【班海精品】北师大版（新）七下-5.2探索轴对称的性质【优质课件】

(共58张PPT)
5.2探索轴对称的性质
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
什么是轴对称图形？什么是轴对称？
它们的特性是什么？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
知识点
轴对称的性质
如图，将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”
这个数字，将纸打开后铺平.
探索新知
(1)上图中，两个“14”有什么关系？
(2)在上面扎字的过程中，点E 与点E ' 重合，点F 与点F '
重合.设折痕所在直线为l，连接点E 与点E ' 的线段与l
有什么关系？连接点F 与点F ' 的线段呢？
(3)线段AB 与线段A'B' 有什么关系？线段CD 与线段C'D' 呢？
(4)∠1与∠2有什么关系？ ∠3与∠4呢？说说你的理由.
探索新知
做一做
观察图5-6的轴对称图形，回答下列
问题：
(1)找出它的对称轴及其成轴对称的
两个部分.
(2)连接点A与点A'的线段与对称轴
有什么关系？连接点B 与点B‘ 的
线段呢？
(3)线段AD 与线段A'D' 有什么关系？线段BC 与线段B'C' '呢？
为什么？
(4)∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由？
探索新知
在图5-6中，沿对称轴对折后，点A 与点A' 重合，
称点A 关于对称轴的对应点是点A'.类似地，线段AD 关
于对称轴的对应线段是线段A′D′，∠3关于对称轴的对
应角是∠4.
议一议
在轴对称图形中，对应点所连的线段与对称轴有
什么关系？对应线段有什么关系？对应角有什么关系？
在两个成轴对称的图形中呢？
探索新知
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
总 结
探索新知
1.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点
所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，
对应角相等．
2.性质的应用：利用对应角相等求角度；利用对应
线段相等求线段，求面积；作图．
如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是(　　)
A．150°　　
B．300°
C．210°
D．330°
探索新知
例1
B
探索新知
由轴对称的性质可知：
∠AFC＝∠EFC，∠BCF＝∠DCF，
所以∠EFC＋∠DCF＝∠AFC＋∠BCF＝150°，
所以∠AFE＋∠BCD＝∠AFC＋∠EFC＋∠BCF＋∠DCF
＝150°＋150°＝300°.
导引：
探索新知
例2
如图，在△ABC 中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，DE 为折痕，求△ABE 的周长．
由于AB 的长已知，要求△ABE 的
周长，只要求得AE＋BE 即可．
由折叠知，△AED 和△CED 关于DE 所在直线对称，
由轴对称的性质可得AE＝CE，所以△ABE 的周长等
于AB＋BC.
导引：
探索新知
由折叠知，△AED 和△CED 关于DE 所在直线对称，
因此AE＝EC，
所以BE＋AE＝BE＋EC＝BC＝5 cm.
所以△ABE 的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋BC
＝3＋5＝8(cm)．
解：
探索新知
折叠问题中，折痕所在的直线是对称轴，折叠
前后的两个图形(如本例中△CDE 和△ADE )关于折
痕(DE )所在的直线成轴对称．
总 结
典题精讲
用笔尖扎重叠的纸可以得到下面成轴对称的两个图案.
(1)找出它的两组对应点、两条对应线段和两个对应角；
(2)说明你找到的对应点所连线段分别被对称轴垂直平分.
1
典题精讲
(1)如图，点A与点A′是一组对应点，点B 与点B ′
是一组对应点；线段AB 与线段A′B ′是对应线
段；∠ABC 与∠A′B′C ′是对应角．
(2)略．
解：
典题精讲
2　如图，已知△A′B′C ′与△ABC 关于直线MN 对称，则MN 垂直平分___________________．
3　如图，正方形ABCD 的边长
为4 cm，则图中阴影部分的
面积为________．
AA′，BB′，CC ′
8 cm2
典题精讲
如图，△ABC 与△DEF 关于直线MN 对称，则以下结论中错误的是(　　)
A．AB∥DF
B．∠ABC＝∠DEF
C．AB＝DE
D．AD⊥MN
4
A
典题精讲
如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN上的点，下列判断错误的是(　　)
A．AM＝BM
B．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBP
D．∠ANM＝∠BNM
5
B
典题精讲
下列说法中错误的是(　　)
A．成轴对称的两个图形对应点连线的垂直平分
线就是它们的对称轴
B．关于某条直线对称的两个图形全等
C．面积相等的两个四边形对称
D．轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折
后能完全重合
6
C
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，沿CD 折叠△CBD，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若∠A＝22°，则∠BDC 等于(　　)
A．44°
B．60°
C．67°
D．77°
7
C
探索新知
2
知识点
画轴对称图形或成轴对称
做一做
图5-7是一个图案的一半，其中的
虚线是这个图案的对称轴，画出这个
图案的另一半.
