直线与圆的位置关系（PDF版含答案）

直线与圆 的位置关系
【知识梳理】
1、直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线 l与圆 C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线 l与圆 C 有公共点．
有两组实数解时，直线 l与圆 C 相交；
有一组实数解时，直线 l与圆 C 相切；
无实数解时，直线 l与圆 C 相离．
（2）几何法：
由圆 C 的圆心到直线 l的距离 d 与圆的半径 r 的关系判断：
当 d r 时，直线 l与圆 C 相交；
当 d r 时，直线 l与圆 C 相切；
当 d r 时，直线 l与圆 C 相离．
3、圆的切线方程的求法
（1）点M 在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率 kl 与圆心和该点连线的斜率 kOM 的乘积等于 1，即 kOM kl 1．
法二：圆心O到直线 l的距离等于半径 r ．
（2）点 x0 , y0 在圆外，则设切线方程： y y0 k(x x0 )，变成一般式： kx y y0 kx0 0，因为与
圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 k ．
诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的
斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1 2）过圆 x y2 r 2 2上一点 P x0 , y0 的切线方程是 x0 x y0 y r ；
2 2
（2 2）过圆 x a y b r 上一点 P x0 , y0 的切线方程是
x0 a x a y0 b y b r 2 ．
4、求直线被圆截得的弦长的方法
2 2 l
2
（1 ）应用圆中直角三角形：半径 r ，圆心到直线的距离 d ，弦长 l具有的关系 r d ，这也是求
2
弦长最常用的方法．
（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦
长．
（3）利用弦长公式：设直线 l : y kx b ，与圆的两交点 x1, y1 , x2 , y2 ，将直线方程代入圆的方程，消
2
元后利用根与系数关系得弦长： l 1 k | x1 x2 |= 1 k 2 x1 x
2
2 4x1x 2 ．
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：直线与圆的位置关系
考点 2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用
考点 3：切线问题
考点 4：切点弦问题
考点 5：弦长问题
考点 6：面积问题
考点 7：直线与圆中的定点定值问题
【典型例题】
考点 1：直线与圆的位置关系
1．（2021·黑龙江· 2 2齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）直线 4x 3y 11 0与圆 x 1 y 1 4的位置关系
是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
2．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知点P(a,b) 在圆 x2 y2 1上，则直线 ax by 1 0与圆
的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
3．（2022· · C : (x 2)2河南 高二阶段练习）若圆 1 (y 4)
2 r 2 (r 0)上恰有 2 个点到直线 l : 4x 3y 5 0的
距离为 2，则实数 r 的取值范围为______．
4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）对于任意实数 k ，圆C : x2 y2 6x 8y 12 0与直线
l : kx y 4k 3 0 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．与 k 的取值有关
5．（2022·上海徐汇·高二期末）直线 x 3y 0绕原点按逆时针方向旋转30 后所得的直线 l 与圆
(x 2)2 y2 3的位置关系是（ ）
A．直线 l 过圆心 B．直线 l 与圆相交，但不过圆心
C．直线 l 与圆相切 D．直线 l 与圆无公共点
6．（2022·广东江门·高二期末）直线 l： x y 4 0 与圆C ： x2 y2 8的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
7．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆 x2 4x y2 2y 5关于直线 2ax y b 3 0（a，b 为大于 0 的数）
1 1
对称，则 的最小值为（ ）
a b
A 9． B 1．
2 2
C．1 D．2
8．（2022·河南·高二阶段练习）若直线 kx y 2 2k 0与曲线 4 (y 1)2 1 x 有两个不同的交点，则实
数 k 的取值范围是（ ）

, 1 2 6 4A．

3
5, B． ,4
3

C． 2, 1
2 6 4 4
3
, 2 D．3
,
3


9．（2022·江苏南京·高二开学考试）若直线 l : y x b与曲线 y 4 x2 有两个交点，则实数b 的取值范围是
（ ）
A．{b∣ 2 2 b 2 2} B．{b∣2 b 2 2}
C．{b∣2 b 2 2} D． b∣b 2
10．（2021·辽宁实验中学高二期中）已知圆C : x2 y2 4 上至少存在两点到直线 x y b 0 的距离为 1，则
实数b 的取值范围是___________．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆 x2 y2 4上有且仅有四个点到直线12x 5y c 0的距离为 1，则
实数 c 的取值范围是______．
12．（多选题）（2022·云南曲靖·高二期末）已知圆 (x 1)2 (y 1)2 4与直线 x my m 2 0 ，则（ ）
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交所截的最短弦长为 2 3 D．直线与圆可以相切
考点 2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用
13．（2021·浙江·吴兴高级中学高二阶段练习）已知圆 (x 1)2 y2 9 与直线 y tx 3交于A ， B 两点，点
P(a,b) 在直线 y 2x上，且PA PB ，则 a的取值范围为_____
14．（2021·浙江省象山县第二中学高二期中）已知圆G 过点M 1,3 ， N 6,4 且圆心G 在 x 轴．
（1）求圆G 的标准方程；
（2）圆G 与 x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条直线分别交圆于 B ，C 两点，且 kAB kAC 5，求证：
直线BC 恒过定点．
15．（2021·广东外语外贸大学实验中学高二期中）已知过点 A(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与圆
C : (x 2)2 (y 3)2 1交于 M，N 两点．
（1）求 k 的取值范围；

（2）若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求 | MN |．
16．（2021·广东·广州市第七十五中学高二期中）已知圆 C 经过两点 A（2，2），B（3，3），且圆心 C 在直
线 x－y+1=0 上．
（1）求圆 C 的标准方程；
64
（2）设直线 l：y=kx+1 与圆 C 相交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ，求|MN|的值．
5
17．（2022·江苏南京·高二开学考试）已知 C 的圆心在直线3x y 3 0上，点 C 在 y 轴右侧且到 y 轴的距
离为 1， C 被直线 l： x y 3 0截得的弦长为 2.
(1)求 C 的方程；

(2)设点 D 在 C 上运动，且点T 满足DT 2TO，（O 为原点）记点T 的轨迹为E .
①求曲线E 的方程；
②过点M 1，0 的直线与曲线 E 交于 A，B 两点，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分∠ANB？
若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.
18．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）已知圆 C 过点 A（1，2），B（2，1），且圆心 C
在直线 y x上.P 是圆 C 外的点，过点 P 的直线 l 交圆 C 于 M，N 两点.
(1)求圆 C 的方程；
(2)若点 P 的坐标为（0， 3），探究：无论 l 的位置如何变化，|PM| |PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：
若不是，请说明理由.
考点 3：切线问题
19．（2022·广东广州·高二期末）过点 (2, 2)作圆 (x 1)2 y2 5的切线，则切线方程为（ ）
A． x 2y 2 0 B．3x 2y 10 0
C． x 2y 6 0 D． x 2或 x 2y 6 0
20．（2022·云南玉溪·高二期末）已知直线 l经过点P(1,3) ，且 l与圆 x2 y2 10相切，则 l的方程为（ ）
A． x 3y 10 0 B． x 3y 8 0 C．3x y 6 0 D． 2x 3y 11 0
21．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（2，4），圆
O： x2 y2 4，则下列结论正确的是（ ）
A．过点 P 与圆 O 相切的直线方程为3x 4y 10 0
B．过点 P 的直线与圆 O 相切于 M，N，则直线 MN 的方程为 x 2y 4 0
C．过点 P 的直线与圆 O 相切于 M，N，则|PM|=3
D．过点 P 的直线 m 与圆 O 相交于 A，B 两点，若∠AOB=90°，则直线 m 的方程为 x y 2 0或7x y 10 0
22．（2022·四川省德阳中学校高二开学考试）若圆C : x 1 2 y 2 2 2关于直线 2ax by 6 0对称，由
点 P a,b 向圆 C 作切线，切点为 A，则 PA 的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
23．（2022·贵州师大附中高二开学考试（理））已知圆M : (x 1)2 (y 2)2 9，过点 P（5，5）作圆 M 的一
条切线，切点为 N，则切点 N 到直线 PM 的距离为（ ）
18 12 9 6
A． B． C． D．
5 5 5 5
24．（2022· 2 2河南三门峡·高二期末（文））已知圆C : x a y b r 2 有以下性质：过圆C 上一点M x0, y 0
的圆的切线方程是 x0 a x a y0 b y b r 2 ．那么过圆M : x2 y2 4x 0 上两点 A 4,0 、
B 3, 3 的切线的夹角为______．
25．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）过点P( 1,5) 的圆 (x 1)2 (y 2)2 4的切线方程为
___________.
26．（2022·四川省德阳中学校高二开学考试）已知圆C : (x 2)2 (y 1)2 4，则过原点且与C 相切的直线方
程为______.
27．（2022·上海市控江中学高二期末）已知圆 x2 y2 4x 4y 7 0与直线 x ay 2 0相切，则a
___________.
28．（2021·湖南·常德市第二中学高二期中）已知圆 C：x2＋y2＝20，则过点 P（4，2）的圆的切线方程是
________．
29．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）过点 1,2 且与圆 x2 y2 1相切的直线的方程是______．
30 2．（多选题）（2022·江苏南京·高二开学考试）已知圆M : x 2 y2 2，直线 l : x y 2 0 ，点 P 在直
线 l上运动，直线 PA, PB 分别于圆M 切于点 A, B .则下列说法正确的是（ ）
A．四边形PAMB的面积最小值为 2 3
B． PA 最短时，弦 AB 长为 6
C． PA 最短时，弦 AB 直线方程为 x y 1 0
3 1
D．直线 AB 过定点 ,2 2
31．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）圆C：x2 y2 4x 6y 3 0 ， 直线
l：3x 4y 7 0 ， 点 P 在圆C 上， 点Q在直线 l上， 则下列结论正确的是（ ）
A．直线 l与圆C 相交
B． PQ 的最小值是 1
C．若 P 到直线 l的距离为 2 ， 则点 P 有 2 个
D．从Q点向圆C 引切线， 则切线段的最小值是 4
考点 4：切点弦问题
32．（2021·浙江· 2兰溪市厚仁中学高二期中）已知点 P 3,1 和圆C ： x 1 y 2 2 1，点 P 作圆C 的.两条
切线，切点分别为 A 和 B.
(1)求以点 P 为圆心，以 PA 长为半径的圆的标准方程；
(2)求直线 AB 的方程.
33．（2021· 2 2吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）已知圆C ： x 1 y 2 4，则过点P 3,4 做
的圆C 的切线，切点分别为 A B，则直线 AB 方程为___________
34．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆C ： x2 y2 4x 2y 1 0，点 P 是直线 y 4 上的动点，过 P 作圆
的两条切线，切点分别为A ， B ，则 AB 的最小值为（ ）
A 2 5 B 4 5 C 2 5． ． ． D． 5
3 3 5
35．（2021·江西吉安·高二阶段练习（理））已知点 P 为直线 x 2y 2 0上的动点，过点 P 作圆
(x 1)2 (y 2)2 3的两条切线，切点分别为 A B，则直线 AB 必过定点（ ）
8 , 4 2 , 4 2 , 4 2 , 4 A． B． C． D．
5 5 5 5 5 5 5 5
36．（2021·安徽·合肥一中高二期中）已知圆O : x2 y2 4，过动点P a,a 4 分别做直线PM 、PN 与圆O
相切，切点为M 、 N ，设经过M 、 N 两点的直线为 l，则动直线 l恒过的定点坐标为__________．
37．（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线 l : x ay 1 0(a R) 是圆C : x2 y2 4x 2y 1 0的对称
轴．过点 A( 4,a)作圆C 的两条切线，切点分别为 B 、D，则直线BD的方程为（ ）
A．3x y 5 0 B．2x y 5 0 C．3x y 5 0 D．2x y 5 0
38．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）过点P 1,1 作圆 C： x2 y2 4x 4y 7 0的两条切线，切点分
别为 A，B，则直线 AB 的方程为（ ）
A． x y 3 0 B． x y 1 0 C． x y 1 0 D． x y 1 0
39．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））过原点O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0的两条切线，设切
点分别为 P 、Q ，则线段 PQ的长为（ ）
A．3 B． 4 C．5 D．6
考点 5：弦长问题
40．（2021·浙江·吴兴高级中学高二阶段练习）已知圆的方程为 x2 y2 6x 0 ，过点 (1, 2)的该圆的所有弦中，
最短弦的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
41．（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））直线 y 1 k x 3 被圆 x 2 2 y 2 2 4所截得的最短弦长等于
（ ）
A． 2 B． 2 3 C． 2 2 D． 5
42．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）设圆 x2 y2 2x 2y 2 0 的圆心为 C，直线 l 过点 0，3 ，
且与圆 C 交于 A，B 两点，若 | AB | 2 3 ，则直线 l 的方程为（ ）
A．3x 4y 12 0 B．3x 4y 12 0或 4x 2y 1 0
C．x=0 D．x=0 或3x 4y 12 0
43．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知圆C : x2 y2 2 y 4 0，直线
l：mx y 1 m＝0 m R ．
（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线 l与圆C 的位置关系；
（2）设直线 l与圆C 交于 A、 B 两点，若直线 l的倾斜角为 120°，求弦 AB 的长．
44．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）已知圆C 的圆心在 x 轴上，且经过点 A( 1,0), B(1, 2)．
（1）求线段 AB 的垂直平分线方程；
（2）求圆C 的标准方程；
（3）若过点P(0, 2)的直线 l与圆C 相交于M、N 两点，且 MN 2 3 ，求直线 l的方程．
45．（2021·湖北宜昌·高二期中）已知圆 M 过点 A( 1, 2), B(1, 4),C (3, 2)．
（1）求圆 M 的方程；
（2）若直线 l : 3x 4 y b 0与圆 M 相交所得的弦长为 2 3 ，求 b 的值．
2 2 9
46．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）直线 x y 1 0 被圆 x 1 y 1 所截得的
4
弦长为__________
47．（2021·福建·晋江市第一中学高二期中）已知M 3,0 是圆 x2 y2 8x 2y 8 0内一点，则过点M 最短
的弦长为（ ）
A． 2 7 B． 7 C．6 D．8
48．（2022·全国·高二期中）若直线 x y 2 0 与圆 x a 2 y2 4所截得的弦长为 2 2 ，则实数 a为
（ ）．
A． 1或 3 B．1 或 3 C．3 或 6 D．0 或 4
49．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知直线 x y m 0 与圆C : x2 y2 4y 0相交于A 、 B 两点，若

