圆的方程
【知识梳理】
1、圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 ，其中 a,b 为圆心， r 为半径．
2、点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为 (x a)2 (y b)2 r2 ，圆心为C a,b ，半径为 r ，则有
（1）若点 M x0，y0 在圆上 | CM | r x0 a
2 y0 b
2 r2
（2）若点 M x0，y0 在圆外 | CM | r x0 a
2 y0 b
2 r2
（3）若点 M x0，y
2
0 在圆内 | CM | r x0 a y0 b
2 r2
3、圆的一般方程
2 2 D E
当 D2 E2 4F 0时，方程 x y Dx Ey F 0 叫做圆的一般方程． , 为圆心，
2 2
1 D2 E2 4F 为半径．
2
诠释：
2 2
x2 y2 Dx Ey F 0 x D y E D
2 E2 4F
由方程 得
2 2 4
D E D E
（1）当 D2 E2 4F 0时，方程只有实数解 x , y ．它表示一个点 ( , ) ．
2 2 2 2
（2）当 D2 E2 4F 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
3 D E 1（ ）当 D2 E2 4F 0时，可以看出方程表示以 , 为圆心， D
2 E2 4F 为半径的圆．
2 2 2
4、用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．
（2）根据已知条件，建立关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组．
（3）解方程组，求出 a、b、r 或 D、E、F 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
5、轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”
将其转化为关于变量 x, y 之间的方程．
（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的
定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相
关点法）．
（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
（3）求轨迹方程的步骤：
①建立适当的直角坐标系，用 (x, y)表示轨迹（曲线）上任一点 M 的坐标；
②列出关于 x, y 的方程；
③把方程化为最简形式；
④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
⑤作答．
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：圆的标准方程
考点 2：圆的一般方程
考点 3：点与圆的位置关系
考点 4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系
考点 5：定点问题
考点 6：轨迹问题
【典型例题】
考点 1：圆的标准方程
1．（2022·全国·高二专题练习）方程 y 4 x2 表示的曲线是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2022·四川省广汉中学高二开学考试（理））已知一圆的圆心为点C 2, 3 ，该圆经过坐标原点，则圆
的方程是___________.
3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知两点 A 2,0 ，B 4, 2 ，以线段 AB 为直径的圆的方程为______．
4．（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆 x2 y2 4x 6y 7 0同圆心且过点 P( 1,1)的圆的方程是
_____________．
5．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））圆 (x 1)2 (y 2)2 4关于直线 y x 对称的圆的方程为
______________ .
6．（2022·江苏·高二专题练习）求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A 2, 3 ；
(2)经过点 A 4, 5 、 B 6, 1 ，且以线段 AB 为直径；
(3)圆心在直线 y=-2x 上，且与直线 y=1-x 相切于点 2, 1 ；
(4)圆心在直线 x-2y-3=0 上，且过点 A 2, 3 ，B 2, 5 ．
7．（2022·江苏·高二专题练习）求下列圆的方程
(1)若圆C 的半径为1，其圆心与点 1,0 关于直线 y x 对称，求圆C 的标准方程；
(2)过点 A 4,1 的圆C 与直线 x y 1 0相切于点B 2,1 ，求圆C 的标准方程．
考点 2：圆的一般方程
8．（2022·全国·高二专题练习）圆 x2 y2 2x 4y 6 0 的圆心和半径分别是（ ）
A． 1, 2 ，11 B． 1,2 ，11 C． 1, 2 ， 11 D． 1,2 ， 11
9．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））一圆经过 A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四
个截距的和为 2，求此圆的方程．
10．（2021·四川成都·高二期中（理））在平面直角坐标系中，有 A 0,1 ，B 2,1 ，C 3,4 ，D 1,a 四
点，若它们在同一个圆周上，则a ________．
11．（2022·河南·南阳中学高二开学考试）已知Rt△ABC 的顶点 A(8,5)，直角顶点为B 3,8 ，顶点C 在 y 轴
上，求：
(1)顶点C 的坐标；
(2) Rt△ABC 外接圆的一般方程.
12．（2022·全国·高二专题练习）已知 ABC 的三个顶点 A( 3，0)， B(3， 2)，C(0，1) .
（1）求 ABC 外接圆的方程；
（2）求 ABC 内切圆的方程.
13．（2022·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点M (2, 1) ，且经过圆 x2 y2 4x 4y 4 0与圆
x2 y2 4 0的交点的圆的方程为（ ）
A． x2 y2 x y 6 0 B． x2 y2 x y 8 0
C． x2 y2 x y 2 0 D． x2 y2 x y 4 0
14．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为 A 2,0 , B 3,2 3 ,C 1,2 3 ,
D 4, a ，若它们都在同一个圆周上，则 a 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D． 3
考点 3：点与圆的位置关系
15．（2022·江苏·滨海县八滩中学高二期中）若点 1, 1 在圆 x2 y2 x y m 0外，则m 的取值范围是
___________.
16．（2021·湖北宜昌·高二期中）若点 A 1,1 在圆 x2 y2 2x y a 0外，则实数 a的取值范围为（ ）
5
A． a 3 B． a 3 C． a 3
5
D． a 3
4 4
17．（2022·湖北·高二期中）若圆 x2 y2 mx 2my m2 3m 0过坐标原点，则实数 m 的值为（ ）
A．0 或 3 B．-1 或-2 C．3 D．0
考点 4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系
18．（2022·全国·高二专题练习）若曲线C ： x2 y2 2ax 4ay 10a 0表示圆，则实数 a的取值范围为
（ ）
A． 2,0 B． , 2 0,
C． 2,0 D． , 2 0,
19．（2022·全国·高二专题练习）若方程 x2 y2 6x m 0表示一个圆，则 m 的取值范围是（ ）
A． ,9 B． , 9 C． 9, D． 9,
20．（2022·全国·高二专题练习）若方程 x2 y2 2x 2y k 0表示一个圆，则实数 k 的取值范围为（ ）
A． k 2 B． k 2 C． k 2 D． k 2
21．（多选题）（2022·河北·石家庄二十三中高二期中）若方程 x2 y2 mx my 2 0表示一个圆，则m
的取值可能为（ ）
A．3 B． 2 C． 3 D．5
22．（2022·全国·高二专题练习）若方程 x2 y2 2kx 4 0 表示圆，则 k 的取值范围为______．
23．（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）过点P 1,1 可以向圆 x2 y2 2x 4y k 2 0引两条切线，则 k
的范围___________.
