（﹣9，5）
C、（1，1） 21世纪教育网版权所有 D、（9，﹣5）
考点：向量的加法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：由向量的含义，坐标和向量的位置无关，故平移后的向量坐标不变．
解答：解：由向量的含义，坐标和向量的位置无关，故向量按平移后的向量为（4，﹣3）
故选A
点评：本题考查对向量概念及坐标的理解，属基础知识的考查．
18、一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过小时，该船实际航程为（ ）
A、 B、6km
C、 D、8km
考点：向量的加法及其几何意义。
分析：画出示意图，根据三角形知识求解．
解答：解：由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，
则表示船的实际速度．
则，，∠AOB=120°，则∠CBO=60°，21cnjy
∴，∠AOC=∠BCO=90°21cnjy
∴实际速度为km/h，则实际航程为km．21*cnjy*com
21*cnjy*com
点评：注意船在静水中速度，水流速度和船的实际速度三个概念的区分．
19、设M是□ABCD的对角线的交点，O为任意一点（且不与M重合），则等于（ ）
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C、321世纪教育网 D、421世纪教育网
20、平行四边形ABCD中，E为CD中点，线段AE与BD相交于点P，记，，则可以表示为（ ）
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C、 D、
考点：向量的加法及其几何意义。
分析：本题用到教科书的一个例题的结论：在平行四边形ABCD中，E为CD中点，线段AE与BD相交于点P，则可得到点P是BD的三等分点，于是可得结论．
解答：解：如图，易证得点P是对角线BD的三等分点，因此有：
=+=+=+（）=（）
故选A
点评：本题考查向量的加法运算，以及向量加法的三角形法则和平行四边形法则，共线向量的概念，向量的基底表示，向量相等的概念．
二、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
21、已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则等于 5 ．
考点：向量的模；向量的加法及其几何意义。21cnjy
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：根据向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3）三个条件得到的坐标，本题要求一个向量的模长，这种问题一般对要求的结果先平方，变为已知的向量的模长和数量积的问题．21cnjy
点评：本题是一个典型的向量问题，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．21*cnjy*com
22、已知四边形ABCD中，=a﹣2c，=5a+6b﹣8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则= 3+3﹣5．
考点：平行向量与共线向量；向量的加法及其几何意义。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：把分解为用已知向量表示的形式，可作图帮助分析已知向量与未知向量之间的关系，要注意中点向量表示中的特殊含意．
解答：解：如图：
∵=++，
又=++，
两式相加，得
2=（+）+（+）+（+）．21*cnjy*com
∵E是AC的中点，21*cnjy*com
故+=．同理，+=．21cnjy
∴2=+=（﹣2）+（5+6﹣8）=6+6﹣10．21cnjy
∴=3+3﹣5．21世纪教育网
故答案为：3+3﹣5．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查的知识点是平面向量加（减）法的几何意义，处理的关键是：用已知向量表示未知向量的关键是将未知向量“凑配”成用已知向量表示的形式．其核心是向量加减法的“三角形”法则．
23、已知有公共端点的向量，不共线，||=1，||=2则与向量，的夹角平分线平行的单位向量是 ± ．21世纪教育网版权所有
考点：平行向量与共线向量；向量的加法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：根据两个向量模长之间的关系，得到要出现两个向量的夹角的平分线，需要把模长是1的向量变化，使得得到的平行四边形是一个菱形，根据平行四边形法则写出向量的和，得到单位向量，注意有两个．
点评：本题考查平行向量与共线向量，考查向量加法及其几何意义，考查平行四边形法则，是一个易错题，解题时注意要求的单位向量有两个，不要漏掉结果．
24、若平面向量，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，﹣1），则= （﹣2，2）或（﹣2，0） ．
考点：平行向量与共线向量；向量的模；向量的加法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：本题考查共线向量的性质，以及向量模的坐标运算，+平行于y轴，得出+=（x+2，y﹣1），的横坐标为0，解出的横坐标，再由||=1，，（y﹣1）2=1，求出的纵坐标21cnjy
解答：解：设=（x，y）21世纪教育网21*cnjy*com
+平行于y轴，得出+=（x+2，y﹣1）=（0，y﹣1），解得x=﹣2
又∵|+|=1，∴（y﹣1）2=121世纪教育网
解得y=0，或y=2
∴=（﹣2，2）或（﹣2，0）221*cnjy*com 1世纪教育网版权所有
故答案为：（﹣2，2）（﹣2，0）
点评：本题着重考查向量的基本性质，要求学生概念清晰，计算准确！
25、△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= 1 ．
考点：向量的加法及其几何意义；三角形五心。
专题：数形结合。
分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则得=+，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用、和表示出来为止．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查了向量的线性运算的应用，一般的做法是根据图形找一个封闭的图形，利用向量的加法表示出来，再根据题意进行转化到用已知向量来表示，考查了转化思想．
三、解答题（共5小题）
26、O是平行四边形ABCD外一点，求证：．
考点：向量的加法及其几何意义。
专题：证明题。
分析：将放在三角形中，由向量加法的三角形法则用表达，找关系即可．
解答：解：21cnjy21*cnjy*com
因为ABCD是平行四边形，所以21世纪教育网21*cnjy*com
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点评：本题考查向量加法的几何意义，向量的三角形法则．
27、已知向量（m∈R），且．设y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在上图象最低点M的坐标．
（2）若对任意，f（x）＞t﹣9x+1恒成立，求实数t的范围．
考点：向量的加法及其几何意义；函数恒成立问题；三角函数的最值。
专题：计算题；证明题。21世纪教育网
分析：（1）根据所给的向量之间的关系，写出关于三角函数的关系式，消元得到函数式，整理成可以解决三角函数性质的形式，根据所给的变量的范围得到三角函数的范围．
（2）本题是一个函数的恒成立问题，写出关系式，分离参数，要证一个变量恒小于一个函数式时，要用一种函数思想，即只要这个变量小于函数的最小值即可．21世纪教育网版权所有
点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平行的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现．
28、如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，证明：21*cnjy*com
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考点：向量的加法及其几何意义。21cnjy
分析：本题可以作出辅助线取AC中点E，连接DE，利用中位线性质，三角形相似，得出AG=AD，再利用向量共线定理=来解答．21世纪教育网
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点评：本题考查向量加法及三角形，平行四边形法则，共线向量定理和平面向量基本定理的应用，利用向量基底表示平面内向量的方法．21世纪教育网
29、若中每两个向量的夹角均为60°，且的值．
考点：向量的加法及其几何意义。
专题：计算题。
分析：由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．
解答：解：∵中每两个向量的夹角均为60°，且，
∴
=
=+
=16+36+4+24+8+12
=100
∴=10
点评：求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．
30、如右图，已知点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点，求证：．21cnjy
考点：向量的加法及其几何意义。21*cnjy*com 21世纪教育网
专题：计算题；数形结合。21世纪教育网版权所有
分析：由题意先证明ADEF为平行四边形，再由向量加法的平行四边形法则得，同理求出，再把三个式子加起来，重新组合利用向量加法的首尾相连法则求解．
解答：证明：连接DE、EF、FD，如图，
∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴EF∥AD，DE∥AF，
∴四边形ADEF为平行四边形，21世纪教育网
由向量加法的平行四边形法则，得①，
同理在平行四边形BEFD中，②，
在平行四边形CFDE在中，③，将①②③相加，得
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点评：本题的考点是向量的加法及其几何意义，根据图中的中点构成的中位线证明四边形是平行四边形，利用四边形法则，把所要证明的向量和转化为其他向量的和，由加法的首尾相连法则证出．21cnjy
