圆与圆的位置关系
【知识梳理】
1、圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点；
（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；
（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．
2、圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
（2）几何法：
设 O1 的半径为 r1 ， O2 的半径为 r2 ，两圆的圆心距为 d ．
当 r1 r2 d r1 r2 时，两圆相交；
当 r1 r2 d 时，两圆外切；
当 r1 r2 d 时，两圆外离；
当 r1 r2 d 时，两圆内切；
当 r1 r2 d 时，两圆内含．
3、两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4、两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有 2 条外公切线和 2 条内公切线，共 4 条；
（2）两圆外切时，有 2 条外公切线和 1 条内公切线，共 3 条；
（3）两圆相交时，只有 2 条外公切线；
（4）两圆内切时，只有 1 条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
5、圆系方程
（ 1 ） 过 直 线 Ax By C 0 与 圆 x2 y2 Dx Ey F 0的 交 点 的 圆 系 方 程 是
x2 y2 Dx Ey F (Ax By C) 0
（2）以 a,b 2 2为圆心的同心圆系方程是： x a y b 2 ( 0) ；
（3）与圆 x2 y2 Dx Ey F 0同心的圆系方程是 x2 y2 Dx Ey 0；
（4）过同一定点 a,b 的圆系方程是 x a 2 y b 2 1(x a) 2 (y b) 0．
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：圆与圆的位置关系
考点 2：两圆的公共弦问题
考点 3：公切线问题
考点 4：圆系方程的应用
【典型例题】
考点 1：圆与圆的位置关系
1 2021· · C : x2．（ 广东 汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知两圆分别为圆 1 y
2 49和圆
C : x2 y22 6x 8y 9 0，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
2．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）圆 x2 y2 4与圆 x2 y2 8x 6y 16 0 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．外切
3．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）已知圆 C1： x2 y2 6x 4y 12 0与圆 C2：
x2 y2 6x 2y a 0，若圆 C1与圆 C2有且仅有一个公共点，则实数 a 的值为___________.
4．（2022· · 2 2 2 2浙江 海宁一中高二期中）已知圆C1 : (x 1) (y 2) 1,C2 : (x 3) (y 4) 3，点P, A, B 分别
在 x 轴和圆C1,C2 上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求 PA PB 的最小值.
5．（2022·河南·高二阶段练习）圆 (x 1)2 y2 4与圆 (x 2)2 (y 1)2 25的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
6．（2022·江苏· 2 2高二阶段练习）已知圆C1 : x y 2x my 1 0(m R)的面积被直线 x 2y 1 0平分，圆
C2 : (x 2)
2 (y 3)2 25，则圆C1与圆C2 的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
7．（2022·上海中学东校高二期末）已知圆M : x2 y2 2ax 8截直线 l : x y 0所得的弦长为 34 ．则圆 M
与圆 N : x2 (y 1)2 4的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
8．（2021·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知圆C1的圆心在 x 轴上，且过 5,2 ， 0,3 两点．
(1)求圆C1的方程；
(2) C C : x 1 2 2若圆 1与圆 2 y 2 r 2 r 0 有公共点，求 r 的取值范围．
9．（2021·广东·南海中学高二阶段练习）已知圆C : (x 4)2 ( y 3)2 1和两点 A( a,0) 、B(a,0)(a 0)，若
圆C 上存在点 P ，使得 APB 90 ，则 a的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．3 D．4
10．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）在平面直角坐标系 xoy中，O(0,0) ， A(0, 3) ，动点M 满
足 AM 2 MO ，M 的轨迹方程为____，M 的轨迹与圆 x 4 2 y 1 2 r 2 , (r 0)有公共点，则实数 r 的
取值范围是____．
考点 2：两圆的公共弦问题
11 2．（多选题）（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知圆C1 : x 1 y 3
2 11与圆
C : x2 y22 2x 2my m
2 3 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆C2 与 x 轴相切，则m 2
B．若m 3，则圆 C1与圆 C2相离
C．若圆 C1与圆 C
2
2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为 4x 6 2m y m 2 0
D．直线 kx y 2k 1 0与圆 C1始终有两个交点
12 2 2．（多选题）（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）已知圆O1 : x y 2x 3 0和圆
O2 : x
2 y2 2y 1 0的交点为 A，B，则（ ）.
A．两圆的圆心距O1O2 2
B．直线 AB 的方程为 x y 1 0
C．圆O2 上存在两点 P 和 Q 使得 | PQ | | AB |
D．圆O1上的点到直线 AB 的最大距离为 2 2
13 2022· · O : x2 y2 2x 0 O : x2 y2．（多选题）（ 江苏 高二阶段练习）圆 1 和圆 2 2x 4y 0的交点为 A，
B，则有（ ）
A．公共弦 AB 所在直线的方程为 x y 0
B．公共弦 AB 所在直线的方程为 x y 1 0
C 2．公共弦 AB 的长为
2
D P 2． 为圆O1上一动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为 1
2
14．（多选题）（2022·浙江杭州·高二开学考试）已知圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2＋2x－4y＝0 相交
于 A，B 两点，则有（ ）
A．公共弦 AB 所在的直线方程为 x－y＝0
B．公共弦 AB 2的长为
2
C．圆 O2上到直线 AB 距离等于 1 的点有且只有 2 个
D．P 为圆O1上的一个动点，则 P 到直线 AB
2
距离的最大值为 1
2
15．（2022·全国·高二期中）已知圆C 2 21 : x y 2x 10y 24 0 和圆C2 : x
2 y2 2x 2 y 8 0 .