24．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（理））若方程 x3 y2 3x my 4 0表示圆，则实数m 的取
值范围是_________．
考点 5：定点问题
25．（2022·全国·高二专题练习）已知曲线C ： 1 a x2 1 a y2 4x 8ay 0．
（1）当 a取何值时，方程表示圆？
（2）求证：不论 a为何值，曲线C 必过两定点．
（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时 a的值．
26．（2022·辽宁大连·高二期中（理））对于任意实数 ，曲线 (1 )x2 (1 )y2 (6 4 )x 16 6 0恒
过定点
27．（2022·福建省龙岩第一中学高二期中）如图，已知圆 O 的直径 AB=4，定直线 L 到圆心的距离为 4，
且直线 L⊥直线 AB．点 P 是圆 O 上异于 A、B 的任意一点，直线 PA、PB 分别交 L 与 M、N 点．
试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：
（1）若∠PAB=30°，求以 MN 为直径的圆方程；
（2）当点 P 变化时，求证：以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点．
考点 6：轨迹问题
28．（2022·全国·高二专题练习）已知圆C ： (x 2)2 y2 1，动直线 l过点P 1,2 .
(1)当直线 l与圆C 相切时，求直线 l的方程；
(2)若直线 l与圆C 相交于A 、 B 两点，求 AB 中点M 的轨迹方程.
29．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））如图所示，等腰梯形 ABCD 的底边 AB 在 x
轴上，顶点 A 与顶点 B 关于原点 O 对称，且底边 AB 和 CD 的长分别为 6 和2 6，高为 3．
(1)求等腰梯形 ABCD 的外接圆 E 的方程；
(2)若点 N 的坐标为(5,2)，点 M 在圆 E 上运动，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程．
30．（2022·全国·高二专题练习）已知圆C 过三个点M (1,0), N (3, 2), R(5,0) .
(1)求圆C 的方程；
(2)过原点O的动直线 l与圆C 相交于不同的 A, B两点，求线段 AB 的中点M 的轨迹.
31．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆 C： (x 3)2 (y 4)2 4 ；
(1)过原点O 0，0 作圆 C 的切线，切点分别为 H、K，求直线 HK 的方程；
(2)过点 4，2 作直线与圆相交于 A，B 两点，若直线 AB 2 3 ，求直线 AB 的方程；
(3)设定点M 3，8 ，动点 N 在圆 C 上运动，以 CM，CN 为邻边作平行四边形 MCNP，求点 P 的轨迹方
程；
32．（2022·福建福州·高二期中）已知圆C : x 2 2 y2 5，直线 l : mx y 1 2m 0，m R．
(1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
(2)若直线 l与圆C 交于A ， B 两点，求弦 AB 的中点M 的轨迹方程．
33．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知圆O : x2 y2 4上的一定点 A 2,0 ，点B 1,1 为圆
内一点， P ，Q为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；
(2)若 PBQ 90 ，求线段 PQ中点的轨迹方程．
34．（多选题）（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系 xOy 中， A(1,0), B( 2,0) ，点 P 满足
PA 1
PB 2 ，设点 P 的轨迹为C ，则（ ）
A．C 的周长为 4
B．OP（O, P 不重合时）平分 APB
C．△ABP面积的最大值为 6
D．当 AP AB 时，直线BP与轨迹C 相切
35．（多选题）（2022·浙江·金华市外国语学校高二开学考试）已知圆C : (x 3)2 y2 9，直线
l : mx 4y m 4 0(m R) ，则下列结论正确的有（ ）
A．当m 3时，圆C 上恰有两个点到直线 l的距离等于 2
B．对于任意实数m ，直线 l恒过定点 (1,1)
C．若直线 l交圆C 于A ， B 两点，则弦长 AB 的最小值为 4
D．D是圆C 上的动点，点E(2, 4)，若动点M 满足 DM 2DE ，则点M 的轨迹方程为 (x 1)2 (y 8)2 9
36．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）在平面直角坐标系 xoy中，已知 ABC 的顶点B( 3,0) ，
C(3,0)，且 | AB | 2 | AC |，
(1)设 ABC 的外接圆为 M ，请写出 M 周长最小时的 M 标准方程．
(2)设顶点 A(x, y) ，求顶点 A 的轨迹方程及 ABC 面积的最大值．
37 2 2 2 2．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）若圆C1 : x y 1与圆C2 : x a y b 1的公共弦 AB
的长为 1，则下列结论正确的有（ ）
A． a2 b2 1
B．a2 b2 14
C AB x2
3
． 中点的轨迹方程为 y2
4
9
D． AB 2 2中点的轨迹方程为 x y
16
38．（2022·四川成都·高二开学考试（理））若两定点 A(1,0)，B 4,0 ，动点 M 满足 2 MA MB ，则动点
M 的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A．2 B．5 C．3 D． 4
39．（2022·全国·高二专题练习）自圆 C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4 外一点 P(x，y)引该圆的一条切线，切点为
Q，PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点 P 的轨迹方程为（ ）
A．8x－6y－21＝0
B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0
D．6x－8y－21＝0圆的方程
【知识梳理】
1、圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 ，其中 a,b 为圆心， r 为半径．
2、点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为 (x a)2 (y b)2 r2 ，圆心为C a,b ，半径为 r ，则有
（1）若点 M x0，y0 在圆上 | CM | r x0 a
2 y0 b
2 r2
（2）若点 M x0，y0 在圆外 | CM | r x0 a
2 y0 b
2 r2
（3）若点 M x0，y
2
0 在圆内 | CM | r x0 a y0 b
2 r2
3、圆的一般方程
2 2 D E
当 D2 E2 4F 0时，方程 x y Dx Ey F 0 叫做圆的一般方程． , 为圆心，
2 2
1 D2 E2 4F 为半径．
2
诠释：
2 2
x2 y2 Dx Ey F 0 x D y E D
2 E2 4F
由方程 得
2 2 4
D E D E
（1）当 D2 E2 4F 0时，方程只有实数解 x , y ．它表示一个点 ( , ) ．
2 2 2 2
（2）当 D2 E2 4F 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
3 D E 1（ ）当 D2 E2 4F 0时，可以看出方程表示以 , 为圆心， D
2 E2 4F 为半径的圆．
2 2 2
4、用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．
（2）根据已知条件，建立关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组．
（3）解方程组，求出 a、b、r 或 D、E、F 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
5、轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”
将其转化为关于变量 x, y 之间的方程．
（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的
定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相
关点法）．
（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
（3）求轨迹方程的步骤：
①建立适当的直角坐标系，用 (x, y)表示轨迹（曲线）上任一点 M 的坐标；
②列出关于 x, y 的方程；
③把方程化为最简形式；
④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
⑤作答．
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：圆的标准方程
考点 2：圆的一般方程
考点 3：点与圆的位置关系
考点 4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系
考点 5：定点问题
考点 6：轨迹问题
【典型例题】
考点 1：圆的标准方程
1．（2022·全国·高二专题练习）方程 y 4 x2 表示的曲线是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对 y 4 2 x2 两边平方整理得 x y2 4 y 0 ，
所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为 2的圆在 x 轴及下方的部分，A 选项满足.
