【班海精品】北师大版（新）七下-5.3简单的轴对称图形 第一课时【优质课件】

(共57张PPT)
5.3简单的轴对称图形
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
什么样的三角形是等腰三角形？它有哪些特征？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
知识点
等腰三角形的对称性
等腰三角形是生活中常见的图形.
(1)等腰三角形是轴对称图形吗？
如果是，请找出它的对称轴.
(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？
底边上的高所在的直线呢？
(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？
说说你的理由.
探索新知
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边
上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都
是等腰三角形的对称轴.
等腰三角形的两个底角相等.
总 结
探索新知
性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底
边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
典题精讲
1
下面是由大小不同的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴.
解：有3条对称轴，如图．
典题精讲
2
在下列学习用具中，不是轴对称图形的是(　　)
3
一个等边三角形的对称轴共有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．6条
C
C
探索新知
知识点
2
知识点
等腰三角形的“三线合一”性质
性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简写成“三线合一”)．
探索新知
知识点
例1
如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中
线，∠ABC 的平分线BG 交AC 于点G，交AD 于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C 的度数；
(2)试说明：EF＝ED.
探索新知
知识点
(1)因为AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，
所以∠BAD＝∠CAD.
所以∠BAC＝2∠BAD＝50°.
因为AB＝AC，所以∠C＝∠ABC ＝ (180°－
∠BAC )＝ (180°－50°)＝65°.
(2)因为AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，所以
ED⊥BC，又因为BG 平分∠ABC，EF⊥AB，
所以EF＝ED.
解：
探索新知
知识点
(1)等腰三角形的“三线合一”的性质是说明角相等、
线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为
题目的说明或计算所求结果大多都是单一的，所以
“三线合一”性质的应用也是单一的，一般得出一
个结论，因此应用要灵活．
(2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用
“三线合一”是等腰三角形中常用的方法．
总 结
探索新知
知识点
例2
如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M. 试说明：CM＝MD.
由已知AM⊥CD 和结论
CM＝MD，联想到等腰
三角形“三线合一”的
性质，由此连接AC，AD
构造等腰三角形．
导引：
探索新知
如图，连接AC，AD.
在△ABC 和△AED 中，
所以△ABC ≌△AED (SAS)．
所以AC＝AD.
又因为AM⊥CD，
所以CM＝MD.
解：
探索新知
知识点
对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线
的方法：1.如图甲的情形，需作底边上的高；
总 结
探索新知
知识点
2. 如图乙的情形，需作顶角平分线；
3. 如图丙的情形，需作中线；
4. 如图丁的情形，需连接AD 并延长再说明其是“三
线”即可．
典题精讲
1
墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平. 他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC 边的中点D 处挂了一个重锤.小明将BC 边与木条重合，观察此时重锤是否通过A 点. 如果重锤过A 点，那么这根木条就是水平的. 你能说明其
中的道理吗？
典题精讲
能．根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC 底边BC 上的中线DA 应垂直于底边BC (即木条)．如果重锤过点A，说明AD 所在直线垂直于水平线，那么木条就是水平的．
解：
典题精讲
2
如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，∠BAD＝35°，则∠C 的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
C
典题精讲
3　如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，下列结论：
①∠BAD＝∠CAD；
②AD上任意一点到AB，AC 的距离相等；
③BD＝CD；
④若点P 在直线AD 上，则PB＝PC.
其中正确的是(　　)
A．①　　 B．①②　　
C．①②③　　 D．①②③④
D
典题精讲
4
如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC 的周长是________．
20
探索新知
3
知识点
等腰三角形的边、角性质
性质3：等腰三角形的两个底角相等
(简写成“等边对等角”)．
探索新知
例3
已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．16　　　 B．20或16　　　
C．20　　　 D．12
B.
错解分析：本题错在没有对结果进行验证．
当腰长为4时，两边之和为4＋4＝8，不大于第三边，不能构成三角形，应该把腰长为4的情况舍去．周长应为8＋8＋4＝20.
错误答案：
探索新知
例4
(1)在△ABC 中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运
用三角形的内角和为180°与等腰三角形的两底
角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶角
不确定，则要分两种情况求解．
导引：
探索新知
(1)因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
(2)当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.
当顶角为70°时，底角为
因此顶角为40°或70°.
(3)若顶角为90°，底角为
若底角为90°，则三个内角的和将大于180°，
不符合三角形内角和为180°.
因此顶角为90°.
解：
探索新知
(1)在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定
为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的
内角和为180°求解；若没有指出所给的角是顶角
还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三
角形内角和为180°.
(2)若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则
此角必为顶角．
总 结
典题精讲
1
如图，在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，分别求出它们的底角的度数.
(1)(180°－60°)÷2＝60°；(2)(180°－90°)÷2＝45°；(3)(180°－120°)÷2＝30°.
