2022-2023学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷（word，解析版）

2022-2023学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图所示的几何体的三种视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠A、∠B．∠C对边分别为a、b、c，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）一元二次方程x2＝2x的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
4．（3分）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋内任取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，然后再从袋中剩下的小球中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比越接近0.618时，越给人一种美感．小颖妈妈身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm
6．（3分）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（　　）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
8．（3分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知线段a、b满足，那么的值为 　 　．
10．（3分）某公司在疫情缓和期间为了恢复工作，用30600元为公司员工采购了医用防护口罩和KN95型防护口罩共5000个，其中购买医用防护口罩花费14400元，已知KN95型防护口罩单价是医用防护口罩单价的4.5倍，设医用防护口罩单价为x元，则可列方程 　 　．
11．（3分）如图，将 ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为　 　．
12．（3分）如图，双曲线y＝（k＞0）与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线．已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为　 　．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，则tan∠ADP的值为 　 　．
14．（3分）已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 　 　．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是　 　（填序号）
16．（3分）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1Dn n的面积为Sn，则Sn＝　 　（用含n的式子表示）．
三、作图题（本大题满分4分）
17．（4分）已知：矩形ABCD内有一点P．
求作：等腰直角△PEF，使它的直角顶点为P，斜边EF落在边CD上．
四、解答题（本大题满分68分，共有7道小题）
18．（12分）（1）计算：sin230°+2sin60°﹣tan45°﹣tan60°+cos230°；
（2）若二次函数y＝x2+2x+k﹣2的图象与x轴有交点，求实数k的取值范围．
（3）如图所示的是某个几何体的三视图．根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．
19．（8分）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
20．（8分）如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE交边BC于点F．
（1）求证：△BFD≌△CFE；
（2）若∠A＝∠EFC，判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．
21．（8分）已知：如图，AB⊥x轴，△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，点B的坐标为（1，2）．反比例函数的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A，C两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）直接写出不等式组的解集．
22．（10分）某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第天的销售单价为t（元/千克），则t与P之间满足如下关系：
t 1 2 3 4 5 6 …
P（元/千克） 120 60 40 30 24 20 …
该水果每天的销售量S（千克）与t之间满足的函数关系如图所示：
（1）猜想与之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价P与t之间的函数关系式（不必写出自变量取值范围）；
（2）求每天的销售量S（千克）与t之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千克？
（3）当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值．该水果最只能上市销售几天？最低销售单价是多少元？（销售收入＝销售单价P×销售量S）
（4）当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？
23．（10分）知识迁移
我们知道，函数y＝a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y＝ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y＝+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反比例函数y＝的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．
理解应用
函数y＝+1的图象可由函数y＝的图象向右平移　 　个单位，再向上平移　 　个单位得到，其对称中心坐标为　 　．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y＝的图象画出函数y＝﹣2的图象，并根据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1＝；若在x＝t（t≥4）时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2＝，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC．直线PQ交AB于点P，交BC于点Q，交BD于点F，连接PM．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
2022-2023学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图所示的几何体的三种视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别找到找到从正面、上面、左面看所得到的图形即可．
【解答】解：该图形的主视图为长方形，并且里边有一个小圆形，左视图为矩形，里边有两条横向虚线，俯视图为矩形，里面有两条纵向虚线．
故选：C．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠A、∠B．∠C对边分别为a、b、c，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA＝＝，cosB＝，即可得出答案．
【解答】
解：∵sinA＝＝，
∴cosB＝＝，
故选：A．
3．（3分）一元二次方程x2＝2x的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
