【班海精品】北师大版（新）七下-4.5利用三角形全等测距离【优质课件】

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4.5利用三角形
全等测距离
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1. 三角形全等的判定方法有哪些？
2. 三角形全等的性质有哪些？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
知识点
利用三角形全等测距离
一位经历过战争的老人讲
述了这样一个故事：
在一次战役中，我军阵地
与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉
这个碉堡，需要知道碉堡与我
军阵地的距离.在不能过河测量
又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样
1
探索新知
一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
(1)按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.
(2)你能解释其中的道理吗？
探索新知
想一想
如图所示，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B 间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连接AC 并延长到D，使CD＝CA；
连接BC 并延长到E，使CE＝CB，
连接DE 并测量出它的长度，DE 的长
度就是AB 间的距离.
你能说明其中的道理吗
探索新知
小明是这样想的：
在△ABC 和△DEC 中，
因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC
所以△ABC ≌△DEC，
所以AB＝DE.
你能说出每步的道理吗
探索新知
1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之
间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造
全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的
两点来进行测量．
2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：构
造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；
构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；
构造三边对应相等的两个全等三角形.
探索新知
例1
把两根钢条AB ′，BA′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，如图，若测得A、B 间的距离为5厘米，则槽宽为________厘米．
如图，连接AB，根据O 为AB ′和BA ′
的中点，可得OA＝OB ′，OB＝OA ′，
且∠A′OB ′＝∠AOB，所以根据
“SAS”即可判定△OA′B ′≌△OBA，
所以，测出AB 的长度即可求得A′B ′
的长度．
导引：
5
探索新知
此题中，A′B ′的长度无法直接测量，所以构建全
等三角形，通过测量AB 的长度来得到A′B ′的长度．解
答此题的关键就是构建全等三角形，并确定所要测量
的边的对应边．
总 结
探索新知
例2
如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由．
因为没有过河的工具，
所以无法直接测量两塔
间的距离，所以，可通
过构建全等三角形，转
化到岸上来测量．
导引：
探索新知
能．如图，沿河岸作射线BF，且使
BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD，过
D 点作DE⊥BF，使点E，C，A 在同
一条直线上，则DE 的长就是两座宝
塔A、B 间的距离．
理由如下：因为在△ACB 和△ECD 中，
所以△ACB ≌△ECD，所以AB＝DE.
解：
探索新知
利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地“测量到位”．在此题中，首先明确用“ASA”来说明两个三角形全等，于是在测量方案中设计BF⊥AB，BC＝CD，DE⊥BF 等条件，其目的是要得到利用“ASA”判定三角形全等所需要的条件．
总 结
易知OM＝ON，OP 为公共边，另
外，当角尺两边相同的刻度分别
与M，N 重合时，则说明NP＝MP，
所以，可得△MOP ≌△NOP，然后根据全等三角形
的性质即可求解．
探索新知
例3
工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：
如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON.移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N 重合．则过角尺顶点P 的射线OP 便是∠AOB的平分线，请你说明理由．
导引：
探索新知
解：
因为OM＝ON，PM＝PN，OP＝OP，
所以△MOP ≌△NOP (SSS)，
所以∠MOP＝∠NOP，
所以OP 平分∠MON，
即OP 是∠AOB 的平分线．
探索新知
利用三角形全等，不仅可以测量距离，还可以解
决角度、面积、周长等相关问题．解答此题时要善于
运用转化思想与建模思想，将实际问题转化为数学问
题．解答此题的关键是从问题情境中得到两个三角形
全等的条件，如：从“使角尺两边相同的刻度分别与
M，N 重合”这一描述性语言中得到NP＝MP.
总 结
探索新知
例4
如图所示是约为两层楼高的人字形钢梁，工人师傅
要检查钢梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个长度不到1米的刻度尺．请你帮他设计一个测量方案，并说明理由．
导引：
分别构建以∠B 和∠C 为对应角
的两个三角形，然后分别测量两
个三角形的边长，若三组边分别
相等，则两个三角形全等，再通
过全等三角形的性质来判断∠B
和∠C 是否相等．
探索新知
解：
如图，
①分别在BA 和CA 上量取BE＝CG；
②在BC 上量取BD＝CF；
③然后测量出DE 与FG 的长度，若
DE＝FG，则说明∠B 和∠C 是相等的．
理由：因为在△BDE 和△CFG 中，
所以△BDE ≌△CFG(SSS )，
所以∠B＝∠C.
