椭圆及其 性质
【知识梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数 2a （ 2a | F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做
椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 2c ，定义用集合语言表示为：
P || PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 | 2c 0)
注意：当 2a 2c 时，点的轨迹是线段；
当 2a 2c时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的位
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
置
图形
x2 y2 2 2
标准方程 2 2 1 a b 0
y x
2 1 a b 0 a b a b2
统一方程 mx2 ny2 1(m 0,n 0,m n)
x a cos x a cos
参数方程 , 为参数（ [0,2 ]） , 为参数（ [0,2 ]）
y bsin y bsin
第一定义 到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数 2 a，即 | MF1 | | MF2 | 2a（ 2a | F1F2 |）
范围 a x a 且 b y b b x b且 a y a
A1 a,0 、 A2 a,0 A1 0, a 、 A2 0,a
顶点
1 0, b 、 2 0,b 1 b,0 、 2 b,0
轴长 长轴长 2a ，短轴长 2b 长轴长 2a ，短轴长 2b
对称性 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c
F F 2c (c2 a2 2焦距 1 2 b )
c c2 a2 b2 b2
离心率 e 1 (0 e 1)
a a2 a2 a2
a2
准线方程 x
c
点和椭圆 1 外 1 外
x20 y
2
0 1 (x , y ) y
2 x20 0 2 点 在椭圆 上a b2 0 0 a2 b2
1 点(x0 , y0 )在椭圆 上
的关系 1 内 1 内
x0 x y0 y 1 (x y y x x2 2 （ 0 , y0 ) 为切点）
0
2
0 1（ (x , y ) 为切点）
a b a b2 0 0
切线方程 对于过椭圆上一点 (x0 , y0 ) 的切线方程，只需将椭圆方程中 x
2 换为 x0 x ， y
2 换为
y0 y 可得
切点弦所
x0 x y0 y 1( (x , y ) y y x在的直线 点 在椭圆外） 0 0 x2 2 0 0 2 1(点(x , y )在椭圆外）a b a b2 0 0
方程
2
① cos 2b 1, F BF ，（ B 为短轴的端点）
r r max 1 21 2
1 2 c | y |,焦点在x轴上② S PF F r1r2 sin b tan
0
( F PF )
焦点三角 1 2 2 2 1 2 c | x0 |,焦点在y轴上
形面积
当P点在长轴端点时, （r1r
2
③ 2
）min =b
当P点在短轴端点时, （r r）max =a2 1 2
焦点三角形中一般要用到的关系是
| MF1 | | MF2 | 2（a 2a 2c）
S 1 PF F | PF1 || PF | sin F1 2 2 2 1
PF2 )
| F
2 2
1F2 | | PF1 | | PF |
2
2 2 | PF1 || PF2 | cos F1PF2
左焦半径： MF a ex 上焦半径： MF1 a ey1 0 0
焦半径 又焦半径： MF a ex 下焦半径： MF1 a ey1 0 0
焦半径最大值 a c ，最小值 a c
= 2 b
2
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长 （最短的过焦点的弦）
a
设直线与椭圆的两个交点为 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )， kAB k ，
则弦长 AB 1 k 2 x1 x2 1 k
2 (x1 x2 )
2 4x1x2
弦长公式
1 1 2 (y1 y2 )
2 4y 2
k 1
y2 1 k | a |
（其中 a是消 y 后关于 x 的一元二次方程的 x2 的系数， 是判别式）
【专题过关】
【考点目录】
【题型归纳目录】
考点 1：椭圆的定义与标准方程
考点 2：椭圆方程的充要条件
考点 3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
考点 4：椭圆上两点距离的最值问题
考点 5：椭圆上两线段的和差最值问题
考点 6：离心率的值及取值范围
考点 7：椭圆的简单几何性质问题
考点 8：利用第一定义求解轨迹
考点 9：直线与椭圆的位置关系
【典型例题】
考点 1：椭圆的定义与标准方程
1．（2022·河南· 2南阳市创新高级中学高二阶段练习）已知直线 y x与椭圆在第一象限内交于 M 点，又
2
MF2⊥x 轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为 F1，若MF1 MF2 2，求椭圆的标准方程．
2 2
2．（2022· x y河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知 P 是椭圆 1上的一个点，F1、F2 是椭圆的两25 16
个焦点，若 PF1 3，则 PF2 等于（ ）
A．10 B． 7 C．5 D． 2
2 2
3．（2022· · x y陕西 西北农林科技大学附中高二期末（文））椭圆 1上的一点 M 到其左焦点F1的距离为25 9
2，N 是MF1 的中点，则 ON 等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2 2
4．（2022· x y江苏·南京市第二十九中学高二开学考试）椭圆 1， ABC 的顶点 B、C 分别是椭圆的焦
25 9
sin B sin C sin A
点，顶点 A 在椭圆上，则 的值为（ ）
sin B sin C sin A
3 4 1
A． B． C． D．9
5 5 9
5．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点为 F1( 5,0)， F2 ( 5,0)，M 是椭圆上
一点，若MF1 MF2， MF1 MF2 8，则该椭圆的方程是（ ）
2
A x y
2 2 2 2 2 2 2
． 1 B x y． 1 C x y． 1 D x y． 1
7 2 2 7 9 4 4 9
3
6．（2022·陕西·绥德中学高二阶段练习（文））焦点在 y 轴上，长轴长为 10，离心率为 的椭圆的标准方程
5
为（ ）
A x
2 y2 y2 x2
． 1 B． 1
100 64 100 64
x2 y2 2 2C x y． 1 D． 1
25 16 16 25
7 x
2 y2
．（2022·广东深圳·高二期末）如图，F1, F2 分别为椭圆 1的左 右焦点， P 为椭圆上的点，PT 为4 3
△F1PF2 的外角平分线，F2T PT ，则 OT （ ）
A．1 B．2 C． 3 D．4
2 2
8．（2022·贵州遵义· x y高二期末（理））若直线 x 2y 4 0过椭圆 2 2 1 a b 0 短轴端点和左顶点，a b
则椭圆方程为（ ）
A x
2 y2 2 2 2 2 2 2
． 1 B x y． 1 C x y 1 D x y． ． 1
4 2 16 4 4 16 12 9
9．（2022·全国·高二期末）椭圆以坐标轴为对称轴，经过点 3,0 ，且长轴长是短轴长的 2倍，则椭圆的标准
方程为（ ）
x2 4y2 2 2A． 1 B y x． 1
9 9 36 9
x2C 4y
2 y2 x2 2 2 2 2
． 1或 1 D x 4y． 1 y 4x或 1
9 9 36 9 9 9 9 9
10．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高二期末（文））古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的
面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2 均在 y 轴上，
椭圆 C 的面积为 2 3π，且短轴长为 2 3 ，则椭圆 C 的标准方程为（ ）
x2 x2 2 2 2 2 2A y2 1 B y x y x y． ． 1 C． 1 D． 1
12 4 3 3 4 16 3
2 2
11．（2022·吉林· x y抚松县第一中学高二阶段练习）设F1, F2 分别为椭圆C : 2 a b2
1 a b 0 左、右焦点，
1
点M ( 3, 15)在椭圆 C 上，且 MF2 F1F2 ，则椭圆 C 的标准方程为（ ）2
x2 y2 2 2A． 1 B x y． 1
20 15 25 20
2 2 2
C x y 1 D x y
2
． ． 1
36 16 36 20
2 2
12．（2022· · x y江苏 盐城市大丰区新丰中学高二期中）过点(－3，2)且与 1有相同焦点的椭圆方程是
9 4
（ ）
A x
2 y2 x2 y2
． 1 B． 1
15 10 10 15
x2 y2C 1 D x
2 y2
． ． 1
9 25 10 5
2 2
13．（2022· · x y辽宁 盘锦市第二高级中学高二期末）已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 两焦点间的距离为 2 2 ，a b
且过点 A 3, 2 ，则椭圆C 的标准方程为（ ）
x2 y2 x2 y 2A． 1 B． 1
4 2 6 4
2 2 2 2
C x y x y． 1 D． 1
8 6 5 3
2
14 2022· · A 3,0 B 0,2 x y
2
．（ 广东 西樵高中高二阶段练习）已知点 ， 在椭圆
m2
2 1上，则椭圆的标准方n
程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 x2 y2A． 1 B． 1 C． y2 1 D． 1
3 2 9 4 3 5 4
P 3 , 4 Q 4 15．（2022·新疆昌吉·高二期中）已知椭圆过点 和点 , 35 5 ，则此椭圆的方程是（ ）
2 2 2
A y． x2 1 B x y． y2 1或 x2 1
25 25 25
C x
2
． y2 1 D．以上均不正确
25
2 2
16．（2022· · x y江西 新余市第一中学高二开学考试）过点 A（3， 2）且与椭圆 1有相同焦点的椭圆的
9 4
方程为（ ）
x2 y2 2 2 2 2 2 2A． 1 B x y． 1 C x y x y． 1 D． 1
15 10 25 20 10 15 20 15
2 2
17．（2022· x y四川南充·高二期末（文））过椭圆C ： 2 2 1 a b 0 右焦点F 的直线 l： x y 2 0 交Ca b
1
于A ， B 两点， P 为 AB 的中点，且OP的斜率为 ，则椭圆C 的方程为（ ）
2
x 2 y 2 x2 y2A． 1 B． 1
8 4 9 5
x2 y2 x2 2C． 1 D y． 1
7 3 10 6
考点 2：椭圆方程的充要条件
2 2
18．（2022· x y宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））方程 1表示椭圆的充要条件是
5 k k
__________．
19 2 2．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二期中（文））能够说明“方程 m 1 x 3 m y m 1 3 m
的曲线是椭圆”为假命题的一个m 的值是__________．
2 2
20．（2022·四川· x y遂宁中学高二阶段练习（理））已知条件 p ：mn 0，条件q： 1表示一个椭圆，则
m n
p 是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2
21．（2022·甘肃天水· mn 0 x y高二期末（文）） 是 1表示椭圆的条件．
m n
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
x2 y222．（2021·上海市宝山中学高二期中）已知方程 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取
6 m 4 m
值范围是_______；
2 2
23．（2021· · x y广西 钦州一中高二期中（文））若椭圆 1的焦点在 y 轴上，则实数 k 的取值范围是
k 1 3 k
___________.
考点 3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
2 2
24．（2022· · x y广东 南海中学高二阶段练习）已知椭圆 1的左、右焦点分别为 F1, F2 ，点 M 在椭圆上，9 2
若 | MF1 | 4，则 F1MF2 （ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
2 2
25．（2022· · x y四川内江 高二期末（理））已知 P 是椭圆 1上的点， F1、 F2 分别是椭圆的左、右焦点，25 9
P F若 1
P F 2 1 ，则△F1PFPF PF 2 2 的面积为（ ）1 2
A．3 3 B．9 3 C． 3 D．9
26 x
2 y2
．（多选题）（2022·湖北·高二阶段练习）已知 P 是左右焦点分别为F1，F2 的 1上的动点，12 4
M 0,3 ，下列说法正确的有（ ）
A． MP 的最大值为 5 B． PF1 PF2 4 3
C．存在点 P ，使 F1PF2 120 D． PF1 PF2 的最大值为 4 2
2 2
27 x y．（多选题）（2022·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）已知椭圆C ： 1，F1，F2 分别为它的25 9
左右焦点，A ， B 分别为它的左右顶点，已知定点Q 4,2 ，点 P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的
有（ ）
A．存在点 P ，使得 F1PF2 120 B．直线PA与直线 PB斜率乘积为定值
1 25
C．
18
PF PF 有最小值 D． PQ PF 的范围为
1 2 17,12 5 1 2
2 2
28．（多选题）（2022· C : x y浙江省龙游中学高二期末）已知椭圆 1的左、右两个焦点分别为F1，F2 ，P9 8
为椭圆上一动点，M 1,1 ，则下列结论正确的有（ ）
A．△PF1F2 的周长为 8 B．△PF1F2 的最大面积为 2 2
C．存在点 P 使得PF1 PF2 0 D． PM PF1 的最大值为 5
2 2
29 x y．（多选题）（2022·安徽省五河第一中学高二阶段练习）已知 P 是椭圆E : 1上一点，F1，F2 为其8 4
左、右焦点，且△F1PF2 的面积为 3，则下列说法正确的是（ ）
A． P 点纵坐标为 3 B． F1PF2 2
F PF 3C．△ 1 2 的周长为 4( 2 1) D．△F1PF2 的内切圆半径为 ( 2 1)2
2 2
30．（2022·四川凉山· x y高二期末（文））已知F1，F2 是椭圆C : 1的两个焦点，点 M 在椭圆 C 上，4 3
MF1 MF2 的最大值为（ ）
A． 2 3 B． 3 C．2 D．4
2 2
31．（2022· x y山西·康杰中学高二开学考试）已知椭圆C ： 1，F1，F2 分别为它的左右焦点，A ， B25 9
分别为它的左右顶点，已知定点Q 4, 2 ，点 P 是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（ ）
A．存在点 P ，使得 F1PF2 120 B．直线PA与直线 PB斜率乘积为定值
1 25 18
C． PF PF 有最小值 D． PQ PF5 1
的范围为 2 17,12
1 2
2 2
32．（2022· x y上海市嘉定区第二中学高二阶段练习）椭圆 1的左右焦点分别为F1、F2 ， P 为椭圆上一25 9
点，且 F1PF2 60 ，则△F1PF2 的面积为_____________.