探索新知
1.画对称轴
(1)如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对
对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要
找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平
分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
(2)对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作
出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形
的对称轴．
探索新知
2.画原图关于某直线对称的图形：
(1)依据：如果两个图形关于某一条直线对称，那么连
接任意一组对应点的线段被对称轴垂直平分．
(2)画原图关于某直线对称的图形的步骤：
画原图关于某直线对称的图形要经历一找二作三连
这三个步骤：
①找：在原图形上找特殊点(如线段的端点)；
②作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；
③连：按原图的顺序连接所作的各对称点．
探索新知
例3
如图，△ABC 和△DEF 关于某条直线成轴对称，你能画出这条直线吗？
因为两个图形关于某条直线
对称时，对称轴是任意一组
对应点所连线段的垂直平分
线，所以我们只要确定一组
对应点(如点A 和点D )，然后连接两点(点A 和点D )，画
出线段(线段AD )的垂直平分线，就可以得到△ABC 和
△DEF 成轴对称的对称轴．
导引：
探索新知
能．
(1)连接AD；
(2)取AD 的中点O，过O 作直线MN⊥AD，
则MN 即为所求作的直线．如图.
解：
探索新知
作成轴对称的两个图形的对称轴，只需作出图形中任意一组对应点所连线段的垂直平分线即可．
总 结
探索新知
例4
如图，画出△ABC 关于直线 l 对称的图形．
首先确定图形中的关键点，然后作关键点关于对称轴的对称点，最后连接所作的对称点，得到相应的图形．
导引：
探索新知
如图.
解：
探索新知
(1)作轴对称图形的三字诀“找、作、连”：
找——找特殊点；
作——作各特殊点关于对称轴的对称点；
连——按原图的顺序连接各对称点．
(2)点在对称轴上时，它关于对称轴的对称点就是它本
身；点在对称轴一侧时，它关于对称轴的对称点在
对称轴的另一侧．
总 结
探索新知
例5
如图，在每个小正方形的
边长均为1个单位长度的方格纸中，
有线段AB 和直线MN，点A，B，M，
N 均在小正方形的顶点上．在方格纸
中画四边形ABCD (四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D，点B 的对称点为点C.
根据网格的特殊性，找出点A 的对称点D，点B 的对称点C，并连接BC，CD，DA.
导引：
探索新知
如图.
解：
探索新知
借助网格图作轴对称图形是中考的一个热点，观
察图中已知图形的特殊点与对称轴，利用轴对称的性
质，找出各特殊点的对称点，再依次连线．
总 结
探索新知
例6
如图，要在公路MN 旁修建一个货物中转站，分别向A，B 两个开发区运货，若要求货物中转站到A，B 两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应修建在何处？说明理由．
探索新知
要在MN 上求一点P，使得PA＋PB 最小，可以把
PA＋PB 连成一条线段，因为两点之间线段最短，
为此可作A (或B )关于MN 的对称点A′ (或B ′)，连
接BA′(或AB ′)交MN 于点P，则P 就是所求作的点，
利用三角形三边关系可以说明这样作的理由．
导引：
探索新知
①作点A 关于直线MN 的对称点A′；
②连接BA′交MN 于点P，则点P 就
是货物中转站的位置．如图.