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在直线的方程；
(3)求公共弦的长度.
16．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知圆 M 经过点 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2) .
(1)求圆 M 的一般方程；
(2)求圆 M 与圆 x2 y2 2的公共弦长.
17．（2021·黑龙江· 2 2 2 2牡丹江一中高二期中）已知圆C1：x y 2x 6y 1 0，C2 : x y 10x 12y 45 0
(1)求证：C1,C2 相交；
(2)求圆C1,C2 的公共弦所在的直线方程．
18．（2022·江苏· 2高二阶段练习）已知圆C1：x y
2 10与圆C2：x
2 y2 2x 2y 14 0 ．
(1)求证：圆C1与圆C2 相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线 x y 6 0 上的圆的方程．
考点 3：公切线问题
19．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试）已知圆 x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(1)求证：对任意实数 a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆 x2＋y2＝4 相切，求 a 的值．
20．（2021·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C1：
x2 y2 4x 0，C 2 22 ： x y 4x 3 0 ，及点 A 1,0 和B 1,2 .
(1)求圆C1和圆C2 公切线段的长度；
(2)在圆C1上是否存在点 P，使得PA2 PB2 12？若存在，求点 P 的个数；若不存在，说明理由.
21 2022· · O : x2 y2 2 2．（ 江苏南京 高二期末）已知圆 1 4 ，圆O2 : x y 2mx 2my 4 0 m 0 ，则同时与
圆O1和圆O2 相切的直线有（ ）
A．4 条 B．2 条 C．1 条 D．0 条
22．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知圆O 2 2 2 2 21： x y 16和圆O2 ： x y 6mx 8my 24m 0
有且仅有 4 条公切线，则实数m 的取值范围是（ ）
A． , 1 1, B． 1,1
C． , 2 3, D． 2,3
23．（2022·安徽省宣城中学高二开学考试）圆 x2 y2 4x 0与圆 x2 y2 4x 2y 4 0 的公切线条数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2022· 2 2 2 2上海·格致中学高二期中）已知圆O1 : x y 4 ，圆O2 : x y 2mx 2my 4 0 m 0 ，则同
时与圆O1和圆O2 相切的直线有（ ）
A．4 条 B．2 条 C．1 条 D．0 条
25．（2022· 2 2贵州黔东南·高二期末（理））若圆 x2 y2 1与圆 x a y 4 16有 3 条公切线，则正数
a=___________.
26．（2022·江苏南京·高二期末）若点O(0,0), M (3,4)到直线 l 的距离分别为 1 和 4，则这样的直线 l 共有
___________条．
27．（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）写出与圆 x2 y2 1和 (x 3)2 (y 4)2 16都相切的一条直线的方
程________________．
28．（2021·江苏·南京师大附中高二阶段练习）圆 A : x2 y2 4x 2y 1 0与圆 B : x2 y2 6x 12y 44 0，
则圆 A 与圆 B 的公切线方程为___________.
考点 4：圆系方程的应用
29．过圆 x2 y2 2y 4 0 与 x2 y2 4x 2y 0的交点，且圆心在直线 l : 2x 4y 1 0 上的圆的方程是
_______．
30 2 2 2 2．已知圆C1 : x y 2x 3 0与圆C2 : x y 4x 2y 3 0相交于 A、B 两点．
（1）求公共弦 AB 所在直线方程；
（2）求过两圆交点 A、B，且过原点的圆的方程．
31 2 2 2 2．已知圆C1 : x y 6x 16 0,C2 : x y 4x 5 0．求证：对任意不等于 1的实数 ，方程
x2 y2 6x 16 x2 y2 4x 5 0 是通过两个已知圆交点的圆的方程．
32 C : x2 y2．已知圆 1 4x 4y 4 0 C : x
2 y2和圆 2 2x 0．
（1）求证：两圆相交；
（2）求过点 2,3 ，且过两圆交点的圆的方程．
33．（2021·北京通州·高二期中）经过点M (2, 2)以及圆 x2 y2 6x 0 与圆 x2 y2 2x 4y 0交点的圆的方
程为________．圆与圆的 位置关系
【知识梳理】
1、圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点；
（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；
（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．
2、圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
（2）几何法：
设 O1 的半径为 r1 ， O2 的半径为 r2 ，两圆的圆心距为 d ．
当 r1 r2 d r1 r2 时，两圆相交；
当 r1 r2 d 时，两圆外切；
当 r1 r2 d 时，两圆外离；
当 r1 r2 d 时，两圆内切；
当 r1 r2 d 时，两圆内含．
3、两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4、两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有 2 条外公切线和 2 条内公切线，共 4 条；
（2）两圆外切时，有 2 条外公切线和 1 条内公切线，共 3 条；
（3）两圆相交时，只有 2 条外公切线；
（4）两圆内切时，只有 1 条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
5、圆系方程
（ 1 ） 过 直 线 Ax By C 0 与 圆 x2 y2 Dx Ey F 0的 交 点 的 圆 系 方 程 是
x2 y2 Dx Ey F (Ax By C) 0
（2）以 a,b x a 2 y b 2为圆心的同心圆系方程是： 2 ( 0) ；
（3）与圆 x2 y2 Dx Ey F 0同心的圆系方程是 x2 y2 Dx Ey 0；
（4）过同一定点 a,b 的圆系方程是 x a 2 y b 2 1(x a) 2 (y b) 0．
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：圆与圆的位置关系
考点 2：两圆的公共弦问题
考点 3：公切线问题
考点 4：圆系方程的应用
【典型例题】
考点 1：圆与圆的位置关系
1．（2021· 2 2广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知两圆分别为圆C1 : x y 49和圆
C : x2 y22 6x 8y 9 0，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
2 2
【解析】由题意得，圆C1圆心 0,0 ，半径为 7；圆C2 : x 3 y 4 16，圆心 3,4 ，半径为 4，
两圆心之间的距离为 32 42 5，因为7 4 5 7 4，故这两圆的位置关系是相交.