CA CB，则实数m 的值为（ ）
A． 4或 0 B． 4或 4 C． 0 或 4 D． 4或 2
50．（多选题）（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二开学考试）已知动直线 l : kx y k 1 0与圆
C : x2 y2 4y 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 l过定点 1，1
B．圆C 的圆心坐标为 0， 2
C．直线 l与圆C 的相交弦的最小值为 2 2
D．直线 l与圆C 的相交弦的最大值为 4
考点 6：面积问题
51．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知直线 l : x ay a 1 0与圆C : x 2 2 y2 4交于A B 两点，
点M 在圆C 上，则 MAB 面积的最大值为（ ）
A．3 3 B． 4 2 C 2 6． 2 2 2 D． 2 2
3
52．（2020·四川省成都高新实验中学高二期中）已知直线 l : x 2y 5 0与圆C : x 2 y 2 50相交于A ，
B 两点，求：
（1）交点A ， B 的坐标
（2） AOB 的面积．
53．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）直线 ax by c 0与圆O : x2 y2 16相交于两点 M ， N ，
2
若满足 c 4 a2 b2 ，则 S MON __________.
54．（2022·北京昌平·高二期末）已知圆O : x2 y2 4，直线 l 过点 (1,1) 且与圆 O 交于 A，B 两点，当 AOB
面积最大时，直线 l 的方程为_________．
55．（2021·福建龙岩·高二期中）设直线 ax y 2 0与圆C : x2 y 2 2 4相交于A 、 B 两点，且 ABC 的
面积为 2，则a （ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
56．（多选题）（2022·广东东莞· M : x 1 2高二期末）已知圆 y 1 2 4，直线 l : x y 2 0， P 为直线 l上
的动点，过点 P 作圆M 的切线PA、 PB，切点为A 、 B ，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形MAPB面积的最小值为 4
B．四边形MAPB面积的最大值为8
C．当 APB最大时， PA 2 2
D．当 APB最大时，直线 AB 的方程为 x y 0
57．（2022·河南· 2洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知圆 M： x2 y 2 1，Q 是 x 轴上的动点，QA、
QB 分别与圆m 相切于 A、B两点.
(1)若Q 1,0 ，求切线方程；
(2)求四边形QAMB 面积的最小值；
58．（2022· 2江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）已知圆C : x 2 y2 9．
(1)直线 l1过点D 1,1 ，且与圆 C 相切，求直线 l1的方程；
(2)设直线 l2 : x 3y 1 0与圆 C 相交于 M，N 两点，点 P 为圆 C 上的一动点，求 PMN 的面积 S 的最大
值．
59．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆C 的方程为 x2 y2 4x 6y m 0．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若圆C 与直线 l : x y 3 0交于 M，N 两点，且 MN 2 3 ，求m 的值．
60．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）已知圆C 经过坐标原点，且与直线 x y 2 0相切，切点为
P 2,4 .
(1)求圆C 的标准方程；
(2)过圆C 内点E 3,1 的最长弦和最短弦分别为 AF 和BD求四边形 ABFD的面积.
61．（2022·全国·高二期末）已知圆C 经过点 A 1,0 和B 5,0 ，且圆心在直线 x 2y 2 0上．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)直线 l过点D 1,1 ，且与圆C 相切，求直线 l的方程；
(3)设直线 l : x 3y 1 0与圆C 相交于M , N 两点，点 P 为圆C 上的一动点，求 PMN 的面积S 的最大
值．
考点 7：直线与圆中的定点定值问题
62．（2021·山东潍坊·高二期中）已知圆M 的圆心与点 N 1,4 关于直线 x y 1 0 对称，且圆M 与 y 轴
相切于原点O．
（1）求圆M 的方程；
1
（2）过原点O的两条直线与圆M 分别交于 A, B两点，直线OA,OB的斜率之积为 ，OD AB, D 为垂足，
2
是否存在定点 P ，使得 DP 为定值，若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．
63．（2021·全国·高二期中）已知圆C 经过点 0, 3 ， 0, 3 及 3,0 ．经过坐标原点O的斜率为 k 的直线 l
与圆C 交于M ， N 两点．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）若点P 3,0 ，分别记直线PM 直线PN 的斜率为 k1 k2 ，求 k1 k2 的值．
64．（2020·浙江温州·高二期中）已知圆C ： x2 8x y2 0，直线 l：mx y 2m 0．
（1）当直线 l与圆C 相交于A ， B 两点，且 AB 2 14 ，求直线 l的方程．
PM 1
（2）已知点 P 是圆C 上任意一点，在 x 轴上是否存在两个定点M ， N ，使得 PN 2 ？若存在，求出点
M ， N 的坐标；若不存在，说明理由．
65．（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）设圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，与 y 轴相交于
点 A 0, 6 ，且直线 y x 被圆 C 截得的弦长为 4 2 .
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)设直线 y x m与圆 C 交于 M，N 两点，那么以 MN 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线 MN
的方程；若不能，请说明理由.
2 2
66．（2021· 16 8湖北·黄石市有色第一中学高二阶段练习）已知圆C 与圆 x
2
y r (r 0)关于直线
5 5
2x y 4 0对称，且被直线 x y 1 0截得的弦长为 6 ．
(1)求圆C 的方程；
(2)若A ， B 为圆C 上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB， AB 的斜率分别为 k1， k2 ，当
k1 k2 3时，求 k 的取值范围．
67．（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）已知直线 l : (m 2)x (1 2m)y 6m 3 0与圆
C : x2 y2 4x 0 .
(1)求证：直线 l 过定点，并求出此定点坐标；
(2)设 O 为坐标原点，若直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点，且直线 OM，ON 的斜率分别为 k1， k2 ，则 k1 k2 是
否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
68 2 2．（2022·江苏·高二阶段练习）如图，圆C : x 1 a x y ay a 0 .
(1)若圆C 与 y 轴相切，求圆C 的方程；
(2)当 a 4时，圆C 与 x 轴相交于两点M , N （点M 在点 N 的左侧）.问：是否存在圆O : x2 y2 r 2 ，使得过
点M 的任一条直线与该圆的交点 A, B，都有 ANM BNM ？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理
由.
69．（2022·河南·修武一中高二开学考试（文））在直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 mx 1与 x 轴交于 A，B
两点，点 C 的坐标为 0,1 ．当 m 变化时，解答下列问题：
(1)以 AB 为直径的圆能否经过点 C？说明理由；
(2)过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．直线与圆 的位置关系
【知识梳理】
1、直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线 l与圆 C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线 l与圆 C 有公共点．
有两组实数解时，直线 l与圆 C 相交；
有一组实数解时，直线 l与圆 C 相切；
无实数解时，直线 l与圆 C 相离．
（2）几何法：
由圆 C 的圆心到直线 l的距离 d 与圆的半径 r 的关系判断：
当 d r 时，直线 l与圆 C 相交；
当 d r 时，直线 l与圆 C 相切；
当 d r 时，直线 l与圆 C 相离．
3、圆的切线方程的求法
（1）点M 在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率 kl 与圆心和该点连线的斜率 kOM 的乘积等于 1，即 kOM kl 1．
法二：圆心O到直线 l的距离等于半径 r ．
（2）点 x0 , y0 在圆外，则设切线方程： y y0 k(x x0 )，变成一般式： kx y y0 kx0 0，因
为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 k ．
诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切
线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1 2）过圆 x y2 r 2 上一点 P x0 , y 20 的切线方程是 x0 x y0 y r ；
2 2 2
（2）过圆 x a y b r 上一点 P x0 , y0 的切线方程是
x0 a x a y0 b y b r 2 ．
4、求直线被圆截得的弦长的方法
2 2 l
2
（1 ）应用圆中直角三角形：半径 r ，圆心到直线的距离 d ，弦长 l具有的关系 r d ，这也
2
是求弦长最常用的方法．
（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算
弦长．
（3）利用弦长公式：设直线 l : y kx b ，与圆的两交点 x1, y1 , x2 , y2 ，将直线方程代入圆的方程，
2 2
消元后利用根与系数关系得弦长： l 1 k | x1 x2 |= 1 k x1 x2
2 4x x 1 2 ．
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：直线与圆的位置关系
考点 2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用
考点 3：切线问题
考点 4：切点弦问题
考点 5：弦长问题
考点 6：面积问题
考点 7：直线与圆中的定点定值问题
【典型例题】
考点 1：直线与圆的位置关系
1 2 2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）直线 4x 3y 11 0与圆 x 1 y 1 4的位置
关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】B
【解析】圆心坐标为 1, 1 ，半径为 2，
3 4 11
圆心到直线的距离为 2 ，
5
所以直线 4x 3y 11 0 x 1 2 y 1 2与圆 4相切．
故选：B
2．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知点P(a,b) 在圆 x2 y2 1上，则直线 ax by 1 0
与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
| 1|
【解析】由题意得 a2 b2 1，又 d 1 r2 2 ，即直线与圆相切a b
故选：B
3．（2022· 2河南·高二阶段练习）若圆C1 : (x 2) (y 4)
2 r 2 (r 0)上恰有 2 个点到直线 l : 4x 3y 5 0的
距离为 2，则实数 r 的取值范围为______．
【答案】 (3,7)
【解析】如图所示．
设与直线 l平行且与直线 l之间的距离为 2 的直线方程为 4x 3y c 0，
| c 5 |
则 22 2 ，解得 c 5或 c 15，4 ( 3)
圆心C ( 2, 4)到直线 4x 3y 5 0的距离为 d
| 8 12 5 |
1 31 42
，
( 3)2
| 8 12 15 |
圆心C1( 2, 4)到直线 4x 3y 15 0的距离为 d2 742 ( 3)2
，
由图可知，圆C1与直线 4x 3y 5 0相交，与直线 4x 3y 15 0相离，
所以 d1 r d2 ，即3 r 7．
即实数 r 的取值范围为 (3,7) ，
故答案为： (3,7)
4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）对于任意实数 k ，圆C : x2 y2 6x 8y 12 0与直线
l : kx y 4k 3 0 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．与 k 的取值有关
【答案】A
x 4 0 x 4
【解析】∵直线 l的方程 kx y 4k