理由：如图，在直线MN上另取一点P ′，连接AP，
A′P ′，AP ′，BP ′.因为直线MN 是点A，A′的对称轴，
点P，P ′在对称轴上，所以PA＝PA′，P′A＝P′A′.所以
PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.在△A′P′B 中，因为A′B＜
P′A′＋P′B，所以PA＋PB＜P′A′＋P′B，即PA＋PB＜
P′A＋P′B，所以PA＋PB 最小．
解：
探索新知
解决一条直线同侧的两点到直线上一点的距离和
最小问题，就是作一点关于直线的对称点，连接这个
对称点和另一点，与直线的交点就是所求．利用对称
性是解决这类距离之和最小问题的常用方法．
总 结
典题精讲
如图，△ABC 和△A′B′C ′关于直线l对称．
(1)△ABC______△A′B′C ′；
(2)A 点的对应点是_____，C ′点的对应点是______；
(3)连接BB ′交l 于点M，连接AA′交l 于点N，则BM
＝________，AA′与BB ′
的位置关系是____________；
(4)直线l__________AA′.
1
≌
A′点
C 点
B′M
互相平行
垂直平分
典题精讲
图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形，都是△ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是(　　)
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
2
A
易错提醒
如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，
这样的三角形共有多少个？
画出图形．
易错提醒
解：
如图，与△ABC 成轴对称且也以
格点为顶点的三角形有5个．
分别为△DCB，△FBH，△CDA，
△AEF，△HGC.　
易错点：找不准对称轴的条数而导致出错
学以致用
小试牛刀
如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B ′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(　　)
A．115°
B．120°
C．130°
D．140°
A
1
小试牛刀
2
如图，在△ABC 中，AB＝AC，直线DE 是△ABE 的对
称轴，△BCE 的周长为14，BC＝6，求AB 的长.
小试牛刀
因为直线DE 是△ABE 的对称轴，
所以AE＝BE.
因为C△BCE＝BC＋CE＋BE＝14.
所以BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝14.
因为BC＝6，所以AC＝8.
所以AB＝AC＝8.
解：
小试牛刀
3
如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C
重合，点D 落在点G 处，EF 为折痕．
(1)试说明：△FGC ≌△EBC；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF (阴影部分)的面积．
小试牛刀
(1)因为∠GCF＋∠FCE＝∠A＝90°，∠FCE＋∠BCE＝90°，
所以∠GCF＝∠BCE.
又因为∠G＝∠B＝90°，GC＝DA＝BC，
所以△FGC ≌△EBC.
(2)由(1)知，DF＝GF＝BE，所以四边形ECGF 的面积＝四边形EADF 的面积＝
＝16.
解：
小试牛刀
4
如图，AD 为△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点E，
DF⊥AC 于点F.试说明：点E，F 关于AD 对称．
小试牛刀
如图，连接EF 交AD 于点G，
因为AD 平分∠BAC，所以∠EAD＝∠FAD.
又因为∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，
所以△ADE ≌△ADF (AAS)．所以AE＝AF.
又∠EAG＝∠FAG，AG＝AG，
所以△AEG ≌△AFG.
所以EG＝FG，∠AGE＝∠AGF.
又∠AGE＋∠AGF＝180°，
所以∠AGE＝∠AGF＝90°.
所以AD 垂直平分EF.
所以点E，F 关于AD 对称．
解：
小试牛刀
5
如图，在△ABC 中，D，E 为AC 边上的两个点，试在
AB，BC上分别取一个点M，N，使四边形DMNE 的
周长最小．
小试牛刀
如图，(1)作点D 关于直线AB 的对称点D ′，作点E
关于直线BC 的对称点E ′.
(2)连接D ′E ′交AB 于点M，交BC 于点N.
(3)连接DM，EN.
四边形DMNE 就是符合要求的
四边形，此时周长最小．
解：
小试牛刀
6
如图，把△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内部的点A′处．
(1)写出图中一对全等的三角形，
并写出它们的所有对应角．
(2)设∠AED 的度数为x，∠ADE 的度数为y，那么∠1，
∠2的度数分别是多少(用含有x 或y 的式子表示)？
(3)∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，
请找出这个规律．
小试牛刀
(1)△EAD ≌△EA′D，其中对应角分别为∠EAD 与∠EA′D，∠AED 与∠A′ED，∠ADE 与∠A′DE.
(2)∠1＝180°－2x，∠2＝180°－2y.
(3)∠1＋∠2＝360°－2(x＋y )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A. 规律为∠1＋∠2＝2∠A.
解：
课堂小结
课堂小结
1.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
2.作轴对称图形的方法：
(1)确定原图形的关键点；
(2)作出每个关键点关于对称轴对称的对称点；
(3)按原图形的顺序依次连接相应的对称点．
同学们，
下节课见！
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