【班海精品】北师大版（新）七下-4.2图形的全等【优质课件】

(共52张PPT)
4.2图形的全等
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？
追问　你能再举出生活中的一些类似例子吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
全等图形
探索新知
探索新知
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
定义
一个图形经过平移，翻折，旋转后，位置变化了，但________和______都没有改变，即平移，翻折，旋转前后的图形___________ .
完全重合
形状
大小
探索新知
例1
下图中是全等图形的是_____________________________________．
⑤和⑦形状相同，但大小不同，⑥和⑩大小、形状都不同；
①和⑨、②和③、 和 尽管方向不同，但大小、形状完
全相同，所以它们是全等图形，④和⑧都是五角星，大小、
形状都相同，是全等图形．
导引：
①和⑨、②和③、④和⑧、 和
探索新知
(1)此题运用定义识别全等图形，确定两个图形全等要
符合两个条件：①形状相同，②大小相同；是否是
全等图形与位置无关．
(2)判断两个图形是否全等还可以通过平移、旋转、翻
折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能否完全
重合，即用叠合法判断．
总 结
探索新知
例2
如图的图案是由全等的图形拼成的，其中AD＝0.5 cm，BC＝1 cm，则AF＝________cm.
由图可知，所示的图案是由梯形ABCD 和七个与它
全等的梯形拼接而成的，根据全等则重合的性质有
AF＝4AD＋4BC＝4×0.5＋4×1＝6(cm)．
导引：
6
探索新知
本题利用了全等图形一定重合的性质来求解，做
题的关键是找清相互重合的对应边．
总 结
典题精讲
1　下列四组图形中，是全等图形的一组是(　　)
D
典题精讲
2　下列说法中正确的有(　　)
①用一张底片冲洗出来的10张1寸相片是全等图形；
②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形；
③所有的正方形是全等图形；
④全等图形的面积一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
典题精讲
3　如图，将标号为A，B，C，D 的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，Q，M，P 的四个图形，填空：
A 与________对应；B 与________对应；
C 与________对应；D 与________对应．
M
N
Q
P
探索新知
2
知识点
全等三角形及对应元素
A
B
C
E
D
F
例如
能够完全重合的两个三角形，叫做____________.
全等三角形
探索新知
记作:△ABC≌△DEF
读作 :△ABC全等于△DEF
互相重合的顶点叫对应顶点.
互相重合的边叫对应边.
互相重合的角叫对应角.
探索新知
点A 与点D、点B 与点E、点C 与点F 重合，称为对应顶点；
边AB 与DE、边BC 与EF、边AC 与DF 重合，称为对应边；
∠A 与∠D、∠B 与∠E、∠C 与∠F 重合，称为对应角.
A
B
C
E
D
F
探索新知
例3
如图，已知△ABD ≌△CDB，∠ABD＝∠CDB，写出其对应边和对应角．
在△ABD 和△CDB 中，∠ABD
＝∠CDB，则∠ABD，∠CDB
所对的边AD 与CB 是对应边，
公共边BD 与DB 是对应边，余
下的一对边AB 与CD 是对应边．由对应边所对的角是
对应角可确定其他两组对应角．
BD 与DB，AD 与CB，AB 与CD 是对应边；∠A与∠C，
∠ABD 与∠CDB，∠ADB 与∠CBD 是对应角．
导引：
解：
探索新知
利用图形的位置特征确定对应边和对应角时，要
抓住对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对
应边，两对应边的夹角是对应角，两对应角的夹边是
对应边；当全等三角形的两组对应边(角)已确定时，
剩下的一组边(角)就是对应边(角)．
总 结
探索新知
例4
如图，△ACB ≌△BDA，AC 和BD 对应，BC 和AD 对应，写出其他的对应边及对应角．
因为已经知道了两组对应边，所以
剩下的一组边是对应边．根据对应
边所对的角是对应角，容易发现对
应角，所以比较容易发现AC 的对角
∠CBA 和BD 的对角∠DAB 是对应角，BC 的对角∠CAB 和
AD 的对角∠DBA 是对应角，剩下的一组角：∠ACB 和
∠BDA 是对应角．
其他的对应边是AB 和BA，对应角是∠CBA 和∠DAB，
∠CAB 和∠DBA，∠ACB 和∠BDA.
