江苏省如东县2013-2014学年高二第二学期开学初测试数学试题

2014年高二寒假作业检测试卷
学校 姓名 学号 得分
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在试题的相应位置上．
1.“”是“直线与直线相互垂直”的
.（请填写“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一）
2.若方程2-2+4=0在区间（1，2］上有且仅有一个根，则实数的取值范围是 .
3. 已知数列中， ， =，写出该数列的通项公式___ ___．
4. 在等差数列中，若，则的值为 .
5. 椭圆的焦距是，则的值是 .
6. 已知离心率为e的曲线，其右焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则e的值为 .
7.函数(＞0,≠1)的图象恒过定点，若点在直线+ -1=0 (＞0)上，则+的最小值为 .
8. 已知＞0,＞0, ,的等差中项是，且= +,n=+，则的最小值是 .
9.若-4＜＜1,求的最大值 .
10. 在上定义运算满足.若不等式(-)(+)＜1对任意实数成立,则的取值范围是 .
11. 若≥0，≥0，且当时，恒有≤1，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积等于 .
12. 已知函数=22+(4-) +4-, =，若对于任一实数,与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 .

13.若不等式2-2+＞0对∈恒成立，则关于的不等式的解
集为 .
14. 下列五个命题：
(1)是等比数列的前项和且，成等比数列；
(2)若成等差数列，且常数，则数列为等比数列；
(3)常数列既是等差数列，又是等比数列；
(4)若等比数列的前和为；
(5)若数列的前n项和，则是为等比数列的充分必要条件 ；
其中是正确命题的序号为 . (将所有正确命题的序号都填上).
二.解答题：本大题共5小题．共90分．请在试题下方指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知不等式：＞0 ().
(1)解这个关于的不等式;
(2)若时不等式成立,求的取值范围.

16. 数列的前的和，且，其中
(1) .求证：数列是等比数列；
(2). 设数列的公比为，数列，求数列的通项；
(3) .记，求证：
17. 已知椭圆C的中心在原点，离心率e＝，一个焦点的坐标为(，0)．
(1) .求椭圆C的方程；
(2) .设直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T.当m变化时，求△TAB面积的最大值．
18. 某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产个月的累计产量为吨，但如果产量超过96吨，将会给环境造成危害.
（1）.请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；
（2）.若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳万元的环保税，已知每吨产品售价万元，第个月的工人工资为万元，若每月都赢利，求出的范围.
19. 已知是公差为的等差数列，它的前项和为,．
（1）求公差的值；
（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围.
2014年高二数学寒假作业检测试卷
参考答案
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在试题的相应位置上．
1. 充分而不必要条件 2. 3. 4. 5. 5或3 6. 7. 4
8. 5,当且仅当a=b=时取等号 9. 10. -＜a＜ 11. 7+2 12（-∞，4） 13. (-2,2) 14. （1）(2) (5)

二.解答题：本大题共6小题．共90分．请在试题下方指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知不等式：＞0 ().
(1)解这个关于的不等式; (2)若时不等式成立,求的取值范围.
（1） 综上所述, a＜-1时,解集为;a=-1时,原不等式无解;
-1＜a＜0时,解集为;a=0时,解集为{x|x＜-1};
a＞0时,解集为.
(2)∵x=-a时不等式成立,∴＞0,即-a+1＜0,∴a＞1,即a的取值范围为a＞1.
16.数列的前的和，且，其中
⑴.求证：数列是等比数列；
⑵.设数列的公比为，数列，求数列 的通项；
⑶.记，求证：
17. 已知椭圆C的中心在原点，离心率e＝，一个焦点的坐标为(，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T.当m变化时，求△TAB面积的最大值．
解：(1)依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵c＝，e＝＝，
∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆C的方程是＋y2＝1.
(2)由
得x2＋4(x＋m)2＝4，即x2＋2mx＋2m2－2＝0.
令Δ>0，得8－4m2>0，∴－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，
则x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.
|AB|＝
＝ ·＝.
又∵x0＝(x1＋x2)＝－m，y0＝x0＋m＝m，
∴M(－m，m)．
设T(t,0)，
∵MT⊥AB，∴kMT·kAB＝·＝－1，
解得t＝－m，∴T(－m,0)．
∴|MT|＝ ＝|m|.
∴S△TAB＝|AB|·|MT|＝··|m|
＝.
∵－∴当m2＝1，即m＝±1时，S△TAB取得最大值为
18. 解：（1）第个月的月产量=.
，
.
令
（2）若每月都赢利，则恒成立.
即恒成立，
令
所以.
19. 已知是公差为的等差数列，它的前项和为,．
（1）求公差的值；
（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围.