圆中的范 围与最值问题
【知识梳理】
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如 y b 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
x a
（2）形如 t ax by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
3 2 2（ ）形如m (x a) (y b) 的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问
题
解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：斜率型
考点 2：直线型
考点 3：距离型
考点 4：周长面积型
考点 5：长度型
考点 6：坐标型
【典型例题】
考点 1：斜率型
y
1．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（文））若 P(x，y)在圆(x－3)2＋(y－ 3 )2＝6 上运动，则 x
的最大值为________．
2．（2022·河南·高二阶段练习）若直线 kx y 2 2k 0与曲线 4 (y 1)2 1 x 有两个不同的交点，则实
数 k 的取值范围是（ ）
2 6
A． , 1 5,
4
B ． ,4
3 3
2, 1 2 6 4 4 C． 3
, 2
3
D． , 3
3．（多选题）（2021·江苏·周市高级中学高二阶段练习）已知圆C : x2 y2 4x 2 0，点 P a,b 是圆C 上的
动点，以下结论正确的是（ ）
A．圆C 关于直线 x 3y 2 0对称
B．直线 y x 3与圆C 相交所得弦长为 6
b
C． 的最小值为 1
a 4
D． a2 b2 的最大值为 2 2
4．（多选题）（2021·安徽·六安二中高二阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．已知点P x, y y 2在圆C : x 1 2 y 1 2 2上，则 的最小值是 1x
B．已知直线 kx y 1 0 和以M 3,1 , N 3,2 2为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为 k 1
3
C．已知点 P a,b 是圆 x2 y2 r 2 外一点，直线 l的方程是 ax by r 2 ，则直线 l与圆相离
D．若圆M : x 4 2 y 4 2 r 2 r 0 上恰有两点到点 N 1,0 的距离为 1，则 r 的取值范围是 4,6
y
5．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知实数 x，y 满足方程 x2 y2 4x 1 0，则
x
的最大值和最小值的和是（ ）
A．1 B．0 C． 3 D． 3
y 3
6．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）若实数 x，y 满足 x2＋y2－4x－14y＋45＝0，则下列关于
x 2
的最值的判断正确的是（ ）
A．最大值为 2＋ 3，最小值为—2－ 3
B．最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3
C．最大值为－2＋ 3，最小值为－2－ 3
D．最大值为—2＋ 3，最小值为 2－ 3
7．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数 x，y 满足方程 x2 y2 4x 1 0，求：
y
(1) 的最大值；
x
(2) x2 y2的最小值．
8．（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知圆 C 的圆心坐标为(2，7)，直线 l : x y 9 0 是圆 C 的一条
切线，且点Q (－2，3)为圆外的一点.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)若点M 为圆上的任一点，求 MQ 的最大值和最小值；
y 3
(3)若点P x, y 在圆 C 上运动，求 的最大值和最小值．
x 2
9．（2021·河北唐山·高二期中）（1）已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上，求 x2＋y2＋2x＋3 的
最大值与最小值．
y 1
（2）已知实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝3，求 的最大值与最小值．
x
考点 2：直线型
10．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知三点 A 1,2 ，B 4,1 ，C 5,0 ， ABC 的外接圆记为圆
M .
(1)求圆M 的标准方程；
(2)若点P x, y 在圆M 上运动，求 x 2y 的最大值.
11．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）已知动点P(x, y) 在圆 x2 y2 1上，则 2x y 的取值范围是
y 2
_______； 的取值范围是___________.
x 1
12．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知实数 x, y满足 x2 y2 8x 4y 16 0，则 y 的最大值是
（ ）
A．3 B．2 C． 1 D． 4
13．（2021·黑龙江· 2 2大庆市东风中学高二期中）点P x, y 在圆 x 2 y 3 1上，则 x y 的范围是
_______．
14．（2020·四川·广安二中高二阶段练习（理））若 x，y 满足关系式 x2 y2 4x 4y 0，则 x y 4的最大
值为_________；
15．（2021·吉林·长春十一高高二阶段练习）点P(x, y) 是圆 x2 y2 12上的动点，则 x y 的最大值是
________.
16．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）已知点 (x, y)在圆 (x 2)2 (y 3)2 1上．
(1)求 x y 的最大值；
y
(2)求 的最大值；
x
(3)求 x2 y2 2x 4 y 5 的最小值．
考点 3：距离型
17．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知实数 x ， y 满足 x2 y2 4x 3 0 ，则 x 1 2 y 4 2 的最大
值为______．
18．（2021·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知点M 1,0 ， N 1,0 ，曲线 E 上任意一点到点 M 的
距离是到点 N 距离的 3倍.