导引：
解：
探索新知
根据对应边(角)找对应角(边)的方法：对应边所
对的角是对应角，对应角所对的边是对应边．
总 结
典题精讲
1
在图中找出两对全等的三角形，
并指出其中的对应角和对应边.
解：如图，在图中标注一些字母．
△OAB ≌△OCD，它们的对应角是∠AOB 和∠COD，
∠A 和∠C，∠B 和∠D，对应边是OA 和OC，OB 和
OD，AB 和CD；△OEF ≌△OGH，它们的对应角是
∠EOF 和∠GOH，∠OEF 和∠OGH，∠OFE 和
∠OHG，对应边是OE 和OG，OF 和OH，EF 和GH.
典题精讲
2　如图，将△ABC 沿BC 所在的直线平移到△A′B′C ′的位置，则△ABC________△A′B′C ′，图中∠A与_______，∠B 与_________，∠ACB 与______是对应角．
≌
∠A′B′C ′
∠A′
∠C ′
探索新知
3
知识点
全等三角形的性质
图 (中)，△ABC ≌△DEF，对应边有什么关系？
对应角有什么关系？
A
B
C
D
E
F
探索新知
还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应边
上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周
长相等、面积也相等．
全等三角形的对应边相等，
全等三角形的对应角相等。
全等三角形的性质
探索新知
例5
如图，已知点A，D，B，F 在同一条直线上，△ABC ≌△FDE，AB＝8 cm，BD＝6 cm.求FB 的长．
由全等三角形的性质知AB＝FD，
由等式的性质可得AD＝FB，
所以要求FB 的长，只需求AD 的长．
因为△ABC ≌△FDE，所以 AB＝FD.
所以 AB－DB＝FD－DB，即AD＝FB.
因为AB＝8 cm，BD＝6 cm，
所以AD＝AB－DB＝8－6＝2(cm)．
所以FB＝AD＝2cm.
导引：
解：
探索新知
(1)全等三角形的性质在几何推理和计算中起着重要
作用，当所求线段不是全等三角形的对应边时，
可利用等式的性质进行转换，从而找到所求线段
与已知线段的关系．
(2)本题利用全等三角形的性质，可把线段AB 转化成
线段DF，再利用等式的性质可把求线段FB 的长
转化成求线段AD 的长．
总 结
探索新知
例6
如图，Rt△ABC ≌ Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且
B，C，D 三点在一条直线上，求∠ACE 的度数．
要求∠ACE，只需求∠ACB、
∠ECD 或∠ACB＋∠ECD 即可．
由于∠ACB 和∠ECD 无法求出，
因此必须求∠ACB＋∠ECD.
由Rt△ABC ≌ Rt△CDE，可知∠BAC＝∠DCE，
结合直角三角形的两个锐角互余的性质，可求∠ACB
与∠ECD 的度数和，再根据平角的定义可求∠ACE 的度数．
导引：
探索新知
因为Rt△ABC ≌ Rt△CDE，
所以∠BAC＝∠DCE.
又因为在Rt△ABC 中，∠B＝90°，
所以∠ACB＋∠BAC＝90°.
所以∠ACB＋∠ECD＝90°.
所以∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD )
＝180°－90°＝90°.
解：
探索新知
(1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法：利用
全等三角形的性质先确定两个三角形中角的对应
关系，由这种关系实现已知角和未知角之间的转
换，从而求出所要求的角的度数．
(2)本题主要利用了全等三角形对应角相等的性质，
通过全等三角形把属于两个三角形的∠ACB、
∠ECD 联系在一起，并将它们作为一个整体求出
其度数的和．
总 结
典题精讲
1
如图，△ABC ≌ △AEC，
∠B＝30°，∠ACB
＝85°，求出△AEC 各
内角的度数.
解：因为∠B＝30°，∠ACB＝85°，∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝180°－30°－85°＝65°. 又因为△ABC ≌△AEC，所以∠E＝∠B＝30°，∠EAC＝∠BAC＝65°，∠ACE＝∠ACB＝85°.
典题精讲
2
如图，△ABC ≌ △A′B′C ′，其中∠A＝36°，∠C ′＝24°，
则∠B＝________.