故选：B.
2．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）圆 x2 y2 4与圆 x2 y2 8x 6y 16 0 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．外切
【答案】D
【解析】由题，圆 x2 y2 4的圆心为 0,0 ，半径为 2；
x2 y2 8x 6y 16 0 x 4 2 y 3 2圆 ，即 9，所以圆心为 4,3 ，半径为3；
2 2
所以两圆圆心距离为 4 0 3 0 5 2 3，
所以两圆外切.
故选：D
3．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）已知圆 C ： x21 y2 6x 4y 12 0与圆 C2：
x2 y2 6x 2y a 0，若圆 C1与圆 C2有且仅有一个公共点，则实数 a 的值为___________.
【答案】6 或 6
【解析】C1： x2 y2 6x 4y 12 0的圆心为 3， 2 ，半径为 r 1，圆 C ： x22 y2 6x 2y a 0的圆心
为 3，1 ，半径为R 10 a ，由于两圆只有一个公共点，则两圆外切或者内切，因此
3 3 2 2 1 2 = 10 a 1或 3 3 2 2 1 2 = 10 a 1 ，解得 a 6或 a 6 ，
故答案为：6 或 6
4．（2022·浙江·海宁一中高二期中）已知圆C1 : (x 1)
2 (y 2)2 1,C2 : (x 3)
2 (y 4)2 3，点P, A, B 分别
在 x 轴和圆C1,C2 上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求 PA PB 的最小值.
C C
【解析】（1）圆 1的圆心为 1 (1，2) C C，半径为 1，圆 2 的圆心为 2 (3，4)，半径为 3，
∵ C1C2 2 2 1 3 ，∴两圆外离；
PA PB PC1 PC2 1 3
（2） min min ，
作C1 (1，2)关于 x 轴的对称点C 1 (1, 2)，
则当C 、P、C2 三点共线时，所求最小值为 C 1 C2 1 3 2 10 1 31 ．
5．（2022·河南·高二阶段练习）圆 (x 1)2 y2 4与圆 (x 2)2 (y 1)2 25的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】由 (x 2)2 (y 1)2 25得圆心坐标为 A(2,1)，半径R 5，
由 (x 1)2 y2 4得圆心坐标为B( 1,0)，半径 r 2，
∴ AB = 10 ，R r 7，R r 3，∴R r AB R r ，即两圆相交．
故选：B．
6．（2022· 2 2江苏·高二阶段练习）已知圆C1 : x y 2x my 1 0(m R)的面积被直线 x 2y 1 0平分，圆
C : (x 2)2 (y 3)22 25，则圆C1与圆C2 的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
m
【解析】因为圆C1的面积被直线 x 2y 1 0平分，所以圆C1的圆心 1, 在直线 x 2y 1 02 上，
1 2 m所以
1 0，解得m 2 ，所以圆C1的圆心为 (1, 1) ，半径为2 1
．
因为圆C2 的圆心为 ( 2,3)，半径为5，所以 C1C2 ( 2 1)
2 (3 1)2 5，
故5 1 C1C2 5 1，所以圆C1与圆C2 的位置关系是相交．
故选：B．
7．（2022·上海中学东校高二期末）已知圆M : x2 y2 2ax 8截直线 l : x y 0所得的弦长为 34 ．则圆 M
与圆 N : x2 (y 1)2 4的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】由M : x2 y2 2ax 8，即 x a 2 y2 8 a2 ，
故圆心M a,0 ，半径 rM 8 a2 ，
a a
所以点M 到直线 l : x y 0的距离 d ，
1 1 2
2 r 2 d 2 34 2 8 a2 a
2
故 M ，即 34 ，2
解得： a 1；
所以M 1,0 ， rM 3；
又 N : x2 (y 1)2 4，圆心 N 0,1 ， rN 2，
所以 MN 1 2 12 2 ，
且 rM rN 1 2 5 rM rN ，
即圆M 与圆 N 相交，
故选：B.