【分析】首先移项，将方程右边2x移到左边，再提取公因式x，可得x（x﹣2）＝0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．
【解答】解：原方程移项得：
x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，（提取公因式x），
∴x1＝0，x2＝2，
故选：D．
4．（3分）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋内任取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，然后再从袋中剩下的小球中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y＝﹣x+5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：列表得：
1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
∵共有16种等可能的结果，数字x、y满足y＝﹣x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），
∴数字x、y满足y＝﹣x+5的概率为：．
故选：B．
5．（3分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比越接近0.618时，越给人一种美感．小颖妈妈身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm
【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，
解得：y≈8cm．
故选：A．
6．（3分）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（　　）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【分析】由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．
【解答】解：
由题意知：光线AP与光线PC，∠APB＝∠CPD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴，∴CD＝＝8（米）．
故选：B．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把B点的横纵坐标分别乘以或﹣即可得到点B′的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（﹣9，﹣3）的对应点B′的坐标是（﹣3，﹣1）或（3，1）．
故选：D．
8．（3分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；
【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y1＞y3＞y2；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知线段a、b满足，那么的值为 　　．
【分析】由，可得5a＝3a+3b，即2a＝3b，进而求出＝．
【解答】解：∵，
∴5a＝3a+3b，
∴2a＝3b，
∴＝．
故答案为：．
10．（3分）某公司在疫情缓和期间为了恢复工作，用30600元为公司员工采购了医用防护口罩和KN95型防护口罩共5000个，其中购买医用防护口罩花费14400元，已知KN95型防护口罩单价是医用防护口罩单价的4.5倍，设医用防护口罩单价为x元，则可列方程 　+＝5000　．
【分析】直接根据题意分别表示出采购的医用防护口罩和KN95型防护口罩的数量＝100000，进而得出等式．
【解答】解：设医用防护口罩单价为x元，则可列方程：
+＝5000．
故答案为：+＝5000．
11．（3分）如图，将 ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为　　．
【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F＝EB，CF＝CE，设AE＝x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
【解答】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，
在 ABCD中，
∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB，
由于 ABCD沿EF对折，
∴∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB，
D′C＝AD＝BC，
∴∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB，
∴∠D′CF＝∠ECB，
在△D′CF与△ECB中，
∴△D′CF≌△ECB（ASA）
∴D′F＝EB，CF＝CE，
∵DF＝D′F，
∴DF＝EB，AE＝CF
设AE＝x，
则EB＝6﹣x，CF＝x，
∵BC＝4，∠CBG＝60°，
∴BG＝BC＝2，
由勾股定理可知：CG＝2，
∴EG＝EB+BG＝6﹣x+2＝8﹣x
在△CEG中，
由勾股定理可知：（8﹣x）2+（2）2＝x2，
解得：x＝AE＝
故答案为：
12．（3分）如图，双曲线y＝（k＞0）与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线．已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为　4　．
【分析】由于⊙O和y＝（k＞0）都关于y＝x对称，于是易求Q点坐标是（3，1），那么阴影面积等于两个面积相等矩形的面积减去2个边长是1的正方形的面积．
【解答】解：∵⊙O在第一象限关于y＝x对称，
y＝（k＞0）也关于y＝x对称，
P点坐标是（1，3），
∴Q点的坐标是（3，1），
∴S阴影＝1×3+1×3﹣2×1×1＝4．
故答案是4．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，则tan∠ADP的值为 　2　．
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°从而得出AP＝2，过点P作PM⊥AD于M，得到PM＝，AM＝1，从而得到，DM＝5，于是推出结论．
【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBE，
∵∠ABF＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
同理AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
∴AE⊥BF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，
∵AB＝4，
∴AP＝2，
如图，过点P作PM⊥AD于M，
∴PM＝，AM＝1，
∵AD＝6，
∴DM＝5，
∴PD＝＝＝2．
故答案为：2．
14．（3分）已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 　4﹣4　．
【分析】作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝75°，再根据旋转的性质得AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E＝45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH＝AC＝4，AH＝CH＝4，所以DH＝AD﹣AH＝8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E＝45°得到EH＝CH＝4，于是可得DE＝EH﹣DH＝4﹣4．
【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，
∵AB＝AC＝8，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣30°）＝75°，
∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，
∴AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠E，
∴∠E＝75°﹣30°＝45°，
在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，
∴CH＝AC＝4，AH＝CH＝4，
∴DH＝AD﹣AH＝8﹣4，
在Rt△CEH中，∵∠E＝45°，
∴EH＝CH＝4，
∴DE＝EH﹣DH＝4﹣（8﹣4）＝4﹣4．
故答案为4﹣4．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是　①④　（填序号）
【分析】由条件可得∠APE＝30°，则∠PEF＝∠BEF＝60°，可得EF＝2BE，PF＝PE，EF＝2BE＝4EQ，从而可判断出正确的结论．
【解答】解：由折叠可得PE＝BE，PF＝BF，∠PEF＝∠BEF，∠EFB＝∠EFP，
∵AE＝AB，
∴BE＝PE＝2AE，
∴∠APE＝30°，
∴∠PEF＝∠BEF＝60°，
∴∠EFB＝∠EFP＝30°，
∴EF＝2BE，PF＝PE，
∴①正确，②不正确；
又∵EF⊥BP，
∴EF＝2BE＝4EQ，
∴③不正确；
又∵PF＝BF，∠BFP＝2∠EFP＝60°，
∴△PBF为等边三角形，
∴④正确；
所以正确的为①④，
故答案为：①④．
16．（3分）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1Dn n的面积为Sn，则Sn＝　　（用含n的式子表示）．
【分析】由n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，可作出直线B1B2．易求得△AB1C1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值．
【解答】解：n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，作出直线B1B2．
∴S△AB1C1＝×2×＝，
∵∠B1C1B2＝60°，
∴AB1∥B2C1，
∴△B1C1B2是等边△，且边长＝2，
∴△B1B2D1∽△C1AD1，
∴B1D1：D1C1＝1：1，
∴S1＝，
同理：B2B3：AC2＝1：2，
∴B2D2：D2C2＝1：2，
∴S2＝，
同理：BnBn+1：A n＝1：n，
∴BnDn：Dn n＝1：n，
∴Sn＝．
故答案为：．
三、作图题（本大题满分4分）
17．（4分）已知：矩形ABCD内有一点P．
求作：等腰直角△PEF，使它的直角顶点为P，斜边EF落在边CD上．
【分析】作PQ⊥CD于Q，然后在直线CD上截取QE＝PQ，QF＝PQ，则△PEF满足条件．
【解答】解：如图，△PEF为所作．
四、解答题（本大题满分68分，共有7道小题）
18．（12分）（1）计算：sin230°+2sin60°﹣tan45°﹣tan60°+cos230°；
（2）若二次函数y＝x2+2x+k﹣2的图象与x轴有交点，求实数k的取值范围．
（3）如图所示的是某个几何体的三视图．根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．
【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值进行计算即可；
（2）根据二次函数图象与系数的关系进行解答即可；
（3）求出三个侧面积的和，再求出两个底面积的和，再根据表面积的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（）2+2×﹣1﹣+（）2
＝+﹣1﹣+
＝0；
（2）∵二次函数y＝x2+2x+k﹣2的图象与x轴有交点，
∴b2﹣4ac＝4﹣4k+8≥0，
即k≤3；
（3）三个侧面的面积为：3×15+4×15+5×15＝180，
两个底面面积为：×3×4×2＝12，
所以这个几何体的表面积为：180+12＝192．
19．（8分）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【分析】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，设EH＝4x，则FH＝3x，由勾股定理求出EF＝＝5x，那么5x＝15，求出x＝3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式≥1.25，解不等式即可．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H＝90°，
∴tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，
设EH＝4xm，则FH＝3xm，
∴EF＝＝5xm，
∵EF＝15m，
∴5x＝15m，x＝3，
∴FH＝3x＝9m．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，
H＝AB+EH＝22.5+12＝34.5，H1＝0.9，
∴日照间距系数＝L：（H﹣H1）＝＝，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
20．（8分）如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE交边BC于点F．
（1）求证：△BFD≌△CFE；
（2）若∠A＝∠EFC，判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，再由BE＝AB得出BE＝CD，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，根据全等三角形的判定和性质定理进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，再由AB＝BE，可得CD＝EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC＝DE即可得到四边形BECD是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
∴BF＝CF，EF＝DF，
在△BFD与△CFE中，
，
∴△BFD≌△CFE（SAS）；
（2）解：四边形BECD是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠A＝∠EFC，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
21．（8分）已知：如图，AB⊥x轴，△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，点B的坐标为（1，2）．反比例函数的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A，C两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）直接写出不等式组的解集．
【分析】（1）根据题意得出A（1，0），C（3，2），然后利用待定系数法求得即可；
（2）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形且点B的坐标为（1，2），
∴AB＝BC＝2，
∴点C的坐标为（3，2），点A的坐标为（1，0），
把点C的坐标代入，解得k＝6，
∴反比例函数关系式为y＝，
把点C（3，2），点A（1，0）代入一次函数y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数函数关系式为y＝x﹣1；
（2）观察函数图象知，不等式组的解集为：1＜x≤3．
22．（10分）某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第天的销售单价为t（元/千克），则t与P之间满足如下关系：
t 1 2 3 4 5 6 …
P（元/千克） 120 60 40 30 24 20 …
该水果每天的销售量S（千克）与t之间满足的函数关系如图所示：
（1）猜想与之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价P与t之间的函数关系式（不必写出自变量取值范围）；
（2）求每天的销售量S（千克）与t之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千克？