故选：A
2．（2022·四川省广汉中学高二开学考试（理））已知一圆的圆心为点C 2, 3 ，该圆经过坐标原点，则圆
的方程是___________.
x 2 2 y 3 2【答案】 13
2
【解析】 圆心为点C 2, 3 ，且该圆经过坐标原点， 半径 r 22 3 13 ，则圆的方程是
x 2 2 y 3 2 13
故答案为： x 2 2 y 3 2 13
3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知两点 A 2,0 ，B 4, 2 ，以线段 AB 为直径的圆的方程为______．
【答案】 x 3 2 y 1 2 2
【解析】由题意，两点 A 2,0 ，B 4, 2 ，
则 A 2,0 ，B 4, 2 的中点为 (3, 1) ， | AB | (4 2)2 ( 2 0)2 2 2 ,
故圆心的坐标为 3, 1 ，半径为 r 2 ，
所以圆的方程为 x 3 2 y 1 2 2，
故答案为： x 3 2 y 1 2 2
4．（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆 x2 y2 4x 6y 7 0同圆心且过点 P( 1,1)的圆的方程是
_____________．
2 2
【答案】 x 2 y 3 25
【解析】圆 x2 y2 4x 6y 7 0，即 x 2 2 y 3 2 6
2 2
所以所求圆的圆心坐标为 2， 3 ，半径为R 2 1 3 1 5
所以圆的方程为 x 2 2 y 3 2 25．
2
故答案为： x 2 y 3 2 25．
5．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））圆 (x 1)2 (y 2)2 4关于直线 y x 对称的圆的方程为
______________ .
【答案】 (x 2)2 (y 1)2 4
【解析】圆 (x 1)2 (y 2)2 4的圆心为 A(1, 2)，半径为 2，
设点 A(1, 2)关于直线 y x 对称点为B(x, y) ，则
y ( 2) 1
x 1 x 2
，解得 ，即B( 2,1)
y ( 2) x
，
1 y 1
2 2
所以圆 (x 1)2 (y 2)2 4关于直线 y x 对称的圆的方程为
(x 2)2 (y 1)2 4，
故答案为： (x 2)2 (y 1)2 4
6．（2022·江苏·高二专题练习）求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A 2, 3 ；
(2)经过点 A 4, 5 、 B 6, 1 ，且以线段 AB 为直径；
(3)圆心在直线 y=-2x 上，且与直线 y=1-x 相切于点 2, 1 ；
(4)圆心在直线 x-2y-3=0 上，且过点 A 2, 3 ，B 2, 5 ．
2
【解析】（1）设圆的标准方程为 x a y2 25．
因为点 A 2, 3 2 a 2在圆上，所以 3 2 25，解得 a=-2 或 a=6，
所以所求圆的标准方程为 x 2 2 y2 25 x 6 2或 y2 25．
a 4 6 1 b 5 1 x a 2 y b 2 r 2 r 0 3
（2）设圆的标准方程为 ，由题意得 2 ， 2 ；
又因为点 6, 1 在圆上，所以 r 2 6 1 2 1 3 2 29．
所以所求圆的标准方程为 x 1 2 y 3 2 29．
3 a, 2a （ ）设圆心为 ．
a 2a 1 2
因为圆与直线 y=1-x 相切于点 2, 1 ，所以 a 2 2a 1 2 ，
12 12
解得 a=1．所以所求圆的圆心为 1, 2 ，半径 r 1 2 2 2 1 2 2 ．
2
所以所求圆的方程为 x 1 y+2 2 2．
（4）设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x 2y 3 0 C 2a 3,a 上，故可设点 的坐标为 ．
又该圆经过 A、B 两点，所以 CA CB ．
2 2 2 2
所以 2a 3 2 a 3 2a 3 2 a 5 ，解得 a=-2，
所以圆心坐标为C 1, 2 ，半径 r 10 ．
2 2
故所求圆的标准方程为 x 1 y 2 10．
7．（2022·江苏·高二专题练习）求下列圆的方程
(1)若圆C 的半径为1，其圆心与点 1,0 关于直线 y x 对称，求圆C 的标准方程；
(2)过点 A 4,1 的圆C 与直线 x y 1 0相切于点B 2,1 ，求圆C 的标准方程．
1 1,0 y x 0,1 【解析】（ ） 点 关于直线 对称的点为 ，
圆C 是以 0,1 2为圆心，1为半径的圆， 圆C 的标准方程为 x2 y 1 1.