33．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知椭圆C 的两焦点分别为F1 1,0 、
F2 1,0 ， P 为椭圆上一点，且 2 F1F2 PF1 PF2 ．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点 P 在第二象限， F1PF2 120 ，求△PF1F2的面积．
考点 4：椭圆上两点距离的最值问题
2 2
34．（2022· x y新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知椭圆 C1： ＋ 2 ＝1（0＜b＜2）的离心率4 b
1
为 2 ，F1和 F2是 C1的左右焦点，M 是 C1上的动点，点 N 在线段 F1M 的延长线上，｜MN｜＝｜MF2｜，
线段 F2N 的中点为 P，则｜F1P｜的最大值为__________．
2 2
35．（2022· · x y新疆 乌苏市第一中学高二阶段练习）已知点M在椭圆 1上运动，点N在圆 x2 (y 1)2 1
18 9
上运动，则 | MN |的最大值为_________．
2
36 y．（2022·广东·广州市真光中学高二期中）已知动点M 在以F1，F2 为焦点的椭圆 x2 1上，动点 N 在4
以M 为圆心，半径长为 | MF1 | 的圆上，则 | NF2 |的最大值为（ ）
A． 2 B． 4 C．8 D．16
37．（2022·辽宁·高二期中）设F , F 是椭圆mx2 21 2 y m(0 m 1)的左 右焦点， P 是椭圆上任意一点，若
PF 22 1
的最小值是 ，则m 的值为（
PF 3 ）1
3 8 1A． B． C 3． D．
4 9 2 9
2
38．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设 B 是椭圆C : x y2 1的上顶点，点 P 在 C 上，则 PB 的最大
4
值为________.
2 2
39．（2021· · x y福建宁德 高二期中）点 P 为椭圆 1上一点，F 为焦点，则 PF 的最大值为（ ）
5 9
A．1 B．3 C．5 D．7
2 2
40．（2021·河北· x y正定一中高二期中）椭圆 1上任一点 P 到点Q 1,0 的距离的最小值为（ ）
9 5
A B 15． 3 ． C．2 D 2 5．
2 3
41．（2022·江西省万载中学高二阶段练习（理））线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M 是 AB 的中点，
当点 P 在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（ ）
A．5 B． 5 C．2 D． 2
2 2
42．（2022· x y四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知椭圆 1 xy 0 ，其中F1、F2 为椭圆的4 3
左、右焦点，O为坐标原点．过F1的直线 l1与过F2 的直线 l2交于点 N ，线段 F1N 的中点为M ，线段 F1N 的垂
直平分线MP 与 l2的交点 P （第一象限）在椭圆上，则 OM 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0, 3 C． 1, 3 D． 1,2
考点 5：椭圆上两线段的和差最值问题
2 2
43．（2022· y x辽宁大连·高二期中）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C : 1(m 4)，点 A 2,2
m m 4
是椭圆内一点，B 0, 2 ，若椭圆上存在一点 P ，使得 | PA | | PB | 8，则m 的范围是________；当m 取得
最大值时，设Q为椭圆上任意一点，C 0, 2 ，则 | QB |2 | QC |2的最小值为________．
2 2
44．（2022· · x y湖北 高二阶段练习）已知F 是椭圆C ： 1的左焦点， P 为C 上一点， A 1,2 ，则
18 9
PA PF 的最小值为______.
2 2
45．（2022· x y四川遂宁·高二期末（理））已知 F 是椭圆C : 1的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q
4 3
坐标为 (1,1) ，则 | PQ | | PF |的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． 41 D．13
2 2
46．（2022· x y河北石家庄·高二期末）已知F 是椭圆C : 1的左焦点， P 为椭圆C 上任意一点，点Q坐
16 15
标为 (4, 4)，则 | PQ | | PF |的最大值为（ ）
A． 41 B．13 C．3 D．5
2 2
47．（2022· C : x y江苏省灌云高级中学高二阶段练习）已知椭圆 1的右焦点为F ， P 为椭圆C 上一动
4 3
点，定点 A(2, 4) ，则 | PA | | PF |的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． 17 D． 17
x2 248．（2022· y山西·高二期末（理））点 P 在椭圆C1 : 1上，C1的右焦点为F ，点Q在圆4 3
C : x2 y22 6x 8y 21 0上，则 PQ PF 的最小值为
A． 4 2 4 B．4 4 2 C．6 2 5 D． 2 5 6
考点 6：离心率的值及取值范围
49 x
2 y2
．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆 2 2 1(a b 0)，过椭圆的左焦点F 且斜率a b
为 3的直线 l 与椭圆交于 A, B两点（A 点在 B 点的上方），若有 AF 2FB，则椭圆的离心率为________.
2 2
50．（2022· x y江西·新余市第一中学高二开学考试）直线过椭圆： 2 2 1 a 0,b 0 的左焦点F 和上顶点a b
A ，与圆心在原点的圆交于 P ，Q两点，若PF 3FQ， POQ 120 ，则椭圆的离心率为______.
51．（2022·广东·高二阶段练习）已知椭圆 E 的两个焦点分别为F1, F2 ，点 P 为椭圆上一点，且
tan PF F 1 1 2 ,tan PF2F1 2，则椭圆 E 的离心率为______.2
2 2
52 x y．（2022·新疆·乌市八中高二期中（理））已知椭圆C : 1 a b 0 的两个焦点为 F1 c,0 和F2 c,0 a2 2 ，b
直线 l过点F1，F2 点关于直线 l对称点A 在C 上，且
F1A 2F F 21 2 AF2 2c ，则椭圆C 的离心率为
____________．
2 2
53．（2022· · x y江苏 南京市第二十九中学高二开学考试）已知椭圆 2 2 =1 a b 0 的左、右焦点分别为F1，a b
F2 ，P 为椭圆上一点，满足 OF1 OP OF1 OP 0 (O 为坐标原点)．若 | PF1 | 2 | PF2 |
，则椭圆的离心率为______．
2 2
54．（2022· x y江西·上饶市第一中学高二期中（理））如图，焦点在 x 轴上的椭圆 2 1（a＞0）的左、右a 3
焦点分别为 F1、F2，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于 A 点，△APF1的
内切圆在边 PF1上的切点为 Q，若|F1Q|＝4，则该椭圆的离心率为_____．
55．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）两个长轴在 x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若 A，B
分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线 AC，BD，切点分别为 C，D，且两切线斜率之
2
积等于 ，则椭圆的离心率为（ ）3
1
A B 3 3 6． ． C． D．
3 3 2 3
2 2
56．（2022· x y北京市十一学校高二期末）已知椭圆 C： 2 2 1（ a b 0）的左 右顶点分别为 A1， A2，a b
且以线段 A1A2 为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相交，则椭圆 C 的离心率的取值范围为（ ）
0, 6
6
A． B． ,1
2 2
3 3
C． ,13
D． 0, 3
.
2 2
57．（2022· x y四川省内江市第六中学高二开学考试）已知O为坐标原点，F 是椭圆C : 1(a b 0)的
a2 b2
左焦点， A B 分别为椭圆C 的左 右顶点， P 为椭圆C 上一点，且PF x 轴.过点A 的直线 l与线段PF 交于
点M ，与 y 轴交于点E .若直线 BM 经过OE的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）
1
A B 1 2
3
． ．
3 2
C． 3 D． 4
58．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）过椭圆的右焦点 F2 作椭圆长轴的垂线，交椭圆于 A，B 两点，
F1为椭圆的左焦点，若 F1AB 为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
1
A 3． B 3 1． C． D．
3 3 2 2
2 2
59．（2022· x y云南红河·高二期末）已知点 A，B 分别是椭圆C : 2 2 1(a b 0)的右、上顶点，过椭圆 Ca b
上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰好为左焦点F1，且 AB∥OP ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
1
A． B 1． 2 C
2 D 2． ．
4 2 4
2 2
60．（2022·江西上饶· x y高二期末（理））已知 F1, F2 是椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的两个焦点， P 为C 上一点，a b
且 F1PF2 60
， PF1 3 PF2 ，则C 的离心率为（ ）
A 2 21 7 2． B． C． D．
2 6 4 3
2 2
61．（2022· · x y河南 新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））设 M 是椭圆 C：
a2
b2
1 a b 0 的上顶点，
P 是 C 上的一个动点，当 P 运动到下顶点时， PM 取得最大值，则 C 的离心率的取值范围是（ ）
2 ,1 1
2 1
A B ,1 C 0, D 0, ．
2
． ．2
．
2 2
2
62 2022· · x y
2
．（ 甘肃 永昌县第一高级中学高二期末（文））已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别a b
为F1，F2 ，上顶点为 B ， BF2 的延长线交C 于Q， BQ F1Q ，则C 的离心率 e （ ）
A 1 B 2 2 3． 2 ． 3 C． D．2 3
2 2
63．（2022·江苏南京·高二阶段练习）椭圆C : x y2 2 1(a b 0)的两焦点为F1, F2 ，若椭圆C 上存在点 P 使a b
△PF1F2 为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）
A 2 B C 2 D 2 5 1． ． 2 1 ． 或 2 1 ． 或
2 2 2 2
考点 7：椭圆的简单几何性质问题
2 2
64．（2022·黑龙江· x y哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（理））若方程 1表示椭圆C ，则下面
9 k k 1
结论正确的是（ ）
A． k 1,9 B．椭圆C 的焦距为 2 2
C．若椭圆C 的焦点在 x 轴上，则 k 1,5 D．若椭圆C 的焦点在 x 轴上，则 k 5,9
2 2
65．（2022· x y四川·泸州老窖天府中学高二期中（文））椭圆 1的焦点坐标为（ ）
4 2
A． ( 1,0) B． ( 2 0) C． ( 2,0) D． ( 6,0)
2 2
66．（2021·安徽·高二期中）已知圆 x a 2 y b 2 r 2 x y经过椭圆 C： 1的右焦点，上顶点与右顶点，9 8
则b （ ）
A 11 2
11 11
． B． C 11 2． D．
8 8 4 4
x2 y267．（多选题）（2022·海南·海口市琼山华侨中学高二阶段练习）已知椭圆C : 1的左、右焦点分别为
4 3
F1，F2 ，点 P 为椭圆 C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 C 的焦距为 1
B．点Q 1,
2
2
在椭圆 C 内部
2 2
C x y x 3 k 7．若椭圆 1的焦点在 轴上，则
4 k k 3 2
D．若点Q 1,
2
，则 PQ PF
2
1 的距离的最大值为2 4 2
2 2
68．（2021· x y广西玉林·高二期中（理））已知点 P(k，1)，椭圆 =1，点 P 在椭圆外，则实数 k 的取值范
9 4
围为_____.
考点 8：利用第一定义求解轨迹
x2 269 y．（2022·云南昭通·高二期末）点 P 在以F1，F2 为焦点的椭圆 1上运动，则△PF1F2 的重心G 的轨3 4
迹方程是___________.
2
70．（2022·天津天津·高二期末）已知 B( 3 ，0)是圆 A： x 3 y2 16内一点，点 C 是圆 A 上任意一
点，线段 BC 的垂直平分线与 AC 相交于点 D.则动点 D 的轨迹方程为_________________.
71．（2022·贵州贵阳·高二期末（文））平面直角坐标系内动点 M（ x, y）与定点 F（4，0）的距离和 M 到定
直线 l : x 9 2的距离之比是常数 3 ，则动点 M 的轨迹是___________．
72．（2022· 2湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知动圆 P 过定点 A 3,0 ，且在定圆B : x 3 y2 100的
内部与其相内切，则动圆 P 的圆心的轨迹方程为______．
2
73．（2022·四川乐山·高二期末（文））过椭圆 x2 y 1上一点 P 作 x 轴的垂线，垂足为Q，则线段 PQ中点
2
M 的轨迹方程为___________.
74．（2022· 2 2河北省唐县第一中学高二阶段练习）已知圆C1 : (x 2) y 81和圆C2 : (x 2)
2 y2 9，动圆 M
与圆 C1内切，与圆 C2外切，则动圆圆心 M 点的轨迹方程是_______．
75．（2022·天津·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 A 2,0 ，B 2,0 ， P 是平面内一动点，直
3
线PA、 PB的斜率之积为 ，则动点 P 的轨迹C 的方程____________.