（3）当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值．该水果最只能上市销售几天？最低销售单价是多少元？（销售收入＝销售单价P×销售量S）
（4）当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？
【分析】（1）根据表中数据可得销售单价P与t之间满足反比例函数，并根据Pt＝120得出P与t之间的函数关系式；
（2）根据函数图象设出函数解析式，并用待定系数法求函数解析式，再由函数性质求最值；
（3）设销售收入为W元，根据销售收入＝销售量×销售价格列出函数解析式，再根据W＞600，求出t的取值范围，再根据函数的性质求出最低销售单价；
（4）先根据题意求出t的取值范围，再根据函数的性质求最小值即可．
【解答】解：（1）由表中数据可得，Pt＝120，
销售单价P与t之间满足反比例函数，即P＝，
∴销售单价P与t之间满足反比例函数，销售单价P与t之间的函数关系式为P＝；
（2）由图象可设销售量S（千克）与t之间的函数关系式为S＝at2+bt，
把（6，144），（30，0）代入解析式得，
解得，
∴S＝﹣t2+30t＝﹣（t﹣15）2+225，
∴﹣1＜0，
∴当t＝15时，S有最大值，最大值为225，
∴每天的销售量S（千克）与t之间的函数关系式为S＝﹣t2+30t，上市第15天销售量最大，最大销售量是225千克；
（3）设销售收入为W元，
则W＝PS＝（﹣t2+30t）＝﹣120t+3600．
∵当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值，
∴W＞600，
∴120t+3600＞600，
解得t＜25，
此时P＝＝5（元），
∴该水果最多只能上市销售24天，最低销售单价为5元；
（4）当S＝﹣t230t＝200时，
解得t＝10或t＝20，
∴当10≤t≤20时，S≥200，
∵P＝，120＞0，图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当t＝20时，P有最小值为6，
∴当每天的销售量S不低于200千克时，这种水果的最低销售价是6元．
23．（10分）知识迁移
我们知道，函数y＝a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y＝ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y＝+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反比例函数y＝的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．
理解应用
函数y＝+1的图象可由函数y＝的图象向右平移　1　个单位，再向上平移　1　个单位得到，其对称中心坐标为　（1，1）　．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y＝的图象画出函数y＝﹣2的图象，并根据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1＝；若在x＝t（t≥4）时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2＝，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
【分析】理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案：
灵活应用：根据平移规律作出图象；
实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），然后代入y2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．
【解答】解：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数y＝+1的图象可由函数y＝的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1）．
故答案是：1，1，（1，1）
灵活应用：将y＝的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数y＝﹣2的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示：
由y＝﹣1，得﹣2＝﹣1，
解得x＝﹣2
由图可知，当﹣2≤x＜2时，y≥﹣1
实际应用：
解：当x＝t时，y1＝，
则由y1＝＝，解得：t＝4，
即当t＝4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
∴点（4，1）在函数y2＝的图象上，
则1＝，解得：a＝﹣4，
∴y2＝，
当y2＝＝，解得：x＝12，
即当x＝12时，是他第二次复习的“最佳时机点”．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC．直线PQ交AB于点P，交BC于点Q，交BD于点F，连接PM．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP＝AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
（2）根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知△BPQ也为等腰三角形，即BP＝PQ＝t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE＝DF＝8﹣t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM＝2t，所以梯形的下底CM＝10﹣2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；
（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S四边形PQCM＝S△ABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可；（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP＝MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．
【解答】解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP：AB＝AM：AC，
∵AB＝AC，
∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，
解得：t＝，
∴当t＝时，四边形PQCM是平行四边形．
（2）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t，
∴＝，即＝，
解得：BF＝t，
∴FD＝BD﹣BF＝8﹣t，
又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，
∴y＝（PQ+MC） FD＝（t+10﹣2t）（8﹣t）＝t2﹣8t+40（0＜t＜5）．
（3）存在；
∵S△ABC＝AC BD＝×10×8＝40，
当y＝S△ABC＝×40＝时，
即t2﹣8t+40＝，
解得：t1＝，t2＝（舍去）．
∴t＝时，S四边形PQCM＝S△ABC．
（4）存在．假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC，
过M作MH⊥AB，交AB于H，如图所示：
∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴＝＝，
又∵AD＝＝＝6，
∴＝＝，
∴HM＝t，AH＝t，
∴HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t，
在Rt△HMP中，MP2＝（）2+（10﹣）2＝t2﹣44t+100，
又∵MC2＝（10﹣2t）2＝100﹣40t+4t2，
∵MP2＝MC2，
∴t2﹣44t+100＝100﹣40t+4t2，
解得 t1＝，t2＝0（舍去），
∴t＝时，点M在线段PC的垂直平分线上．