3 0，整理得 k x 4 y 3 0 ，令 y 3 0 ，解得 y 3，∴直线
l过定点P 4,3 ，
∵圆C x2 y2 6x 8y 12 0 x 3 2 y 4 2的方程为 ，整理得 13，
∴圆C 的圆心C（3，4），半径 r 13 ，
C 3 4 P 4,3 d 3 4 2 2∴圆心 （ ，）到定点 的距离为： 4 3 2 r ，
∴点 P 在圆C 的内部，直线与圆的位置关系是相交.
故选：A.
5．（2022·上海徐汇·高二期末）直线 x 3y 0绕原点按逆时针方向旋转30 后所得的直线 l 与圆
(x 2)2 y2 3的位置关系是（ ）
A．直线 l 过圆心 B．直线 l 与圆相交，但不过圆心
C．直线 l 与圆相切 D．直线 l 与圆无公共点
【答案】C
【解析】直线 x 3y 0 3过原点，斜率为 ，倾斜角为 30 ，依题意，直线 l 的倾斜角为60 ，斜率为 3 ，
3
而 l 过原点，
因此，直线 l 的方程为： 3x y 0，又圆 (x 2)2 y2 3的圆心为 (2,0)，半径为 3，
2 3
于是得点 (2,0) 3到直线 l 的距离为 2 2 ，所以直线 l 与圆相切.3 1
故选：C
6．（2022·广东江门·高二期末）直线 l： x y 4 0 与圆C ： x2 y2 8的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】圆C ： x2 y2 8的圆心为 0,0 ，半径 r 2 2 ，
4
圆心到直线 l： x y 4 0 的距离 d 2 2 r2 ，1 1 2
所以直线与圆相切；
故选：A
7．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆 x2 4x y2 2y 5关于直线 2ax y b 3 0（a，b 为大于 0 的数）
1 1
对称，则 的最小值为（ ）
a b
A 9． B 1． 2 C．1 D．22
【答案】A
【解析】因为圆 x2 4x y2 2y 5的圆心为 (2,1)，且圆 x2 4x y2 2y 5关于直线 2ax y b 3 0
（ a，b 为大于 0 的常数）对称，
所以直线 2ax y b 3 0过圆心 (2,1)，所以 4a b 2，又 a 0，b 0，
1 1 1 1
所以

(4a
1 1
b) 4 b 4a 1 1 (5 2 4) 9 1 2．（当且仅当 a ，b 时，取
a b a b 2 2 a b 2 2 3 3
“=”）．
故选:A．
8．（2022·河南·高二阶段练习）若直线 kx y 2 2k 0与曲线 4 (y 1)2 1 x 有两个不同的交点，则实
数 k 的取值范围是（ ）
2 6 4A ． , 1 3
5, B． ,4
3

2, 1 2 6
4 4
C．
, 2 , D．3 3 3
【答案】A
【解析】方程 kx y 2 2k 0是恒过定点P(2, 2)，斜率为 k 的直线，
曲线 4 (y 1)2 1 x ，即 (x 1)2 (y 1)2 4(x 1)，是圆心为C(1,1)，半径 r 2，在直线 x 1及右侧的
半圆，半圆弧端点 A(1, 1)，B(1,3) ，
在同一坐标系内作出直线 kx y 2 2k 0与半圆C : (x 1)2 (y 1)2 4(x 1)，如图，
当直线 kx y 2 2k 0与半圆C 相切时，
k 3
由 2 2 6得相切时 k 1，又 kPB 5
1 k 2
，
3
2 6
所以 k 1，或 k 5，
3
所以 k 1 2 6 或 k 5．
3
故选：A．
9．（2022·江苏南京·高二开学考试）若直线 l : y x b与曲线 y 4 x2 有两个交点，则实数b 的取值范围是
（ ）
A．{b∣ 2 2 b 2 2} B．{b∣2 b 2 2}
C．{b∣2 b 2 2} D． b∣b 2
【答案】C
【解析】化简方程 y 4 x2 可得 x2 y2 4(y 0) ，
方程 x2 y2 4(y 0) 对应的曲线为以 0,0 为圆心，以 2 为半径的圆在 x 轴上方的部分（含点
2,0 , 2,0 ）；
当直线 y x b
| b |
与半圆相切时， 2 ，b 0，
2
所以b 2 2 ，
当直线过点 2,0 时，b 2 ，
所以实数b 的取值范围为 2,2 2 ，
故选：C.
10．（2021·辽宁实验中学高二期中）已知圆C : x2 y2 4 上至少存在两点到直线 x y b 0 的距离为1，
则实数b 的取值范围是___________．
【答案】 ( 3 2,3 2)
【解析】根据题意得圆C 的圆心为 0,0 ，半径为 r 2，
因为圆C : x2 y2 4 上至少存在两点到直线 x y b 0 的距离为 1，
b b
所以圆心到直线的距离满足： r 1，即 3，解得 3 2 b 3 2
2 2
所以实数b 的取值范围是 ( 3 2,3 2)
故答案为： ( 3 2,3 2)
11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆 x2 y2 4上有且仅有四个点到直线12x 5y c 0的距离为 1，
则实数 c 的取值范围是______．
【答案】 13,13
【解析】由圆的方程知其圆心为 0,0 ，半径 r 2，
c
设圆心到直线12x 5y c 0的距离为d ，则 d ；
13
圆上有且仅有四个点到直线12x 5y c 0
c
的距离为1，则 d 1，
13
解得： 13 c 13，
所以实数 c 的取值范围是 13,13 ．
故答案为： 13,13 ．
12．（多选题）（2022·云南曲靖·高二期末）已知圆 (x 1)2 (y 1)2 4与直线 x my m 2 0 ，则（ ）
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交所截的最短弦长为 2 3 D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【解析】由题意，圆 (x 1)2 (y 1)2 4的圆心C 1,1 ，半径 r 2，
直线 x my m 2 0 变形得 x 2 m y 1 0 ，得直线过定点 A 2，1 ，
∵ CA 2 1 2 1 1 2 1 2 ，
∴直线与圆必相交，故 A 对，B、D 错；
由平面几何知识可知，当直线与过定点A 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，
此时弦长为 2 r 2 CA 2 2 3，故 C 对；
故选：AC．
考点 2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用
13．（2021·浙江·吴兴高级中学高二阶段练习）已知圆 (x 1)2 y2 9 与直线 y tx 3交于A ， B 两点，点
P(a,b) 在直线 y 2x上，且PA PB ，则 a的取值范围为_____
【答案】 1,0 0,2
【解析】因为PA PB ，
所以P(a,b) 是直线 y 2x与 AB 的垂直平分线的交点，
联立 y tx 3与 (x 1)2 y2 9 ，可得：
1 t 2 x2 6t 2 x 1 0，
由 6t 2 2 3 4 1 t 2 0得： t 0或 t ，4
设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
x x 6t 2 , x x 1则 1 2 1 t 2 1 2
，
1 t 2
2
所以 y1 y t x x 6
6t 2t 6 2t
2 1 2 6 ，1 t 2 1 t 2
3t 1, 3 t 所以 AB 中点坐标为 ，
1 t 2 1 t 2
AB 的垂直平分线方程为： y
3 t 1 x 3t 1 ，
1 t 2 t 1 t 2
y 2x a 1与 联立得： ，
2t 1
因为 t 0或 t
3
，
4
1
所以 a 1,0 0,2
2t 1
故答案为： 1,0 0,2
14．（2021·浙江省象山县第二中学高二期中）已知圆G 过点M 1,3 ， N 6,4 且圆心G 在 x 轴．
（1）求圆G 的标准方程；
（2）圆G 与 x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条直线分别交圆于 B ，C 两点，且 kAB kAC 5，
求证：直线BC 恒过定点．
2 2 2 2
【解析】（1）由题意设圆心为G(a,0)，则 (a 1) 3 (a 6) 4 ，解得 a 3，
r (3 1)2 32 5，
所以圆G 方程为 (x 3)2 y2 25；
（2）在圆方程中令 y 0 得 x 2 或 x 8，所以 A( 2,0)，BC 斜率存在时，
设BC 方程为 y kx m ，设B(x1, y1),C(x2 , y2 )，
y kx m
由 得 (1 k 22 2 )x
2 2(km 3)x m2 16 0，
x 3 y 25
4(km 3)2 4(1 k 2 )(m2 16) 0，即16k 2 m2 6lm 25 0（*），
x x 2(km 3)
2
1 2 x x
m 16
2 ， ，1 k 1 2 1 k 2
k k y y (kx m)(kx m)
2
1 2 1 2 k x1x2 km(x1 x2 ) m
2
AB AC 5x1 2 x2 2 (x1 2)(x2 2)
，
x1x2 2(x1 x2 ) 4
k 2 (m2 16) 2km(km 3) m2 5(m
2 16) 20(km 3)
20，
1 k 2 1 k 2 1 k 2 1 k 2
化简得3m2 7km 2k 2 0， (m 2k)(3m k) 0，
所以m 2k 或 k 3m，都满足（*）式．
m 2k 时，方程为 y kx 2k ，过定点 ( 2,0) ，舍去，
1
k 3m时，方程为 y 3mx m，过定点 ( ,0) ，
3
2
BC 斜率不存在时，B(x1, y ),C(x , y )

1 1 1 ， k
y
ABkAC 1 5，
x1 2
y2 5(x 2)2 (x 3)2 2 1 11 1 ，又 1 y1 25， x1 2，解得 x1 ，因此BC 也过点 ( ,0) ．3 3
综上，直线过定点 (
1
,0) ．
3
15．（2021·广东外语外贸大学实验中学高二期中）已知过点 A(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与圆
C : (x 2)2 (y 3)2 1交于 M，N 两点．
（1）求 k 的取值范围；