4
76．（2022·天津三中高二阶段练习）已知动圆 P 与定圆B : x2 y2 2 5x 31 0 内切，且动圆 P 经过一定点
A 5,0 ．则动圆圆心 P 的轨迹E 的方程是______．
77．（2022· 2 2福建省漳州第一中学高二期末（理））已知定圆C1 : x y 4x 0，定圆
C2 : x
2 y2 4x 60 0，动圆M 和定圆C1外切，和圆C2 内切，动圆的圆心M 的轨迹方程为
____________．
78．（2022·四川·高二期末（文））若动点P x, y 满足方程 x 2 2 y2 x 2 2 y2 8，则动点 P 的轨
迹方程为（ ）
A x
2 y2 21 B x y
2
1 C x
2 y 2 x2 y2
． ． ． 1 D． 1
16 12 16 4 8 4 16 12
79．（2022·广东广州·高二期末）已知 ABC 的周长为14，顶点 B 、C 的坐标分别为 0,3 、 0, 3 ，则点A
的轨迹方程为（ ）
2 2 2
A x y y x
2
． 1 x 0 B． 1 y 0
16 7 16 7
x2 y2 2 2C． 1 y 0 D y x． 1 x 0
16 7 16 7
80．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知M 2,0 ， P 是圆 N : x2 4x y2 32 0
上一动点，线段MP 的垂直平分线交 NP 于点Q，则动点Q的轨迹方程为（ ）
2
A x y
2 x2 y2
． 1 B． 1
9 5 5 9
2 2 2 2
C x y x y． 1 D． 1
5 9 9 5
81．（2022· 2 2陕西师大附中高二阶段练习（文））设O为坐标原点，动点 N 在圆C: x y 8上，过 N 作 y 轴
的垂线，垂足为M ，点 P 满足MP
1
MN ，则点 P 的轨迹方程为
2
A x
2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
． 1 B． 1 C． 1 D． 1
8 2 2 8 2 4 4 2
82．（2022·辽宁·辽河油田第一高级中学高二阶段练习）已知 AB 3， A, B分别在 y 轴和 x 轴上运动，O
1
为原点，OP OA
2
OB ,点 P 的轨迹方程为
3 3
2 2 2 2
A x． y2 1 B x2 y． 1 C x． y2 1 D． x2 y 1
4 4 9 9
考点 9：直线与椭圆的位置关系
2
83 x．（2022·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知椭圆C : y2 1的左 右焦点分别是F1，2
F2 ，过F1的直线 l : y x m与椭圆 C 交于 A，B 两点，则 ABF2 的面积是（ ）
4 8 16 32
A． B． C． D
3 3 9
．
9
84．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）椭圆C 的中心在坐标原点O，焦点在 x 轴上，
椭圆C 经过点 0,1 且长轴长为 2 2 .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点M 1,0 且斜率为 1 的直线 l与椭圆C 交于A ， B 两点，求弦长 AB .
x2 285 y．（2022·重庆·巴南中学校高二期中）设 F1， F2 ，分别为椭圆C ： 2 2 1（ a b 1）的左、右焦点，a b
过F 的直线 l与椭圆C 相交于A 、 B 两点，直线 l的倾斜角为 45 2 ，F1到直线 l的距离为3 2 ．
(1)求椭圆C 的焦距；
(2)如果 AF2 3F2B，求椭圆C 的方程．椭圆及其 性质
【知识梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数 2a （ 2a | F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做
椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 2c ，定义用集合语言表示为：
P || PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 | 2c 0)
注意：当 2a 2c 时，点的轨迹是线段；
当 2a 2c时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的位
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
置
图形
x2 y2 2 2
标准方程 2 2 1 a b 0
y x
2 1 a b 0 a b a b2
统一方程 mx2 ny2 1(m 0,n 0,m n)
x a cos x a cos
参数方程 , 为参数（ [0,2 ]） , 为参数（ [0,2 ]）
y bsin y bsin
第一定义 到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数 2 a，即 | MF1 | | MF2 | 2a（ 2a | F1F2 |）
范围 a x a 且 b y b b x b且 a y a
A1 a,0 、 A2 a,0 A1 0, a 、 A2 0,a
顶点
1 0, b 、 2 0,b 1 b,0 、 2 b,0
轴长 长轴长 2a ，短轴长 2b 长轴长 2a ，短轴长 2b
对称性 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c
F F 2c (c2 a2 2焦距 1 2 b )
c c2 a2 b2 b2
离心率 e 1 (0 e 1)
a a2 a2 a2
a2
准线方程 x
c
点和椭圆 1 外 1 外
x20 y
2
0 1 (x , y ) y
2 x20 0 2 点 在椭圆 上a b2 0 0 a2 b2
1 点(x0 , y0 )在椭圆 上
的关系 1 内 1 内
x0 x y0 y 1 (x y y x x2 2 （ 0 , y0 ) 为切点）
0
2
0 1（ (x , y ) 为切点）
a b a b2 0 0
切线方程 对于过椭圆上一点 (x0 , y0 ) 的切线方程，只需将椭圆方程中 x
2 换为 x0 x ， y
2 换为
y0 y 可得
切点弦所
x0 x y0 y 1( (x , y ) y y x在的直线 点 在椭圆外） 0 0 x2 2 0 0 2 1(点(x , y )在椭圆外）a b a b2 0 0
方程
2
① cos 2b 1, F BF ，（ B 为短轴的端点）
r r max 1 21 2
1 2 c | y |,焦点在x轴上② S PF F r1r2 sin b tan
0
( F PF )
焦点三角 1 2 2 2 1 2 c | x0 |,焦点在y轴上
形面积
当P点在长轴端点时, （r1r
2
③ 2
）min =b
当P点在短轴端点时, （r r）max =a2 1 2
焦点三角形中一般要用到的关系是
| MF1 | | MF2 | 2（a 2a 2c）
S 1 PF F | PF1 || PF | sin F1 2 2 2 1
PF2 )
| F
2 2
1F2 | | PF1 | | PF |
2
2 2 | PF1 || PF2 | cos F1PF2
左焦半径： MF a ex 上焦半径： MF1 a ey1 0 0
焦半径 又焦半径： MF a ex 下焦半径： MF1 a ey1 0 0
焦半径最大值 a c ，最小值 a c
= 2 b
2
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长 （最短的过焦点的弦）
a
设直线与椭圆的两个交点为 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )， kAB k ，
则弦长 AB 1 k 2 x1 x2 1 k
2 (x1 x2 )
2 4x1x2
弦长公式
1 1 2 (y1 y2 )
2 4y 2
k 1
y2 1 k | a |
（其中 a是消 y 后关于 x 的一元二次方程的 x2 的系数， 是判别式）
【专题过关】
【考点目录】
【题型归纳目录】
考点 1：椭圆的定义与标准方程
考点 2：椭圆方程的充要条件
考点 3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
考点 4：椭圆上两点距离的最值问题
考点 5：椭圆上两线段的和差最值问题
考点 6：离心率的值及取值范围
考点 7：椭圆的简单几何性质问题
考点 8：利用第一定义求解轨迹
考点 9：直线与椭圆的位置关系
【典型例题】
考点 1：椭圆的定义与标准方程
1．（2022·河南· 2南阳市创新高级中学高二阶段练习）已知直线 y x与椭圆在第一象限内交于 M 点，又
2
MF2⊥x 轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为 F1，若MF1 MF2 2，求椭圆的标准方程．
x2 y2
【解析】设椭圆方程 1 a b 0 22 2 ，点 M 在直线 y x上，且 MF2⊥x 轴，由于F2 c,0 ，则点a b 2
M 2
c, c ，
2
又因为MF1 MF2 2， F1 c,0
MF 2
2 1 2
所以 1 MF2 2c, c 0, c 2，即 c 2 ，故 c 2，
2 2 2
所以M 2, 2 ，F1 2,0 ，F2 2,0 ，
2 2 2 2
由椭圆的定义得， 2a MF1 MF2 2 2 2 2 2 2 4 2 ，故 a 2 2 ，
x 2 y 2
所以b2 a2 c2 8 4 4，故椭圆 C 的方程为 1.
8 4
2 2
2．（2022· x y河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知 P 是椭圆 1上的一个点，F1、F2 是椭圆的两25 16
个焦点，若 PF1 3，则 PF2 等于（ ）
A．10 B． 7 C．5 D． 2
【答案】B
x2 y2
【解析】在椭圆 1中， a 5，则 PF2 2a PF 7 .25 16 1
故选：B.
2 2
3．（2022· · x y陕西 西北农林科技大学附中高二期末（文））椭圆 1上的一点 M 到其左焦点F
25 9 1
的距离为
2，N 是MF1 的中点，则 ON 等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
x2 y2
【解析】由椭圆方程 1，得 a 5，
25 9
由椭圆定义得 MF1 MF2 2a 2 5 10 ，又 MF1 2 ，
MF2 10 2 8，又 N 为MF1 的中点，O为F1F2 的中点，
线段ON 为△MF1F2 中位线，
1
∴ ON MF
1
2 2
8 4 .
2
故选：C.
2 2
4 x y．（2022·江苏·南京市第二十九中学高二开学考试）椭圆 1， ABC 的顶点 B、C 分别是椭圆的焦
25 9
sin B sin C sin A
点，顶点 A 在椭圆上，则 的值为（ ）
sin B sin C sin A
3 4 1
A． B． C． D．9
5 5 9
【答案】D
【解析】由题意可知， a 5,b 3，所以 c 4，又 ABC 的顶点 B、C 分别是椭圆的焦点，所以
sin B sin C sin A AC AB BC 10 8
| AB | | AC | 2a 10,| BC | 2c 8，所以由正弦定理可得 9sin B sin C sin A AC ， AB BC 10 8
故选：D．
5．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点为 F1( 5,0)， F2 ( 5,0)，M 是椭圆上
一点，若MF1 MF2， MF1 MF2 8，则该椭圆的方程是（ ）
x2 y2 x2 y2 2A 1 B 1 C x y
2 x2 y2
． ． ． 1 D． 1
7 2 2 7 9 4 4 9
【答案】C
【解析】设 MF1 m， MF2 n，因为MF1 MF2， MF1 MF2 8， F F 2 5 ，所以m21 2 n2 20 ，
mn 8，所以 (m n)2 m2 n2 2mn 36，所以m n 2a 6，所以 a 3．因为 c 5 ，所以
x2 y2
b a2 c2 2．所以椭圆的方程是 1．9 4
故选：C
3
6．（2022·陕西·绥德中学高二阶段练习（文））焦点在 y 轴上，长轴长为 10，离心率为 的椭圆的标准方程
5
为（ ）
x2 y2A 1 B y
2 x2
． ． 1
100 64 100 64
x2 y2 x2 y2C． 1 D． 1
25 16 16 25
【答案】D
c 3
【解析】因为长轴长为10，故长半轴长 a 5，因为 e ，所以半焦距 c 3，
a 5
故b2 a2 c2 25 9 16，
y2 x2
又焦点在 y 轴上，所以椭圆的标准方程为 1，
25 16
故选：D
x2 y27．（2022·广东深圳·高二期末）如图，F1, F2 分别为椭圆 1的左 右焦点， P 为椭圆上的点，PT 为4 3
△F1PF2 的外角平分线，F2T PT ，则 OT （ ）
A．1 B．2 C． 3 D．4
【答案】B
【解析】如图所示：
延长 F2T 交 F1P 的延长线于点M ，
因为PT 为 F1PF2 的外角平分线，F2T PT ，
所以易得△PTF2 ≌ △PTM ，所以 PF2 PM ， TF2 TM ，
结合椭圆的定义得 MF1 PF1 | PM | PF1 PF2 4，
又T 为F2M 的中点，O为F1F2 的中点，
所以在△F1F
1
2M 中， OT MF 2，2 1
故选：B.
2 2
8．（2022· x y贵州遵义·高二期末（理））若直线 x 2y 4 0过椭圆 2 2 1 a b 0 短轴端点和左顶点，a b
则椭圆方程为（ ）
2
A x y
2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
． 1 B． 1 C． 1 D． 1
4 2 16 4 4 16 12 9
【答案】B
【解析】直线 x 2y 4 0交 x 轴于( 4, 0)，交 y 轴于 (0, 2) ，依题意， a 4,b 2，
x2 y2
所以椭圆方程为 1.
16 4
故选：B
9．（2022·全国·高二期末）椭圆以坐标轴为对称轴，经过点 3,0 ，且长轴长是短轴长的 2倍，则椭圆的标准
方程为（ ）
x2 2 2 2A 4y y x． 1 B． 1
9 9 36 9
x2 4y2 y2 x2 2 2 2 2C． 1或 1 D x 4y 1 y 4x． 或 1
9 9 36 9 9 9 9 9
【答案】C
2 2
【解析】当椭圆的焦点在 x 轴上时，由题意过点 3,0 3，故 a 3 x 4y，b ，椭圆方程为 1，
2 9 9
2 2
当椭圆的焦点在 y 轴上时，b 3 a 6 y x， ，椭圆方程为 1，
36 9
故选：C.
