数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.1变化率问题 课件（共24张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.1变化率问题 课件（共24张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-04 22:44:02 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
5.1导数的概念及其意义
五、一元函数的导数及其应用
5.1.1 变化率问题
课程标准
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬间变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬间变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；
2.体会极限思想；
3.通过函数图象直接理解导数的几何意义。
课堂导入
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？
下面我们就来研究这个问题.
一
二
三
教学目标
会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念
会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想
通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
教学目标
难点
重点
新知探究
探究一：理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念
新知讲解
问题1：在跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在函数关系：
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
新知讲解
视频中，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快。我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.
例如：在这段时间里，；
在这段时间里，.
在这段时间里，
新知讲解
追问1：计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？
你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0
显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.
因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
概念生成
1.瞬时速度的定义：
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
2.瞬时速度的计算公式：
把当中无限趋近于时，的极限，记为，为物体在时的瞬时速度.
新知讲解
追问2：瞬时速度与平均速度有什么关系？
你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？
设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是
可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.
新知讲解
为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
当时，在之后；当时，在之前.
当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬间速度.
新知讲解
我们发现，当无限趋近于时，即无论从小于的一边，还是从大于的一边无限趋近于时，平均速度都无限趋近于.
事实上，由可以发现，当无限趋于时，也无限趋近于，所以无限趋近于.这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.
从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.
因此，运动员在时的瞬时速度.
新知讲解
问题2：(1)求运动员在时的速度；
(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？
解(1)：因为，所以运动员在时间段
(或)的平均速度为
所以.
新知讲解
解(2)：因为
所以运动员在时间段
(或)的平均速度为
所以.
新知讲解
求平均速度的一般步骤
(1)先计算对应值的改变量；
(2)再计算自变量的改变量；
(3)求平均速度.
新知探究
探究二：了解抛物线切线的斜率
新知讲解
问题3：抛物线的切线的斜率.我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究.
你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.
新知讲解
追问1：如图，当点沿着抛物线趋近于点时，割线有什么变化趋势？
我们发现，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
追问2：我们知道，斜率是确定直线的一个要素.
如何求抛物线在点处的切线的斜率呢？
新知讲解
从上述切线的定义可见，抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记，则点的坐标是.于是，割线的斜率
我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格.
新知讲解
追问2：利用计算工具计算更多割线的斜率的值，当无限趋近于时，割线的斜率有什么变化趋势？
我们发现，当无限趋近于时，即无论从小于的一边，还是从大于的一边无限趋近于时，割线的斜率都无限趋近于.
由可以直接看出，当无限趋近于时，无限趋近于.我们把叫做“当无限趋近于时，的极限”，记为.
概念生成
抛物线的切线的斜率：
(1)切线的概念：如图，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
(2)斜率的计算公式：当无限趋近于时，的极限，记为.
新知讲解
从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.
这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率.
在问题1中的函数的图象
平均速度
的几何意义是什么？瞬时速度呢？
新知讲解
平均速度
瞬时速度
小结
（1）求增量
（2）求平均变化率
（3）求极限
5.1导数的概念及其意义
五、一元函数的导数及其应用
5.1.1 变化率问题
课程标准
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬间变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬间变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；
2.体会极限思想；
3.通过函数图象直接理解导数的几何意义。
课堂导入
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？
下面我们就来研究这个问题.
一
二
三
教学目标
会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念
会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想
通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
教学目标
难点
重点
新知探究
探究一：理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念
新知讲解
问题1：在跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在函数关系：
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
新知讲解
视频中，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快。我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.
例如：在这段时间里，；
在这段时间里，.
在这段时间里，
新知讲解
追问1：计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？
你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0
显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.
因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
概念生成
1.瞬时速度的定义：
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
2.瞬时速度的计算公式：
把当中无限趋近于时，的极限，记为，为物体在时的瞬时速度.
新知讲解
追问2：瞬时速度与平均速度有什么关系？
你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？
设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是
可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.
新知讲解
为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
当时，在之后；当时，在之前.
当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬间速度.
新知讲解
我们发现，当无限趋近于时，即无论从小于的一边，还是从大于的一边无限趋近于时，平均速度都无限趋近于.
事实上，由可以发现，当无限趋于时，也无限趋近于，所以无限趋近于.这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.
从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.
因此，运动员在时的瞬时速度.
新知讲解
问题2：(1)求运动员在时的速度；
(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？
解(1)：因为，所以运动员在时间段
(或)的平均速度为
所以.
新知讲解
解(2)：因为
所以运动员在时间段
(或)的平均速度为
所以.
新知讲解
求平均速度的一般步骤
(1)先计算对应值的改变量；
(2)再计算自变量的改变量；
(3)求平均速度.
新知探究
探究二：了解抛物线切线的斜率
新知讲解
问题3：抛物线的切线的斜率.我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究.
你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.
新知讲解
追问1：如图，当点沿着抛物线趋近于点时，割线有什么变化趋势？
我们发现，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
追问2：我们知道，斜率是确定直线的一个要素.
如何求抛物线在点处的切线的斜率呢？
新知讲解
从上述切线的定义可见，抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记，则点的坐标是.于是，割线的斜率
我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格.
新知讲解
追问2：利用计算工具计算更多割线的斜率的值，当无限趋近于时，割线的斜率有什么变化趋势？
我们发现，当无限趋近于时，即无论从小于的一边，还是从大于的一边无限趋近于时，割线的斜率都无限趋近于.
由可以直接看出，当无限趋近于时，无限趋近于.我们把叫做“当无限趋近于时，的极限”，记为.
概念生成
抛物线的切线的斜率：
(1)切线的概念：如图，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
(2)斜率的计算公式：当无限趋近于时，的极限，记为.
新知讲解
从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.
这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率.
在问题1中的函数的图象
平均速度
的几何意义是什么？瞬时速度呢？
新知讲解
平均速度
瞬时速度
小结
（1）求增量
（2）求平均变化率
（3）求极限