(1)求曲线 E 的方程；
(2)点P x, y 在曲线 E 上运动，则求 x2 y 1 2 的最大值与最小值.
19．（多选题）（2022·广东·高二阶段练习）已知点P x, y 是圆C : x 1 2 y2 4上的任意一点，直线
l : 1 m x 3m 1 y 3 3m 0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 l与圆C 的位置关系只有相交和相切两种
B．圆C 的圆心到直线 l距离的最大值为 2
C．点 P 到直线 4x 3y 16 0距离的最小值为 2
D．点 P 可能在圆 x2 y2 1上
20．（多选题）（2022·江苏·高二阶段练习）已知 A(x 21,y1)，B(x2 ,y2 )是圆 O： x y2 1上两点，则下列结论
正确的是（ ）
A．若 AB 1，则 AOB
3
B．若点 O 到直线 AB 1的距离为 2 ，则 AB
3
2
C．若 AOB ，则 x1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为2 2 2
D．若 AOB
，则 x1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为 42
21．（2022· 2河南·南阳市第六完全学校高级中学高二阶段练习）已知点 P(m，n)在圆C : x 2 y 2 2 9
2
上运动，则 m 2 n 1 2 的最大值为______，最小值为_______， m2 n2 的范围为________．
22 2022· · x y x2 y2 2x 4y 20 0 x2 y2．（ 河南 洛宁县第一高级中学高二阶段练习）若 ， 满足 ，则 的最
小值是（ ）
A．5 B．5 5 C．30 10 5 D．无法确定
23．（2022· 2 2四川省德阳中学校高二开学考试）若圆C : x 1 y 2 2关于直线 2ax by 6 0对称，由
点 P a,b 向圆 C 作切线，切点为 A，则 PA 的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
24．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）已知直线 l：mx y 3m 1 0恒过点 P ，过点 P 作直线与
圆 C： (x 1)2 (y 2)2 25相交于 A，B 两点，则 AB 的最小值为（ ）
A． 4 5 B．2 C．4 D． 2 5
25．（2022·广西梧州·高二期中（理））已知半径为 2 的圆经过点 2,1 ，则其圆心到原点的距离的最小值为
（ ）
A． 5 2 B． 5 2 C． 5 D．3
26．（2021·四川·南江中学高二阶段练习（理））已知半径为 2 的圆经过点 6,8 ，则其圆心到原点的距离的
最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
27．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）已知直线 l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点 P 在圆 x2 y2 1上，
则点 P 到直线 l 的距离的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
28．（2022· 2 2黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二开学考试）若实数 x，y 满足 x 5 + y 12 144，则
x2 y2 的最小值为______．
29．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）设m R ，过定点A 的动直线 x my 0和过定点 B 的动直
线mx y 2m 4 0交于点P x, y ，已知直线 l : x 2y 5 0 ，则点 P 到直线距离的最小值为______.
30．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）若圆 C 的方程为 x2 y2 4x 4y 5 0 ，点 P 是圆 C 上动点，
点 O 为坐标原点，则 OP 的最大值为（ ）
A． 2 3 2 B． 2 3 2 C． 2 2 3 D． 2 2 3
31 2021· · C : x2 2．（ 天津 高二阶段练习）已知圆 1 y 1，点 A x0 , y0 2 2在圆C1上，则 x0 y0 4x0 的最大值为
（ ）
A． 2 B． 1 C．5 D．9
考点 4：周长面积型
32．（2022·江苏·南京市第十三中学高二开学考试）若 P 是直线 2x y 10 0上的动点，PA、PB 与圆
x2 y2 4相切于 A、B 两点，则四边形 PAOB 面积的最小值为（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．7 D．8
33．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知圆C 的方程为 x2 y2 2，点 P 是直线 x 2y 5 0上的
一个动点，过点 P 作圆C 的两条切线PA、 PB，A 、 B 为切点，则四边形PACB的面积的最小值为______
34．（2022·浙江· 2瑞安市第六中学高二开学考试）过直线3x 4y 2 0上一动点 P 作圆C : x 2 y2 1的
两条切线，切点分别为 A，B，则四边形 PACB 面积的最小值为______．
35．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知圆 M： x2 y 2 2 1，Q 是 x 轴上的动点，QA、
QB 分别与圆m 相切于 A、B两点.