10．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高二期末（文））古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的
面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2 均在 y 轴上，
椭圆 C 的面积为 2 3π，且短轴长为 2 3 ，则椭圆 C 的标准方程为（ ）
x2 2 2 2 2 2 2A． y2 1 B x y． 1 C x y． 1 D x y． 1
12 4 3 3 4 16 3
【答案】C
y2 x2
【解析】因为椭圆C 的焦点在 y 轴上，故可设其方程为
a2
2 1，b
根据题意可得 2 3 ab， 2b 2 3 ，故可得 a 2,b 3 ，
x2 y2
故所求椭圆方程为： 1.
3 4
故选：C.
2 2
11．（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）设F1, F2 分别为椭圆C :
x y
2 2 1 a b 0 左、右焦点，a b
1
点M ( 3, 15)在椭圆 C 上，且 MF2 F1F2 ，则椭圆 C 的标准方程为（2 ）
x2 y2 x2 2A y． 1 B． 1
20 15 25 20
x2 y2 x2 y2C． 1 D． 1
36 16 36 20
【答案】D
【解析】把M ( 3, 15)代入各选项中方程，
9 15 1 9 15 ， 1
9 15
， 1，ABC 均排除，
20 15 25 20 36 16
9 15
1，D 满足，此时 ，F ( 4,0)，
36 20 c 36 20 4 2
MF ( 12 3 4)
2 ( 15)2 4 F1F2 ，满足此条件．2
故选：D．
x2 212 y．（2022·江苏·盐城市大丰区新丰中学高二期中）过点(－3，2)且与 1有相同焦点的椭圆方程是
9 4
（ ）
A x
2 y2 2 2
． 1 B x y． 1
15 10 10 15
x2 y2 x2 2C y． 1 D． 1
9 25 10 5
【答案】A
2 2
【解析】因为焦点坐标为 5，0 x y，设方程为
a2
a2
1，
5
9 4 2 2
将 3, 2 代入方程可得 2 2 1
x y
，解得 a2 15，故方程为 1，a a 1 15 10
故选：A.
2 2
13 2022· · C : x y．（ 辽宁 盘锦市第二高级中学高二期末）已知椭圆 1 a b 0 两焦点间的距离为 2 2 ，
a2 b2
且过点 A 3, 2 ，则椭圆C 的标准方程为（ ）
x2 y2 x2A y
2
． 1 B． 1
4 2 6 4
C x
2 y2 x2 y2
． 1 D． 1
8 6 5 3
【答案】B
【解析】由题意知，椭圆C 的焦点坐标为 2,0 ，
2 2
由椭圆的定义得 2a 3 2 2 3 2 2 7 2 6 7 2 6 6 1 6 1 2 6 ，
a 6 ，b 6 2 2 .
2 2
因此，椭圆C x y的标准方程为 1 .
6 4
故选 B.
2 2
14．（2022· · x y广东 西樵高中高二阶段练习）已知点 A 3,0 ，B 0,2 在椭圆 2 2 1上，则椭圆的标准方m n
程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 x2 2A． 1 B y． 1 C． y2 1 D． 1
3 2 9 4 3 5 4
【答案】B
9
2 1 m x2 y2
【解析】由题意得 ，解得m24 9， n
2 4，所以椭圆的标准方程为 1．
2 1
9 4
n
故选：B
3 4
15．（2022·新疆昌吉·高二期中）已知椭圆过点P , 4 和点Q5
, 3
5 ，则此椭圆的方程是（ ）
2 2 2
A y． x2 x 1 B． y2 1或 x2 y 1
25 25 25
x2C． y2 1 D．以上均不正确
25
【答案】A
3
【解析】设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，因椭圆过点P( , 4)
4
和点Q( , 3)，
5 5
9
m 16n 1 25 1
于是得 16 ，解得
m 1,n ，
m 9n 1 25
25
y2
所以所求椭圆方程为 x2 1 .
25
故选：A
2 2
16．（2022· x y江西·新余市第一中学高二开学考试）过点 A（3， 2）且与椭圆 1有相同焦点的椭圆的
9 4
方程为（ ）
A x
2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
． 1 B． 1 C． 1 D． 1
15 10 25 20 10 15 20 15
【答案】A
【解析】由题意得：
x
2 y2
1
9 4
该椭圆的焦点为 5,0 ， 5,0 ，即 c 5
2 2
要求椭圆经过点 A（3 2 x y， ），将点代入
a2
1
a2 5
9 4
1，即 a2 3（舍去）或 2
a2 a2 5 a 15
x2 y2
1
15 10
故选：A
2 2
17．（2022·四川南充·高二期末（文））过椭圆C x y： 2 2 1 a b 0 右焦点F 的直线 l： x y 2 0 交Ca b
1
于A ， B 两点， P 为 AB 的中点，且OP的斜率为 ，则椭圆C 的方程为（ ）
2
x 2 y 2A x
2 y2
． 1 B． 1
8 4 9 5
2 2 2 2
C x y． 1 D x y． 1
7 3 10 6
【答案】A
【解析】依题意，焦点F (2,0)，即椭圆 C 的半焦距 c 2，设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )，P(x0 , y0 )，
b2x2 a2 y2 a2b2
1 1 2 2则有 2 2 2 2 2 2 ，两式相减得：b (x1 x2)(x1 x2) a (y1 y2)(y1 y ) 0 ，
b x2 a y a b
2
2
y 1
而 x1 x2 2x0 , y1 y
0 2
2 2y0 ，且 x 2 ，即有 2b (x1 x2 ) a
2 (y1 y2 ) 0 ，
0
y1 y2
又直线 l的斜率 1 2x x ，因此有 a 2b
2 ，而 a2 b2 c2 4，解得 a2 8,b2 4 ，经验证符合题意，
1 2
x 2 y 2
所以椭圆C 的方程为 1.
8 4
故选：A
考点 2：椭圆方程的充要条件
x2 y218．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））方程 1表示椭圆的充要条件是
5 k k
__________．
5 5
【答案】 0, ,5 答案不唯一
2 2
x2 y2
【解析】方程 1表示椭圆,
5 k k
5 k 0
则必有 k 0 解之得0 k
5 5
或 k 5
2 2
5 k k
故答案为： 0,
5 5
,5
2 2
,（答案不唯一，其他等价情况也对）
19．（2022·四川· 2 2攀枝花市第三高级中学校高二期中（文））能够说明“方程 m 1 x 3 m y m 1 3 m
的曲线是椭圆”为假命题的一个m 的值是__________．
【答案】m ,1 2 3,
m 1 x2 3 m y2【解析】方程 m 1 3 m ，
当m 1或 3 时，曲线不是椭圆；
2 2
当m 1且m 3 x y时，化简为： 1，当3 m 0或m 1 0或3 m m 1，即m 3或m 1或m 2 ，
3 m m 1
曲线不表示椭圆.
2 2
综上：当m ,1 2 3, 时，“方程 m 1 x 3 m y m 1 3 m 的曲线是椭圆”为假命题
答案为：m ,1 2 3, .
2 2
20．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知条件 p ：mn 0 q x y，条件 ： 1表示一个椭圆，则
m n
p 是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
2 2
【解析】由mn 0，若m n 0 x y，则 1表示一个圆，充分性不成立；
m n
x2 y 2
而 1表示一个椭圆，则mn 0成立，必要性成立.
m n
所以 p 是q的必要不充分条件.
故选：B
2 2
21．（2022· x y甘肃天水·高二期末（文））mn 0是 1表示椭圆的条件．
m n
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】B
x2 y 2 2 2
【解析】方程 1表示椭圆时，m 0,n 0 且m n，因此mn 0 x y是方程 1表示椭圆的必要不
m n m n
充分条件．故选 B．
考点：充分必要条件．
2 2
22．（2021· x y上海市宝山中学高二期中）已知方程 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取
6 m 4 m
值范围是_______；
【答案】 6 m 1
x2 y2
【解析】由于方程 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，
6 m 4 m
4 m 6 m
所以 6 ，解得
6 m 1.
m 0
故答案为： 6 m 1
2 2
23．（2021·广西· x y钦州一中高二期中（文））若椭圆 1的焦点在 y 轴上，则实数 k 的取值范围是
k 1 3 k
___________.
【答案】 (1, 2)
x 2 y 2
【解析】因为椭圆 1的焦点在 y 轴上，
k 1 3 k
3 k k 1
所以 3 k 0 ，解得1 k 2，即实数 k 的取值范围为 (1, 2) .
k 1 0
故答案为： (1, 2)
考点 3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
2 2
24．（2022· x y广东·南海中学高二阶段练习）已知椭圆 1的左、右焦点分别为 F1, F2 ，点 M 在椭圆上，9 2
若 | MF1 | 4，则 F1MF2 （ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
【答案】C
x2 y2
【解析】由题意，椭圆方程 1，可得 a 3,b 2,c a2 b2 7 ，
9 2
所以焦点F1( 7,0), F2 ( 7,0)，
又由椭圆的定义，可得 MF1 MF2 2a 6，因为 | MF1 | 4，所以 MF2 2，
F 2 2在△ 1MF2中，由余弦定理可得 F1F2 MF1 MF
2
2 2 MF1 MF2 cos F1MF2 ,
所以 (2 7)2
1
42 22 2 4 2cos F1MF2 ，解得 cos F1MF2 ，2
又由 F1MF2 (0 ,180
)，所以 F1MF2 120
.
故选:C．
2 2
25．（2022· x y四川内江·高二期末（理））已知 P 是椭圆 1上的点， F1、 F2 分别是椭圆的左、右焦点，25 9
PF若 1
P F 2 1
PF PF 2 ，则
△F
1
PF2 的面积为（ ）
1 2
A．3 3 B．9 3 C． 3 D．9
【答案】A
P PF1 PF2 cos F1PF2
【解析】因为
F 1 P F 2 1 cos F1PF2 ，0 F1PF2
PF1 PF2 PF1 PF 22
F PF 所以 1 2 ，3
又 c a2 b2 4
m2 n2 mn 4c2 64 ①
记 PF1 m, PF2 n，则 ，
m n 2a 10 ②
②2-①整理得：mn 12 ，所以 S 1 1 3 F PF mnsin 12 3 31 2 2 3 2 2
故选：A
2 2
26 x y．（多选题）（2022·湖北·高二阶段练习）已知 P 是左右焦点分别为F1，F2 的 1上的动点，12 4
M 0,3 ，下列说法正确的有（ ）
A． MP 的最大值为 5 B． PF1 PF2 4 3
C．存在点 P ，使 F1PF2 120 D． PF1 PF2 的最大值为 4 2
【答案】BD
x2 y2
【解析】对于 A 选项，设P(x , y )，则 0 00 0 1
2 2
，即 x0 12 3y0 ，12 4
所以 MP x 20 y
2 2
0 3 x0 y 2 6y 9 12 3y 2 y 20 0 0 0 6y0 9 2y 20 6y0 21 ，
2 y 2 y 3 MP 102又 0 ，所以当 0 时， ，故 A 错误，2 max 2
对于 B 选项，由椭圆定义， PF1 PF2 2a 4 3 ，故 B 正确
对于 C 选项，当 P 为短轴端点时，
PO 2， OF2 2 2 ， tan OPF2 2 3 ，故 OPF2 60 ，进而 F1PF2 120 ，故 C 错误，
对于 D 选项， PF1 PF2 F1F2 4 2 ，当F1，F2 ， P 三点共线时， PF1 PF2 有最大值 4 2 ，故 D 正确.
故选：BD
2 2
27 x y．（多选题）（2022·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）已知椭圆C ： 1，F1，F2 分别为它的25 9
左右焦点，A ， B 分别为它的左右顶点，已知定点Q 4,2 ，点 P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的
有（ ）
A．存在点 P ，使得 F1PF2 120 B．直线PA与直线 PB斜率乘积为定值
1 25
18C． PF PF 有最小值 D． PQ PF 的范围为
5 1
2 17,12
1 2
【答案】BCD
【解析】依题意 a 5,b 3,c 4 ，
tan FCO c 4 1 3, F1CO 60 , F1PF2 120 ，A 错误.b 3
2 2
P x, y x y 1 x2 25 25设 ，则 y2 ，
25 9 9
k k y y y
2 y2 9
A 5,0 , B 5,0 PA PB ， x 5 x 5 x2 25 25 为定值，B 选项正确. y2 25
9
PF1 PF2 10
1 25 1 1 25
， PF1 PFPF PF 2 1 2 10 PF1 PF2
1 PF2 25 PF 1 PF 25 PF 26
1 26 2
2 36 18 1 ，
10 PF1 PF2 10 PF1 PF2 10 5
PF2 25 PF1 25
当且仅当 , PF 5 PF PF1 PF
2 1 3 时等号成立.C 选项正确.2
Q 在椭圆外，设直线QF1、QF2 与椭圆相交于P1, P2 如图所示，
则 PQ PF1 P1F1 P1Q QF1 4 4 2 22 2 17 ，min
QF2 2， PQ PF1 2a PQ PF2 10 PQ PF2 ，
PQ PF2 QF2 ，即 PQ PF2 2，
所以 PQ PF1 10 P2Q P2F2 10 QF2 12max
所以 PQ PF 1 2 17,12 .D 选项正确.
