数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性 课件（共34张ppt）

(共34张PPT)
5.3导数在研究函数中的应用
五、一元函数的导数及其应用
5.3.1 函数的单调性
课程标准
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；
2.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定的闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系
复习回顾
回顾1 几个常用函数的导数公式与基本初等函数的导数公式分别是什么？
复习回顾
回顾2 导数的四则运算公式是什么？
复习回顾
回顾2 复合函数的求导法则是什么？
复合函数的导数：
一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为.
即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
新课导入
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.
能否利用导数更加精确的研究函数的性质呢？
本节我们就来讨论这个问题.
一
二
三
教学目标
理解导数与函数的单调性的关系
掌握利用导数判断函数单调性的方法
能利用导数的方法解决相关的单调性问题
教学目标
难点
重点
易错点
新知探究
探究一：导数与函数的单调性的关系
新知讲解
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
问题1：下图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数
的图象，图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象.是函数的零点.
追问 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
新知讲解
观察图象可以发现：
(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，即单调递增.相应地，.
(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度随时间的增加而减小，即单调递减.相应地，
新知讲解
问题2：我们看到，函数的单调性与的正负有内在联系.那么，我们能否由的正负来判断函数的单调性呢？
对于高台跳水问题，可以发现：
当时，，函数的图象是“上升”的，函数在内单调递增；
当时，，函数的图象是“下降”的，函数内单调递减.
新知讲解
问题3：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.（请大家以小组形式进行探究）
这种情况是否具有一般性呢？
新知讲解
在上，单调递增
在上，
原函数图象
导函数图象
新知讲解
在上，单调递减
在上，单调递增
原函数图象
导函数图象
在上，
在上，
新知讲解
在上，单调递增
在上，单调递增
在上，
在上，
原函数图象
导函数图象
新知探究
在上，单调递增
在上，单调递增
在上，
在上，
原函数图象
导函数图象
新知讲解
导数表示函数的图象在点处的切线的斜率.可以发现：
在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增；
在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减.
概念生成
一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
（1）在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；
（2）在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减.
如果在某个区间上恒有，那么函数为常数函数，其图象平行于轴或与轴重合
新知探究
探究二：利用导数判断函数单调性
例题讲解
例1.利用导数判断下列函数的单调性：
(1)；
(2)；
(3)
解：(1)因为
所以
所以，函数
上单调递增，如图所示.
新知讲解
解：(2)因为
所以
所以，函数
上单调递减
解：(3)因为
所以
所以，函数
上单调递增
新知讲解
例2.已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，.
试画出函数图象的大致形状.
l
新知讲解
问题3：请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数的平均变化率的几何意义与的正负的关系.
l
一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增(减)函数.如果一个函数在某区间上是增函数或是减函数，那就说这个函数在该区间上具有单调性.
新知讲解
根据定义也可以理解为：
在区间上，当时，函数是增函数；
当时，函数在区间上是减函数
而是函数在区间上的平均变化率，其几何意义是指曲线过点，的割线的斜率.
新知讲解
由此可见，当区间的长度很小时，平均变化率就可以近似地反映函数在这个区间上的单调性，而当时，平均变化率的极限是函数在处的导数.
故当函数在某个区间内的导数大于零时，函数在此区间内单调递增；当导数小于零时，函数在此区间内单调递减.
新知探究
探究三：导数的应用
形如的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.
新知讲解
问题4：如何利用导数研究对数函数与幂函数在区间上增长快慢的情况？
对数函数的导数为，所以在区间上单调递增.当越来越大时，越来越小，所以函数递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”
新知讲解
对数函数的导数为，所以在区间上单调递增.
当越来越大时，越来越大，所以函数递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”
概念生成
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；
反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
例题讲解
例4.设，，，两个函数的图象如图所示.判断，的图象与，之间的对应关系.
解：因为
所以，
新知讲解
当时，
当时，
当时，
所以，，在上都是增函数.在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”.
所以，，的图象依次是图中的，.
小结
1.函数的单调性与其导函数正负的关系
在某个区间上
（1）如果，那么函数在区间上单调递增；
（2）如果，那么函数在区间上单调递减；
（3）如果在区间上恒有那么函数在区间上是常数函数.
小结
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”
小结
单调性的证明方法
（1）图象
（2）定义法
（3）求导