【班海精品】北师大版（新）七下-4.1认识三角形 第三课时【优质课件】

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4.1认识三角形
第3课时
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课堂小结
课前导入
情景导入
1.三角形的内角和是多少度？
2.三角形的三边关系的内容是什么？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
知识点
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，
叫做这个三角形的中线.
如图，AE 是△ABC 的BC 边上的中线.
探索新知
1.定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点
的线段，叫做这个三角形的中线．
2.表达方式：
(1)AD 是△ABC 中BC 边上的中线．
(2)点D 是BC 边的中点．
(3)BD＝DC 或BD＝ BC 或DC＝ BC
或BD＝DC＝ BC.
探索新知
例1
在△ABC 中，AB＝AC，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12 cm和15 cm的两部分，求三角形的各边长．
因为中线BD 将△ABC 的周长分成两部分：
(BC＋CD )和(AD＋AB )，谁为12 cm，谁为15 cm，
不确定，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，
因此可建立方程模型，利用设未知数来求解．
导引：
设AB＝x cm，则AD＝CD＝ x cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，
则x＋ x＝12，解得x＝8，
即AB＝AC＝8 cm，CD＝4 cm.
故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC ＞BC，
所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.
探索新知
解：
探索新知
(2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，
则x＋ x＝15，
解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，
则CD＝5 cm，
故BC＝12－5＝7(cm)．
显然此时三角形存在，
所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.
综上所述，此三角形的三边长分别为8 cm，8 cm，
11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
探索新知
(1)本例中由于条件不确定，因此我们针对条件的不确定性对图形可能出现的不同情况，运用分类讨论思想对题目进行分类讨论；解答中，针对题中涉及的线段这个“形”较多，为了使解答更简便，我们将它们建立方程这个“数”的模型；因此本例的解答过程体现了：分类讨论思想、数学建模思想、数形结合思想、方程思想等．
(2)易错警示：求三角形的边时，要注意隐含条件：三角形的三边关系．
总 结
探索新知
例2
张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．
根据等底等高的两个三角形的面
积相等，要等分三角形的面积，
只需要作出一条边上的中线即可．
导引：
探索新知
根据要求，平分田地的直线只能经过三
角形的顶点．画△ABC 的中线AD (如图)，
则AD 就把△ABC 的面积平分成两份．
这是因为AD 是△ABC 的中线，
所以BD＝DC.过点A 作AE⊥BC 于点E.在△ABD 和△ACD
中，因为BD，CD 边上的高都是AE，所以由三角形的面
积计算公式，知△ABD 和△ACD 的面积相等，因此，要
把△ABC 平分成两个三角形，只需画中线AD 即可，这是
一种平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC 边上的中
线也可以)
解：
探索新知
(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等
的两部分，即等底等高的两个三角形的面积相等；
(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量，
如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等．
总 结
典题精讲
1
若AD 是△ABC 的中线，则下列结论中错误的是(　　)
A．AB＝BC 　 B．BD＝DC
C．AD 平分BC 　 D．BC＝2DC
A
典题精讲
2
三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是(　　)
A．中线 B．角平分线
C．高 D．都不确定
A
典题精讲
3
如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD 的周长的差是(　　)
A．2　　　
B．3　　　
C．6　　　
D．不能确定
A
探索新知
知识点
2
知识点
三角形的重心
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片.
你知道怎样确定这个点的位置吗？
探索新知
知识点
议一议
(1)在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，
它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流.
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位
置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.
探索新知
知识点
铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的重心！
归 纳
探索新知
知识点
位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该
点在三角形的内部，如图，这个点叫三角形的重心．
典题精讲
1
三角形的重心是(　　)
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平分线的交点
A
典题精讲
2
有一质地均匀的三角形铁片，若阿龙想用木棒撑住此铁片，则支撑点应设在该三角形的________处最恰当．
重心
探索新知
知识点
三角形的角平分线
如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，
你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？
3
探索新知
叫做三角形的角平分线.
A
B
C
D
因为AD 是△ABC 的角平分线，
任意画一个三角形，然后利用
量角器画出这个三角形三个角
的角平分线，你发现了什么
●
●
在三角形中，
一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段，
︶
︶
1
2
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部.
所以∠BAD =∠CAD =
∠BAC.
探索新知
A
C
B
F
E
D
O
因为BE 是△ABC 的角平分线，
所以______=________= _______.