（2）若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求 | MN |．
2
【解析】（1）圆C : (x 2) (y 3)
2 1，圆心 (2,3) ，半径 r 1
设直线 l的方程为 y kx 2，即 kx y 2 0
2k 3 2 4
因为直线 l与圆C 交于两点，所以 12 ，解得0 k ．1 k 3
4
所以 k 的取值范围为 0,

3
．

2 M x1, y1 N x2 , y2 （ ）设 ， ．
y kx 2 2
联立 k 1 2 2 ，整理得 x
2 2k 4 x 4 0 ，
x 2 y 3 1
x x 2k 4 x x 4所以 1 2 k 2
， 1 2 2 ， 1 k 1

所以OM ON x 21x2 y1 y2 1 k x1x2 2k
4k 2 k
x1 x2 4

8．
1 k 2
4k 2 k 1
由题设得 8 12 ，解得k ，
1 k 2 2
1
所以直线 l的方程为 y x 2，所以圆心C(2,3)在直线 l上，
2
所以 MN 2．
16．（2021·广东·广州市第七十五中学高二期中）已知圆 C 经过两点 A（2，2），B（3，3），且圆心 C
在直线 x－y+1=0 上．
（1）求圆 C 的标准方程；
64
（2）设直线 l：y=kx+1 与圆 C 相交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ，求|MN|的值．
5
1 C (x a)
2 (y b)2 r2 r 0
【解析】（ ）设所求圆 的标准方程为 ，
(2 a)2 (2 b)2 r 2 a 2
2 2 2
由题意，有 (3 a) (3 b) r ，解得 b 3 ，

a b 1 0

r 1
所以圆 C 的标准方程为 (x 2)2 (y 3)2 1；
2 N (x（ ）设M (x1， y1)， 2， y2 )，
将 y kx 1代入 (x 2)2 (y 3)2 1，整理得 (1 k 2 )x2 4(1 k)x 7 0，
x x 4(1 k)所以 1 2 ， x x
7

1 k 2 1 2 1 k 2
， 0，

所以OM ON x1x2 y1 y2 (1 k
2 )x1x2 k(x x ) 1
4k(1 k) 64
1 2 8 ，解得 k 2或 k 3，1 k 2 5
检验 k 3时， 不合题意，所以 k 2，
所以 x
12
1 x2 ， x1x
7
2 5 ，5
| MN | 1 22 (12 7 2 5所以 )2 4 ．
5 5 5
17．（2022·江苏南京·高二开学考试）已知 C 的圆心在直线3x y 3 0上，点 C 在 y 轴右侧且到 y 轴的距
离为 1， C 被直线 l： x y 3 0截得的弦长为 2.
(1)求 C 的方程；

(2)设点 D 在 C 上运动，且点T 满足DT 2TO，（O 为原点）记点T 的轨迹为E .
①求曲线E 的方程；
②过点M 1，0 的直线与曲线 E 交于 A，B 两点，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分∠ANB？
若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.
1 C C 1,b 【解析】（ ）由题意可设圆 的圆心 的坐标为 ， 圆C 的圆心C 在直线3x y 3 0上，
3 b 3 0，解得：b 0，即圆心为 1，0 ，
圆心到直线 l的距离为 d 2 2 ，设圆C 的半径为 r， 弦长为 2 r 2 d 2 2 r 2 8 ，
由已知 2 r 2 8 2
2
所以 r2 9 ，所以圆C 的标准方程为 x 1 y2 9；

（2 T x，y ，D x ，y DT x x , y y ,TO ( x, y)）设 ，则 ，
x x 2x x 3x
由DT 2TO得： ，所以
y y 2y y 3y
D 在圆C 上运动， 3x 1 2 3y 2 9，
1
2

整理可得点 T 的轨迹方程E 为： 2 x 3
y 1

当直线 AB x轴时， x 轴平分 ANB ，
当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y k x 1 ，
x 1
2
2 y 1 2 2 2 2 2 8
联立 3 化简可得 1 k x 2k x k 0，
3 9
y k x 1
2 8 2 22 2 2 2 8 20
方程 1 k x 2k x k 0的判别式 2 2 2 2 ，
3 9
2k 4 k 1 k k 4 0 3

9 9
设 N t，0 ， A x1，y1 ，B x2，y2 ，
2
2k 2 k 2 8
x1 x 3 92 2 , x1x2 1 k 1 k 2
y y
若 x 轴平分 ANB ，则 kAN kBN 0
1 2
，所以 0x1 t x2 t
，
又 y1 k x1 1 ， y2 k x2 1 ，
所以 2x1x2 t 1 x1 x2 2t 0 ，
k 2 8 2 2k 2
所以 2 9 3 ，
1 k 2
t 1 2 2t 01 k
k 2 8所以 t 1 1 k 2 t 1 k 2 09 3
8 1
所以 t 1 t 0
9 3
t 11解得 ，
6
N 11,0 当 时，能使 x 轴平分 ANB .
6
18．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）已知圆 C 过点 A（1，2），B（2，1），且圆心 C
在直线 y x上.P 是圆 C 外的点，过点 P 的直线 l 交圆 C 于 M，N 两点.
(1)求圆 C 的方程；
(2)若点 P 的坐标为（0， 3），探究：无论 l 的位置如何变化，|PM| |PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：
若不是，请说明理由.
1 y x x a
2 y a 2 r 2
【解析】（ ）由于圆心在 ，故设圆的方程为 ，将 A（1，2），B（2，1）代入可
1 a 2 2 a 2 r 2
a 0
2 a
2 1 a 2 r 2
得 ，解得 r
2 5，
所以圆的方程为： x2 y2 5
（2）当直线 l x
PM PN = 3 5 3 5 =4
轴时， ，
当直线 l有斜率时，设其方程为： y kx 3，
x2 y2 5 2 2
联立直线与圆的方程 ，消元得 k 1 x 6kx 4 0，
y kx 3
设M x1, y1 , N x , y
4
2 2 ,则 x1x2 2 ，k 1 =20k
2 16 0 ，


由于点 P 在圆外，所以 PM PN =PM PN x x y 3 y 3 =x x k 2 21 2 1 2 1 2 x1x2 = 1 k x1x2 ，
2
因此 PM PN = 1 k x x = 1 k 2 41 2 1 k 2 =4，
综上，无论 l 的位置如何变化， PM PN =4，为定值.
考点 3：切线问题
19．（2022·广东广州·高二期末）过点 (2, 2)作圆 (x 1)2 y2 5的切线，则切线方程为（ ）
A． x 2y 2 0 B．3x 2y 10 0
C． x 2y 6 0 D． x 2或 x 2y 6 0
【答案】C
【解析】将点 (2, 2)代入 (x 1)2 y2 5中， (2 1)2 22 5成立，
即点 (2, 2)在圆上，
2 0
圆心 (1,0)和 (2, 2)连线的斜率为 2 ，
2 1
1
故过圆 (x 1)2 y2 5上点 (2, 2)的切线的斜率为 ，
2
1
则切线方程为 y 2 (x 2) ，即 x 2y 6 0，
2
故选：C
20．（2022·云南玉溪·高二期末）已知直线 l经过点P(1,3) ，且 l与圆 x2 y2 10相切，则 l的方程为（ ）
A． x 3y 10 0 B． x 3y 8 0 C．3x y 6 0 D． 2x 3y 11 0
【答案】A
1 1 1
P(1,3) 2 2 kl 3 0 【解析】直线 l经过点 ，且 l与圆 x y 10相切，则 k op 3 ,
1 0
y 3 1故直线 l的方程为 x 1 ，即 x 3y 10 0 .
3
故选：A.
21．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（2，4），圆
O： x2 y2 4，则下列结论正确的是（ ）
A．过点 P 与圆 O 相切的直线方程为3x 4y 10 0
B．过点 P 的直线与圆 O 相切于 M，N，则直线 MN 的方程为 x 2y 4 0
C．过点 P 的直线与圆 O 相切于 M，N，则|PM|=3
D．过点 P 的直线 m 与圆 O 相交于 A，B 两点，若∠AOB=90°，则直线 m 的方程为 x y 2 0或7x y 10 0
【答案】D
【解析】对于 A：当直线 l的斜率不存在时，则直线 l的方程为 x 2，圆心O到直线 l的距离 d 2 r，所以
x 2是过点 P 的圆的切线，
当直线 l的斜率存在时，设直线 l1的方程为 y 4 k(x 2) ，即 kx y 2k 4 0 ，
| 2k 4 |
3圆心O到直线 l的距离 d 22 ，解得 k ，此时直线 l的方程为3x 4y 10 0，k 1 4
过点 P 的圆的切线方程为 x 2或3x 4y 10 0，故 A 错误，
对于 B; M , N 在以 1，2 为圆心，以 OP 为直径的圆 (x 1)2 (y 2)2 5，
直线MN 为圆O : x2 y2 4与圆 (x 1)2 (y 2)2 5的公共弦，
两圆方程相减得： x 2y 2 0，即直线MN 的方程为 x 2y 2 0，故 B 错误，
对于 C; | OP | 22 42 2 5 ， | PM | | OP |2 22 4 ，故 C 错误，
对于 D：过点 P 的直线m 与圆O相交于A ， B 两点，若 AOB 90 ，则 | AB | 2 2 ，
圆心到直线的距离 d 2 ，
显然直线的斜率存在，设直线方程为 y 4 k(x 2) ，即 kx y 2k 4 0 ，
d | 2k 4 | 2
2 ，解得 k 1或 7，k 1
直线方程为 x y 2 0或7x y 10 0 ，故 D 正确，
故选：D
22．（2022· 2 2四川省德阳中学校高二开学考试）若圆C : x 1 y 2 2关于直线 2ax by 6 0对称，由
点 P a,b 向圆 C 作切线，切点为 A，则 PA 的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由题意知，直线 2ax by 6 0过圆心C 1,2 ，即 2a 2b 6 0，
化简得 a b 3 0, P a,b 在 x y 3 0上，
如图，为使 PA 最小，
只需圆心C 1,2 与直线 x y 3 0上的点的距离最小，
如图所示：
1 2 3
d 3 2
2
所以 PA
2
的最小值为 3 2 2 4，
故选：B
23．（2022·贵州师大附中高二开学考试（理））已知圆M : (x 1)2 (y 2)2 9，过点 P（5，5）作圆 M 的一
条切线，切点为 N，则切点 N 到直线 PM 的距离为（ ）
18 12 9 6
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】B
【解析】由题设，M (1, 2)且半径 r 3，故 | PM | (5 1)2 (5 2)2 5，
又 N 是切点，则 | PN | | PM |2 r 2 4，若切点 N 到直线 PM 的距离为d ，
所以 r | PN | d | PM |，故 d
12
.
5
故选：B
24 2．（2022·河南三门峡·高二期末（文））已知圆C : x a y b 2 r 2 有以下性质：过圆C 上一点M x0, y 0
的圆的切线方程是 x0 a x a y0 b y b r 2 ．那么过圆M : x2 y2 4x 0 上两点 A 4,0 、
B 3, 3 的切线的夹角为______．
2
【答案】 【解析】由题意可知，圆M 的标准方程为 x 2 y2 4，
3

所以，圆M 在点A 处的切线方程为 2 x 2 4，即 x 4，该直线的倾斜角为 ，
2
圆M 在点 B 处的切线方程为 x 2 3y 4，即 x 3y 6 0，
直线 x 3y 6 0 1 3 5 的斜率为 k ，倾斜角为 ，
3 3 6
5
因此，过圆M : x2 y2 4x 0 上两点 A 4,0 、B 3, 3 的切线的夹角为 .6 2 3