(1)若Q 1,0 ，求切线方程；
(2)求四边形QAMB 面积的最小值；
36．（2022· 2江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）已知圆C : x 2 y2 9．
(1)直线 l1过点D 1,1 ，且与圆 C 相切，求直线 l1的方程；
(2)设直线 l2 : x 3y 1 0与圆 C 相交于 M，N 两点，点 P 为圆 C 上的一动点，求 PMN 的面积 S 的最大
值．
37．（2022·四川成都· 2 2高二开学考试（理））已知直线 l : x y 1 0，圆C : x 1 y 2 1，P 为 l 上一动
点，过点 P 作圆 C 的切线 PM，PN，切点为 M，N，则四边形 PMCN 面积的最小值为（ ）．
A． 7 B．7 C．8 D． 2 2
38．（2022·江苏省丹阳高级中学高二开学考试）直线 x y 2 0分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，点 P 在
圆 x 2 2 y2 2上运动，则△ABP面积的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D． 4 2 2
39．（2022·江苏·高二阶段练习）在平面直角坐标系 xoy中，已知点P 3, 1 在圆
C : x2 y2 2mx 2y m2 15 0内，动直线 AB 过点 P 且交圆C 于 A, B两点，若 ABC 的面积的最大值为
8，则实数m 的取值范围是（ ）
A． 3 2 3,3 2 3 B． 1,5
C． 3 2 3,1 5,3 2 3 D． ,1 5,
40．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（文））阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题:
平面内到两定点距离之比为常数 k(k 0,k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点
PA
A( 1,0), B(1,0) ，动点 P 满足 2PB ，当 P、A、B 不共线时， PAB 面积的最大值是（ ）
4
A． 4 B． 2 C 2． 3 D． 3
考点 5：长度型
41．（多选题）（2022·江苏南京·高二开学考试）已知圆M : x 2 2 y2 2，直线 l : x y 2 0 ，点 P 在直
线 l上运动，直线 PA, PB 分别于圆M 切于点 A, B .则下列说法正确的是（ ）
A．四边形PAMB的面积最小值为 2 3
B． PA 最短时，弦 AB 长为 6
C． PA 最短时，弦 AB 直线方程为 x y 1 0
3 1
D．直线 AB 过定点 ,
2 2
42．（2022·四川省南充高级中学高二开学考试（理））已知圆C : x2 y2 2x 0与直线
l : mx y 2m 0(m 0) ，过 l 上任意一点 P 向圆 C 引切线，切点为 A，B，若线段 AB 长度的最小值为 3，
则实数 m 的值为（ ）
A 3 B 2 2 C 3 3． ． ． D 2 5．
2 3 4 5
43．（2022·江西· 2 2赣州市赣县第三中学高二开学考试（文））已知A ， B 分别是圆C1 : x y 2x 4y 4 0
2 2
和圆C2 : x y 6x 4y 12 0上的动点，点 P 在直线 l : x y 3 0上，则 | PA | | PB |的最小值是（ ）
A．2 17 4 B． 2 17 4 C． 2 17 2 D． 2 17 2
PA 1
44．（2022·上海市控江中学高二期中）已知 A 2,0 B 8,0 C 4,2 ，且动点 P 满足 ，则 2 PC PBPB 2
取得最小值时，点 P 的坐标是___________.
45 2 2 1．（2021·湖北武汉·高二期中）已知实数 x1、x2、y1、y2满足 x1 y1 1， x22 y
2
2 1， x1x2 y1 y2 ，则2
| x1 y1 2 | | x 2 y2 2 | 的最大值为___________.