8．（2021·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知圆C1的圆心在 x 轴上，且过 5,2 ， 0,3 两点．
(1)求圆C1的方程；
(2)若圆C 2 21与圆C2 : x 1 y 2 r 2 r 0 有公共点，求 r 的取值范围．
C : x a 2 y2 r 2 r 0
【解析】(1)由题意，设 1 1 1 ，
C 5,2 0,3 5 a 2由圆 过 ， 两点可得 22 21 r1 0 a
2 32 ，解得 a 2， r1 13 ，
2
所以圆C1的方程为 x 2 y2 13．
(2)C : x 1 22 y 2
2 r 2 (r＞0)的圆心为C2 1, 2 ，半径为 r，
因为圆C1与圆C2 有公共点，所以两圆外切、相交或内切，所以 r1 r C1C2 r1 r ，
又 C1C2 13 ，所以 13 r 13 13 r ，0 r 2 13 ，
又 r 0，所以 r 0,2 13 .
9．（2021·广东·南海中学高二阶段练习）已知圆C : (x 4)2 ( y 3)2 1和两点 A( a,0) 、B(a,0)(a 0)，若
圆C 上存在点 P ，使得 APB 90 ，则 a的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由 APB 90 得点 P 在圆 x2 y2 a2 上，
所以，点 P 在圆 x2 y2 a2 上，又在圆C 上，
所以，两圆有交点，
因为圆 x2 y2 a2 的圆心为原点O，半径为 a，圆C 的圆心为 4, 3 ，半径为1.
所以， | a 1| OC a 1，即 | a 1| 5 a 1 4 a 6
所以， a的最小值为 4 .
故选：D
10．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）在平面直角坐标系 xoy中，O(0,0) ， A(0, 3) ，动点M 满
足 AM 2 MO M 2 2， 的轨迹方程为____，M 的轨迹与圆 x 4 y 1 r 2 , (r 0)有公共点，则实数 r 的
取值范围是____．
【答案】 x2 (y 1)2 4 [2,6]
【解析】设M (x, y)，由 AM 2 MO 得 x2 y 3 2 4 x2 y2 ，化简得 x2 (y 1)2 4；
M 2 2的轨迹与圆 x 4 y 1 r 2 , (r 0)有公共点，两圆心分别为 (0,1), (4,1)，圆心之间的距离为 4，
故 r 2 4 r 2，解得 2 r 6 .
故答案为： x2 (y 1)2 4；[2,6] .
考点 2：两圆的公共弦问题
11．（多选题）（2022·江苏· 2南京市中华中学高二开学考试）已知圆C1 : x 1 y 3
2 11与圆
C : x2 y22 2x 2my m
2 3 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆C2 与 x 轴相切，则m 2
B．若m 3，则圆 C1与圆 C2相离
C 2．若圆 C1与圆 C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为 4x 6 2m y m 2 0
D．直线 kx y 2k 1 0与圆 C1始终有两个交点
【答案】BD
【解析】因为C1 : (x 1)
2 ( y 3)2 11 C : (x 1)2 ( y m)2， 2 4，
对 A，故若圆C2 与 x 轴相切，则有 | m | 2，故 A 错误；
对 B，当m 3时， C 2 21C2 (1 1) (3 3) 2 10 6 2 11，两圆相离，故 B 正确；
对 C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程 4x (6 2m)y m2 2 0，故 C 错误；
对 D，直线 kx y 2k 1 0过定点 2,1 ，而 (2 1)2 (1 3)2 5 11 2,1 C : (x 1)2，故点 在圆 1 ( y 3)2 11
内部，所以直线 kx y 2k 1 0与圆C1始终有两个交点，故 D 正确.
故选：BD
12．（多选题）（2022· 2 2江苏省如皋中学高二开学考试）已知圆O1 : x y 2x 3 0和圆
O2 : x
2 y2 2y 1 0的交点为 A，B，则（ ）.
A．两圆的圆心距O1O2 2
B．直线 AB 的方程为 x y 1 0
C．圆O2 上存在两点 P 和 Q 使得 | PQ | | AB |
D．圆O1上的点到直线 AB 的最大距离为 2 2
【答案】BD
2
【解析】由圆O1 : x y
2 2x 3 0 2 2和圆O2 : x y 2y 1 0，
可得圆O1 : x 1
2 y2 4 和圆O2 : x
2 y 1 2 2，
则圆O1的圆心坐标为 (1,0)和半径为 2，圆O2 的圆心坐标( 0, 1)和半径 2 ，
对于 A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距 | O O 2 21 2 | (1 0) (0 1) 2 ，故 A 错误；
对于 B，将两圆方程作差可得 2x 2y 2 0，即得公共弦 AB 的方程为 x y 1 0 ，故 B 正确；
对于 C，直线 AB 经过圆O2 的圆心坐标( 0, 1)，所以线段 AB 是圆O2 的直径，故圆O2 中不存在比 AB 长的弦，
故 C 错误；
对于 D，圆O
|1 1|
1的圆心坐标为 (1,0)，半径为 2，圆心到直线 AB： x y 1 0 的距离为 2 ，所以圆O2 1
上的点到直线 AB 的最大距离为 2 2 ，故 D 正确．
故选：BD
13 2022· · O : x2 2 2 2．（多选题）（ 江苏 高二阶段练习）圆 1 y 2x 0和圆O2 : x y 2x 4y 0的交点为 A，
B，则有（ ）
A．公共弦 AB 所在直线的方程为 x y 0
B．公共弦 AB 所在直线的方程为 x y 1 0
C 2．公共弦 AB 的长为
2
D．P 为圆O1上一动点，则 P 到直线 AB
2
距离的最大值为 1
2
【答案】AD
【解析】由 x2 y2 2x 0与 x2 y2 2x 4y 0作差可得4x 4 y 0，
即公共弦 AB 所在直线的方程为 x y 0，故 A 正确，B 错误；
1 0 2
对于 C，圆心O1(1,0)到直线 x y 0的距离为 d O2 ，圆 的半径 r 1，1 ( 1)2 2 1
2
2
所以 AB 2 1 2 ，故 C 错误；
2
对于 D，点 P 2为圆O1上一动点，则点 P 到直线 AB 距离的最大值为 d r 1，故 D 正确.