所以∠ACB=2_______
=2__________.
∠ABE
∠CBE
∠ABC
∠ACF
因为CF 是△ABC 的角平分线，
∠BCF
探索新知
1.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；
它们的联系是都是平分角。
2.三角形的角平分线判别的“两种方法”
(1)看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分.
(2)看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶
点，另一个端点要落在对边上.
总 结
探索新知
例3
关于三角形的角平分线，下列说法正确的是(　　)
A．是线段　　　　　
B．是射线
C．是直线
D．可以是射线或线段
三角形的角平分线是一条线段，故选A.
导引：
A
探索新知
三角形的角平分线与角的平分线是不同的两个概念：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线；一个三角形的角平分线有三条，一个角的平分线只有一条；在三角形中，三角形的角平分线是三角形的内角平分线上的一部分．本题易因混淆概念而错选D.
总 结
探索新知
例4
如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，AE 是△ABD 的角平分线，∠BAC＝80°，则∠EAD 的度数是(　　)
A．20°　 B．30° C．45° D．60°
因为AD 平分∠BAC，∠BAC＝80°，
所以∠BAD＝40°.
又因为AE 平分∠BAD，
所以∠EAD＝20°.
导引：
A
探索新知
三角形的角平分线将三角形的内角分成相等的
两部分，特别是两角之间的数量关系在求角的度数
时起着关键作用．
总 结
典题精讲
1
填空：
线段AD 是△ABC 的角平分线，那么∠BAD＝________＝ ________.
线段AE 是△ABC 的中线，那么BE＝______＝______BC.
∠DAC
∠BAC
EC
典题精讲
2
如图，在△ABC 中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD 是△ABC 的一条角平分
线，求∠ABD 的度数.
在△ABC 中，因为∠A＝50°，∠C＝72°，所以∠CBA＝180°－∠A－∠C＝58°.
因为BD 平分∠CBA，
所以∠ABD＝ ∠CBA＝29°.
解：
典题精讲
3　下列说法中正确的是(　　)
A．三角形的角平分线和中线都是线段
B．三角形的角平分线和中线都是射线
C．三角形的角平分线是射线，而中线是线段
D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线
A
典题精讲
4
如图， ∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是(　　)
A．BD 是△ABC 的角平分线
B．CE 是△BCD 的角平分线
C．∠3＝ ∠ACB
D．CE 是△ABC 的角平分线
D
学以致用
小试牛刀
如图，△ABC 的面积为3，BD：DC＝2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P，那么四边形PDCE 的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
B
1
小试牛刀
如图，在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线，若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．
64°
2
小试牛刀
3
如图，AD 是∠CAB 的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF 交
AD 于点O.
(1)请问：DO 是∠EDF 的平分线吗？
给出结论并说明理由．
(2)若将DO 是∠EDF 的平分线与AD 是∠CAB 的平分线，
DE∥AB，DF∥AC 中的任一条件交换，所得结论正确吗？
若正确，请选择一个说明理由．
小试牛刀
(1)DO 是∠EDF 的平分线．
理由：因为AD 是∠CAB 的平分线，
所以∠EAD＝∠FAD.
因为DE∥AB，DF∥AC，
所以∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD.
所以∠EDA＝∠FDA.
所以DO 是∠EDF 的平分线．
解：
小试牛刀
(2)正确．若和DE∥AB 交换．
理由：因为DF∥AC，所以∠FDA＝∠EAD.
因为AD 是∠CAB 的平分线，
所以∠EAD＝∠FAD.
所以∠FAD＝∠FDA.
又因为DO 是∠EDF 的平分线，
所以∠EDA＝∠FDA.所以∠EDA＝∠FAD.
所以DE∥AB.
(答案不唯一)
小试牛刀
4
如图，网格小正方形的边长都为1，在△ABC 中，试分别画出三条边上的中线，然后探究三条中线的位置及与其有关的线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？
小试牛刀
所画中线如图所示．
发现的结论为：
①三条中线交于一点；
②在同一条中线上，中线的交点与边中点所连线段的长度等于它与对应顶点所连线段的长度的一半．
解：
课堂小结
课堂小结
1.三角形的中线
(1)定义：三角形的中线是一条线段.
(2)三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心.
2.三角形的角平分线
(1)定义：三角形的角平分线是一条线段.
(2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心.
同学们，
下节课见！
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