2 2
46 2 2．（2021·重庆市江津中学校高二期中）已知 x y 4x 2my 2m2 2m 1 0 m R 表示圆C 的方程.
(1)求实数m 的取值范围；
(2)当圆C 的面积最大时，求过点 A 4, 4 圆的切线方程.
(3) P 为圆上任意一点，已知B 6,0 2 2，在（2）的条件下，求 PA PB 的最小值.
考点 6：坐标型
47．（2022·四川省德阳中学校高二开学考试）已知直线 l:x y 2 0 和圆M : x2 y2 4x 4y 2 0 ，点A
在直线 l上，若直线 AC 与圆M 至少有一个公共点C ，且 CAM 45 ，则点A 的横坐标的最大值是（ ）
A． 2 B．1 C．3 D．4
48．（2021· 2 2山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆 C： x 6 y 8 1和两点 A m,0 ，
B m,0 m 0 ，若圆 C 上存在点 P，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
49．（2021· 2吉林·东北师大附中高二阶段练习（理））设点P x ,1 ，若在圆M : x 1 y20 1上存在点 N ，
使得 MPN 45 ，则 x0 的最大值是（ ）
A．1 B． 2 C．2 D．4圆中的范 围与最值问题
【知识梳理】
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
y b（1）形如 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
x a
（2）形如 t ax by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如m (x a)2 (y b)2 的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问
题
解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：斜率型
考点 2：直线型
考点 3：距离型
考点 4：周长面积型
考点 5：长度型
考点 6：坐标型
【典型例题】
考点 1：斜率型
y
1．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（文））若 P(x，y)在圆(x－3)2＋(y－ 3 )2＝6 上运动，则 x
的最大值为________．
【答案】2＋ 3
y y
【解析】由 表示直线OP (O坐标系原点)的斜率，故 最大，即直线 kx y 0斜率最大，
x x
所以，只有 kx y 0与圆相切时斜率存在最值，而圆心为 (3, 3)，半径为 6 ，
| 3k 3 |
则 6 ，整理得 k 2 2 3k 1 0，解得 k 3 2，
1 k 2
y
所以， 的最大值为 .
x 3 2
故答案为： 3 2
2．（2022·河南·高二阶段练习）若直线 kx y 2 2k 0与曲线 4 (y 1)2 1 x 有两个不同的交点，则实
数 k 的取值范围是（ ）
2 6 4
A． , 1 5, B
． ,43 3
2, 1 2 6
4 4
C． 3
, 2 D． ,
3
3
【答案】A
【解析】方程 kx y 2 2k 0是恒过定点P(2, 2)，斜率为 k 的直线，
曲线 4 (y 1)2 1 x ，即 (x 1)2 (y 1)2 4(x 1)，是圆心为C(1,1)，半径 r 2，在直线 x 1及右侧的
半圆，半圆弧端点 A(1, 1)，B(1,3) ，
在同一坐标系内作出直线 kx y 2 2k 0与半圆C : (x 1)2 (y 1)2 4(x 1)，如图，
当直线 kx y 2 2k 0与半圆C 相切时，
k 3
2 k 2 6由 得相切时 1，又 kPB 5，
1 k 2 3
k 2 6所以 1，或 k 5，
3
所以 k 1 2 6 或 k 5．
3
故选：A．
3．（多选题）（2021·江苏·周市高级中学高二阶段练习）已知圆C : x2 y2 4x 2 0，点 P a,b 是圆C 上的
动点，以下结论正确的是（ ）
A．圆C 关于直线 x 3y 2 0对称
B．直线 y x 3与圆C 相交所得弦长为 6
b
C． 的最小值为 1
a 4
D． a2 b2 的最大值为 2 2
【答案】ABC
2
【解析】圆C 的标准方程为 x 2 y2 2，圆C 的圆心为C 2,0 ，半径为 r 2 .