故答案为： .
3
25．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）过点P( 1,5) 的圆 (x 1)2 (y 2)2 4的切线方程为
___________.
【答案】 x 1或5x 12y 55 0 .
【解析】已知圆圆心坐标为 (1, 2)，半径为 2，易知直线 x 1是圆的切线，
当切线斜率存在时，设切线方程为 y 5 k(x 1)，即 kx y k 5 0，
k 2 k 5
2 k 5 5由 2 ，解得 ，切线方程为 y 5 (x 1) ，即5x 12y 55 0．k 1 12 12
故答案为 x 1或5x 12y 55 0．
26．（2022·四川省德阳中学校高二开学考试）已知圆C : (x 2)2 (y 1)2 4，则过原点且与C 相切的直线方
程为______.
【答案】 x 0或3x 4y 0
【解析】圆C : (x 2)2 (y 1)2 4的圆心坐标C 2,1 ，半径 r 2，
当切线 l的斜率不存在时， l : x 0，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；
当切线 l的斜率存在时，设斜率为 k ， l : y kx，
2k 1 3
由圆心到切线的距离等于半径得 2，解得 k 2 ，k 1 4
所以直线方程为3x 4y 0 .
故答案为：3x 4y 0或 x 0 .
27．（2022·上海市控江中学高二期末）已知圆 x2 y2 4x 4y 7 0与直线 x ay 2 0相切，则a
___________.
3
【答案】
3
【解析】 x2 y2 4x 4y 7 0 x 2 2 y 2 2 1，
圆的圆心为(2，－2)，半径 r＝1，
2 a 2 2 3
∵圆和直线相切，∴ 1 a .
1 a 2 3
3
故答案为： .
3
28．（2021·湖南·常德市第二中学高二期中）已知圆 C：x2＋y2＝20，则过点 P（4，2）的圆的切线方程
是________．
【答案】 2x y 10 0
2 1
【解析】由 42 22 20 知 P 在圆C 上，而C(0,0)， kPC ，4 2
所以所求切线斜率为 k 2 ，方程为 y 2 2(x 4)，即 2x y 10 0．
故答案为： 2x y 10 0．
29．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）过点 1,2 且与圆 x2 y2 1相切的直线的方程是
______．
【答案】 x 1或3x 4y 5 0
【解析】当直线 l 的斜率不存在时，因为过点 1,2 ，
所以直线 l : x 1，
此时圆心 (0,0)到直线 x 1的距离为 1=r，
此时直线 l : x 1与圆 x2 y2 1相切，满足题意；
当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，
所以 l : y 2 k(x 1)，即 kx y k 2 0，
因为直线 l 与圆相切，
k 2
所以圆心到直线的距离 d r 1
3
，解得 k ，
k 2 1 4
所以直线 l 的方程为3x 4y 5 0．
综上：直线的方程为 x 1或3x 4y 5 0
故答案为： x 1或3x 4y 5 0
30 2．（多选题）（2022·江苏南京·高二开学考试）已知圆M : x 2 y2 2，直线 l : x y 2 0 ，点 P 在直
线 l上运动，直线 PA, PB 分别于圆M 切于点 A, B .则下列说法正确的是（ ）
A．四边形PAMB的面积最小值为 2 3
B． PA 最短时，弦 AB 长为 6
C． PA 最短时，弦 AB 直线方程为 x y 1 0
3 1
D．直线 AB 过定点 ,2 2
【答案】ABD
【解析】由圆的方程知：圆心M 2,0 ，半径 r 2 ，
1
对于 AB，四边形PAMB的面积 S 2S PAM 2 PA r 2 PA ，2
则当 PA 最短时，四边形PAMB的面积最小，
2 0 2
点M 到直线 l的距离 d 2 2 ， PA d 2 r 2 6 ，
2 min
此时 Smin 2 3 ，A 正确；
1 1 1 AB 6 2
又 S PAM PA r PM AB
6
， 此时 ，B 正确；
2 2 2 1 2 2
2
对于 C，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，P x0, y 0 ，
则过A 作圆的切线，切线方程为： x1 2 x 2 y1y 2；过 B 作圆的切线，切线方程为：
x2 2 x 2 y2 y 2，
x1 2 x0 2 yP 1
y0 2
又 为两切线交点，
x2 2 x0 2 y2 y
，
0 2
则 A, B两点坐标满足方程： x0 2 x 2 y0 y 2，即 AB 方程为： x0 2 x 2 y0 y 2；
当 PA 最小时，PM l， 直线PM 方程为： y x 2 ，
y x 2 x 0
由 得： ，即P 0, 2
x y 2 0 y
，
2
AB方程为： 2 x 2 2y 2，即 x y 1 0，C 错误；
对于 D，由 C 知： AB 方程为： x0 2 x 2 y0 y 2；
又 x0 y0 2 0，即 y0 2 x0 ，
AB方程可整理为： x y 2 x0 2x 2y 2 0 ，
3
x y 2 0 x 2 3 1
由 2x 2y 2 0 得： 1 ， AB过定点
, ，D 正确.
y 2 2
2
故选：ABD.
31．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）圆C：x2 y2 4x 6y 3 0 ， 直线
l：3x 4y 7 0 ， 点 P 在圆C 上， 点Q在直线 l上， 则下列结论正确的是（ ）
A．直线 l与圆C 相交
B． PQ 的最小值是 1
C．若 P 到直线 l的距离为 2 ， 则点 P 有 2 个
D．从Q点向圆C 引切线， 则切线段的最小值是 4
【答案】BC
【解析】由C：x2 y2 4x 6y 3 0得其标准方程为 (x 2)2 ( y 3)2 16，
| 6 12 7 |
圆心为C( 2,3)到直线 l：3x 4y 7 0的距离为 d 5 4
32
，
( 4)2
故直线和圆相离，故 A 错误；
点 P 在圆C 上， 点Q在直线 l上，圆心为C( 2,3)到直线 l：3x 4y 7 0的距离为 5，故 PQ 的最小值是
5 4 1 ，B 正确；
由 B 的分析可知，圆上的点到直线 l的距离的最小值为 1，故若 P 到直线 l的距离为 2 ，
则点 P 有 2 个，C 正确；
从Q点向圆C 引切线，设切点为 M，CM QM ,
则切线段的长为 | QM | | CQ |2 16 ,
当CQ l时， | CQ |最小，最小值为 5，此时切线段的最小值是 52 16 3，
故 D 错误，
故选：BC
考点 4：切点弦问题
32．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）已知点 P 3,1 和圆C ： x 1 2 y 2 2 1，点 P 作圆C 的.两条
切线，切点分别为 A 和 B.
(1)求以点 P 为圆心，以 PA 长为半径的圆的标准方程；
(2)求直线 AB 的方程.
PC 3 1 2 1 2 2 5 PA PC 2 CA 2 2
【解析】(1) ， .
所求圆的标准方程为： x 3 2 y 1 2 4 .
(2)圆 C： x 3 2 y 1 2 4①，圆 P： x 1 2 y 2 2 1②
① - ②得直线 AB 的方程为： 2x y 1 0 .
33．（2021· 2 2吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）已知圆C ： x 1 y 2 4，则过点P 3,4 做
的圆C 的切线，切点分别为 A B，则直线 AB 方程为___________
【答案】 x y 5 0
【解析】 PA PC 2 r 2 3 1 2 4 2 2 4 2，
故以 P 为圆心， PA 2为半径的圆为 x 3 y 4 2 4，
两圆方程相减得到 x y 5 0即为直线 AB 方程.
故答案为： x y 5 0 .
34．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆C ： x2 y2 4x 2y 1 0，点 P 是直线 y 4 上的动点，过 P 作圆
的两条切线，切点分别为A ， B ，则 AB 的最小值为（ ）
A 2 5 B 4 5 C 2 5． ． ． D． 5
3 3 5
【答案】B
【解析】圆C ： x2 y2 4x 2y 1 0化为标准方程： x 2 2 y 1 2 4，其圆心C 2,1 ,半径 r 2 .
过点 P 引圆 C 的两条切线,切点分别为点 A、B,如图：
1 4 | AP |
在△PAC 中,有 S PAC | CA | | AP |
1 | AB | | AB |
| CP |，即 | AP | | CP |，变形可得： | AB | .
2 2 2 4 | CP |
2
设 | CP | x ，则 | AB | 4 x 4 4 4 1 .
x x2
所以当 | CP |
4
的值即 x 最小时， 2 的值最大，此时 | AB |最小.x
而 | CP |的最小值为点 C 到直线 y 4 的距离，即 | CP |min 3，
所以 | AB |min 4 1
4 4 5

32
.
3
故选：B
35．（2021·江西吉安·高二阶段练习（理））已知点 P 为直线 x 2y 2 0上的动点，过点 P 作圆
(x 1)2 (y 2)2 3的两条切线，切点分别为 A B，则直线 AB 必过定点（ ）
8 , 4 2 , 4 2 4A B C ,
2 4
． ． ． D． ,

5 5 5 5 5 5 5 5
【答案】A
【解析】设P 2t 2, t ，
圆 (x 1)2 (y 2)2 3的圆心为C 1,2 ，一般方程为 x2 y2 2x 4y 2 0①，
2t 3 t 2
线段PC 中点坐标为 ,2 2 ，
PC 2 2t 1 2 t 2 2 ，
2 2 2t 1 2 t 2 2 2t 3 t 2
所以以线段PC 为直径的圆的方程为 x 2
y ，
2 4
2 2
整理得 x y 2t 3 x t 2 y 4t 2 0 ②，
①-②并化简得 2t 1 x t 2 y 4t 0，
即 2x y 4 t x 2y 0，
8
2x y 4 0 x

5
x 2y 0
.
y 4
5
8 4
所以定点坐标为 ,5 5
.