故选：BCD
28 x
2 y2
．（多选题）（2022·浙江省龙游中学高二期末）已知椭圆C : 1的左、右两个焦点分别为F1，F2 ，P9 8
为椭圆上一动点，M 1,1 ，则下列结论正确的有（ ）
A．△PF1F2 的周长为 8 B．△PF1F2 的最大面积为 2 2
C．存在点 P 使得PF1 PF2 0 D． PM PF1 的最大值为 5
【答案】AB
A C : x
2 y2
【解析】对 ，由椭圆 1，可得△PF1F2 的周长为： PF9 8 1
PF2 F1F2 2 3 2 9 8 8，故 A
正确；
对 B，当 P 为椭圆短轴顶点时，△PF1F2 的面积最大，且最大面积为： S
1
2 2 2 2 2 ，故 B 正确；
2
PF 2 PF 2 F F 2
对 C，当 P 2 1 2
9 9 4 7
为椭圆短轴顶点时， F1PF 为最大，此时 cos F PF 12 1 2 0，2 PF1 PF2 2 3 3 9
即 F1PF2 为锐角，所以不存在点 P 使得PF1 PF2 0，故 C 错误；
2 2
对 D x y，由椭圆C : 1 2 2，所以F
9 8 2
1,0 ，又M 1,1 ，所以 MF2 1 1 0 1 1，所以
PM PF1 PM 6 PF2 6 PM PF2 6 MF2 7 ，故 D 错误.
故选：AB.
2 2
29 x y．（多选题）（2022·安徽省五河第一中学高二阶段练习）已知 P 是椭圆E : 1上一点，F1，F2 为其8 4
左、右焦点，且△F1PF2 的面积为 3，则下列说法正确的是（ ）
A． P 点纵坐标为 3 B． F1PF2 2
C．△F1PF2 的周长为 4( 2 1) D．△F1PF
3
2 的内切圆半径为 ( 2 1)2
【答案】CD
【解析】 a 2 2 ，b 2 ， c a2 b2 2 ，
| F1F2 | 2c 4，F1( 2,0)，F2(2,0) ，
设点P(m,n)
1
， | F1F2 | | n | 3， n
3
2 2 ，故选项
A 错误，
9
把点 P 2
14
坐标代入椭圆方程得： m 4 1，解得m ，
8 4 2
14 3
不妨设 P( ， )2 ，2
14
| PF |2 ( 2)2 (3)2 39 14 3 391 2 14 ， | PF |
2
2 ( 2)
2 ( )2 2 14 ，
2 2 4 2 2 4
| PF |21 | PF |
2
2 (2c)
2 39 7 2 16 0
4 2 ，
F1PF
2 ，故选项 B2 错误，
由椭圆的定义可知， F1F2P 的周长为 2a 2c 4 2 4 4( 2 1)，故选项 C 正确，
设 F1F2P
1
的内切圆半径为 r ，则 r (4 2 4) 3，
2
r 3 ( 2 1)，故选项 D 正确，
2
故选：CD .
2 2
30．（2022· x y四川凉山·高二期末（文））已知F1，F2 是椭圆C : 1的两个焦点，点 M 在椭圆 C 上，4 3
MF1 MF2 的最大值为（ ）
A． 2 3 B． 3 C．2 D．4
【答案】D
【解析】∵M 在椭圆C 上
∴ MF1 MF2 2 2 4
∴根据基本不等式可得 MF1 MF2 4 2 MF1 MF2 ，即 MF1 MF2 4，当且仅当 MF1 MF2 2时取
等号.
故选：D.
2 2
31．（2022·山西· x y康杰中学高二开学考试）已知椭圆C ： 1，F1，F2 分别为它的左右焦点，A ， B25 9
分别为它的左右顶点，已知定点Q 4, 2 ，点 P 是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（ ）
A．存在点 P ，使得 F1PF2 120 B．直线PA与直线 PB斜率乘积为定值
1 25
18C． 有最小值 D． PQ PF 的范围为 PF PF 5 1
2 17,12
1 2
【答案】A
【解析】对于 A，依题意 a 5,b 3,c 4 ，
tan F c 41CO 3, F1CO 60 , F1PF2 120 ，A 选项错误.b 3
B P x, y x
2 y2 25
对于 ，设 ，则 1 x2 25 y2 ，
25 9 9
y y y2 y2 9
A 5,0 , B 5,0 k k ， PA PB x 5 x 5 x2 25 25 y2 25 为定值，B 选项正确.
9
1 25 1 1 25
对于 C， PF1 PF2 10， PF PF PF1 PF2 10 1 2 PF1 PF2
1 PF 25 PF
26 2 1
1 PF2 25 PF
26 2
36 18
1 ，
10 PF1 PF
2 10 PF1 PF2 10 5
PF2 25 PF
当且仅当
1 , PF2 5 PF
25
PF PF 1 3 时等号成立.C 选项正确.1 2
对于 D，Q 在椭圆外，设直线QF1、QF2 与椭圆相交于P1, P2 如图所示，
则 PQ PF 21 P1F1 P1Q QF1 4 4 22 2 17 ，min
QF2 2， PQ PF1 2a PQ PF2 10 PQ PF2 ，
PQ PF2 QF2 ，即 PQ PF2 2，
所以 PQ PF1 10 P2Q P2F2 10 QF2 12max
所以 PQ PF1 2 17,12 .D 选项正确.
故选：A
2 2
32．（2022· x y上海市嘉定区第二中学高二阶段练习）椭圆 1的左右焦点分别为F
25 9 1
、F2 ， P 为椭圆上一
点，且 F1PF2 60 ，则△F1PF2 的面积为_____________.
【答案】3 3
x2 y2
【解析】因为椭圆 1的左右焦点分别为F1、F2 ， P 为椭圆上一点，25 9
所以 PF1 PF2 10, F1F2 8，
又 F1PF2 60 ，
2 2
在△F1PF2 由余弦定理可知， F1F
2
2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos 60
2 2PF1 PF2 2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos 60 PF1 PF2 3 PF1 PF2 100 3 PF1 PF2 64，
所以 PF1 PF2 =12，
S PF F 1所以 1 2 PF1 PF2 sin 60 3 3 ．2
故答案为：3 3．
33．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知椭圆C 的两焦点分别为F1 1,0 、
F2 1,0 ， P 为椭圆上一点，且 2 F1F2 PF1 PF2 ．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点 P 在第二象限， F1PF2 120 ，求△PF1F2的面积．
F 1,0 F 1,0
【解析】（1）解:∵椭圆C 的两焦点分别为 1 、 2 ，
x2 y2
∴设椭圆C 的方程为 2 2 1 a b 0 ， c 1，a b
| PF1 | | PF2 | 4 2a ，
a 2 ． b2 a2 c2 4 1 3，
2 2
x y椭圆的标准方程为 1．
4 3
2 PF F（ ）在△ 1 2中，由余弦定理得 | F1F2 |
2 | PF1 |
2 | PF 22 | 2 | PF1 || PF2 | cos 120 ，
即 4 (| PF1 | | PF
2
2 |) | PF1 || PF2 |，
4 (2a)2 | PF1 || PF2 | 16 | PF1 || PF2 |，
| PF1 || PF2 | 12，
S 1 PF F | PF1 || PF2 | sin120
1 3
12 3 3 ．
1 2 2 2 2
考点 4：椭圆上两点距离的最值问题
2 2
34．（2022· x y新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知椭圆 C1： ＋ 2 ＝1（0＜b＜2）的离心率4 b
1
为 2 ，F1和 F2是 C1的左右焦点，M 是 C1上的动点，点 N 在线段 F1M 的延长线上，｜MN｜＝｜MF2｜，
线段 F2N 的中点为 P，则｜F1P｜的最大值为__________．
【答案】3
c2 4 b2 1 x2 y2
【解析】由条件得 2 C 2 2
a2
，∴b 3，∴椭圆 的方程是 1， ，
4 4 1 4 3 c a b 1
∴F1 1,0 ，F2 1,0 ．由于点 N 在线段F1M 的延长线上， MN MF2 ，
所以 F1N MF1 MF2 4，
N F 4 x 1 2∴点 的轨迹是以 1为圆心，以 为半径的圆，方程为 y2 16．
设P x, y ，则F2 1,0 关于P x, y 对称的点的坐标为 2x 1, 2y ，
∴ 2x 1 1 2 2y 2 16，化简得点 P 的轨迹方程为 x2 y2 4，
即点 P 的轨迹是以原点为圆心，以 2 为半径的圆，
F1 1,0 ，所以 F1P 的最大值为 3．
故答案为：3
2
35 x y
2
．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习）已知点M在椭圆 1上运动，点N在圆 x2 (y 1)2 1
18 9
上运动，则 | MN |的最大值为_________．
【答案】 2 5 1
2 2
【解析】不妨设点M 为 x0 , y0 ， y0 3,3 x y 2，则 0 0 1，则 x0 18 2y218 9 0
设圆 x2 (y 1)2 1的圆心为 P ，则 P 坐标为 0,1
则 MN 的最大值，即为 MP 的最大值与圆 x2 (y 1)2 1的半径1之和.
又 MP x20 y0 1
2 18 2y20 y0 1
2
y20 2y0 19 y0 1
2 20
当 y0 3,3 时， MP 2 5 ，当且仅当 y0 1时取得等号；
故 MN 2 5 1.
故答案为： 2 5 1 .
2
36．（2022·广东· y广州市真光中学高二期中）已知动点M 在以F1，F2 为焦点的椭圆 x2 1上，动点 N 在4
以M 为圆心，半径长为 | MF1 | 的圆上，则 | NF2 |的最大值为（ ）
A． 2 B． 4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由椭圆的方程可得焦点在 y 轴上， a2 4，即 a 2，
由题意可得 | NF2 | | F2M | | MN | | F2M | | MF1 |，
当 N ，M ，F2 三点共线时取得最大值，
而 | F2M | | MF1 | 2a 4 ，所以 | NF2 |的最大值为 4，
故选： B ．
37．（2022·辽宁·高二期中）设F1, F 是椭圆mx2 y22 m(0 m 1)的左 右焦点， P 是椭圆上任意一点，若
PF 22 1
的最小值是 ，则m 的值为（ ）PF1 3
8 1
A 3 3． B． C． D．
4 9 2 9
【答案】B
PF 22 s2
【解析】令 PF1 t, PF2 s，则 ，PF1 t
PF 2 1 s22 1
因为 的最小值为 ，即 的最小值为 ，
PF1 3 t 3
2
由椭圆mx2 y2 m(0 m 1) y，可得 x2 1，则 a 1，所以 t s 2，
m
s2 (2 t)2 t 2 4t 4 4 1 t 4 13所以 t 4 ，即 ，
t t t t 3 t 3
t 4 13令
4
，解得 t 或 t 3（舍去），
t 3 3
1 s2 1
由对勾函数 y x 的单调性可得，当 t 取得最大值时， 的最小值为 ，
x t 3
4 s2 1 4
即当 t a c 时， 的最小值为 ，即1 c ，解得 c
1
，
3 t 3 3 3
m 1 (1 8所以 )2 .
3 9
故选：B.
2
38．（2021·陕西· x长安一中高二期中（文））设 B 是椭圆C : y2 1的上顶点，点 P 在 C 上，则 PB 的最大
4
值为________.
4 3
【答案】
3
2
【解析】根据题意，易知B 0,1 ，设P x, y x，则 y2 1，即 x2 4 4 y2 ，
4
2
故 PB x2 y 1 2 4 4y2 y 1 2 3y2 2y 5 3 y 1 16 3
，
3
因为 1 y 1
1
，所以当 y PB 16 4 3时， .
3 max 3 3
4 3
故答案为： .
3
x2 239．（2021· y福建宁德·高二期中）点 P 为椭圆 1上一点，F 为焦点，则 PF 的最大值为（ ）
5 9
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
x2 y2
【解析】 1， a2 9，b2 5 c2 4 ，
5 9
即 a 3,c 2 .
所以 PF 的最大值为 a c 3 2 5 .
故选：C
2 2
40．（2021· · x y河北 正定一中高二期中）椭圆 1上任一点 P 到点Q 1,0 的距离的最小值为（ ）
9 5
A 15 2 5． 3 B． C．2 D．
2 3
【答案】B
【解析】设点 P 的坐标为 m,n ，其中m [ 3,3]，
m2 n2 2
由 1，可得 n2 5 5m ，
9 5 9
2
又由 PQ (m 1)2 n2 (m 1)2 5 5 m2 4 m2 2m 6 4 m 9 15 ，
9 9 9 4 4
9
当m 时， PQ 15取得最小值，最小值为 PQ .4 min 2
故选：B.