2
故选：AD.
14．（多选题）（2022·浙江杭州·高二开学考试）已知圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O ：x22 ＋y2＋2x－4y＝0 相交
于 A，B 两点，则有（ ）
A．公共弦 AB 所在的直线方程为 x－y＝0
B AB 2．公共弦 的长为
2
C．圆 O2上到直线 AB 距离等于 1 的点有且只有 2 个
D．P 为圆O 21上的一个动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为 1
2
【答案】ACD
【解析】圆 O 2 2 2 21：x ＋y －2x＝0 的圆心为O1 1,0 , r1 1；圆 O2：x ＋y ＋2x－4y＝0 的圆心为
O2 1,2 , r2 5 ；
对A ：两圆相交且交于 A, B两点，故 AB 所在直线方程为：x2＋y2 2x x2 2－ y 2x 4y 0 ，整理得：
x y 0，故A 正确；
1 2
对B：圆心O 1,0 到直线 x y 0的距离 d ，故 AB 2 r 2 21 1 1 d1 2 ，故B错误；2 2
对C ：因为O2到直线 x y 0 d
3 3 2
的距离 2 r d 5
3 2
，而 1，
2 2 2 2 2
则圆 O2上到直线 AB 距离等于 1 的点有且只有 2 个，故C 正确；
对D ：因为圆心O1 1,0 到直线 x y 0 1 2的距离 d1 ，2 2
故圆O1上的动点 P 到直线 x y 0
2
的最大值为 d1 r 1，故D 正确.2
故选：ACD .
15．（2022·全国·高二期中）已知圆C 21 : x y2 2x 10y 24 0 和圆C : x
2 y22 2x 2 y 8 0 .
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在直线的方程；
(3)求公共弦的长度.
【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为
C1 : (x 1)
2 (y 5)2 50，C2 : (x 1)
2 (y 1)2 10 ,
则圆C1的圆心为 (1, 5)，半径 r1 5 2 ；
圆C2 的圆心为 ( 1, 1)，半径 r2 10 .
C1C2 2 5 ， r1 r2 5 2 10 ， r1 r2 5 2 10 ，
r1 r2 C1C2 r1 r2 ， 两圆相交.
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 x 2y 4 0 .
x2 y2 2x 10y 24 0
(3)由 2 ,
x y
2 2x 2y 8 0
x 4 x 0
解得 或
y 0 y 2
,
两圆的交点坐标为( 4, 0)和 (0,2) .
两圆的公共弦的长度为 ( 4 0)2 (0 2)2 2 5 .
16．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知圆 M 经过点 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2) .
(1)求圆 M 的一般方程；
(2)求圆 M 与圆 x2 y2 2的公共弦长.
2 2
【解析】(1)设圆 M： x y Dx Ey F 0，把 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2) 三点坐标代入圆 M 得：
F 0 D 2
4 2D F 0 E 2
4 4 2D 2E F 0 F 0，解得：
所以圆 M 的一般方程为 x2 y2 2x 2y 0
(2)联立 x2 y2 2x 2y 0与 x2 y2 2得： x y 1，即 y 1 x，代入到圆 x2 y2 2 1 3中，解得： x1 ，2
1 3 y 1 x 1 3 1 3
1 3 1 3
x2 ，分别代入 ，求出 y1 ， y2 ，所以两交点的坐标为2 2 2
, ，
2 2
1 3 ,1 3
2 2
1 3 1 3
1 3 1 3
，则公共弦长等于2 2 6 2 2 2 2
17 2021· · C：x2 y2．（ 黑龙江 牡丹江一中高二期中）已知圆 1 2x 6y 1 0，C2 : x
2 y2 10x 12y 45 0
(1)求证：C1,C2 相交；
(2)求圆C1,C2 的公共弦所在的直线方程．
1
2 2
【解析】(1)圆C1 : x y 2x 6y 1 0 C1(1,3)
r1 4 36 4 11
的圆心 ，半径 2 ，
C2 : x
2 y2 10x 12y 45 1 0的圆C2 (5,6)，半径 r2 100 144 180 4，2
| C1C2 | (5 1)
2 (6 3)2 5，
4 11 | C1C2 | 5 4 11 ，
圆C1和圆C2 相交．
(2) 两圆C1 : x
2 y2 2x 6y 1 0 C : x2 y2， 2 10x 12y 45 0，
两圆相减，得圆C1和圆C2 的公共弦所在直线方程为：
8x 6y 46 0，即 4x 3y 23 0．
18．（2022·江苏· 2 2 2 2高二阶段练习）已知圆C1：x y 10与圆C2：x y 2x 2y 14 0 ．