对于 A 选项，因为 2 3 0 2 0，即直线 x 3y 2 0过圆心，故圆C 关于直线 x 3y 2 0对称，A 对；
1 2
对于 B 选项，圆心C 到直线 y x 3的距离为 d ，
2 2
所以，直线 y x 3与圆C 相交所得弦长为 2 r 2 d 2 2 2 1 6 ，B 对；
2
b
对于 C 选项，令 k ，可得b k a 4 ，
a 4
所以，点 P a,b 在直线 kx y 4k 0上，
2k 4k
所以，直线 kx y 4k 0与圆C 有公共点，则 2 ，解得 1 k 1，
k 2 1
b
故 的最小值为 1，C 对；
a 4
对于 D 选项， a2 b2 PO 2（O为坐标原点），如下图所示：
当O、C 、 P 三点共线且点C 在线段OP上时， OP 取得最大值 2 2 ，
2故 a2 b2 的最大值为 2 2 6 4 2 ，D 错.
故选：ABC.
4．（多选题）（2021·安徽·六安二中高二阶段练习）下列结论正确的是（ ）
P x, y 2 2 y 2A．已知点 在圆C : x 1 y 1 2上，则 的最小值是 1x
B．已知直线 kx y 1 0 和以M 3,1 , N 3,2 2为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为 k 1
3
C．已知点 P a,b 是圆 x2 y2 r 2 外一点，直线 l的方程是 ax by r 2 ，则直线 l与圆相离
D M : x 4 2．若圆 y 4 2 r 2 r 0 上恰有两点到点 N 1,0 的距离为 1，则 r 的取值范围是 4,6
【答案】AD
y 2
【解析】A 选项，设 k ，则 y kx 2，因为点P x, y 在圆C : x 1 2 y 1 2 2上，所以直线 y kx 2
x
C : x 1 2与圆 y 1 2 2有交点，
k 3
故圆心到直线的距离 d 2 ，解得 k 7 或 k 1，故 A 正确；
1 k 2
x 0
B 选项，由 kx y 1 0 得 k x 0
y 1 0，所以 ，即直线 kx y 1 0y 1 过点
P 0, 1 ，
因为直线 kx y 1 0 和以M 3,1 , N 3,2 2为端点的线段相交，故只需 k kPN 1或 k kPM ，故 B 错3
误；
2
C 选项，圆 x2 y2 r 2 的圆心 0,0 r到直线 ax by r 2 的距离 d ，而点 P a,b 是圆 x2 y2 r 2 外一
a2 b2
r 22 r
2
点，所以 a b2 r 2，所以 d r ，所以直线与圆相交，故 C 错误；
a2 b2 r
D 2 2 2选项，与点 N 1,0 的距离为 1 的点在圆 x 1 y2 1上，由题意知圆M : x 4 y 4 r 2 r 0 与
圆 x 1 2 y2 1相交，
所以圆心距 d MN 5，满足 r 1 d 5 r 1，解得 4 r 6 ，故 D 正确.
故选：AD.
y
5．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知实数 x，y 满足方程 x2 y2 4x 1 0，则
x
的最大值和最小值的和是（ ）
A．1 B．0 C． 3 D． 3
【答案】B
x2 y2 4x 1 0 x 2 2【解析】由题意， y2 3，表示以（2,0）为圆心， 3为半径的圆，
y y 0
表示圆上的点 P（x,y）与原点连线的斜率，如图：
x x 0
y
易知，当直线OP与圆相切时 分别取得最大值和最小值
x
设切线为： y kx kx y 0 ，
d | 2k |于是圆心到切线的距离 3 k 3
k 2 1
y
故 的最大值和最小值的和是 0
x
故选：B
y 3
6．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）若实数 x，y 满足 x2＋y2－4x－14y＋45＝0，则下列关于
x 2
的最值的判断正确的是（ ）
A．最大值为 2＋ 3，最小值为—2－ 3
B．最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3
C．最大值为－2＋ 3，最小值为－2－ 3
D．最大值为—2＋ 3，最小值为 2－ 3
【答案】B
【解析】 x2＋y2－4x－14y＋45 2 2＝0可化为 x 2 ＋ y 7 ＝8 .
y 3
可看作圆上任意一点P x, y 与定点Q 2,3 连线的斜率.
x 2
y 3
记 k ，则 y kx 2k 3，记为直线 l.
x 2
当直线与圆 x 2 2＋ y 7 2＝8相切时，k 可以取得最值.
2k 2k 3 7
此时圆心到直线的距离 d 2 22 ，解得： k 2 3 .1 k
y 3
所以 2 3 2 3 .
x 2
故选：B.