41．（2022·江西省万载中学高二阶段练习（理））线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M 是 AB 的中点，
当点 P 在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（ ）
A．5 B． 5 C．2 D． 2
【答案】B
【解析】若以M 为原点 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，
由 | PA | | PB | 6 | AB | 4，则 A( 2,0), B(2,0)，若P(x, y) ，
x2 y2
故 P 轨迹是以 A, B为焦点，焦距为 4，长轴长为 6 的椭圆，且轨迹方程为 1，
9 5
所以|PM|的最小值是 5 .
故选：B
x2 y242．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知椭圆 1 xy 0 ，其中F1、F2 为椭圆的4 3
左、右焦点，O为坐标原点．过F1的直线 l1与过F2 的直线 l2交于点 N ，线段 F1N 的中点为M ，线段 F1N 的垂
直平分线MP 与 l2的交点 P （第一象限）在椭圆上，则 OM 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0, 3 C． 1, 3 D． 1,2
【答案】A
【解析】如图所示，因为点 P 在 y 轴右边，
因为PM 是 F1N 的垂直平分线，所以 F1M MN ,
1
由中位线定理可得 OM F2N ,2
设点P x0 , y0 x0 0, y0 0 ,
由两点间的距离公式得，
2 2
2
PF1 x0 c 2 y 20 x c x0 c 2 1 x02 b2 02 2cx0 a2 a ex0 ，a a
同理可得 PF2 a ex0，又PM 是 F1N 的垂直平分线，所以 PF1 PN ,
即 F2N PN PF2 PF1 PF2 2ex0 ,
且 F
1
1F2N 中OM 是中位线，所以 OM F2N ex0 ，2
1
在椭圆中 e ,0 x0 2，所以0 OM 1 .2
故选：A
考点 5：椭圆上两线段的和差最值问题
2 2
43．（2022· y x辽宁大连·高二期中）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C : 1(m 4)，点 A 2,2
m m 4
是椭圆内一点，B 0, 2 ，若椭圆上存在一点 P ，使得 | PA | | PB | 8，则m 的范围是________；当m 取得
最大值时，设Q为椭圆上任意一点，C 0, 2 ，则 | QB |2 | QC |2的最小值为________．
【答案】 6 2 5 m 25 50
【解析】 c m m 4 2，故焦点为F 0,2 和B 0, 2 ， | PF | | PB | 2 m ，
| PA | 8 | PB |， PA PF 8 PB PF 8 2 m AF 2，解得9 m 25，
A 2,2 4 4点 是椭圆内一点，故 1，解得
m m 4 m 6 2 5
或m 6 2 5 （舍去），
故6 2 5 m 25 .
y2 x2
当m 25时，椭圆方程为： 1， | QB | | QC | 10，
25 21
2 2 | QB | | QC || QB | | QC |
2
50，当 | QB | | QC | 5时等号成立.
2
故答案为：6 2 5 m 25；50 .
2 2
44．（2022· x y湖北·高二阶段练习）已知F 是椭圆C ： 1的左焦点， P 为C 上一点， A 1,2 ，则
18 9
PA PF 的最小值为______.
【答案】 4 2
【解析】设F 为椭圆右焦点，由椭圆的定义可知， PF PF 2a 6 2 ，
所以 PA PF PA 6 2 PF 6 2 PF PA .
要求 PA PF 的最小值，也就是求 PF PA 的最大值.如图示：
而当 P ，A ，F 共线(A 在中间)时， PF PA 最大，此时
PF PA AF 22 22 2 2 ，所以 PA PF 6 2 2 2 4 2 .
所以 PA PF 的最小值为 4 2 .
故答案为： 4 2
2 2
45．（2022· x y四川遂宁·高二期末（理））已知 F 是椭圆C : 1的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q
4 3
坐标为 (1,1) ，则 | PQ | | PF |的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． 41 D．13
【答案】B
2
C : x y
2
【解析】因为椭圆 1，
4 3
所以 a 2,b 3,c 1，F 1,0 ，
则椭圆的右焦点为F 1,0 ，
由椭圆的定义得： PQ PF PQ 2a PF QF 2a 5，
当点 P 在点P 处，取等号，
所以 PQ PF 的最大值为 5，
故选：B.
2 2
46．（2022·河北石家庄· x y高二期末）已知F 是椭圆C : 1的左焦点， P 为椭圆C 上任意一点，点Q坐
16 15
标为 (4, 4)，则 | PQ | | PF |的最大值为（ ）
A． 41 B．13 C．3 D．5
【答案】B
【解析】如图所示：
| PQ | | PF | | PQ | 2a | PF | 2a | QF | 8 4 1 4 42 13，
故选：B
2 2
47．（2022· x y江苏省灌云高级中学高二阶段练习）已知椭圆C : 1的右焦点为F ， P 为椭圆C
4 3
上一动点，定点 A(2, 4) ，则 | PA | | PF |的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． 17 D． 17
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点为F ，则 | PF | PF 4，可得 | PF | 4 PF ，
所以 | PA | | PF | | PA | PF 4，
如图所示，当且仅当 P ，A ，F 三点共线（点 P 在线段 AF 上）时，
此时 | PA | PF 取得最小值，
x2 y2
又由椭圆C : 1，可得F ( 1,0)且 A(2, 4) ，所以 AF (2 1)2 16 5，所以 | PA | | PF |的最小值
4 3
为 1．
故选：A．
2
48 2022· · C : x y
2
．（ 山西 高二期末（理））点 P 在椭圆 1 1上，C1的右焦点为F ，点Q在圆4 3
C2 : x
2 y2 6x 8y 21 0上，则 PQ PF 的最小值为
A． 4 2 4 B．4 4 2 C．6 2 5 D． 2 5 6
【答案】D
【解析】设椭圆的左焦点为F1
则| PQ | | PF | | PQ | (2a | PF1 | ) | PQ | | PF1 | 4
故要求 | PQ | | PF |的最小值，
即求| PQ | | PF1 |的最小值，
圆C2 的半径 r 为 2
所以| PQ | | PF1 |的最小值等于C2F1 2 ( 1 3)
2 42 2 2 5 2，
| PQ | | PF1 |的最小值为 2 5 6，故选 D．
考点 6：离心率的值及取值范围
2 2
49．（2022· x y江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆 2 2 1(a b 0)，过椭圆的左焦点F 且斜率a b
为 3的直线 l 与椭圆交于 A, B
两点（A 点在 B 点的上方），若有 AF 2FB，则椭圆的离心率为________.
2
【答案】 3
【解析】设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
因为 AF 2FB， x1 2x2 = 3c ， y1+2y2 =0，
将 A, B代入椭圆方程得，
x21 y
2
1 1
a2 b2
，
4x
2
2 4y
2
2
4 a2 b2
x1 2x2 x1 2x2 y1 2y2 y1 2y 两式相减得： 2 22 3，a b
x1 2x2 = 3c ， y1+2y2 =0，
a2 1 a2 a2 3c2
则 x1 2x2 = ， x1= 3c = ，c 2 c 2c
y a21 3c2 3b2
因为直线 l斜率为 3， = 3 y = 3 c =x1 c
， 1 ，
2c 2c
2 2 2
A a 3c 3b ,
2c 2c
将A 代入椭圆方程整理得： 4a4 13a2c2 9c4 0 ，
4a2 =9c2 或 a2 =c2 （舍），
e c 2故 .
a 3
2
故答案为： 3
x2 y250．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）直线过椭圆：
a2
2 1 a 0,b 0 的左焦点F 和上顶点b
A ，与圆心在原点的圆交于 P ，Q两点，若PF 3FQ， POQ 120 ，则椭圆的离心率为______.
21
【答案】 【解析】 椭圆的焦点在 x 轴上， a b 0，
7
F c,0 ， A 0,b ，
x y
故直线FA的方程为 1，即bx cy bc 0，
c b
b
所以直线FA即 PQ的斜率为 ，
c
如图所示，
过O作 PQ的垂线，则M 为 PQ的中点，
又 POQ 120 OPM 30 OM， ， tan 30 3 ，
PM 3
PF 3FQ ， F 是MQ 的中点，
直线 PQ k tan MFO OM OM 2 3的斜率 2 ，
MF PM 3
b 2 3 b 2 3 21所以 ，即 c ， a c，
c 3 3 3
c c 21
即离心率 a 21 7 ，c
3
21
故答案为：
7
51．（2022·广东·高二阶段练习）已知椭圆 E 的两个焦点分别为F1, F2 ，点 P 为椭圆上一点，且
tan PF 1 1F2 ,tan PF2F1 2，则椭圆 E 的离心率为______.2
5
【答案】
3
【解析】因为 tan PF1F
1
2 ,tan PF2F1 2，2
所以 tan PF1F2 PF F
tan PF1F2 tan PF 2F12 1 1 tan PF F tan PF F 无意义，1 2 2 1
则 PF1F2 PF2F1 90
，
1
所以 F1PF2 90
，则 sin PF1F2 ,sin PF2F
2
1 ，5 5
4c 2c
所以 PF1 F1F2 sin PF2F1 , PF2 F1F2 sin PF1F2 ，5 5
4c 2c
又 PF1 PF2 2a，即 2a ，5 5
e c 5所以 ，
a 3
5
故答案为：
3
2 2
52．（2022· x y新疆·乌市八中高二期中（理））已知椭圆C : F c,0 F c,0
a2 b2
1 a b 0 的两个焦点为 1 和 2 ，
直线 l过点F1，F2 点关于直线 l对称点A 在C 上，且 F1A 2F1F2 AF 22 2c ，则椭圆C 的离心率为
____________．
1
【答案】 2 【解析】
设 AF2 与直线 l交点为M ，则M 为 AF2 中点， AF2 F1M ；
F1A 2F1F2 AF2 F1A F1F2 F1F2 AF2 2F1M F1F2 AF2
2F1M AF2 F
2
1F2 AF2 F1F2 AF2 2c ，
F2M 2
F1F2 AF2 cos F1F2 A F1F2 AF2 AF2 F2M 2 F M 2c
2
2 ，
F1F2
F2M c ， AF2 2c ，
c 1
cos F1F2M ，则 F1F2M ，又 AF2 F F 2c ，2c 2 3 1 2
AF1F2 为等边三角形，则 AF1 2c，
由椭圆定义知： AF1 AF2 4c 2a ，
c 1椭圆离心率 e .
a 2
1
故答案为： 2 .
2 2
53．（2022· x y江苏·南京市第二十九中学高二开学考试）已知椭圆 2 =1 a b 0 的左、右焦点分别为F2 1，a b
F2 ，P 为椭圆上一点，满足 OF1 OP OF1 OP 0 (O 为坐标原点)．若 | PF1 | 2 | PF2 |，则椭圆的离心率
为______．
5
【答案】 【解析】因为 OF1 OP OF1 OP 0，
3
2 2
所以OF 1 OP ，所以 OF 1 OP ，
因为 OF1 OF2 ，
所以 OF1 OF2 OP ，
所以△PF1F2 为直角三角形，即PF1 PF2，
所以 PF 21 PF
2
2 F1F
2
2
设 PF2 m，则 PF1 2m，
所以m 2 (2m) 2 (2c) 2 m 2 5，得 c，
5
因为则 PF1 PF2 3m 2a，
6 5
所以 c 2a c 5 5，所以 ，即离心率为 ，
5 a 3 3
5
故答案为：
3
2 2
54．（2022· · x y江西 上饶市第一中学高二期中（理））如图，焦点在 x 轴上的椭圆 2 1（a＞0）的左、右a 3
焦点分别为 F1、F2，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于 A 点，△APF1的
内切圆在边 PF1上的切点为 Q，若|F1Q|＝4，则该椭圆的离心率为_____．
13
【答案】
4
【解析】设△APF1的内切圆在 AF1, AF2 上的切点分别为M , N ，
因为由△APF1的内切圆在边 PF1上的切点为 Q，
所以由切线长定理得 AM AN , F1M F1Q , PN PQ ，
因为 AF1 AF2 ，
所以 AM F1M AN PN PF2 ，
所以 F1M PN PF2 PQ PF2 ，
所以 PQ F1M PF2 ，
所以 PF1 PF2 F1Q PQ PF2
F1Q F1M PF2 PF2 2 F1Q 8 ,
所以 2a 8，得 a 4，
因为b2 3，所以 c a2 b2 16 3 13 ，
c 13
所以椭圆的离心率为 e ，
a 4
13
故答案为：
4
55．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）两个长轴在 x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若 A，B
分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线 AC，BD，切点分别为 C，D，且两切线斜率之
2
积等于 ，则椭圆的离心率为（
3 ）
1
A． B 3． C 3 6． D．
3 3 2 3
【答案】B
x2 y2 x2 y2
【解析】法一：设内椭圆方程为 2 2 1 a b 0 ，外椭圆为 2 2a b a b2 m m 0 ，
切线 AC 的方程为 y k1 x ma ，
y k1 x ma , 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 2
联立 消去 y 可得： b a k x 2ma k x m a k a b 0，
b
2x2 a2 y2 a2b2 , 1 1 1
2 6 4 2 2 2 2 4 2 2 2
因为直线 AC 为椭圆的切线，所以Δ 4m a k1 4 b a k1 m a k1 a b 0，
b2 1 b2
化简可得： k 21 2 2 ，设直线BD的方程为： y k2x mb，同理可得 k
2 m2 1 ，
a m 1 2 a2
2 b2 2 3
因为两切线斜率之积等于 ，所以
3 a2
，所以椭圆的离心率为 e .