(1)求证：圆C1与圆C2 相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线 x y 6 0 上的圆的方程．
C 2 2
2 2
【解析】（1）证明：圆 2 ： x y 2x 2y 14 0 x 1 y 1 16化为标准方程为 ，
C2 1, 1 ， r 4
C : x2圆 1 y
2 10 的圆心坐标为C1 0,0 ，半径为R 10 ，
C1C2 2 ，
4 10 2 4 10 ， 两圆相交；
2 2 2 2
（2）由圆C1 : x y 10 与圆C2 : x y 2x 2y 14 0，
将两圆方程相减，可得 2x 2y 4 0，
即两圆公共弦所在直线的方程为 x y 2 0；
x2 y2 2x 2y 14 0 x 3 x 1
2 2 或
（3）由 x y 10 ，解得 y 1 y 3 ，
则交点为 A 3, 1 ，B 1,3 ，
圆心在直线 x y 6 0上，设圆心为P 6 n,n ，
则 AP BP ，即 6 n 3 2 n 1 2 6 n 1 2 n 3 2 ，解得 n 3，
故圆心P 3,3 ，半径 r AP 4，
所求圆的方程为 (x 3)2 y 3 2 16．
考点 3：公切线问题
19．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试）已知圆 x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(1)求证：对任意实数 a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆 x2＋y2＝4 相切，求 a 的值．
【答案】(1)见解析(2) a＝1± 5 .
5
【解析】
【分析】
试题分析：（1）将 a分离，可得(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，对任意实数 a成立，则
x2 y2 20 0
{ ，即可求出定点坐标；（2）将圆的方程化为标准方程，由题意可将两圆关系分为外切和内
4x 2y 20 0
切，分别求出 a的值.
试题解析：(1)证明：圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，
此方程表示过圆 x2＋y2－20＝0 和直线－4x＋2y＋20＝0 交点的圆系．
x2 y2 20 0 x 4
由{ 得
4x 2y 20 0 y 2
∴已知圆恒过定点(4，－2)．
(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.
①当两圆外切时，d＝r1＋r2，
即 2 5(a 2)2 5a2 ，
解得 a＝1 5 或 a＝1 5 (舍去)；
5 5
②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，
即 5(a 2)2 2 5a2 ，
解得 a 5 5＝1 或 a＝1 (舍去)．
5 5
5
综上所述，a＝1 .
5
20．（2021·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C1：
x2 y2 4x 0，C ： x2 y22 4x 3 0 ，及点 A 1,0 和B 1,2 .
(1)求圆C1和圆C2 公切线段的长度；
(2)在圆C1上是否存在点 P，使得PA2 PB2 12？若存在，求点 P 的个数；若不存在，说明理由.
2 2 2
【解析】(1) C圆 1： x y 4x 0 x 2 y
2 4 C
，即 ， 1
2,0
， r1 2
圆C ： x2 22 y 4x 3 0
2
，即 x 2 y2 1，C2 2,0 ， r2 1，
圆心距为 4 r1 r2 ，故两圆外离，共有 4 条公切线段，两两长度相同，
2 2
当两圆在公切线同侧时： l1 C1C2 r2 r1 16 1 17 .
2 2
当两圆在公切线异侧时： l2 C1C2 r2 r1 16 9 7 .
综上所述，公切线段长为 17 或 7 .
(2)假设存在P x, y x 1 2 2满足条件，即 y2 x 1 y 2 2 12，
化简得到： x2 y 1 2 4，圆心为C3 0,1 ，半径 r3 2 .
r r 2 21 3 C1C3 2 1 5 r1 r3 ，故两圆相交，有两个交点.
故点 P 的个数为 2.
21．（2022·江苏南京· 2 2 2 2高二期末）已知圆O1 : x y 4 ，圆O2 : x y 2mx 2my 4 0 m 0 ，则同时与
圆O1和圆O2 相切的直线有（ ）
A．4 条 B．2 条 C．1 条 D．0 条
【答案】B
2 2
【解析】由O1 : x y 4 ，得圆O1 0,0 ，半径为 r1 2，
2 2
由O2 : x y 2mx 2my 4 0 m 0 ，得O2 m, m ，半径为
r 1 2m 22 2m
2 4 4 2m2 4
2
2 2
所以 O O 21 2 m 0 m 0 2m 0，
r2 r1 2m
2 4 2 0 ， r1 r2 2 2m
2 4 ，
所以 r2 r1 O1O2 r1 r2，所以圆O1与圆O2 相交，
所以圆O1与圆O2 有两条公共的切线.
故选：B.