故选：A
36．（2021·安徽·合肥一中高二期中）已知圆O : x2 y2 4，过动点P a,a 4 分别做直线PM 、PN 与
圆O相切，切点为M 、 N ，设经过M 、 N 两点的直线为 l，则动直线 l恒过的定点坐标为__________．
【答案】 1,1
y0
【解析】设点Q x0 , y0 为圆O上一点，当OQ 的斜率存在且不为零时，直线OQ 的斜率为 x ，0
x0
此时，圆O在点Q x0 , y0 处的切线方程为 y y0 x x0 y ，0
即 x0x y0 y x
2
0 y
2
0 4，
当OQ 与 x 轴重合时， y0 0， x20 4，此时切线方程为 x x0，满足 x0x y0 y 4，
2
当OQ 与 y 轴重合时， x0 0， y0 4，此时切线方程为 y y0 ，满足 x0x y0 y 4．
综上所述，圆O在其上一点Q x0 , y0 处的切线方程为 x0x y0 y 4．
设点M x1, y1 、 N x2 , y2 ，则直线PM 的方程为 x1x y1 y 4，
直线PN 的方程为 x2x y2 y 4，
ax1 a 4 y1 4
由题意可得 ax ， 2 a 4 y2 4
所以，点M 、 N 的坐标满足方程 ax a 4 y 4 0 ，
故直线MN 的方程为 ax a 4 y 4 0 ，即 a x y 4 y 4 0 ，
x y 0 x 1
由 l 1,1
4y 4 0
，解得
y 1
，因此，直线 恒过的定点坐标为 ．

故答案为： 1,1 ．
37．（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线 l : x ay 1 0(a R) 是圆C : x2 y2 4x 2y 1 0的对
称轴．过点 A( 4,a)作圆C 的两条切线，切点分别为 B 、D，则直线BD的方程为（ ）
A．3x y 5 0 B．2x y 5 0 C．3x y 5 0 D．2x y 5 0
【答案】A
2
【解析】根据题意，圆 C 的标准方程为 x 2 y 1 2 4，即圆心为 C（2，1），半径为 2．
点（2，1）在直线 x ay 1 0上，即 2 a 1 0 a 1
点 A 的坐标为（-4，-1）
AC 2 4 2 1 1 2 2 10
过点 A 作圆 C 的切线所得切线长为 AC 2 22 6
以点 A 为圆心，6 为半径的圆 A 的方程为 x 4 2 y 1 2 36
圆 A 与圆 C 的方程作差得3x y 5 0，即直线 BD 的方程为3x y 5 0
故选：A．
38．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）过点P 1,1 作圆 C： x2 y2 4x 4y 7 0的两条切线，切
点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为（ ）
A． x y 3 0 B． x y 1 0 C． x y 1 0 D． x y 1 0
【答案】A
【解析】 x2 y2 4x 4y 7 0，即 x 2 2 y 2 2 1，圆心为 2,2 ，半径 r 1．
当斜率不存在时，直线 x 1与圆相切，切点为 1,2 ；
当斜率为 0 时，直线 y 1与圆相切，切点为 2,1 ．
k 2 1故直线方程为斜率 1，直线方程为 y x 1 2，即 x y 3 0．
1 2
故选：A．
39．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））过原点O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0的两条切线，
设切点分别为 P 、Q ，则线段 PQ的长为（ ）
A．3 B． 4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意， x2 y2 6x 8y 20 0可化为 (x 3)2 (y 4)2 5，
∴圆心C(3, 4)，半径 r 5 ，则有OC 5，故切线段长 l OC 2 r 2 2 5 ，
x
若线段 PQ的长为 x ，则 OC l r ，得 x 4．
2
故选：B．
考点 5：弦长问题
40．（2021·浙江·吴兴高级中学高二阶段练习）已知圆的方程为 x2 y2 6x 0 ，过点 (1, 2)的该圆的所有弦中，
最短弦的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 x2 y2 6x 0 整理为 x 3 2 y2 9，故圆心为 A 3,0 ，半径为 r 3，
设B 1,2 ，故当 AB 与圆的弦垂直时，弦最短，
其中 AB 3 1 2 0 2 2 2 2 ，
2
由垂径定理得： 2 r 2 AB 2 9 8 2 .
故选：B
41．（2022· 2 2甘肃酒泉·高二期末（理））直线 y 1 k x 3 被圆 x 2 y 2 4所截得的最短弦长等于
（ ）
A． 2 B． 2 3 C． 2 2 D． 5
【答案】C
【解析】圆 (x 2)2 (y 2)2 4的圆心为C(2,2) ，半径 r 2，
又直线 y 1 k(x 3) ， 直线恒过定点P(3,1) ，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心C(2,2) 与定点P(3,1) 的连线垂直于弦，
此时弦心距为 (2 3)2 (2 1)2 2 ．
所截得的最短弦长： 2 22 ( 2)2 2 2 ．
故选：C．
42．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）设圆 x2 y2 2x 2y 2 0 的圆心为 C，直线 l 过点 0，3 ，
且与圆 C 交于 A，B 两点，若 | AB | 2 3 ，则直线 l 的方程为（ ）
A．3x 4y 12 0 B．3x 4y 12 0或 4x 2y 1 0
C．x=0 D．x=0 或3x 4y 12 0
【答案】D
【解析】由 x2 y2 2x 2y 2 0 可得 (x 1)2 (y 1)2 4，则圆心 C 的坐标为 (1,1) ，半径为 2，
当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 的方程为 x 0时，代入圆的方程得 y2 2y 2 0，解得 y1 1 3 ，
y2 1 3 ，此时 | AB | 1 3 (1 3) 2 3 ，符合题意；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y kx 3即 kx y 3 0，
因为 | AB | 2 3 ，所以圆心 C 到直线 l 的距离为 22 ( 3)2 1，
| k 1 3 | 3
则 12 ，解得 k ，1 k 4
故此时直线 l 3的方程为 y x 3，即3x 4y 12 04 ，
故选：D
43．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知圆C : x2 y2 2 y 4 0，直线
l：mx y 1 m＝0 m R ．
（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线 l与圆C 的位置关系；
（2）设直线 l与圆C 交于 A、 B 两点，若直线 l的倾斜角为 120°，求弦 AB 的长．
2 2
【解析】（1）由题设知圆C ： x y 1 5，
∴圆C 的圆心坐标为 C 0,1 ，半径为 r＝ 5 ．
又直线 l可变形为： y 1 m x 1 ，则直线恒过定点M 1,1 ，
∵12 1 1 2 1 5，
∴点M 在圆C 内，故直线 l必定与圆相交．
（2）由题意知m 0 ，
∴直线 l 的斜率 k m tan120 3 ，
| 3 | 3
∴圆心C 0,1 到直线 l： 3x y 3 1 0的距离d 2 ，( 3) 12 2
∴ | AB | 2 r 2 d 2 2 5 3 17 ．
4
44．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）已知圆C 的圆心在 x 轴上，且经过点 A( 1,0), B(1, 2)．
（1）求线段 AB 的垂直平分线方程；
（2）求圆C 的标准方程；
（3）若过点P(0, 2)的直线 l与圆C 相交于M、N 两点，且 MN 2 3 ，求直线 l的方程．
【解析】（1）设 AB 的中点为D，则D(0,1)．
由圆的性质，得CD AB ，所以 kCD kAB 1，得 kCD 1．
所以线段 AB 的垂直平分线的方程是 y x 1．
2
（2）设圆C 的标准方程为 (x a) y
2 r 2 ，其中C(a,0)，半径为 r(r 0)，
由（1）得直线CD 的方程为 y x 1，
由圆的性质，圆心C(a,0)在直线CD 上，化简得 a 1，
所以圆心C 1,0 ， r | CA | 2，
所以圆C 的标准方程为 (x 1)2 y2 4．
（3）由（1）设F 为MN 中点，则CF l ，得 | FM | | FN | 3 ，
圆心C 到直线 l的距离 d | CF | 4 ( 3)2 1，
当直线 l的斜率不存在时， l的方程 x 0，此时 | CF | 1，符合题意；
当直线 l的斜率存在时，设 l的方程 y kx 2，即 kx y 2 0，
d | k 1 2 |由题意得
3
2 ，解得 k ；k 1 4
3
故直线 l的方程为 y x 2，
4
即3x 4y 8 0；
综上直线 l的方程为 x 0或3x 4y 8 0．
45．（2021·湖北宜昌·高二期中）已知圆 M 过点 A( 1, 2), B(1, 4),C (3, 2)．
（1）求圆 M 的方程；
（2）若直线 l : 3x 4 y b 0与圆 M 相交所得的弦长为 2 3 ，求 b 的值．
2 2
【解析】（1）设圆 M 的方程为 x y Dx Ey F 0，
因为圆 M 过 A( 1, 2), B(1, 4),C (3, 2)三点，
1 4 D 2E F 0,

则 1 16 D 4E F 0,

9 4 3D 2E F 0,
解得D 2, E 4, F 1，
所以圆 M 的方程为 x2 y2 2x 4y 1 0，
即 (x 1)2 (y 2)2 4；
2
2 d 2 2 3 1
(1,2) 2

（2）由题意，得圆心 到直线 l 的距离 ，
| 3 1 4 2 b |
故 1，即 |11 b | 5
32
，
42
解得b 6或 16．
故所求 b 的值为 6 或 16．
2 9
46．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）直线 x y 1 0 被圆 x 1 y 1 2 所截
4
得的弦长为__________
【答案】 7
【解析】圆 x 1 2 y 1 2 9 的圆心为 1,1 3，半径为
4 2
1 1 1圆心 1,1 到直线 x y 1 0 2的距离为
12 12 2
2 2
则直线 x y 1 0 被圆 x 9 1 2 y 1 2 2 3 2 所截得的弦长为2 2 2
7

故答案为： 7
47．（2021·福建·晋江市第一中学高二期中）已知M 3,0 是圆 x2 y2 8x 2y 8 0内一点，则过点M
最短的弦长为（ ）
A． 2 7 B． 7 C．6 D．8
【答案】A
2 2
【解析】圆 x2 y2 8x 2y 8 0，即 x 4 y 1 9，则该圆的半径为3，圆心为 4,1 ，
M 到圆心的距离 1 1 2 ，
过点M 最短的弦长为 2 9 2 = 2 7 ．
故选：A
48．（2022·全国·高二期中）若直线 x y 2 0 与圆 x a 2 y2 4所截得的弦长为 2 2 ，则实数 a为
（ ）．
A． 1或 3 B．1 或 3 C．3 或 6 D．0 或 4
【答案】D
2
【解析】圆 x a y2 4的圆心坐标为 (a,0) ，半径为 2，
a 2
圆心 (a,0) 到直线 x y 2 0 的距离为 d ，
2
又直线 x y 2 0 x a 2被圆 y2 4所截的弦长为 2 2 ，
2 22 (a 2)
2
故 2 2 ，即 (a 2)2 4，解得 a 0或 a 4．
2
故选：D．
49．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知直线 x y m 0 与圆C : x2 y2 4y 0相交于 A 、 B 两点，

若CA CB，则实数m 的值为（ ）
A． 4或 0 B． 4或 4 C． 0 或 4 D． 4或 2
【答案】A
【解析】圆C 的标准方程为 x2 y 2 2 4 ，圆心为C 0, 2 ，半径为 r 2，

因为CA CB且 CA CB 2 ，故 ABC 为等腰直角三角形，且 AB 2 CA 2 2 ，
则圆心C
1
到直线 AB 的距离为 d AB 2 ，
2
m 2
由点到直线的距离公式可为 d 2 ，解得m 4或 0 ．
2
故选：A．
50．（多选题）（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二开学考试）已知动直线 l : kx y k 1 0与圆
C : x2 y2 4y 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 l过定点 1，1
B．圆C 的圆心坐标为 0， 2
C．直线 l与圆C 的相交弦的最小值为 2 2
D．直线 l与圆C 的相交弦的最大值为 4
【答案】ACD
【解析】对于 A，直线 l : kx y k 1 0，即 k x 1 y 1 0，
x 1 0 x 1
令 1 y 0，得
l
y 1，即直线 过定点
1，1 ，故 A 正确；