7．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数 x，y 满足方程 x2 y2 4x 1 0，求：
y
(1) 的最大值；
x
(2) x2 y2的最小值．
(1) x
2 y2 4x 1 0 x 2 2 y2 3 2,0
【解析】 ，圆心 ，半径 r 3 。
y
表示 x, y 与 0,0 构成的斜率。
x
设直线 y kx ，则 2,0 到直线 kx y 0的距离为 3，
2k
d 3 ，解得
2 k 3 ，k 1
y
所以 kmax 3 ，即 的最大值为 3。x
(2) x2 y2表示 x, y 与 0,0 距离的平方。
如图所示：
x2 y2 2
2
则 的最小值为 OA 2 3 7 4 3
8．（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知圆 C 的圆心坐标为(2，7)，直线 l : x y 9 0 是圆 C 的一条
切线，且点Q (－2，3)为圆外的一点.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)若点M 为圆上的任一点，求 MQ 的最大值和最小值；
(3)若点P x, y y 3在圆 C 上运动，求 的最大值和最小值．
x 2
【解析】（1）因为圆 C 的圆心坐标为(2，7)，直线 l : x y 9 0 是圆 C 的一条切线，所以圆 C 到直线
2 7 9
l : x y 9 0 2 2的距离等于半径，即 r d 2 2 ，所以圆 C 的标准方程 x 2 y 7 8；
2
（2 2 2）因为圆心坐标C 2,7 ， r 2 2 ， CQ 2 2 7 3 4 2 ,所以
MQ CQ r 4 2 2 2 6 2 ， MQ CQ r 4 2 2 2 2 2max min ；
（3）设过点Q 2,3 的直线方程为： y 3 k x 2 ，即 kx y 2k 3 0 y 3，易知直线与圆相切时， k
x 2
2k 7 2k 3 y 3
有最值，由 2 22 ，解得 k 2 3 ，所以 的最大值是 2 3 ，最小值是 2 31 k x 2
9．（2021·河北唐山·高二期中）（1）已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上，求 x2＋y2＋2x＋3 的
最大值与最小值．
y 1
（2）已知实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝3，求 的最大值与最小值．
x
【解析】(1)圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心 C(3，3)，半径 r＝2.
x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2 表示圆上点 P(x，y)与定点 A(－1，0)连线线段长度 d 的平方加上 2.
因为|AC|＝5，所以 3≤d≤7，
所以所求最小值为 11，最大值为 51.
(2)方程 (x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆．
y 1 y 1
的几何意义是圆上一点与点(0，1)连线的斜率，所以设 ＝k，即 y＝kx＋1.当直线 y＝kx＋1 与圆相
x x
| 2k 0 1| y 1
切时，斜率取最大值和最小值，此时 2 ＝ 3，解得 k＝－2± 6 ，所以 的最大值是－2＋ 6 ，k 1 x
最小值为－2－ 6 .
考点 2：直线型
10．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知三点 A 1,2 ，B 4,1 ，C 5,0 ， ABC 的外接圆记为圆
M .
(1)求圆M 的标准方程；
(2)若点P x, y 在圆M 上运动，求 x 2y 的最大值.
2 2
【解析】(1)设圆M 的一般方程为 x y Dx Ey F 0，
5 D 2E F 0 D 2
则 17 4D E F 0
，解得 E 6
25 5D F 0 F 15
∴圆M 的一般方程为 x2 y2 2x 6y 15 0，
2 2
即标准方程为 x 1 y 3 25 .
(2)设 x 2y t，则 x t 2y，代入 x 1 2 y 3 2 25
得 (t 2y 1)2 (y 3)2 25
整理得5y2 (10 t)y t 2 2t 15 0
则 (10 4t)2 20(t 2 2t 15) 0，整理得 t 2 10t 100 0
解得 5 5 5 t 5 5 5，
∴ x 2y 的最大值为5 5 5 .