（2） A, B 两点在圆C 上， 圆C 的圆心在 AB 垂直平分线上；
kAB 0， AB 中点为 3,1 ， AB的垂直平分线方程为 x 3；
直线 x y 1 0与圆C 相切于点B 2,1 ， 直线BC 与直线 x y 1 0垂直，
kBC 1， 直线BC 方程为： y 1 x 2 ，即 x y 3 0；
x y 3 0 x 3
由 C 3,0 2x 3 得： y 0， 圆心 ，半径 r 3 2 0 1
2 2 ，
圆C 的标准方程为 x 3 2 y2 2 .
考点 2：圆的一般方程
8．（2022·全国·高二专题练习）圆 x2 y2 2x 4y 6 0 的圆心和半径分别是（ ）
A． 1, 2 ，11 B． 1,2 ，11 C． 1, 2 ， 11 D． 1,2 ， 11
【答案】D
2
【解析】先化为标准方程可得 x 1 y 2 2 11，故圆心为 1,2 ，半径为 11 .
故选：D.
9．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））一圆经过 A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四
个截距的和为 2，求此圆的方程．
【解析】设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0，所以 x1＋x2＝－D．
令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0，所以 y1＋y2＝－E．
由题意知－D－E＝2，即 D＋E＋2＝0．①
又因为圆过点 A、B，所以 16＋4＋4D＋2E＋F＝0．②
1＋9－D＋3E＋F＝0．③
解①②③组成的方程组得 D＝－2，E＝0，F＝－12．
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0．
10．（2021·四川成都·高二期中（理））在平面直角坐标系中，有 A 0,1 ，B 2,1 ，C 3,4 ，D 1,a 四
点，若它们在同一个圆周上，则a ________．
【答案】 2或 4【解析】设过 A、B、C 三点的圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 .
1+E F 0 D 2
将 A
、B、C 三点代入得： 4 1 2D E F 0
E 6 .
9 16 3D 4E F 0 F 5
所以圆的一般方程为 x2 y2 2x 6y 5 0 .
将点D 1,a 代入得： ( 1)2 a2 2 ( 1) 6 a 5 0 ，
解得 a 2或 a 4 .
故答案为： 2或 4
11．（2022·河南·南阳中学高二开学考试）已知Rt△ABC 的顶点 A(8,5)，直角顶点为B 3,8 ，顶点C 在 y 轴
上，求：
(1)顶点C 的坐标；
(2) Rt△ABC 外接圆的一般方程.
【解析】（1）设顶点C(0,m) ，显然直线 AB, BC 斜率均存在，
8 5 3
由题意得 kAB kBC 1，且 kAB ，3 8 5
k m 8 5所以 BC ，解得m 3，所以顶点C(0,3)；0 3 3
ABC x2 y2（2）设 外接圆的方程为 Dx Ey F 0，
89 8D 5E F 0 D 8
由题意知 73 3D 8E F 0，解得 E 8 ，
9 3E F 0 F 15
所以Rt△ABC 外接圆的一般方程为 x2 y2 8x 8y 15 0 .
12．（2022·全国·高二专题练习）已知 ABC 的三个顶点 A( 3，0)， B(3， 2)，C(0，1) .
（1）求 ABC 外接圆的方程；
（2）求 ABC 内切圆的方程.
【解析】（1）设△ABC 外接圆的方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
∵A（﹣3,0），B（3,﹣2），C（0,1）在圆上，
9 3D F 0 D 1
∴ 9 4 3D 2E F 0
，解得 E 5 ，
1 E F 0 F 6
∴△ABC 外接圆的方程为 x2+y2+x+5y﹣6＝0，
（2）设△ABC 内切圆圆心为 P，半径为 r，
则 CP，AP 分别为∠ACB，∠CAB 的角平分线，
由 A（﹣3,0），B（3,﹣2），C（0,1），
1 1
得直线 BC：y＝﹣x+1，直线 AC： y x 1，直线 AB： y x 1，
3 3
∵kAC＝﹣kAB，∴直线 AP 在 x 轴上，∴AP 方程为：y＝0，
设 P（t，0），∵直线 BC 方程为 y＝﹣x+1，∴BC 与 x 轴的交点为（1，0），∴﹣3＜t＜1，∵P 到直线
1 t 1 1
3 t 1
t 1
3 1 t
CA，CB 距离相等，∴ ，∴ 10 2 ，1 1 1 1
9 9
1 (2 5) 5 1
解得 t 2 5 ， r ，
2 2
∴内切圆方程为 (x 2 5)2 y2 3 5 ．
13．（2022·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点M (2, 1) ，且经过圆 x2 y2 4x 4y 4 0与圆
x2 y2 4 0的交点的圆的方程为（ ）
A． x2 y2 x y 6 0 B． x2 y2 x y 8 0
C． x2 y2 x y 2 0 D． x2 y2 x y 4 0
【答案】A
2 2 2
【解析】由圆系方程的性质可设所求圆的方程为 x y 4x 4y 4 x y2 4 0，
因为所求圆过点M (2, 1) ，
2
所以 2 1 2 4 2 4 1 4 2
2 1 2 4 0，解得： 5
所以所求圆的方程为： x2 y2 x y 6 0
故选：A
14．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为 A 2,0 , B 3,2 3 ,C 1,2 3 ,
D 4, a ，若它们都在同一个圆周上，则 a 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D． 3
【答案】C
【解析】设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，
2
2 0
2 2D F 0 D 4
32
2
由题意得 2 3 3D 2 3 E F 0 ，解得 E 4 ，
F 412 2 2 3 D 2 3 E F 0
所以 x2 y2 4x 4y 4 0，
又因为点D 4, a 在圆上，所以 42 a2 4 4 4a 4 0，即 a 2 .
故选：C.
考点 3：点与圆的位置关系
15．（2022·江苏·滨海县八滩中学高二期中）若点 1, 1 在圆 x2 y2 x y m 0外，则m 的取值范围是
___________.
【答案】0 m
1
2
2 4m 0
【解析】由已知条件可得 2 ，解得0 m
1
.
1 1
2 1 1 m 0 2
1
故答案为：0 m .