解：
典题精讲
2
等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是(　　)
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
典题精讲
3
如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B 的大小为(　　)
A．40°
B．36°
C．30°
D．25°
B
典题精讲
4
如图，在△ABC 中，D 为AB上一点，E 为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE 的度数为(　　)
A．50°
B．51°
C．51.5°
D．52.5°
D
探索新知
4
知识点
等边三角形的性质
想一想
(1)等边三角形有几条对称轴？
(2)你能发现它的哪些特征？
探索新知
1.等边三角形的三条边都相等；
2.等边三角形的内角都相等，且等于 60 °;
3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称；
4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线
都三线合一.
探索新知
例5
如图，点C 是线段AB 上任意一点(点C 与点A，B 不重合)，分别以AC，BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，AE 与CD 相交于点M，BD 与CE 相交于点N.连接MN.
试说明：(1)△ACM ≌△DCN；(2)MN∥AB.
探索新知
(1)因为△ACD 和△BCE 都是等边三角形，
所以AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°.
因为∠ACD＋∠DCE＋∠ECB＝180°，
所以∠DCE＝60°.
所以∠ACE＝∠DCB＝120°.
所以△ACE ≌△DCB (SAS)．
所以∠EAC＝∠BDC.
又因为AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，
所以△ACM ≌△DCN (ASA)．
解：
探索新知
(2)由(1)知△ACM ≌△DCN，
所以CM＝CN.
又因为∠MCN＝60°，
所以∠NMC＝∠MNC＝60°.
所以∠NMC＝∠ACM.
所以MN∥AB.
典题精讲
1
如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是(　　)
A．∠ABD＝∠E
B．∠CBE＝∠C
C．AD∥BC
D．AD＝BC
C
易错提醒
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有(　　)
A．1条 B．2条
C．1条或3条 D．不确定
易错点：忽略等腰三角形的特殊情形造成漏解
C
学以致用
小试牛刀
某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE 与AB 的夹角为48°，若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为(　　)
A．48°
B．40°
C．30°
D．24°
D
1
小试牛刀
如图，△ABC 是等边三角形，AD 是角平分线，△ADE 是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD. 其中正确结论的个数为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
A
2
小试牛刀
3
如图，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，点D，E 分别在
边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由；
(2)试说明：过点A，F 的直线垂直平分线段BC.
小试牛刀
(1)∠ABE＝∠ACD.理由如下：
在△ABE 和△ACD 中，
所以△ABE ≌△ACD.
所以∠ABE＝∠ACD.
(2)连接AF，并延长交BC 于点G.
因为AB＝AC，AD＝AE，
所以BD＝CE.
由(1)可知∠ABE＝∠ACD.
解：
小试牛刀
在△BDF 和△CEF 中，
所以△BDF ≌△CEF.所以FB＝FC.
在△ABF 和△ACF 中，
所以△ABF ≌△ACF.所以∠BAF＝∠CAF.
所以AG 既是等腰三角形ABC底边BC上的高，又是底边BC上的中线．
所以过点A，F 的直线垂直平分线段BC.
小试牛刀
4
如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形．
(1)试说明：△ABE ≌△DCE；
(2)求∠AED 的度数．
小试牛刀
(1)因为四边形ABCD 是正方形，
所以AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.
因为△EBC 是等边三角形，
所以EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°.
所以∠EBA＝∠ECD＝30°.
在△ABE 和△DCE 中，
所以△ABE ≌△DCE.
解：
小试牛刀
(2)由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°，
所以∠BAE＝∠BEA＝75°.
同理∠CDE＝∠CED＝75°.
所以∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.
小试牛刀
5
如图，点C 是线段AB上任意一点(点C 与点A，B 不重合)，分别以AC，BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，AE与CD 相交于点M，BD 与CE 相交于点N.连接MN.
试说明：(1)△ACM ≌△DCN；
(2)MN∥AB.
小试牛刀
(1)因为△ACD 和△BCE 都是等边三角形，
所以AC＝DC，CE＝CB，
∠ACD＝∠BCE＝60°.
因为∠ACD＋∠DCE＋∠BCE＝180°，
所以∠DCE＝60°.所以∠ACE＝∠DCB＝120°.
所以△ACE ≌△DCB (SAS)．
所以∠EAC＝∠BDC.
又因为AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，
所以△ACM ≌△DCN (ASA)．
解：
小试牛刀
(2)由(1)知△ACM ≌△DCN，所以CM＝CN.
又因为∠MCN＝60°，
所以∠NMC＝∠MNC＝60°.
所以∠NMC＝∠ACM.
所以MN∥AB.
小试牛刀
6
如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F 是CD 的中点，你知道AF 与CD 之间具有怎样的位置关系吗？请说明理由．
小试牛刀
AF⊥CD.
理由：如图，连接AC，AD.
在△ABC 和△AED 中，
所以△ABC ≌△AED (SAS)．
所以AC＝AD (全等三角形的对应边相等)．
又因为AF 是△ACD 中CD 边上的中线，
所以AF⊥CD (等腰三角形“三线合一”)．
解：
课堂小结
课堂小结
1.等腰三角形的性质总结：
(1)性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或
底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
(2)性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、
底边上的高重合(简写成“三线合一”)．
(3)性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．
课堂小结
2.等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三条边都相等；
(2)等边三角形的内角都相等，且等于 60 °;
(3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称；
(4)等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线
都三线合一.
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）