22．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知圆O ： x2 y2 16和圆O ： x2 y21 2 6mx 8my 24m2 0
有且仅有 4 条公切线，则实数m 的取值范围是（ ）
A． , 1 1, B． 1,1
C． , 2 3, D． 2,3
【答案】A
【解析】圆O ： x21 y2 16的圆心O1 0,0 ，半径 r1 4，圆O ： x2 y22 6mx 8my 24m2 0的圆心
O2 3m, 4m ，半径 r1 m
根据题意可得，圆O1、O2 相离，则 O1O2 r1 r2 ，即5 m 4 m
∴m , 1 1,
故选：A．
23．（2022·安徽省宣城中学高二开学考试）圆 x2 y2 4x 0与圆 x2 y2 4x 2y 4 0 的公切线条数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】圆 x2 y2 4x 0的标准方程为 x 2 2 y2 4 ，圆心坐标为 2,0 ，半径长为 r 2 .
圆 x2 y2 4x 2y 4 0 2的标准方程为 x 2 y 1 2 9，圆心坐标为 2,1 ，半径长为R 3 .
圆心距为 d 2 2 2 0 1 2 17 ，由于1 17 5，即R r d R r ，
所以，两圆相交，公切线的条数为 2 .
故选：B.
24．（2022·上海·格致中学高二期中）已知圆O1 : x
2 y2 4 O : x2 2，圆 2 y 2mx 2my 4 0 m 0 ，则同
时与圆O1和圆O2 相切的直线有（ ）
A．4 条 B．2 条 C．1 条 D．0 条
【答案】B
2 2
【解析】由O1 : x y 4 ，得圆O1 0,0 ，半径为 r1 2，
由O2 : x
2 y2 2mx 2my 4 0 m 0 ，得O2 m, m ，半径为
r 12 2m
2 2m 2 4 4 2m2 4
2
所以 O O 2 2 21 2 m 0 m 0 2m 0，
r r 22 1 2m 4 2 0 ， r1 r2 2 2m
2 4 ，
所以 r2 r1 O1O2 r1 r2，所以圆O1与圆O2 相交，
所以圆O1与圆O2 有两条公共的切线.
故选：B.
25 2 2．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））若圆 x2 y2 1与圆 x a y 4 16有 3 条公切线，则正数
a=___________.
【答案】3
【解析】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴ a2 42 5∴ a 3,又a 0, a 3
故答案为：3
26．（2022·江苏南京·高二期末）若点O(0,0), M (3,4)到直线 l 的距离分别为 1 和 4，则这样的直线 l 共有
___________条．
【答案】3
【解析】以O为圆心，1 为半径长的圆O方程为 x2 y2 1，
以M 2为圆心，4 为半径的圆M 方程为 x 3 (y 4)2 16，
两圆的圆心距 OM 9 16 5 1 4，
所以两圆相外切，有三条公切线．
所以满足条件的直线 l共有 3 条．
故答案为：3.
27．（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）写出与圆 x2 y2 1和 (x 3)2 (y 4)2 16都相切的一条直线的方
程________________．
y 3 x 5 7 25【答案】 或 y x 或 x 1
4 4 24 24
【解析】方法一：
显然直线的斜率不为 0，不妨设直线方程为 x by c 0，
| c | 1 | 3 4b c |于是 ， 4.
1 b2 1 b2
故 c2 1 b2①， | 3 4b c | | 4c | .于是3 4b c 4c或3 4b c 4c，
24 4
b 0 b b 7 3
再结合①解得 c 1 或 25 或 ， c c 5
7 3
所以直线方程有三条，分别为 x 1 0，7x 24 y 25 0，3x 4y 5 0.
( 填一条即可 )
方法二：
设圆 x2 y2 1的圆心O(0,0) ，半径为 r1 1，
圆 (x 3)2 (y 4)2 16的圆心C(3, 4)，半径 r2 4，
则 | OC | 5 r1 r2 ，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 x 1 0符合题意；
又由方程 (x 3)2 (y 4)2 16和 x2 y2 1相减可得方程3x 4y 5 0，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 4x 3y 0，
直线 OC 与直线 x 1 0的交点为 ( 1,
4
)，
3
4 k
4
7
设过该点的直线为 y k(x 1) ，则 33 1，解得
k ，
k 2 24 1
从而该切线的方程为 7x 24y 25 0.(填一条即可 )
方法三：
圆 x2 y2 1的圆心为O 0,0 ，半径为1，
圆 (x 3)2 (y 4)2 16的圆心O1为 (3, 4) ，半径为 4，
两圆圆心距为 32 42 5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
4 3 3
当切线为 l 时，因为 kOO ，所以 kl ，设方程为 y x t(t 0)1 3 4 4
d | t | 1
O 到 l 的距离 9 ，解得 t
5 3 5
1 ，所以 l 的方程为
y x ，
4 4 4
16
当切线为 m 时，设直线方程为 kx y p 0 ，其中 p 0， k 0，
p
1 2 k
7
1 k 24 7 25
由题意 ，解得 ， y x
3k 4 p p 25 24 24
4 1 k 2 24
当切线为 n 时，易知切线方程为 x 1，
y 3 x 5 y 7 x 25故答案为： 或 或 x 1 .
4 4 24 24
28．（2021·江苏·南京师大附中高二阶段练习）圆 A : x2 y2 4x 2y 1 0与圆 B : x2 y2 6x 12y 44 0，
则圆 A 与圆 B 的公切线方程为___________.