120°
典题精讲
3
如图，点E，F 在线段BC 上，△ABF 与△DCE 全等，点A与点D，点B 与点C 是对应顶点，AF 与DE 交于点M，则∠DCE 等于(　　)
A．∠B
B．∠A
C．∠EMF
D．∠AFB
A
典题精讲
4
如图，△ABC ≌△CDA，并且BC＝DA，那么下列结论错误的是(　　)
A．∠1＝∠2
B．∠ACB＝∠DAC
C．AB＝AD
D．∠B＝∠D
C
典题精讲
5
如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点B ′处，此时，点A 的对应点A′恰好落在BC 的延长线上，下列结论错误的是(　　)
A．∠BCB ′＝∠ACA′
B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC
D．B′C 平分∠BB′A′
C
典题精讲
6
如图，D，E 分别是△ABC 的边AC，BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC，则∠C 的度数为(　　)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
D
易错提醒
如图，已知△ABE ≌ △ACD，
∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出
其他的对应边和对应角．
AB 与AC，AE 与AD，BE 与CD 是对应边；∠E 与∠D 是对应角．
解：
易错点：不能准确确定全等三角形中的对应关系
学以致用
小试牛刀
如图，将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC′D，C′D 与AB 交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为(　　)
A．20°
B．30°
C．35°
D．55°
A
1
小试牛刀
2 如图，已知△ABC ≌△EDC，指出其对应边和对应角．
方法1
由字母的书写顺序找对应元素
AB 与ED，AC 与EC，BC 与DC 分别是对应边；∠A 与∠E，∠B 与∠D，∠ACB 与∠ECD 分别是对应角．
解：
小试牛刀
3 如图，已知△ABD ≌△CDB，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应边和对应角．
方法2
由等量关系找对应元素
BD 与DB，AD 与CB，AB 与CD 分别是对应边；∠A 与∠C，∠ADB 与∠CBD 分别是对应角．
解：
小试牛刀
4 如图，△ACB 与△BDA 全等，AC 与BD 对应，BC与AD 对应，写出其余的对应边和对应角．
方法3
由已知对应元素找剩余的对应元素
其余的对应边是AB 与BA；对应角是∠CBA 与∠DAB，∠CAB 与∠DBA，∠C 与∠D.
解：
小试牛刀
5 如图，已知△ABE ≌△ACD，且AB＝AC.
(1)说明△ABE 经过怎样的变换后可与△ACD 重合.
(2)∠BAD 与∠CAE 有何关系？请说明理由．
(3)BD 与CE 相等吗？为什么？
小试牛刀
(1)将△ABE 沿∠BAC 的平分线所在直线翻折180°后可与△ACD 重合．
(2)∠BAD＝∠CAE.理由：因为△ABE ≌△ACD，
所以∠BAE＝∠CAD.
所以∠BAE－∠DAE＝∠CAD－∠DAE.
所以∠BAD＝∠CAE.
(3)BD＝CE.因为△ABE ≌△ACD，所以BE＝CD.
所以BE－DE＝CD－DE.所以BD＝CE.
解：
小试牛刀
6 如图，△ADF ≌△CBE，且点E，B，D，F 在一条直线上．试判断：
(1)AD 与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)BF 与DE 的数量关系，并说明理由．
小试牛刀
(1)AD∥BC.
理由：因为△ADF ≌△CBE，
所以∠FDA＝∠EBC.所以∠ADB＝∠DBC.
所以AD∥BC.
(2)BF＝DE.
理由：因为△ADF ≌△CBE，
所以DF＝BE.所以DF＋BD＝BE＋BD.
所以BF＝DE.
解：
小试牛刀
7 如图，A，D，E 三点在同一直线上，且△BAD ≌ △ACE，试说明：
(1)BD＝DE＋CE；
(2)△ABD 满足什么条件时，BD∥CE？
小试牛刀
(1)因为△BAD ≌△ACE，所以AD＝CE，BD＝AE.
因为AE＝AD＋DE，所以BD＝DE＋CE.
(2)当∠ADB＝90°，即△ABD 是直角三角形时，BD∥CE.
理由如下：因为△BAD ≌△ACE，
所以∠ADB＝∠CEA＝90°.
易知∠ADB＝∠BDE＝90°，
所以∠CEA＝∠BDE＝90°.
所以BD∥CE.
解：
课堂小结
课堂小结
1.全等图形：(1)定义；(2)性质.
2.全等三角形：(1)定义；(2)性质.
3.全等三角形的性质的作用：
(1)求角的度数；(2)说明两个角相等；
(3)求线段的长度；(4)说明两条线段相等；
(5)判断两条直线的位置关系等．
同学们，
下节课见！
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