2
16．（2021·湖北宜昌·高二期中）若点 A 1,1 在圆 x2 y2 2x y a 0外，则实数 a的取值范围为（ ）
5 5
A． a 3 B． a 3 C． a 3 D． a 3
4 4
【答案】D
2
【解析】 x2 y2 2x y a 0，即 x 1 2 y
1 5
2
a
4
因为点 A 1,1 在圆 x2 y2 2x y a 0外，
2
1 1
2 1 1 5 a
2 4 5 ，解得 a 3
a 5
4
0
4
故选：D.
17．（2022·湖北·高二期中）若圆 x2 y2 mx 2my m2 3m 0过坐标原点，则实数 m 的值为（ ）
A．0 或 3 B．-1 或-2 C．3 D．0
【答案】C
【解析】将 0,0 代入圆方程，得m2 3m 0，解得m 3或 0，
当m 3时， x2 y2 3x 6y 0，满足题意；
当m 0时， x2 y2 0 ，不满足题意.
所以m 3 .
故选：C．
考点 4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系
18．（2022·全国·高二专题练习）若曲线C ： x2 y2 2ax 4ay 10a 0表示圆，则实数 a的取值范围为
（ ）
A． 2,0 B． , 2 0,
C． 2,0 D． , 2 0,
【答案】B
【解析】由 x2 y2 2ax 4ay 10a 0，
得 x a 2 y 2a 2 5a2 10a，
由该曲线表示圆，
可知5a2 10a 0 ，
解得 a 0或 a 2 ，
故选：B.
19．（2022·全国·高二专题练习）若方程 x2 y2 6x m 0表示一个圆，则 m 的取值范围是（ ）
A． ,9 B． , 9 C． 9, D． 9,
【答案】A
【解析】由 x2 y2 6x m 0 x 3 2，得 y2 9 m 0，则m 9 .
故选：A
20．（2022·全国·高二专题练习）若方程 x2 y2 2x 2y k 0表示一个圆，则实数 k 的取值范围为（ ）
A． k 2 B． k 2 C． k 2 D． k 2
【答案】C
2
【解析】由题意得： 2 22 4k 0，即 k 2 ，
故选：C.
21．（多选题）（2022·河北·石家庄二十三中高二期中）若方程 x2 y2 mx my 2 0表示一个圆，则m
的取值可能为（ ）
A．3 B． 2 C． 3 D．5
【答案】ACD
【解析】方程 x2 y2 mx my 2 0表示一个圆，需满足m2 m2 4 2 0，
m 2或m 2 ，根据选项可知答案为 A、C、D.
故选：ACD.
22．（2022·全国·高二专题练习）若方程 x2 y2 2kx 4 0 表示圆，则 k 的取值范围为______．
【答案】 ( , 2) (2, )
【解析】因为 x2 y2 2kx 4 0 表示圆，
所以 ( 2k)2 4 4 4(k 2 4) 0，
解得 k 2或 k 2，
所以 k 的取值范围为 ( , 2) (2, ) .
故答案为： ( , 2) (2, ) .
23．（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）过点P 1,1 可以向圆 x2 y2 2x 4y k 2 0引两条切线，则 k
的范围___________.
【答案】 2,7
【解析】由 x2 y2 2x 4y k 2 0表示圆可得： 4 16 4 k 2 0，解得： k < 7；
过 P 可作圆的两条切线， P在圆外， 12 12 2 4 k 2 0，解得： k 2；
综上所述： k 的范围为 2,7 .
故答案为： 2,7 .
24．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（理））若方程 x3 y2 3x my 4 0表示圆，则实数m 的取
值范围是_________．
【答案】 ( , 7) ( 7, )
【解析】若方程 x2 y2 3x my 4 0表示圆，由圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0，可知
2
R2 D E
2 4F
0，
4
可得32 m2 4 4 0，
所以m2 7 ，解得m 7 或m 7 ．
所以实数m 的取值范围是 , 7 7, ．
故答案为： , 7 7,
考点 5：定点问题
25．（2022·全国· 2高二专题练习）已知曲线C ： 1 a x 1 a y2 4x 8ay 0．
（1）当 a取何值时，方程表示圆？
（2）求证：不论 a为何值，曲线C 必过两定点．
（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时 a的值．
【解析】（1）当 a 1时，方程为 x 2y 0 表示一条直线．
当 a 1时， (1 a)x2 (1 a)y2 4x 8ay 0，
2 4a 4 16a2
整理得 (x )2 (y )2 a 1 a 1 (a 1)2 ，
4 16a2
由于 0(1 a)2 ，
所以 a 1时方程表示圆．
2 2 2（ ）证明：方程变形为 x y 4x a x2 y2 8y 0．
2 2
由于 a
x y 4x 0,
取任何值，上式都成立，则有 x2 2
．
y 8y 0,
16
x 0, x , 5
解得 y 或 0 y 8 ,
5
所以曲线C 必过定点 A 0,0 16 8 ，B , 5 5 ，
即无论 a为何值，曲线C 必过两定点.