探索新知
设计测量方案的问题往往具有开放性，需要根据
已有条件，围绕测量的问题展开想象，而通过构建全
等三角形来进行测量是常用的方法之一．本题的解答，
正是通过长度的测量构建了△BDE 与△CFG 这两个全
等三角形，然后利用全等三角形的性质来说明，从而
完成用“刻度尺测量角度”的任务．这一测量过程，
也是建模思想与转化思想的应用．
总 结
典题精讲
1　如图，将两根钢条AA′，BB ′的中点O 连在一起，使AA′，BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B ′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB ≌△OA′B′的理由是
(　　)
A．边角边
B．角边角
C．边边边
D．角角边
A
典题精讲
2　如图，要测量河中礁石A 离岸边B 点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA.可得△A′BC ≌△ABC ，所以A′B＝AB，所以测量A′B 的长即可得AB 的长．判定图中两个三角形全等的理由是(　　)
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
B
典题精讲
3　某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为30 cm，则由以上信息可推得CB 的长度也为30 cm，依据是(　　)
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
A
典题精讲
4　如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C 画一条射线AE，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是(　　)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
D
典题精讲
5
教室里有几盆花，如图①，要想测量这几盆花两旁的A，B 两点间的距离不方便，因此，选点A，B 都能到达的一点O，如图②，连接BO 并延长BO 到点C，使CO＝BO，连接AO 并延长AO 到点D，使DO＝AO. 那么C，D 两点间的距离就是A，B 两点间的距离．
典题精讲
理由：在△COD 和△BOA 中，
所以△COD ≌△BOA (______)．
所以CD＝________.
所以只要测出C，D 两点间的距离就可知A，B 两点间的距离．
SAS
BA
易错提醒
如图，由两根钢丝固定的高压电线杆，按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时，固定效果最好．现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等，那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求，并说明理由．(电线杆的粗细忽略不计)
易错提醒
合乎要求．理由如下：
在△ABO 和△ACO 中，
所以△ABO ≌△ACO (SAS)．
所以∠BAO＝∠CAO.所以合乎要求．
解：
易错点：混淆判定三角形全等的条件，导致判定依据不正确
学以致用
小试牛刀
1
杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的
过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传
墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，
BD 相交于O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20 m，请根
据上述信息求标语CD 的长度.
小试牛刀
因为AB∥CD，所以∠ABO＝∠CDO.
因为OD⊥CD，所以∠CDO＝90°.
所以∠ABO＝90°，即OB⊥AB.
因为相邻两平行线间的距离相等，
所以OD＝OB.
在△ABO与△CDO中，
所以△ABO ≌△CDO (ASA)．
所以CD＝AB＝20 m.
解：
小试牛刀
2
如图，为了测量出池塘两端A，B 之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC 的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD 的长度就得到了A，B 两点之间的距离．你能说明其中的道理吗？
小试牛刀
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.
在△ABC 和△ADC 中，
所以△ABC ≌△ADC (SAS)．
所以AB＝AD.
解：
小试牛刀
3
如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作
一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.
小试牛刀
可设计如图所示的工具，
其中O 为AC，BD 的中点．
在△AOB 和△COD 中，
所以△AOB ≌△COD (SAS)．
所以AB＝CD.所以测量出C，D 之间的距离，CD的长就是A，B 间的距离．
因为AB＝a－2x，所以x＝ ＝ .
解：
小试牛刀
4
如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，AD＝5 cm，∠B＝∠C，BC＝8 cm.
(1)若点P 在线段BC上以3 cm/s的速度
从点B 向终点C 运动，同时点Q 在
线段CA 上从点C 向终点A 运动．
①若点Q 的速度与点P 的速度相等，经过1 s后，请说明△BPD ≌△CQP.
②若点Q 的速度与点P 的速度不等，当点Q 的速度为多少时，能使△BPD ≌△CPQ？
小试牛刀
(2)若点P 以3 cm/s的速度从点B 向点C 运动，同时点Q 以5 cm/s的速度从点C 向点A 运动，它们都依次沿△ABC 三边运动，则经过多长时间，点Q 第一次在△ABC 的哪条边上追上点P？
(1)①因为BP＝3×1＝3(cm)，CQ＝3×1＝3(cm)，
所以BP＝CQ.
因为D 为AB 的中点，所以BD＝AD＝5 cm.
因为CP＝BC－BP＝8－3＝5(cm)，所以BD＝CP.
又因为∠B＝∠C，所以△BPD ≌△CQP (SAS)．
解：
小试牛刀
②设点Q 的运动时间为t s，运动速度为v cm/s.
因为△BPD ≌△CPQ，
所以BP＝CP＝4 cm，BD＝CQ＝5 cm.
所以t＝ s.
所以v＝ (cm/s)．
所以当点Q 的运动速度为 cm/s时，能使△BPD ≌ △CPQ.
小试牛刀
(2)设经过x s点Q 第一次追上点P.
由题意，得5x－3x＝2×10，
解得x＝10.
所以点P 运动的路程为3×10＝30(cm)．
因为30＝28＋2，
所以此时点P 在BC 边上．
所以经过10 s点Q 第一次在边BC 上追上点P.
课堂小结
课堂小结
1.当两点间的距离难以测量或无法直接测量时，就可
以想办法构造两个全等三角形，利用全等三角形的
性质把难以测量或无法直接测量的距离转化为容易
测量的距离．
2.构造全等三角形的依据有：SAS，ASA，AAS，SSS.
课堂小结
3.利用三角形全等解决实际问题的步骤：
(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；
(2)根据实际问题抽象出几何图形；
(3)结合图形和题意分析已知条件；
(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，
并表述清楚．
同学们，
下节课见！
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