【班海精品】北师大版（新）七下-4.1认识三角形 第一课时【优质课件】

(共66张PPT)
4.1认识三角形
第1课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的几何图形.
情景导入
你能画出一个三角形吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
三角形及有关概念
下面哪个是三角形？
什么是三角形？
结合你画的三角形，说明三角形是由什么组成的.
探索新知
A
B
C
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组
成的图形叫做三角形.
注意：1.不在同一条直线上.
2.三条线段.
3.首尾顺次相接.
1. 三角形的定义：
探索新知
注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.
即：可以记作△ABC，也可记作△ACB.
2. 三角形的表示：
三角形用符号“△”表示，如下图的三角形，
记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”.
A
B
C
探索新知
如图，△ABC 的三个顶点分别
是：A，B，C.
3.三角形的顶点
如图，△ABC 的三条边分别是：AB，BC，CA.
它的三个内角（简称三角形的角）分别是： A， B， C.
A
B
C
4.三角形的边、内角
探索新知
例1
下图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是(　　)
按三角形的定义进行判断．观察每一个选项中的图
形，A，B，D 中的三条线段都没有首尾顺次相接.
导引：
C
探索新知
(1)判断一个图形是否是三角形的条件：
①三条线段，②不在同一直线上，③首尾顺次相接．
三者必须同时满足，否则不是三角形．
(2)易错警示：图形是三角形与图形内含有三角形是两
个不同的概念．图形是三角形表示整个图形是一个
三角形，图形内含有三角形表示图形内局部有三角
形．如选项A，B，D 中的图形内都含有三角形，但
整个图形不是三角形．
总 结
典题精讲
1
下面是小强用三根火柴分别组成的图形，其中
符合三角形定义的是(　　)
C
典题精讲
2
如图，以CD 为公共边的三角形是_______________；
∠EFB 是________的内角；在△BCE 中，BE 所对
的角是________，∠CBE 所对的边是__________；
以∠A 为公共角的三角形_____________________
___________．
△ABD，△ACE 和
△CDF 与△BCD
△BEF
∠BCE
CE
△ABC
典题精讲
3
如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为________．
4n－3
探索新知
知识点
2
知识点
三角形的内角和
问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内
角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的
吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
探索新知
知识点
方法：度量、剪拼图、折叠
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
探索新知
知识点
A
A
B
B
C
A
B
B
C
C
探索新知
知识点
A
B
C
探索新知
知识点
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在
一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现
证明的思路吗？
◎探究
探索新知
追问1　在下图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，
三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直
线l，直线l 与边BC 有什么位置关系？
直线l 与边BC 平行．
B
B
C
C
A
l
探索新知
知识点
追问2　在操作过程中, 我们发现了与边BC 平行的
直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明
“三角形内角和等于180°”的思路吗？
通过添加与边BC
平行的辅助线l，利用
平行线的性质和平角
的定义即可证明结论．
B
B
C
C
A
l
探索新知
知识点
追问3　结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？
已知：△ABC . 求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
2
4
1
5
3
　 l
探索新知
知识点
如图，过点A 作直线 l ，使l ∥BC. ∵ l∥BC，
∴ ∠2= ∠4 (两直线平行，内错角相等).
同理 ∠3= ∠5.
∵ ∠1 ，∠4， ∠ 5组成平角，
∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义).
∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换).
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角
的和等于180°.
证明：
探索新知
知识点
三角形三个内角的和等于180°.
归 纳
探索新知
知识点
例2
如图，在△ABC 中，∠B＝46°，∠C＝54°， AD 平分∠BAC，交BC 于点D，DE∥AB，交AC 于点 E，则∠ADE 的大小是(　　)
A．45°　　　
B．54°　　　
C．40°　　　
D．50°
C
探索新知
知识点
根据三角形的内角和求出∠BAC 的度数，再根据角
平分线的定义求出∠BAD 的度数，然后根据两直线
平行，内错角相等可得∠ADE＝∠BAD.
因为∠B＝46°，∠C＝54°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.
因为AD 平分∠BAC，
所以∠BAD＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°.
因为DE∥AB，
所以∠ADE＝∠BAD＝40°.