3 3
故选：B.
x2 y2 x2 y2
法二；设内层椭圆： 2 2 1，外层椭圆： 2 2 m
2 .
a b a b
设切点P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 ， A ma,0 ，B 0,mb ，
l x1x y1 y x2x y y切线 21： 2 2 1，切线 la b 2： a2
1，
b2
b2k x1 b
2 x
∴ 21 a2
①， k ②，
y 21 a
2 y2
b2
又∵ k k
x
，即 1
y1
1 AP 2 ，即 b
2x21 b
2m2ax 2 2 21 a y1 ，即b m
2ax 2 2 2 2 2 2
1 a y x ma 1
a y1 b x1 a b ，
1 1
y b
∴mx 21 a，同理 k2 kBP my b 2 ，∴ 2 ，∴ x a ，1
x2 y2 y2 b2 y b
将P1，P2代入椭圆 2 2 1
1
中得： 12 2 ，经分析得： a b x2 a x2 a
，
2 2 2 2 2
由①②可知 k k
b x x b
1 2 2
1 2 b 2，∴ ，∴ e2 1 b 12 2 2 ，∴ e
3
.
a y1y2 a a 3 a 3 3
故选：B.
2 2
56．（2022· x y北京市十一学校高二期末）已知椭圆 C： 2 2 1（ a b 0）的左 右顶点分别为 A1， A2，a b
且以线段 A1A2 为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相交，则椭圆 C 的离心率的取值范围为（ ）
6 6 2 2
A． 0, B． ,1 C． ,1 D． 0, .
3 3 3 3
【答案】B
【解析】由题设，以线段 A1A2 为直径的圆为 x2 y2 a2 ，与直线bx ay 2ab 0相交，
2ab 2 2
所以 a ，可得3b2 3(a2 c2 ) a22 2 ，即 e ，又0 e 1，a b 3
6
所以 e 1 .
3
故选：B
2 2
57．（2022· x y四川省内江市第六中学高二开学考试）已知O为坐标原点，F 是椭圆C : 2 1(a b 0)的a b2
左焦点， A B 分别为椭圆C 的左 右顶点， P 为椭圆C 上一点，且PF x 轴.过点A 的直线 l与线段PF 交于
点M ，与 y 轴交于点E .若直线 BM 经过OE的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）
1 1 2 3A． B． 2 C． 3 D．3 4
【答案】A
【解析】如图，由题意得 A( a，0) B(a，0) F ( c，0)，
MF AF
设E(0 m) PF x
m(a c)
， ，因为 轴，所以MF∥OE ，所以 MF OE AO ，得 ①，a
OH BO
MF m(a c)又由OH ∥MF ，OE中点为 H ，得 ，得 MF BF ②，2a
a c 1 (a c) e c 1由①②得 ，则 .
2 a 3
故选：A.
58．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）过椭圆的右焦点 F2 作椭圆长轴的垂线，交椭圆于 A，B 两点，
F1为椭圆的左焦点，若 F1AB 为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A 3
1
B C 3． ． ． D 1．
3 3 2 2
【答案】A
【解析】图所示，易知 AF1 2 AF2 ， F1F2 2c 3 AF2 ．
F F
由椭圆的定义可得 2a AF1 AF
c 1 2 3
2 3 AF2 ，则该椭圆的离心率 e ．a AF1 AF2 3
故选：A.
2 2
59．（2022· x y云南红河·高二期末）已知点 A，B 分别是椭圆C : 2 2 1(a b 0)的右、上顶点，过椭圆 Ca b
上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰好为左焦点F1，且 AB∥OP ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
1
A 1 2 2． B．
4 2
C． D．
2 4
【答案】C
【解析】
2
由已知得： A(a, 0)，B(0, b) ，P( c, b )
a
2
所以 AB ( a, b) ， OP b ( c, )
a
由 AB∥OP 得： AB / /OP
a b
2
所以 b c
a
所以b c
由 a2 b2 c2 得： a 2c
e c 2所以
a 2
故选：C
2 2
60．（2022·江西上饶· x y高二期末（理））已知 F1, F2 是椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的两个焦点， P 为C 上一点，a b
且 F1PF
2 60 ， PF1 3 PF2 ，则C 的离心率为（ ）
A 2 B 21 C 7 D 2． ． ． ．
2 6 4 3
【答案】C
2
C : x y
2
【解析】在椭圆 2 2 1(a b 0)中，由椭圆的定义可得 PF1 PF2 2a，a b
因为 PF1 3 PF
a
2 ，所以 PF2 , PF
3a
1 ，在△PF1F2 中， F1F2 2c ，2 2
2 2 2
由余弦定理得 F1F2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos F1PF2 ，
2 2 2 2 2
即 4c2 9a a 3a 7a c 7 , c 7所以
4 4 4 4 a2
,所以C 的离心率 e .
16 a 4
故选：C
2 2
61．（2022·河南· x y新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））设 M 是椭圆 C： 2 2 1 a b 0 的上顶点，a b
P 是 C 上的一个动点，当 P 运动到下顶点时， PM 取得最大值，则 C 的离心率的取值范围是（ ）
2 ,1 1 ,1
2 1
A ． B2 ． C．
0, D．2
0,
2 2
【答案】C
x2 y2
【解析】设P x0, y 0 ，M 0,b ，因为 02 02 1， a2 b2 c2 ，a b
y2 c2 3
2 4
2 2 2 b b
所以 PM x20 y0 b a2 1 02 y0 b 2 2b b2 y0 a b ，
b y b
2 2 0 ，由题意知当
c c
3
y0 b 时， PM
2 b 2
取得最大值，所以 2 b，可得 a
2 2c2 ，即0 e ．
c 2
故选：C．
2 2
62．（2022·甘肃· x y永昌县第一高级中学高二期末（文））已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别a b
为F1，F2 ，上顶点为 B ， BF2 的延长线交C 于Q， BQ F1Q ，则C 的离心率 e （ ）
A 1 2 2 3． 2 B． 3 C． D．2 3
【答案】D
x2 y2
【解析】由椭圆C : 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1，F2 2 2 ，上顶点为 B ，a b
可得：B 0,b , F1 c,0 , F2 c,0 .如图示：
BF1 BF2 a, OF1 OF2 c .
设 QF2 m，则 F1Q BQ a m .
1
由椭圆的定义可得： F1Q F2Q 2a，即 a m m 2a ，解得：m a .2
1 BF 13 3 1 a 1
所以在 BQF1 中， BF1 a, BQ a, F1Q a，所以 cos QBF
2
1
2
3 .2 2 BQ a 3
2
2
在△BF1F2 中， BF1 BF2 a, F1F2 2c，所以 cos F2BF1 cos 2 OBF 2cos21 OBF 1 2
b
1
1 .
a
2 2 2 2
所以 2 b 1 1 b 2 c b 1 ，即 ，所以 e
2 2 1 ，所以 e
3
（ e 3 舍去）.
a 3 a 3 a a2 3 3 3
故选：D
2 2
63．（2022· x y江苏南京·高二阶段练习）椭圆C : 2 2 1(a b 0)的两焦点为F1, F2 ，若椭圆C 上存在点 P 使a b
△PF1F2 为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）
A 2． B． 2 1 C
2
． 或 2 1 D
2 5 1
． 或
2 2 2 2
【答案】C
【解析】当PF1 PF2时，△PF1F2 为等腰直角三角形，则点 P 位于椭圆的上下顶点，则满足：
b c e= 2 ,
2
2 2
当PF2 F1F2 或者PF1 F1F2 时，此时P c,
b
b
，△PF1F2 为等腰直角三角形，则满足a 2c
,
a
故 a2 c2 2ac 0 e2 2e 1 0 ， 0 e 1, e 2 1
故选：C
考点 7：椭圆的简单几何性质问题
2 2
64．（2022· · x y黑龙江 哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（理））若方程 1表示椭圆C ，则下面
9 k k 1
结论正确的是（ ）
A． k 1,9 B．椭圆C 的焦距为 2 2
C．若椭圆C 的焦点在 x 轴上，则 k 1,5 D．若椭圆C 的焦点在 x 轴上，则 k 5,9
【答案】C
【解析】因方程表示椭圆，则有9 k 0， k 1 0，且9 k k 1，即 k 1,5 5,9 ，A 错误；
焦点在 x 轴上时，9 k k 1 0 ，解得 k 1,5 ，D 错误，C 正确；
焦点在 x 2轴上时，则 c 9 k k 1 10 2k 2，焦点在 y 轴上时， c k 1 9 k 2k 10，B 错误.
故选：C
2 2
65．（2022· · x y四川 泸州老窖天府中学高二期中（文））椭圆 1的焦点坐标为（ ）
4 2
A． ( 1,0) B． ( 2 0) C． ( 2,0) D． ( 6,0)
【答案】C
x2 y2
【解析】由题意，椭圆 1，可得 a2 4,b2 2，所以 c a2 b2 2 ，4 2
又由椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的焦点坐标为F 2,0 .
故选：C.
2 2
66．（2021·安徽·高二期中）已知圆 x a 2 y b 2 r 2 x y经过椭圆 C： 1的右焦点，上顶点与右顶点，9 8
则b （ ）
A 11 2
11
B C 11 2
11
． ． ． D．
8 8 4 4
【答案】A
x2 y2
【解析】椭圆 C： 1，右焦点为 1,0 ，上顶点为 0,2 2 ，右顶点为 3,0 ，9 8
代入圆的方程 (x a)2 (y b)2 r2 ，
1 a 2 0 b 2 r 2 a 2
2
得 0 a 2 2 b 2 r 2 11 2，解得 b ，
8
3 a 2 2
2
0 b r r 2 153 32
2
2 x 2 y 11 2
153
所以该圆的方程为 ．
8 32
故选：A
2 2
67 x y．（多选题）（2022·海南·海口市琼山华侨中学高二阶段练习）已知椭圆C : 1的左、右焦点分别为
4 3
F1，F2 ，点 P 为椭圆 C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 C 的焦距为 1
B．点Q
2
1, 在椭圆 C 内部
2
2 2
C x y 7．若椭圆 1的焦点在 x 轴上，则 3 k
4 k k 3 2
Q 1, 2
D 2．若点 ，则 PQ PF1 的距离的最大值为2 4 2
【答案】BCD
x2 y2
【解析】对于选项 A，由椭圆C : 1，易得 c 1，所以焦距为 2，故选项 A 错误；
4 3
2 x2 y2 1 1
对于选项 B，将点Q 1, 2
代入 中，易得 1，则点 Q 在椭圆 C 内部，故选项 B 正确；
4 3 4 6
x2 y2 7
对于选项 C，由椭圆 1的焦点在 x 轴上，得 4 k k 3 0 ，解得 3 k 2 ，故选项 C 正确；4 k k 3
对于选项 D， PQ PF1 2a PQ PF
2
2 2a QF2 4 （当 P，Q，F2 三点共线时，且点 P 位于第四2
象限时，取得最大值），故选项 D 正确，
故选：BCD.
2 2
68 x y．（2021·广西玉林·高二期中（理））已知点 P(k，1)，椭圆 =1，点 P 在椭圆外，则实数 k 的取值范
9 4
围为_____.
3 3 3 3
【答案】 - ，- 2
，
2
x2 y2
【解析】因为点 P(k，1)在椭圆 =1 外，
9 4
k 2 1
所以 >1，
9 4
解得 k< 3 3 3 3 或 k> ，
2 2
3 3 3 3
故实数 k 取值范围为 - ，- 2
， 2
.
3 3 3 3
故答案为： - ，- ，
2 2
考点 8：利用第一定义求解轨迹
2 2
69 x y．（2022·云南昭通·高二期末）点 P 在以F1，F2 为焦点的椭圆 1上运动，则△PF3 4 1
F2 的重心G
的轨迹方程是___________.
2
【答案】3x2 9y 1 x 0
4
【解析】设G x, y ，P m, n ，
x2 y2
由 1，得 c 4 3 1，
3 4
即F1(0, 1)，F2(0,1) ，
因为G 为△PF1F2 的重心，
x m y 1 1 n所以 ， ，
3 3
即m 3x， n 3y，
x2 y2 9x2 9y2
代入 1，得 1，
3 4 3 4
2
即3x2 9y 1，
4
因为 P ，F1，F2 三点不共线，所以 x 0，
9y2
则△PF1F2 的重心G 的轨迹方程是3x2 1 x 0 .4
3x2 9y
2
故答案为： 1 x 0 .