（3）由（2）知曲线C 过定点 A， B ，在这些圆中，以 AB 为直径的圆的面积最小（其余不以 AB 为直径的
圆的直径大于 AB 的长，圆的面积也大），
2 2
AB x 8 y 4 16从而以 为直径的圆的方程为
，
5 5 5
2 8
1 a 5
4a 4 1
所以 ，解得 a 1 a 5 ． 4
4 16a2 16
(1 a)
2 5
26．（2022·辽宁大连·高二期中（理））对于任意实数 ，曲线 (1 )x2 (1 )y2 (6 4 )x 16 6 0恒
过定点
【解析】 (1 )x2 (1 )y2 (6 4 )x 16 6 0变形为 x2 y2 4x 6 x2 y2 6x 16 0 ，令
x2 y2 4x 6 0 x 1
x2 y2
得 ，所以定点为 1, 3
6x 16 y 3
故答案为： (1, 3)
27．（2022·福建省龙岩第一中学高二期中）如图，已知圆 O 的直径 AB=4，定直线 L 到圆心的距离为 4，
且直线 L⊥直线 AB．点 P 是圆 O 上异于 A、B 的任意一点，直线 PA、PB 分别交 L 与 M、N 点．
试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：
（1）若∠PAB=30°，求以 MN 为直径的圆方程；
（2）当点 P 变化时，求证：以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点．
【答案】（1） (x 4)2 y2 12；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
建立如图所示的直角坐标系，⊙O 的方程为 x2 y2 4，直线 L 的方程为 x 4．
（1）∵∠PAB=30°，∴点 P 的坐标为 (1, 3)，
l : y 3∴ AP (x 2)， lBP : y 3(x 2)．将 x=4 代入，3
得M (4, 2 3), N (4, 2 3)
．∴MN 的中点坐标为（4，0），MN= 4 3 ．∴以 MN 为直径的圆的方程为 (x 4)2 y2 12．同理，当点
P 在 x 轴下方时，所求圆的方程仍是 (x 4)2 y2 12．
2 2 2（ ）设点 P 的坐标为 (x0 , y0 )，∴ x0 y0 4（ y0 0
2 2
），∴ y0 4 x0 ．
∵ lPA : y
y
0 (x 2), l : y y 0 6y 2yPB (x 2)x 2 x 2 ，将 x=4
y 0 0代入，得 M yx 2 ， N
0 x0 2
．
0 0
∴M (4,
6y0 ), N (4, 2y0 ) 6y 2y 4 x 4
x 2 x 2 ，MN=
0 0 0 ．MN 的中点坐标为
0 0 x0 2 x0 2 y0
．
以 MN 为直径的圆O / 截 x 轴的线段长度为
4(x0 4)
2 16(x0 1)
2 4 2 4 3 4 x2 4 32 12 3x y 4 3 为定值．
y2 y2 0 0 00 0 y0 y0 y0
∴⊙O / 必过⊙O 内定点 (4 2 3,0)．
点评：用待定系数法求圆的方程要注意两点：第一，究竟用标准方程还是一般方程要根据题设条件选择，
选择得当，解法就简捷，选择不当，会增加解答的难度；第二，要注意适时运用几何知识列方程，这样可
能大大减少运算量．
考点 6：轨迹问题
28．（2022·全国·高二专题练习）已知圆C ： (x 2)2 y2 1，动直线 l过点P 1,2 .
(1)当直线 l与圆C 相切时，求直线 l的方程；
(2)若直线 l与圆C 相交于A 、 B 两点，求 AB 中点M 的轨迹方程.
【解析】（1）当直线 l斜率不存在时 x 1，显然直线 l与圆C 相切且切点为 A(1,0)；
1
所以，对于另一条切线，若切点为 B ，则 APB 2 APC ，又 tan APC ，
2
所以 tan
2 tan APC 4
APB 2 ，由图知：直线BP的倾斜角的补角与 APB互余，1 tan APC 3
3 3
所以直线BP的斜率为 ，故另一条切线方程为 y 2 (x 1) 3x 4y 11 0 B(
13 , 4 ，即 ，此时切点 )
4 4 5 5
综上，直线 l的方程为 x 1或3x 4y 11 0 .
（2）由（1）知：直线 l与圆C 相交于A 、 B 两点，则斜率必存在，
设M (x, y)，则 | CM |2 | PM |2 | PC |2 5，
2 2 3 5所以 (x 2) y (x 1)2 (y 2)2 5 2，整理得 (x ) (y 1)2 .
2 4
1 131 x 1 5由（ ）得： ，且5 y
4
.
2 5
M (x
3
)2 2 5 13 5 4综上，故 的轨迹方程为 (y 1) 且1 x ， .
2 4 5 1 y 2 5
29．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））如图所示，等腰梯形 ABCD 的底边 AB 在 x
轴上，顶点 A 与顶点 B 关于原点 O 对称，且底边 AB 和 CD 的长分别为 6 和2 6，高为 3．
(1)求等腰梯形 ABCD 的外接圆 E 的方程；
(2)若点 N 的坐标为(5,2)，点 M 在圆 E 上运动，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程．
【解析】（1）设E(0,b) ，
由已知可得： A( 3,0), B(3,0),C( 6,3), D( 6,3)，
由 | EB | | EC |得：
(3 0)2 (0 b)2 ( 6 0)2 (3 b)2 b 1，
∴圆E 的圆心为 E(0,1)，半径为 r 10 ，
∴圆E 的方程为： x2 (y 1)2 10．
2 P(x, y), M (x , y )（ ）设 0 0 ，
5 x0 x
MN
2 x0 2x 5
∵ P 为线段 的中点，∴ 2 y 0 y y
，
0 2y 2
2
代入点M 所在圆的方程得：
(2x 5)2 (2y 5 3 5 3)2 10 (x )2 (y )2
2 2 2 ，
5 3 5
∴点 P 2 2的轨迹方程为 (x ) (y ) 2 2 2 ．
30．（2022·全国·高二专题练习）已知圆C 过三个点M (1,0), N (3, 2), R(5,0) .
(1)求圆C 的方程；
(2)过原点O的动直线 l与圆C 相交于不同的 A, B两点，求线段 AB 的中点M 的轨迹.
2 2 2 2
【解析】（1）设圆C 的方程为 x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)，
因为圆C 过三个点M (1,0), N (3, 2), R(5,0)，
1 D F 0
可得 9 4 3D 2E F 0 ，解得D 6, E 0, F 5，
25 5D F 0
所以圆C 的方程为 x2 y2 6x 5 0，即 (x 3)2 y2 4 .
（2）因为M 为线段 AB 的中点，且CM OM ，所以M 在以OC 为直径的圆上，
以OC 3为直径的圆的方程为 (x )2 y2 9 ，
2 4
x 3 2 y2 4 x 5 x 5
3 3
联立方程组 3 2 9 ，解得 或2 ， x y 2 5
2
4 y y
2 5
3 3
3 9 5
所以点M 的轨迹方程为 (x )2 y2 , ( x 3) .