导引：
探索新知
知识点
本题运用了综合法和转化思想，借平行线将要求
的∠ADE 转化成与△ABC 的内角有关的∠BAD，再结
合角平分线和三角形的内角和就可以解决问题．
总 结
典题精讲
1
如图，在△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C 等于(　　)
A．100°
B．80°
C．60°
D．40°
B
典题精讲
2
在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的度数之比为2：3：4，
则∠B 的度数为(　　)
A．120° B．80°
C．60° D．40°
C
典题精讲
3
如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC上，DE∥BC.
若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B 的大小为(　　)
A．54°
B．62°
C．64°
D．74°
C
探索新知
知识点
直角三角形两锐角互余
直角三角形：
(1)定义：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．
表示法：直角三角形用符号“Rt△”表示，直角
三角形ABC 可以写成Rt△ABC.
(2)性质：直角三角形的两个锐角互余．
如图，在Rt△ABC 中，∠A＋∠B＝90°.
(3)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
注意：这两个角要在同一个三角形中．
3
探索新知
例3
如图，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE
平分∠ACB，CD⊥AB 于点D，DF⊥CE 于点F.
(1)试说明∠BCD＝∠ECD；
(2)请找出图中所有与∠B 相等的角．
探索新知
(1)根据直角三角形的两个锐角互余求出∠BCD 的度
数，再利用三角形的内角和求出∠ACB 的度数，
然后根据角平分线的定义求出∠BCE 的度数，从
而可以求出∠ECD 的度数，进而得到结论；
(2)根据三角形的角度关系，找出度数是70°的角即可．
导引：
探索新知
(1)因为∠B＝70°，CD⊥AB 于点D，
所以∠BCD＝90°－70°＝20°.
在△ABC 中，因为∠A＝30°，∠B＝70°，
所以∠ACB＝180°－30°－70°＝80°.
因为CE 平分∠ACB，
所以∠BCE＝ ∠ACB＝40°.
所以∠ECD＝∠BCE－∠BCD＝40°－20°＝20°.
所以∠BCD＝∠ECD.
解：
探索新知
(2)因为CD⊥AB 于点D，DF⊥CE 于点F，
所以∠CED＝90°－∠ECD＝90°－20°＝70°，
∠CDF＝90°－∠ECD＝90°－20°＝70°，
所以与∠B 相等的角有∠CED 和∠CDF.
探索新知
直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两个锐角互余的本质是三角形的三个内角和等于180°，是三角形的三个内角和等于180°的一种简化应用，利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角．
总 结
典题精讲
1
如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D.
则图中与∠B 互余的角有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
典题精讲
2　如图，直线a∥b，直线 l 与a，b 分别相交于A，B两点，过点A 作直线 l 的垂线交直线b 于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为(　　)
A．58°
B．42°
C．32°
D．28°
C
典题精讲
3　如图，将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为(　　)
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
D
探索新知
4
知识点
三角形按角的大小分类
议一议
(1)下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？
小颖的呢 试着说明理由.
探索新知
(2)下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？
将所得结果与(1)的结果进行比较.
探索新知
我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：
归 纳
锐角三角形 三个内角都是锐角 直角三角形 有一个内角是直角 钝角三角形
有一个内角是钝角
探索新知
任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有
一个钝角或直角，因此三角形按角分类如下：
探索新知
例4
在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状，并说明理由．
引用辅助量x °，用x °表示出△ABC 的三个内角，
然后在△ABC 中，运用三角形的内角和构造方程，
解方程后，求出△ABC 中各内角的度数，从而判断
△ABC 的形状．
导引：
探索新知
△ABC 是直角三角形．理由如下：
因为∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，
所以可设∠A，∠B，∠C 的度数分别为x °，2x °，3x °.
在△ABC 中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以x °＋2x °＋3x °＝180°，解得x °＝30°.
所以∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
所以△ABC 是直角三角形．
解：
探索新知
判断一个三角形的形状的方法：
(1)看三角形中最大角的大小：最大角是锐角，三角形就是锐角三角形；最大角是直角，三角形就是直角三角形；最大角是钝角，三角形就是钝角三角形．
(2)通过角的比例关系判断：两较小角的比例和小于最大角的比例，则此三角形为钝角三角形；两较小角的比例和等于最大角的比例(两锐角互余)，则此三角形为直角三角形；两较小角的比例和大于最大角的比例，则此三角形为锐角三角形．
总 结
典题精讲
1
观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内.
解：锐角三角形：③⑤；
直角三角形：①④⑥；
钝角三角形：②⑦.