对于 B，圆C : x2 y2 4y 0 ，即 x2 y 2 2 4，圆心坐标为 0，2 ，故 B 错误；
2
对于 C，因为12 1 2 2＜4，所以直线 l所过定点 1，1 在圆的内部，不妨设直线 l过定点为 A 1，1 ，
当直线 l与圆C 的相交弦的最小时， AC 与相交弦垂直，
又因为 AC 1 0 2 2 1 2 2 2 2，所以相交弦的最小为 2 r 2 AC 2 22 2 2 2 ，故 C 正确；
对于 D，直线 l与圆C 的相交弦的最大值为圆C 直径 4，故 D 正确.
故选：ACD
考点 6：面积问题
51．（2022· 2江苏扬州·高二开学考试）已知直线 l : x ay a 1 0与圆C : x 2 y2 4交于A B 两点，
点M 在圆C 上，则 MAB 面积的最大值为（ ）
A．3 3 B 2 6． 4 2 C． 2 2 2 D． 2 2
3
【答案】A
【解析】直线 l : x ay a 1 0即 l : x 1 a(y 1) 0，
2
所以直线过定点 (1,1) ，因为 1 2 12 4，故该点在圆内，
又点M 在圆C 上， 故 MAB 为圆的内接三角形，
当圆的内接三角形面积最大时，其为正三角形，
C : x 2 2可知，圆 y2 4的内接正三角形边长为 2 2 cos30 2 3 ，
1
故 MAB 面积的最大值为 2 3 2 3 sin 60 3 3 ，
2
故选：A
52．（2020·四川省成都高新实验中学高二期中）已知直线 l : x 2y 5 0与圆C : x 2 y 2 50相交于
A ， B 两点，求：
（1）交点A ， B 的坐标
（2） AOB 的面积．
【解析】（1）直线 l : x 2y 5 0与圆C : x 2 y 2 50的交点，
x 2y 5 0 x 5 x 7
由 x2 y2 50 ，可得 y 5， y 1
所以交点A ， B 的坐标为 5, 5 ， 7,1
（2）设直线 l : x 2y 5 0与 x 轴的交点为E ，则E 5,0
1 1
所以 S AOB S AOE S EOB y2 A
‖OE yB | OE |2
1
yA yB | OE | 1 6 5 152 2
53．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）直线 ax by c 0与圆O : x2 y2 16相交于两点 M ， N ，
c2 2 2若满足 4 a b ，则 S MON __________.
【答案】 4 3
【解析】圆O : x2 y2 16圆心为O 0,0 ，半径 r 4，
c c
O ax by c 0 d 2所以圆心 到直线 的距离 a2 b2 1 2 ，c
4
所以 MN 2 r 2 d 2 2 42 22 4 3
S 1所以 MON 2 4 3 4 32 ．
故答案为： 4 3 ．
54．（2022·北京昌平·高二期末）已知圆O : x2 y2 4，直线 l 过点 (1,1) 且与圆 O 交于 A，B 两点，当 AOB
面积最大时，直线 l 的方程为_________．
【答案】 y x 2 0
【解析】当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 1，
则由1 y2 4，得 y 3 ，所以 A 1, 3 , B 1, 3
AB 1 2 3 , S△AOB 2 3 1 32
当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y 1 k x 1
k 1
原点O到直线 l 的距离为： d
1 k 2
AB 2 R2 d 2 2 4 d 2
2 2 2
S 1
d 4 d
2 2 2
AOB AB d d 4 d d 4 d 22 2
当且仅当 d 2 4 d 2 ，即 d 2 时取得等号.
k 1
由d 2 ，解得 k 1
1 k 2
由 2 3
故直线 l 的方程为： y 1 x 1 ，即 y x 2 0
故答案为： y x 2 0
55．（2021· 2福建龙岩·高二期中）设直线 ax y 2 0与圆C : x2 y 2 4相交于A 、 B 两点，且
ABC 的面积为 2，则a （ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
【答案】D
S 1 2【解析】由三角形的面积公式可得 △ABC 2 sin ACB 2，可得 sin ACB 1，2

0 ACB ，故 ACB ，则 ABC 为等腰直角三角形，
2
所以，圆心C 到直线 ax y 2 0的距离为 d 2sin

2 ，
4
4
由点到直线的距离公式可得 d 22 ，解得 a 7 ．a 1
故选：D．
56．（多选题）（2022· 2 2广东东莞·高二期末）已知圆M : x 1 y 1 4，直线 l : x y 2 0， P 为直线 l上
的动点，过点 P 作圆M 的切线PA、 PB，切点为A 、 B ，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形MAPB面积的最小值为 4
B．四边形MAPB面积的最大值为8
C．当 APB最大时， PA 2 2
D．当 APB最大时，直线 AB 的方程为 x y 0
【答案】AD
【解析】如下图所示：
由圆的几何性质可得MA PA，MB PB，
由切线长定理可得 PA PB ，又因为 MA MB ， MP MP ，所以，△PAM≌△PBM ，
所以， S MAPB 2S△PAM PA AM 2 PA四边形 ，
PA MP 2 MA 2 2因为 MP 4 ，当MP l 时， MP 取最小值，
1 1 2 2
且 MP 2 2min ，所以，四边形MAPB的面积的最小值为 2 2 2 4 4，A 对；2
因为 MP 无最大值，即 PA 无最大值，故四边形MAPB面积无最大值，B 错；
AM 2
因为 APM 为锐角， APB 2 APM ，且 sin APM MP MP ，
故当 MP 最小时， APM 最大，此时 APB最大，此时 PA 2，C 错；
由上可知，当 APB最大时， PA PB MA MB 2且 PAM 90 ，
故四边形MAPB为正方形，且有MP l ，则MP 的方程为 y x ，
y x x 1
联立 ，可得 ，即点P 1, 1
x y 2 0 y
，
1
由正方形的几何性质可知，直线 AB 过线段MP 的中点O 0,0 ，此时直线 AB 的方程为 y x，D 对.
故选：AD.
57．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知圆 M： x2 y 2 2 1，Q 是 x 轴上的动点，QA、
QB 分别与圆m 相切于 A、B两点.
(1)若Q 1,0 ，求切线方程；
(2)求四边形QAMB 面积的最小值；
【解析】（1 Q 1,0 ）由题意，过点 且与 x 轴垂直的直线显然与圆M 相切，此时，切线方程为 x 1，
2 k
当过点Q 1,0 的直线不与 x 轴垂直时，设其方程为 y （k x 1），即 kx y k 0 3，由 1解得 k ，
k 2 1 4
此时切线方程为3x 4y 3 0 .
（2）
连接QM ，因为圆的方程为 x2 y 2 2 1，所以M 0,2 ， r 1，设Q m,0 ，所以 QM m2 4 ，根据
1 2 2
勾股定理得 QA m2 3 ，所以 SQAMB 2S QAM 2 m 3 1 m 3，所以当m 0时，四边形QAMB2
的面积最小， Smin 3 .
58．（2022· 2江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）已知圆C : x 2 y2 9．
(1)直线 l1过点D 1,1 ，且与圆 C 相切，求直线 l1的方程；
(2)设直线 l2 : x 3y 1 0与圆 C 相交于 M，N 两点，点 P 为圆 C 上的一动点，求 PMN 的面积 S 的最大
值．
【解析】（1）由题意得 C（2，0），圆 C 的半径为 3．
当直线 l1的斜率存在时，设直线 l1的方程为 y－l＝k（x＋1），即 kx－y＋k＋1＝0，
2k 0 k 1
由直线 l1与圆 C 相切，得 3 k
4
，解得 ，所以直线 l1的方程为 4x－3y＋7＝0．
k 2 1 3
当直线 l1的斜率不存在时，直线 l1的方程为 x 1，显然与圆 C 相切．
综上，直线 l1的方程为 x＝－1 或 4x－3y＋7＝0．
2 0 1 1
2 l
d
（ ）由题意得圆心 C 到直线 2的距离 1 3 2 ，
2
设圆 C 的半径为 r，所以 r＝3，所以 MN 2 32 1 35 ，
2
7
点 P 到直线 l2距离的最大值为 r d ，2
则 PMN S 1 MN r d 1的面积的最大值 max 35
7 7 35
．
2 2 2 4
59．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆C 的方程为 x2 y2 4x 6y m 0．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若圆C 与直线 l : x y 3 0交于 M，N 两点，且 MN 2 3 ，求m 的值．
x2 y2 4x 6y m 0 (x 2)2 (y 3)2【解析】（1）方程 可化为 13 m ，
∵此方程表示圆，
∴13 m 0，即m 13，即m 13, .
（2）由（1）可得圆心C(2, 3)，半径 r m 13 ，
| 2 3 3 |
则圆心C(2, 3)到直线 l : x y 3 0的距离为 d 22 2 ，1 1
2
由弦长公式 MN 2 r 2 d 2 及 MN 2 3 ，得 2 3 2 r 2 2 ，解得 r 5 ，
∴ r m 13 5 ，得m 8．
60．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）已知圆C 经过坐标原点，且与直线 x y 2 0相切，切点为
P 2,4 .
(1)求圆C 的标准方程；
(2)过圆C 内点E 3,1 的最长弦和最短弦分别为 AF 和BD求四边形 ABFD的面积.
E 1,2
【解析】（1）设坐标原点为O，则 kOP 2，线段OP的中点为 ，
y 2 1 x 1 y 1 5线段OP的中垂线方程为 ，即 x ，
2 2 2
直线 x y 2 0的斜率为1，由圆的几何性质可知，直线CP与直线 x y 2 0垂直，
所以，直线CP的方程为 y 4 x 2 ，即 x y 6 0，
y 1 5 x x 7
联立 2 2 ，解得 ，即圆心C 7, 1 ，
x y 6 0 y 1
圆C 的半径为 OP 72 1 2 5 2 ，
C x 7 2 y 1 2故圆 的标准方程为 50 .
E 3,1
（2）过圆C 内点 AF 2r 10 2的最长弦为 ，
当过点E 的弦与直线CE垂直时，弦的长度取得最小值，即CE BD，此时BD AF ，
2
由勾股定理可得 BD 2 r 2 CE 2 50 42 22 2 30 ，
1 1
此时，四边形 ABFD的面积为 AF BD 10 2 2 30 20 15 .2 2
61．（2022·全国·高二期末）已知圆C 经过点 A 1,0 和B 5,0 ，且圆心在直线 x 2y 2 0上．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)直线 l过点D 1,1 ，且与圆C 相切，求直线 l的方程；
(3)设直线 l : x 3y 1 0与圆C 相交于 M , N 两点，点 P 为圆C 上的一动点，求 PMN 的面积S 的最大值．
(1) C x a
2 y b 2 r 2 r 0
【解析】 解法一：设圆 的标准方程为 ，
1 a 2 b2 r 2
2 2
由已知得 5 a b r 2 ，

