专项训练 特殊四边形的证明——探究统一背景下不同结论成立时的条件（含答案）

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专项训练
特殊四边形的证明——探究统一背景下不同结论成立时的条件
1.如图,△ABC的中线AD,BE,CF相交于点G,H,I分别是BG,CG的中点.
(1)求证：四边形EFHI是平行四边形.
(2)①当AD与BC满足条件 时,四边形EFHI是矩形，请说明理由.
②当AD与BC满足条件 时,四边形EFHI是菱形，请说明理由.
2.如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，围成四边形EFGH.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.
(2)当四边形ABCD满足条件 时,四边形EFGH是菱形，请说明理由.
(3)当四边形ABCD满足条件 时,四边形EFGH是矩形，请说明理由.
参考答案
1.(1)证明:∵BE,CF是△ABC的中线,∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC且
Ⅰ分别是BG,CG 的中点,∴HI是△BCG的中位线,∴HI∥BC且HI=
∥且EF=HI,∴四边形EFHI是平行四边形.
解:①AD⊥BC 理由:同(1)得FH是△ABG 的中位线， ∥∵EF∥BC,AD⊥BC,∴EF⊥FH,∴∠EFH=90°.∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是矩形.
② 理由:由△ABC的中线AD,BE,CF相交于点G，易得
又∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是菱形.
2.(1)证明:∵EH∥BD,FG∥BD,∴EH∥FG.同理,EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)解:AC=BD 理由:∵EH∥BD,HG∥EF,∴四边形BDHE是平行四边形,∴EH=BD.
同理,HG=AC.∵AC=BD,∴EH=HG,∴四边形EFGH是菱形.
(3)解:AC⊥BD 理由:∵HG∥AC,BD∥FG,∴四边形DOCG是平行四边形.
∵AC⊥BD,∴∠DOC=90°,∴四边形DOCG是矩形,∴∠G=90°,∴四边形EFGH是矩形.
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