典题精讲
2
一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形
30°和 60°；(2) 40° 和 70°；
(3) 50°和 20°.
解：(1)直角三角形．
(2)锐角三角形．
(3)钝角三角形．　
典题精讲
3
一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这
个三角形一定是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
B
(1)∠C＝180°－∠A－∠B＝60°，因为40°<60°
<80°<90°，所以△ABC 是锐角三角形．
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝7x，
则2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.
所以∠C＝7×15°＝105°.
所以△ABC 是钝角三角形．
易错提醒
根据下列条件，判断△ABC 的形状．
(1)∠A＝40°，∠B＝80°；
(2)∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7.
易错点：判断三角形种类时，不按最大角进行判断
解：
学以致用
小试牛刀
1　如图所示的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
D
小试牛刀
2
如图，在△ABC 中，D，E 是BC，AC 上的点，连接BE，
AD，交于点F，问：
(1)图中有多少个三角形？并把它们表示出来．
(2)△BDF 的三个顶点是什么？三条边是什么？
(3)以AB 为边的三角形有哪些？
(4)以F 为顶点的三角形有哪些？
小试牛刀
(1)8个，△ABC，△ABF，△ABE，△ABD，△BDF，
△AEF，△ACD，△BCE.
(2)三个顶点：B，D，F. 三条边：BD，BF，DF.
(3)△ABC，△ABF，△ABD，△ABE.
(4)△ABF，△BDF，△AEF.
解：
小试牛刀
3
如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数，
并说明你的理由．
小试牛刀
猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
理由：因为∠A＋∠B＋∠AMB＝180°，∠AMB＋∠BMP＝180°，所以∠BMP＝∠A＋∠B.
同理得∠ENM＝∠E＋∠F，∠MPC＝∠C＋∠D.
又因为∠BMP＋∠ENM＋∠MPC＝(180°－∠NMP )＋(180°－∠MNP )＋(180°－∠MPN )＝540°－(∠NMP＋∠MNP＋∠MPN )＝360°，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
小试牛刀
4
如图，将△ABC 的一角折叠，使点C 落在△ABC 内一点C ′上．
(1)若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠C 的度数；
(2)试通过第(1)问，直接写出∠1，∠2，∠C 三者之间的数量关系．
小试牛刀
(1)由折叠可知∠C ′DE＝∠CDE，∠C′ED＝∠CED.
因为∠1＋∠C ′DE＋∠CDE＝180°，
所以40°＋2∠CDE＝180°.所以∠CDE＝70°.
因为∠2＋∠C ′ED＋∠CED＝180°，
所以30°＋2∠CED＝180°.所以∠CED＝75°.
所以∠C＝180°－∠CDE－∠CED＝180°－70°－75°＝35°.
(2)∠C＝ (∠1＋∠2)．
解：
小试牛刀
5
(1)如图①，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D.
图中有与∠A 相等的角吗？为什么？
(2)如图②，把图①中的CD 平移到ED 处，图中还有与∠A
相等的角吗？为什么？
(3)如图③，把图①中的CD 平移到ED 处，交BC 的延长线
于点E，图中还有与∠A 相等的角吗？为什么？
小试牛刀
(1)有．
理由：因为CD⊥AB，所以∠B＋∠BCD＝90°.
因为∠ACB＝90°，所以∠B＋∠A＝90°.
所以∠BCD＝∠A.
(2)有．
理由：因为ED⊥AB，所以∠B＋∠BED＝90°.
因为∠ACB＝90°，所以∠B＋∠A＝90°.
所以∠BED＝∠A.
解：
小试牛刀
(3)有．
理由：因为ED⊥AB，所以∠B＋∠E＝90°.
因为∠ACB＝90°，所以∠B＋∠A＝90°.
所以∠E＝∠A.
课堂小结
课堂小结
1. 理解三角形定义必须明确“三点”：
(1)三条线段必须满足“不在同一条直线上”才能组成三角形．
(2)特别要注意“首尾顺次相接”，如果三条线段不是首尾顺次相接，那么形成的图形一定不是三角形．
(3)“△ABC ”也可以写成“△ACB ”“△BCA”等，就是说三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，不过通常按26个英文字母的顺序排列．
课堂小结
2.三角形的内角和是180°.
这是在三角形内部求角的度数的重要依据.
3.三角形按角进行分类：
同学们，
下节课见！
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