a 2b 2 0
解得 a 2,b 0, r 3，
所以圆C 的标准方程为 x 2 2 y2 9；
解法二：由圆C 经过点 A 1,0 和B 5,0 ，可知圆心在线段 AB 的垂直平分线 x 2上，
将 x 2代入 x 2y 2 0，得 y 0 ，即C 2,0 ，
半径 r AC 1 2 2 0 0 2 3，
所以圆C 的标准方程为 x 2 2 y2 9；
(2)当直线 l的斜率存在时，设 l : y 1 k x 1 ，即 kx y k 1 0，
2k 0 k 1 4
由直线 l与圆C 相切，得 3，解得 k ，
k 2 1 3
此时 l : 4x 3y 7 0，
当直线 l的斜率不存在时，直线 l : x 1显然与圆C 相切．
所以直线 l的方程为 x 1或 4x 3y 7 0；
2 0 1 1
(3)圆心到直线 l 的距离 d ，
1 3 2
1 2
所以 MN 2 32 35 ，
2
7
则点 P 到直线 l 距离的最大值为 r d ，
2
PMN S 1 35 7 7 35所以 的面积的最大值 max 2 2 4
考点 7：直线与圆中的定点定值问题
62．（2021·山东潍坊·高二期中）已知圆M 的圆心与点 N 1,4 关于直线 x y 1 0 对称，且圆M 与
y 轴相切于原点O．
（1）求圆M 的方程；
1
（2）过原点O的两条直线与圆M 分别交于 A, B两点，直线OA,OB的斜率之积为 ，OD AB, D
2
为垂足，是否存在定点 P ，使得 DP 为定值，若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）（1）设 M（a，b）．
b 4
1 a 1
则
a 1 b 4
．
1 0
2 2
a 3
解得 ．
b 0
所以该圆的半径为 3，．
所以圆 M 的方程为 x 3 2 y2 9；
2 OA y kx k 0 （ ）设 所在直线方程为 ，
x 3 2 y2 9
联立
y kx
x 6 y 6k得 A 2 ，1 k A 1 k 2
1 2
同理把 k x 24k 12k换做－ ，可得
2k B
2 , y 1 4k B 1 4k
6k 3k 6
所以 AB 所在直线方程为 y 2 (x ）．1 k 1 2k 2 1 k 2
当 y 0 时，可得 x 4，
故直线 AB 过定点 C（4，0）．
由于 OC 为定值，且△ODC 为直角三角形，OC 为斜边，
OC
所以 OC 中点 P 满足 DP 2为定值，
2
由于 O（0，0），C（4，0），故由中点坐标公式可得 P（2，0），
故存在点 P（2，0），使得|DP|为定值．
63．（2021·全国·高二期中）已知圆C 经过点 0, 3 ， 0, 3 及 3,0 ．经过坐标原点O的斜率为 k 的
直线 l与圆C 交于M ， N 两点．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）若点P 3,0 ，分别记直线PM 直线PN 的斜率为 k1 k2 ，求 k1 k2 的值．
【解析】（1）设圆C 的方程为： x2 y2 Dx Ey F 0，由圆C 过 0, 3 ， 0, 3 及 3,0 ．
3 3E F 0
D 2
∴ 3 3E F 0

可得 E 0 ，
32 3D F 0 F 3
∴圆C 的方程为： x2 y2 2x 3 0，其标准方程为 x 1 2 y2 4；
（2）设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，直线 l为 y kx ，
C x 1 2与圆 ： y2 4 2 2联立得： k 1 x 2x 3 0，
∴ 4 4 3 k 2 1 12k 2 16 0 ，则 x1 x 22 2 ， x1x 32 2 ，k 1 k 1
y y kx kx k 2x x 3 x x k 6 6 k k 1 2 1 2 1 2 1 2 k 2 1 k 2∴ 1 2 1 x 3 x 3 x 3 x 3 ．1 2 1 2 x1 3 x 02 3 x1 3 x2 3
64．（2020·浙江温州·高二期中）已知圆C ： x2 8x y2 0，直线 l：mx y 2m 0．
（1）当直线 l与圆C 相交于A ， B 两点，且 AB 2 14 ，求直线 l的方程．
PM 1
（2）已知点 P 是圆C 上任意一点，在 x 轴上是否存在两个定点M ， N ，使得 PN 2 ？若存在，求出
点M ， N 的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由已知可得圆心C 4,0 ， r 4．
4m 2m 2m
圆心C 到直线 l的距离 d ．
m2 1 m2 1
2
因此 AB 2 r 2 d 2 2 16 4m
m2
2 14 ．
1
4m2
2，解得m 1，直线 l的方程为 y x 2 或y x 2．
m2 1
（2）设P x, y ，M x1,0 ， N x2 ,0
2 2 x x
2 y2 1 8x x2 2x x 1
由已知可得 x y 8x 1，且 ，化简得 1 1 ．
x x 2 y2 2 8x x
2
2 2x2x 42
2 4x x 12 x x2 4x2即 1 2 2 1 0恒成立
4x1 x2 12 0 x1 6 x1 2
所以 2
x2 4x
2
1 0
，解得 ，或
x2 12 x2 4
所以满足题意的定点M ， N 存在，其坐标为M 6,0 ， N 12,0 或M 2,0 ， N 4,0 ．
65．（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）设圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，与 y 轴相交于
点 A 0, 6 ，且直线 y x 被圆 C 截得的弦长为 4 2 .
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)设直线 y x m与圆 C 交于 M，N 两点，那么以 MN 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线 MN
的方程；若不能，请说明理由.
a
C a,0
【解析】(1)设圆心 ， a 0 r C a,0 ，半径为 ，则圆心 到直线 y x 的距离为 2 ，
2
a
所以8 2 r 且 a2 6 r 2
2
解得 a 2， r 2 10
所以圆 C 的方程为 x 2 2 y2 10
(2)设M x1, y1 ， N x2 , y2 是直线 y x m与圆 C 的交点，
将 y x m代入圆 C 的方程得： 2x2 4 2m x m2 6 0 .
4 m2 4m 16 0，所以 2 2 5 m 2 2 5 ，
2
且 x1 x2 m 2
m 6
， x1 x2 2
H m 2 , m 2 所以 MN 的中点为 2 2
1
假如以 MN 为直径的圆能过原点，则 OH MN .2
m 2
又圆心C 2,0 到直线 MN 的距离为 d ，
2
m 2 2
所以 MN 2 r2 d 2 2 10 .
2
所以m2 2m 6 0，
解得m 1 7
经检验m 1 7 时，直线 MN 与圆 C 相交，
所以 MN 的方程为 y x 1 7 或 y x 1 7
16 2 8 266．（2021· 湖北·黄石市有色第一中学高二阶段练习）已知圆C 与圆 x y r
2 (r 0)关于直线
5 5
2x y 4 0对称，且被直线 x y 1 0截得的弦长为 6 ．
(1)求圆C 的方程；
(2)若A ， B 为圆C 上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB， AB 的斜率分别为 k1， k2 ，当
k1 k2 3时，求 k 的取值范围．
2 2 2
【解析】（1）设圆C 的标准方程为 (x a) (y b) r ， (r 0)，
16
a
8
b
2 5 5 4 0
2 2
由题意得 8 ，
b
516 2 1 a
5
2a b 0 a 0
即 2b a ，解得
C
b 0 ，所以圆 的圆心为
(0,0)，

1 2
又圆心 (0,0)到 x y 1 0的距离 d

，所以圆C 的半径
2 r d
2 6 2
2 ，

所以圆C 的方程为 x2 y2 2．
2 A x1, y1 B x2 , y （ ）设点 ， 2 ，直线 AB 的方程为 y kx m ，
y y
k k 1 kx m kx 2 1 2 m由 1 2 3x ，1 x2 x1 x2
得 kx1 m kx2 m 3x1x2 ，
即 k 2 3 x1x2 mk x1 x2 m2 0①，
x2 y2 2
由 ，消去 y ，
y kx m
1 k 2整理得 x2 2mkx m2 2 0（*），
x x 2mk m
2 2
由韦达定理 1 2 ， x x ，1 k 2 1 2 1 k 2
将其代入①整理得m2 3 k 2 0，
解得 3 k 3②，
| m |
由直线 AB 与圆C 相交，故 22 ，得m
2 2 2k 2 ，
1 k
即3k 2
3 3
1，解得 k 或 k ③，
3 3
又要使 k1， k2 ， k 有意义，则 x1 0， x2 0，且 x1 x2 ，所以 0 不是方程（*）的根，
所以m2 2 0，即 k 1且 k 1④，
3 3
由②③④得， k 的取值范围为[ 3, 1) 1, ,1 (1, 3]．
3 3
67．（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）已知直线 l : (m 2)x (1 2m)y 6m 3 0与圆
C : x2 y2 4x 0 .
(1)求证：直线 l 过定点，并求出此定点坐标；
(2)设 O 为坐标原点，若直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点，且直线 OM，ON 的斜率分别为 k1， k2 ，则 k1 k2 是
否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【解析】（1）由直线 l : (m 2)x (1 2m)y 6m 3 0得m(x 2y 6) (2x y 3) 0，
x 2y 6 0 x 0
联立 2x y 3 ，解得 ， 0

y 3
直线 l 恒过定点 (0,3) .
2
（2）圆C : x y
2 4x 0 2,0 0,3 的圆心为 ，半径为 2，直线 l过点 ，
直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点，则直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 y kx 3，
y kx 3
联立 2 2 ，得 (1 k
2 )x2 (6k 4)x 9 0
x
，
y 4x 0
6k 4 9
设M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，则 x1 x2 2 ， x1x2 ，1 k 1 k 2
k k y1 y2 kx1 3 kx2 3 2k 3(x1 x2 ) 2k 3(4 6k) 41 2 .x1 x2 x1 x2 x1x2 9 3
k1 k
4
2是定值，定值为 .3
68．（2022·江苏· 2 2高二阶段练习）如图，圆C : x 1 a x y ay a 0 .
(1)若圆C 与 y 轴相切，求圆C 的方程；
(2)当 a 4时，圆C 与 x 轴相交于两点M , N （点M 在点 N 的左侧）.问：是否存在圆O : x2 y2 r 2 ，使得过
点M 的任一条直线与该圆的交点 A, B，都有 ANM BNM ？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理
由.
x 0

1 x
2 1 a x y2 ay a 0 2
【解析】（ ）因为由 ，可得 y ay a 0，
由题意得 ( a)2 4a 0，所以 a 4或 a 0，
故所求圆C 的方程为 x2 5x y2 4y 4 0 或 x2 x y2 0 .
2
（2） a 4 令 y 0 ，得 x 5x 4 0，即 (x 1)(x 4) 0，求得 x 1，或 x 4，
所以M (1, 0)， N (4, 0) .假设存在圆O : x2 y2 r 2 ，当直线 AB 与 x 轴不垂直时，
设直线 AB 的方程为 y k(x 1) ，代入 x2 y2 r 2 得 (1 k 2 )x2 2k 2 x k 2 r2 0 ，
设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，从而
x x 2k
2 2 2
1 2 ， x1x
k r

2 2 2 .因为 NA NB的斜率之和为1 k 1 k
y1 y2 k[(x1 1)(x2 4) (x2 1)(x 1 4)]
x1 4 x2 4 (x 4)(x 4)
，
1 2
2 2 2 2
而 (x1 1)(x2 4) (x2 1)(x1 4) 2x1x2 5(x x
k r 2k
2 1) 8 2 2 5 2 8
8 2r

1 k 1 k 1 k 2
因为 ANM BNM ，所以， NA NB的斜率互为相反数，即
y1 y 2 0
x1 4 x 4
，
2
8 2r2
所以 2
1 k 2
0，即 r 4 .
当直线 AB 与 x 轴垂直时，仍然满足 ANM BNM ，即 NA NB的斜率互为相反数.
综上，存在圆O : x2 y2 4，使得 ANM BNM .
69．（2022·河南·修武一中高二开学考试（文））在直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 mx 1与 x 轴交于 A，B
两点，点 C 的坐标为 0,1 ．当 m 变化时，解答下列问题：
(1)以 AB 为直径的圆能否经过点 C？说明理由；
(2)过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）以 AB 为直径的圆经过点 C，理由如下：设 A x1,0 ，B x2 ,0 ，则 x1x2 1，直线 AC 与 BC
1 1 1
的斜率之积为 10 x 0 x x x ，∴ AC BC ，∴以 AB 为直径的圆经过点 C；1 2 1 2
x x 2
（2）设 AB 的中点为 M，则M 1 2 ,0
M m ,0 m ，则 ， ，由（1）知过 A，B，C 三点
2 2
CM 1
4
m
2
m2
的圆的方程为 x
2
y 1，令 x 0，得 y 1，∴圆在 y 轴上截得的弦长为定值 2．
2 4