4
2
70．（2022·天津天津·高二期末）已知 B( 3 ，0)是圆 A： x 3 y2 16内一点，点 C 是圆 A 上任意一
点，线段 BC 的垂直平分线与 AC 相交于点 D.则动点 D 的轨迹方程为_________________.
x2
【答案】 y2 1
4
【解析】连接BD，由题意， BD CD ，则 BD DA CD DA 4 2 3 AB ，
由椭圆的定义可得动点 D 的轨迹为椭圆，其焦点坐标为 3,0 ，长半轴长为 2，
x2
故短半轴长为 1，故轨迹方程为： y2 1.
4
x2
故答案为： y2 1.
4
71．（2022·贵州贵阳·高二期末（文））平面直角坐标系内动点 M（ x, y）与定点 F（4，0）的距离和 M 到定
直线 l : x 2 9的距离之比是常数 3 ，则动点 M 的轨迹是___________．
x2 y2
【答案】 1
36 20
2
【解析】动点M (x, y)与定点F (4,0)的距离和它到定直线 l : x 9的距离之比是常数 3 ，
| MF | 2
根据题意得，点M 的轨迹就是集合 P {M | }d 3 ，
(x 4)2 y2 2 x2 y2
由此得 ．将上式两边平方，并化简，得 1．
| 9 x | 3 36 20
所以，动点M 的轨迹是长轴长、短轴长分别为 12、 4 5 的椭圆．
x2 y2
故答案为： 1．
36 20
72．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知动圆 P 过定点 A 3,0 ，且在定圆B : x 3 2 y2 100的
内部与其相内切，则动圆 P 的圆心的轨迹方程为______．
x2 y2
【答案】 1
25 16
【解析】设动圆 P 和定圆 B 内切于点M ，
动点 P 到定点 A( 3,0) 和定圆圆心B(3,0) 距离之和恰好等于定圆半径，
即 | PA | | PB | | PM | | PB | | BM | 10 6，
点 P 的轨迹是以A ， B 为两焦点，长轴长为 10 的椭圆，
b 25 9 4 ，
x
2 y2
点 P 的轨迹方程为 1，
25 16
x2 y2
故答案： 1．
25 16
y273．（2022·四川乐山·高二期末（文））过椭圆 x2 1上一点 P 作 x 轴的垂线，垂足为Q，则线段 PQ中点
2
M 的轨迹方程为___________.
【答案】 x2 2y2 1
x x0 x x 2
【解析】设P x , y , M x, y Q x ,0 0 y0 0 ，则 0 ，则 1 ，即 ，因为 x2 00 1，y y
2 0
y0 2y 2
代入可得 x2 2y2 1，即M 的轨迹方程为 x2 2y2 1 .
故答案为： x2 2y2 1
74 2022· C : (x 2)2 y2 81 C : (x 2)2 y2．（ 河北省唐县第一中学高二阶段练习）已知圆 1 和圆 2 9，动圆 M
与圆 C1内切，与圆 C2外切，则动圆圆心 M 点的轨迹方程是_______．
x2 y2
【答案】 1
36 32
【解析】由题可得圆C1的圆心为C1 2,0 ，半径为 r1 9，圆C2 的圆心为C2 2,0 ，半径为 r2 3，
设动圆 M 的半径为 r ，
因为动圆 M 与圆 C1内切，则由题可知圆 M 在圆C1内部，所以 MC1 9 r ，
因为动圆 M 与圆 C2外切，所以 MC2 3 r ，
则 MC1 MC2 12 C1C2 ，
所以圆心 M 点的轨迹是以C ,C 为焦点的椭圆，即 a 6,c 2 ，则b2 a2 c21 2 32，
x2 y2
所以圆心 M 点的轨迹方程是 1 .
36 32
x2 y2
故答案为： 1 .
36 32
75．（2022·天津·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 A 2,0 ，B 2,0 ， P 是平面内一动点，直
3
线PA、 PB的斜率之积为 ，则动点 P 的轨迹C 的方程____________.
4
x2 y2
【答案】 1(x 2)
4 3
【解析】设 P 点的坐标为 x, y ， x 2 ，
y y 3
依题意，有 x ， 2 x 2 4
x2 y2
化简并整理，得 1(x 2) ．
4 3
2 2
x y动点 P 的轨迹C 的方程是 1(x 2) ．
4 3
x2 y2
故答案为： 1(x 2) ．
4 3
76．（2022·天津三中高二阶段练习）已知动圆 P 与定圆B : x2 y2 2 5x 31 0 内切，且动圆 P 经过一定点
A 5,0 ．则动圆圆心 P 的轨迹E 的方程是______．
x2 y2
【答案】 1
9 4
【解析】由B : x2 y2 2 5x 31 0 可得 (x 5)2 y2 36，
圆心 B( 5,0) ,半径 r 6，
动圆 P 与定圆B : x2 y2 2 5x 31 0 内切，且过 A 5,0 ，
| PA | | PB | 6 .
动圆圆心 P 的轨迹 E 是以 B、A 为焦点,长轴长为 6 的椭圆.
x2 y2
设椭圆方程为 2 2 1(a b 0)，a b
则 2a 6, a 3,c 5, b2 a2 c2 4 .
2
x y
2
椭圆的方程为 1.
9 4
x2 y2
故答案为： 1
9 4
77．（2022· 2 2福建省漳州第一中学高二期末（理））已知定圆C1 : x y 4x 0，定圆
C 2 22 : x y 4x 60 0，动圆M 和定圆C1外切，和圆C2 内切，动圆的圆心M 的轨迹方程为
____________．
x2 y2
【答案】 1
25 21
【解析】依题意可知：C1圆心为 2,0 ，半径为 2；C2 圆心为 2,0 ，半径为8 .
设动圆的半径为 r ，
C1C2 4 8 2，所以圆C1与圆C2 的位置关系是内含.
根据两个圆内切和外切的知识可知：
MC1 r 2, MC2 8 r, MC1 MC2 10 C1C2 ，
符合椭圆的定义，且 2a 10,2c 4,b2 a2 c2 21，
x2 y2
故M 的轨迹方程为 1 .
25 21
x2 y2
故答案为： 1
25 21
78．（2022·四川· 2 2高二期末（文））若动点P x, y 满足方程 x 2 y2 x 2 y2 8，则动点 P 的轨
迹方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 2A x y
2 x2 y2
． 1 B． 1 C． 1 D． 1
16 12 16 4 8 4 16 12
【答案】A
【解析】由题意得：P x, y 到 A 2,0 与B 2,0 的距离之和为 8，且 8>4，故动点 P 的轨迹方程是以 A 2,0
与B 2,0 为焦点的椭圆方程，故 2a 8， c 2，所以 a 4，b2 a2 c2 16 4 12，所以椭圆方程为
x2 y2
1 .
16 12
故选：A
79．（2022·广东广州·高二期末）已知 ABC 的周长为14，顶点 B 、C 的坐标分别为 0,3 、 0, 3 ，则点A
的轨迹方程为（ ）
x2 y2 2 2A． 1 x 0 B y x． 1 y 0
16 7 16 7
2 2 2 2
C x y y x． 1 y 0 D． 1 x 0
16 7 16 7
【答案】D
【解析】由已知可得 BC 6， AB AC 14 BC 8 BC ，且A 、 B 、C 三点不共线，
故点A 的轨迹是以 B 、C 为焦点，且除去长轴端点的椭圆，
由已知可得 2a 8，得 a 4， c 3，则b a2 c2 7 ，
y2 x2
因此，点A 的轨迹方程为 1 x 0 .
16 7
故选：D.
80．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知M 2,0 ， P 是圆 N : x2 4x y2 32 0
上一动点，线段MP 的垂直平分线交 NP 于点Q，则动点Q的轨迹方程为（ ）
x2 y2 x2 y2A． 1 B． 1
9 5 5 9
x2 y2 x2 2C． 1 D y． 1
5 9 9 5
【答案】A
2
【解析】由题意，可知圆 N 的标准方程为 x 2 y2 36，圆心为 N 2,0 ，半径为 6．
∵线段MP 的垂直平分线交 NP 于点Q，∴QP QM ，∴QM QN QP QN PN 6 MN 4 ，
∴点Q的轨迹是以M ， N 为焦点的椭圆，∴ a 3， c 2，b a2 c2 5 ，∴其轨迹方程为
x2 y2
1．
9 5
故选：A．
81．（2022· 2 2陕西师大附中高二阶段练习（文））设O为坐标原点，动点 N 在圆C: x y 8上，过 N 作 y 轴
1
的垂线，垂足为M ，点 P 满足MP MN ，则点 P 的轨迹方程为
2
A x
2 y2 2 2 2 2 2 2
． 1 B x y x y x y． 1 C． 1 D． 1
8 2 2 8 2 4 4 2
【答案】B
【解析】设P(x, y)
1
，因为MN y轴，且MP MN ，所以M (0, y), N (2x, y) ，又动点 N 在圆C : x2 y2 8
2
2 2 2 2
上，所以 (2x)2 y2 8 x y x y，化简，得 1，即点 P 的轨迹方程为 1；故选 B.
2 8 2 8
82．（2022·辽宁·辽河油田第一高级中学高二阶段练习）已知 AB 3， A, B分别在 y 轴和 x 轴上运动，O为
1 2
原点，OP OA OB ,点 P 的轨迹方程为
3 3
x2 2 2 2A． y2 1 B x2 y x y． 1 C． y2 1 D． x2 1
4 4 9 9
【答案】A
【解析】设动点 P 坐标为P（x
1 2 1 2
，y），A（0，a），B（b，0）， 由OP OA OB 得：（x，y） （0，a） （b，0）
3 3 3 3
a 3y．b 3 x， AB 3， a2 b2 9，
2
2
（3y）2 (3 x)2 9 x， 即 y2 1
2 4
故选 A．
考点 9：直线与椭圆的位置关系
x283．（2022·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知椭圆C : y2 1的左 右焦点分别是F1，2
F2 ，过F1的直线 l : y x m与椭圆 C 交于 A，B 两点，则 ABF2 的面积是（ ）
4 8 16 32
A． B． C． D．
3 3 9 9
【答案】A
【解析】由题意可得F1 1,0 ，F2 1,0 ，则直线 l : y x 1 .
y x 1
联立 x2 2 ，整理得3y
2 2y 1 0，
y 1 2
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
y y 2 y y 1则 1 2 ， 1 2 ，3 3
2 4
从而 y1 y2 y1 y2 4y1 y2 .3
因为 F1F2 2，
所以 ABF
1
2 的面积是 F1F
1
2 y1 y2 2
4 4
.
2 2 3 3
故选：A
84．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）椭圆C 的中心在坐标原点O，焦点在 x 轴上，
椭圆C 经过点 0,1 且长轴长为 2 2 .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点M 1,0 且斜率为 1 的直线 l与椭圆C 交于A ， B 两点，求弦长 AB .
x2 y2
2 2 1(a b 0)
【解析】（1）由题意设椭圆的方程为 a b ，
因为椭圆C 经过点 0,1 且长轴长为 2 2 ，
所以 a 2,b 1，
x2
所以椭圆方程为 y2 1，
2
M 1,0
（2）因为直线 l过点 且斜率为 1，
所以直线 l的方程为 y x 1，
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )，
x2 x2
将 y x 1代入 y2 1，得 (x 1)2 1，
2 2
整理得3x2 4x 0，
4
所以 x1 x2 , x1x3 2
0，
所以 AB 1 k 2 (x x )21 2 4x1x2
2
1 12 4 4 0
4 2
3 3
2 2
85．（2022· x y重庆·巴南中学校高二期中）设 F1， F2 ，分别为椭圆C ： 2 1（ a b 12 ）的左、右焦点，a b
过F2 的直线 l与椭圆C 相交于A 、 B 两点，直线 l的倾斜角为 45 ，F1到直线 l的距离为3 2 ．
(1)求椭圆C 的焦距；
(2)如果 AF2 3F2B，求椭圆C 的方程．
【解析】(1)因为直线 l的倾斜角为 45 且过点F2 ，
所以直线 l的方程为 y x c，
F1 c,0 到直线 l的距离为3 2 ，
c c
3 2
2 2 ，解得 c 3，1 1
椭圆C 的焦距2c 6 .
(2)由（1）可得 y x c，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
y x 3
联立 x2 y2 ，整理可得
1 a2 b2
a2 b2 y2 6b2 y 9b2 a2b2 0 ，
y y 6b
2 9b2 b2a2
解得 1 2 2 ①， y y ②，a b2 1 2 a2 b2
因为 AF2 3F2B，即 3 x1, y1 3 x2 3, y2 ，所以 y1 3y2③，
y 3b
2 9b2
由①③得 2 2 ， y ④，a b2 1 a2 b2
9b2 b2a2 3b2 9b2 2
将④代入②得 ，整理得9 a2 27b ⑤，
a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
c 3 9 a2 a2 2 2因为 ，所以 c b ，代入⑤得a2 b2 27，
因为 a2 b2 9，所以 a2 18,b2 9 ，
x2 y2
故椭圆C 的方程为 1.
18 9