2 4 3
31．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆 C： (x 3)2 (y 4)2 4 ；
(1)过原点O 0，0 作圆 C 的切线，切点分别为 H、K，求直线 HK 的方程；
(2)过点 4，2 作直线与圆相交于 A，B 两点，若直线 AB 2 3 ，求直线 AB 的方程；
(3)设定点M 3，8 ，动点 N 在圆 C 上运动，以 CM，CN 为邻边作平行四边形 MCNP，求点 P 的轨迹方
程；
2 2
【解析】(1)由圆 C： (x 3) (y 4) 4 ，
2
得圆心C 3，4 ，则以 OC 3 2 25为直径的圆的方程为 x y 2 ，
2 4
x 3 2 y 4 2 4
联立 3 2 ，
x y 2
2 25
2 4
得3x 4y 21 0 ．
直线 HK 的方程为3x 4y 21 0 ；
(2)当 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x 4，
圆心C 3，4 到 l 的距离等于 1．
l 的斜率存在，设 l : y 2 k x 4 ，
d r 2 AB
2
圆心距为 1 ．
2
而C 3，4 到直线 l 的距离为
k 3 4 4 2
d 3 1，解得 k ．
1 k 2 4
综上，l 的方程为 x 4或3x 4y 20 0；
(3)设P x，y ，圆上的动点 N x0，y0 ，
x 3 y 4
则线段 CP 的中点坐标为 ，2 2 ，
x0 3 y0 8
线段 MN 的中点坐标为 ， ，
2 2
又 平行四边形的对角线互相平分，
x 3 x0 3 y 4 y 8 ， 0 ，
2 2 2 2
可得 x0 x 6， y0 y 4．
N x0，y0 ，即 N x 6，y 4 在圆上，
N 点坐标应满足圆的方程，
则点 P 的轨迹方程为： (x 3)2 (y 8)2 4，
当 C，M，N 三点共线时，不能构成平行四边形 MCNP，
2
此时 CM 的直线方程为 y x 6，
3
y 2 x 6
联立 3
(x 3)
2 (y 4)2 4
解得 x 3 6 13 ，
13
6 13
即点 N 的横坐标 x0 3 ，13
P x 6 3 6 13则点 的横坐标 ，
13
x 39 6 13即 ，
13
2 2 (x 3) (y 8) 4 x 39 6 13
所以点 P 的轨迹方程为 .
13
32．（2022· 2福建福州·高二期中）已知圆C : x 2 y2 5，直线 l : mx y 1 2m 0，m R．
(1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
(2)若直线 l与圆C 交于A ， B 两点，求弦 AB 的中点M 的轨迹方程．
【解析】(1)方法一：直线与圆相交．
直线 l : mx y 1 2m 0，即m x 2 y 1 0 ，故直线恒过定点T 2,1 ，
又 2 2 2 12 5，故点 2,1 在圆C 内，所以直线 l与圆C 相交．
方法二：直线与圆相交．
2
∵圆C : x 2 y2 5的圆心为C 2,0 ， r 5
∴圆C 到直线 l : mx y 1 2m 0的距离 d
2m 1 2m 1
5
m2 1 m2 1
所以，直线 l与圆C 相交．
(2)方法一：设弦 AB 的中点M x, y ，定点T 2,1 ，则TM CM
2
x 2, y 1 x 2, y 0化简可得： x 2 2 1 1 y ；
2 4
又直线 l : mx y 1 2m 0的斜率一定存在，所以点 2,0 不在该轨迹上，
1 2M x 2 2 1故 点的轨迹方程为： y , y 0 ．
2 4
方法二：设点M x, y
易知直线 l : mx y 1 2m 0的斜率一定存在，所以点 2,0 不在该轨迹上，
y 1
当直线 AB 斜率存在且不为 0 时， kAB ，x 2
又 k
y
MC ， kAB kMC 1
y 1 y
，即 1，
x 2 x 2 x 2
2
化简可得： x 2 2 y
1 1
， x 2 ；
2 4
当直线 AB 斜率为 0 时，显然中点M 的坐标为 2,1 也满足上述方程．
2
故M 点的轨迹方程为： x 2 2 y 1 1 , y 0 ．
2 4
方法三：直线 l : mx y 1 2m 0，也即 y 1 m x 2 ，故直线恒过定点T 2,1 ，
由题意知，M 点的轨迹是以TC 为直径的圆,
又直线 l : mx y 1 2m 0的斜率一定存在，所以点 2,0 不在该轨迹上，
2
2 1 1
故M 点的轨迹方程为： x 2 y , y 0 ．
2 4
33．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知圆O : x2 y2 4上的一定点 A 2,0 ，点B 1,1 为圆
内一点， P ，Q为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；
(2)若 PBQ 90 ，求线段 PQ中点的轨迹方程．
P x , y x 2 y 2【解析】（1）设 0 0 ，则 0 0 4，
设线段 AP 中点坐标为M x, y ，
2 x0
x 2 x0 2x 2
则 ，解得 ，
y y 0 y0 2y
2
x 2 y 2 2 2代入 0 0 4，得 2x 2 2y 4，
即 x 1 2 y2 1；
2 N x, y （ ）设线段 PQ中点坐标为 ，
因为 PBQ 90 ，
所以 PN BN ，
因为 ON PQ，
2 2 2 2 2
所以 OP PN ON BN ON ，
即 x 1 2 y 1 2 x2 y2 4，
1 2 1 2 x y 3化简得 .