【答案】 x 4， 24x 7y 5 0， 3 41 7 x 8y 48 8 41 0或 3 41 7 x 8y 48 8 41 0
【解析】 A : x2 y2 4x 2y 1 0，圆心 A 2, 1 ，半径 r1 2；
B : x2 y2 6x 12y 44 0，圆心B 3,6 ，半径 r2 1，
因为两圆的圆心距 AB 2 3 2 1 6 2 5 2 r1 r2，
所以两圆相离，即圆 A 与圆 B 的公切线有 4条，
当直线的斜率不存在时， x 4与两圆均相切；
当直线的斜率存在时，设 y kx b，即 kx y b 0，
2k 1 b
2 242 k k 7 3 41 k 7 3 41 k 1 7
所以 ，解得 ， 8 或 8 ，
3k 6 b 1 b
5
7 b 6 41 b 6 41 k 2 1
所以圆 A 与圆 B 的公切线方程有 24x 7y 5 0， 3 41 7 x 8y 48 8 41 0或
3 41 7 x 8y 48 8 41 0，
故答案为： x 4， 24x 7y 5 0， 3 41 7 x 8y 48 8 41 0或 3 41 7 x 8y 48 8 41 0
考点 4：圆系方程的应用
29．过圆 x2 y2 2y 4 0 与 x2 y2 4x 2y 0的交点，且圆心在直线 l : 2x 4y 1 0 上的圆的方程是
_______．
【答案】 x2 y2 3x y 1 0
【解析】
x2 y2设圆的方程为 4x 2y (x2 y2 2y 4) 0 1 ，
则 1 x2 4x 1 y2 2 2 y 4 0 ，
x2 y2 4 x 2 2 y 4
2 , 1即 0
，所以圆心坐标为
1 1 1 1 1
，
2
把圆心坐标 ,
1
代入 2x 4y 1 0
1
1 1 ，可得 ， 3
所以所求圆的方程为 x2 y2 3x y 1 0 ．
故答案为： x2 y2 3x y 1 0 ．
30 C : x2．已知圆 1 y
2 2x 3 0与圆C2 : x
2 y2 4x 2y 3 0相交于 A、B 两点．
（1）求公共弦 AB 所在直线方程；
（2）求过两圆交点 A、B，且过原点的圆的方程．
【解析】（1） x2 y2 2x 3 0，①
x2 y2 4x 2y 3 0 ，②
①-②得 2x 2y 6 0
即公共弦 AB 所在直线方程为 x y 3 0．
2 2 2 2
（2）设圆的方程为 x y 2x 3 x y 4x 2y 3 0
即 (1 )x2 (1 )y2 (2 4 )x 2 y 3 3 0
因为圆过原点，所以 3 3 0， 1
所以圆的方程为 x2 y2 3x y 0
31 2 2．已知圆C1 : x y 6x 16 0,C : x
2
2 y
2 4x 5 0．求证：对任意不等于 1的实数 ，方程
x2 y2 6x 16 x2 y2 4x 5 0 是通过两个已知圆交点的圆的方程．
【解析】若 (m,n)是圆C1、圆C2 的交点坐标，则m2 n2 6m 16 0且m2 n2 4m 5 0，
所以 (m,n) 2 2 2 2必在 x y 6x 16 x y 4x 5 0 上，
x2 y2又 6x 16 x2 y2 4x 5 (1 )x2 (1 )y2 (6 4 )x 16 5 0，
3 2 2(x )2 y2 9 9 25 9(
1)2 91
所以 2 ，则在 1时 2 4 0，方程表示圆，1 (1 ) (1 )2
2 2 2 2
综上，对任意不等于 1的实数 ，方程 x y 6x 16 x y 4x 5 0 是通过两个已知圆交点的圆
的方程．
32 C : x2 2．已知圆 1 y 4x 4y 4 0和圆C2 : x
2 y2 2x 0．
（1）求证：两圆相交；
（2）求过点 2,3 ，且过两圆交点的圆的方程．
【解析】（1）证明：∵圆C : x21 y
2 4x 4y 4 0，即 x 2 2 y 2 2 4，表示以C1 2,2 为圆心，半
2 2 2
径等于 2 的圆，圆C2 : x y 2x 0，即 x 1 y2 1，表示以C2 1,0 为圆心，半径等于 1 的圆，所以
两圆的圆心距C1C2 1 4 5 ，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交．
2 2 2 2 2（ ）设过两圆交点的圆的方程为 x y 4x 4y 4 x y 2x 0．
1
把点 2,3 代入，求得 ．
3
x2 y2故所求圆的方程为 4x 4y 4
1
x2 y2 2x 0 ，
3
2 2 7
即 x y x 3y 3 0．
2
33．（2021·北京通州·高二期中）经过点M (2, 2)以及圆 x2 y2 6x 0 与圆 x2 y2 2x 4y 0交点的圆的方
程为________．
【答案】 x2 y2 5x y 0
【解析】设过圆 x2 y2 6x 0 与圆 x2 y2 2x 4y 0交点的圆的方程为： x2 y2 6x (x2 y2 2x 4y) 0
①
1 1
把点M 的坐标 (2, 2)代入①式得 ，把 代入①并化简得 x2 y2 5x y 0，
3 3
所求圆的方程为： x2 y2 5x y 0，
故答案为： x2 y2 5x y 0．