2 2 2
34．（多选题）（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系 xOy 中， A(1,0), B( 2,0) ，点 P 满足
PA 1
PB 2 ，设点 P 的轨迹为C ，则（ ）
A．C 的周长为 4
B．OP（O, P 不重合时）平分 APB
C．△ABP面积的最大值为 6
D．当 AP AB 时，直线BP与轨迹C 相切
【答案】ABD
| PA | 1 2 2
【解析】设P(x, y) ，因为 A(1,0), B( 2,0)
(x 1) y 1
，且点 P 满足 | PB | 2 ，可得
，整理得
(x 2)2 y2 2
(x 2)2 y2 4，即曲线C 的方程为 (x 2)2 y2 4．
对于 A 中，曲线C 为半径为 2的圆，所以周长为 2 2 4 ，所以 A 正确；
OA 1 OA PA
对于 B 中，因为 A(1,0), B( 2,0) ，所以 OB 2 ，所以 OB PB ，
延长BP到Q，使 AP PQ ，连结 AQ ，如图所示，
OB PB PB
因为 AP PQ ，所以 OP / /AQOA PA PQ ，所以 ，
所以 OPB Q， OPA QAP，
因为 AP PQ ，所以 OPA Q ，所以 OPB OPA，
即OP平分 APB，所以 B 正确．
1
对于 C 中，由△ABP的面积为 S AB y
3
P y ，2 2 P
要使得△ABP的面积最大，只需 yP 最大，
由由点 P 的轨迹为C : (x 2)2 y2 4 ，可得 yP 2max ，
所以△ABP面积的最大值为3，所以 C 错误；
对于 D 中，当 AP AB 时，P(1, 3) 或 (1, 3)，
3 0
不妨取P(1, 3) BP : y (x 2) y 3，则直线 ，即 (x 2)，
1 ( 2) 3
3 (2 2)
3
因为圆心C(2,0) 到直线BP的距离为 d 2，
1 3 ( )2
3
所以 d r，即直线BP与圆相切，所以 D 正确．
故选：ABD．
35．（多选题）（2022·浙江·金华市外国语学校高二开学考试）已知圆C : (x 3)2 y2 9，直线
l : mx 4y m 4 0(m R) ，则下列结论正确的有（ ）
A．当m 3时，圆C 上恰有两个点到直线 l的距离等于 2
B．对于任意实数m ，直线 l恒过定点 (1,1)
C．若直线 l交圆C 于A ， B 两点，则弦长 AB 的最小值为 4
D．D是圆C 上的动点，点E(2, 4)，若动点M 满足 DM 2DE ，则点M 的轨迹方程为 (x 1)2 (y 8)2 9
【答案】BCD
【解析】选项 A 中，圆C : (x 3)2 y2 9的圆心坐标为 (3, 0)，半径 r 3，
当m 3时，直线 l : 3x 4y 7 0 C 2
2 13
，圆心 到直线 l的距离 d ， r d 3 2 ， C5 圆 上有 4 个5 5
点到直线 l的距离等于 2，故A 错误；
x 1 0 x 1
选项 B 中，化直线 l为m(x 1) 4y 4 0 ，联立 4y 4 0，解得 y 1，
直线 l过定点 (1,1) ，故B正确；
选项 C 中， 定点 N (1,1)与圆心C(3,0)的距离 | NC | 5 ，则 | AB |min 2 r2 | NC |2 4，故 C 正确；
x a 4 2a a 4 x
选项 D 中，设M (x, y)，D(a,b)
，由 DM 2DE 可得：
y b 8 2b
，所以
b 8 y
，
又因为点D在圆C : (x 3)2 y2 9上，所以可得： (4 x 3)2 (8 y)2 9，
所以 (x 1)2 (y 8)2 9，故D 正确.
故选：BCD .
36．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）在平面直角坐标系 xoy中，已知 ABC 的顶点B( 3,0) ，
C(3,0)，且 | AB | 2 | AC |，
(1)设 ABC 的外接圆为 M ，请写出 M 周长最小时的 M 标准方程．
(2)设顶点 A(x, y) ，求顶点 A 的轨迹方程及 ABC 面积的最大值．
【解析】(1)因为 B、C 是定点，所以 BC 为直径的 M 半径最小，即周长最小；
所以所求圆的标准方程为： x2 y2 9．
(2) | AB | 2 | AC | (x 3)2 (y 0)2 2 (x 3)2 (y 0)2 ，
x2 y2 10x 9 0 (x 5)2 y2 16， (y 0)，
所以顶点 A 的轨迹方程为 (x 5)2 y2 16， (y 0)；
1
所以当点 A 的坐标为 (5, 4)时， ABC 的面积取得最大值，最大面积为 6 4 12
2
37 2 2 2 2．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）若圆C1 : x y 1与圆C2 : x a y b 1的公共弦 AB
的长为 1，则下列结论正确的有（ ）
A． a2 b2 1
B．a2 b2 14
3
C． AB 2 2中点的轨迹方程为 x y
4
9
D． AB 2中点的轨迹方程为 x y2
16
【答案】C
【解析】两圆方程相减可得直线 AB 的方程为 a2 b2 2ax 2by 0，
即 2ax 2by a2 b2 0，
因为圆C1的圆心为C1 0,0 ，半径为 1，
且公共弦 AB 的长为 1，则C1 0,0 到直线
2ax 2by a2 b2 0 3的距离为 ，
2
a2 b2 3
所以 ，解得
2 2 ，
4 a2 a b 3 b2 2
故 A、B 错误；
由圆的性质可知直线C1C2 垂直平分线段 AB ，
所以C1 0,0 到直线 2ax 2by a2 b2 0的距离
即为 AB 中点与点C1的距离，设 AB 中点坐标为 x, y ，
因此 x 3 0 2 y 0 2 ，
2
x2即 y2
3
，故 C 正确，D 错误；
4
故选：C
38．（2022·四川成都·高二开学考试（理））若两定点 A(1,0)，B 4,0 ，动点 M 满足 2 MA MB ，则动点
M 的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A．2 B．5 C．3 D． 4
【答案】D
【解析】设M (x, y)，依题意， 2 (x 1)2 y2 (x 4)2 y2 ，化简整理得： x2 y2 4，
因此，动点 M 的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的圆，
所以动点 M 的轨迹围成区域的面积为 4 .
故选：D
39．（2022·全国·高二专题练习）自圆 C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4 外一点 P(x，y)引该圆的一条切线，切点为
Q，PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点 P 的轨迹方程为（ ）
A．8x－6y－21＝0
B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0
D．6x－8y－21＝0
【答案】D
【解析】由题意得，圆心 C 的坐标为(3，－4)，半径 r＝2，如图.因为|PQ|＝|PO|，且 PQ⊥CQ，所以|PO|2
＋r2＝|PC|2，所以 x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即 6x－8y－21＝0，所以点 P 的轨迹方程为 6x－8y－21＝
0.
故选：D