11．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）已知动点P(x, y) 在圆 x2 y2 1上，则 2x y 的取值范围是
y 2
_______； 的取值范围是___________.
x 1
3
【答案】 [ 5, 5] [ , )
4
【解析】P(x, y) 是圆 x2 y2 1上的点，设 2x y t，即 2x y t 0，直线 2x y t 0与圆 x2 y2 1有
公共点，
t
则 d 1，所以
2 2 5 t 5 ，2 1
y 2
设 k ，即 kx y k 2 0，由题意此直线与圆有公共点，
x 1
k 2 3
所以 1，解得 k ．
k 2 1 4
3
故答案为：[ 5, 5]；[ , )．
4
12．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知实数 x, y满足 x2 y2 8x 4y 16 0，则 y 的最大值是
（ ）
A．3 B．2 C． 1 D． 4
【答案】D
【解析】 x2 y2 8x 4y 16 0可化为： x 4 2 y 2 2 4，
2
所以 y 2 4，解得：0 y 4，
即 y 的最大值是 4.
故选：D
13 2 2．（2021·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）点P x, y 在圆 x 2 y 3 1上，则 x y 的范围是
_______．
【答案】 2 1, 2 1
【解析】设 x 2 cos ， y 3 cos ，即P 2 cos , 3 sin ，
所以 x y sin cos 1 2 sin
1，
4
1 sin 因为 4
1，所以 2 1 x y 2 1 .
故答案为： 2 1, 2 1
14．（2020·四川·广安二中高二阶段练习（理））若 x，y 满足关系式 x2 y2 4x 4y 0，则 x y 4的最大
值为_________；
【答案】4
x2 y2 4x 4y 0
【解析】设 x y 4 t ，由 得 2x2 (2t 8)x t 2 4t 0（*），
x y 4 t
所以 (2t 8)2 8(t 2 4t) 0，解得 4 t 4 ．
t 4时，由（*）得 x 4，代入 x y 4 t 得 y 4 ， (4, 4)满足 x2 y2 4x 4y 0，
所以 x y 4的最大值是 4．
故答案为：4．
15．（2021·吉林·长春十一高高二阶段练习）点P(x, y) 是圆 x2 y2 12上的动点，则 x y 的最大值是
________.
【答案】2 6
【解析】由 (x y)2 2(x2 y2 ) 24，则 2 6 x y 2 6 ，当且仅当 x y 6 时等号成立，
∴ x y 的最大值是2 6 .
故答案为：2 6 .
16．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）已知点 (x, y)在圆 (x 2)2 (y 3)2 1上．
(1)求 x y 的最大值；
y
(2)求 的最大值；
x
(3)求 x2 y2 2x 4 y 5 的最小值．
2
【解析】(1)圆 (x 2) (y 3)
2 1的圆心C(2, 3)，半径 r 1，
令 x y a，即 x y a 0，表示斜率为-1，纵截距为 a 的直线，依题意，此直线与圆 C 有公共点，
| 2 3 a |
于是得 12 2 ，即 | a 1| 2 ，解得 1 2 a 1 2 ，1 1
所以 x y 的最大值为 1 2 .
y
(2)令 k ，即 kx y 0，表示过原点斜率为 k 的直线，依题意，此直线与圆 C 有公共点，
x
| 2k 3 |
则有 1k 2 ( ，即 1)2 3k
2 2 3 2 3 12k 8 0，解得 2 k 2 ，
3 3
y 2 3
所以 的最大值是
x 2
.
3
(3)因 x2 y2 2x 4y 5 (x 1)2 (y 2)2 ，则 x2 y2 2x 4 y 5 表示圆 C 上的点P(x, y) 与定点
A( 1,2)的距离，
而 | AC | ( 1 2)2 [2 ( 3)]2 34 ，显然有 | PA | | AC | | PC | 34 1，当且仅当 P 是线段 AC 与圆 C 的
交点时取“=”，
所以 x2 y2 2x 4 y 5 的最小值是 34 1 .
考点 3：距离型
17．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知实数 x ， y 满足 x2 y2 4x 3 0 x 1 2，则 y 4 2 的最大
值为______．
【答案】36
【解析】 x2 y2 4x 3 0 x 2 2 y2 1 2,0 1 x 1 2 y 4 2整理为： ，圆心为 ，半径为 ，故 可以看
做圆上一点与点 1,4 距离的平方，则最大值为圆心 2,0 与点 1,4 距离加上半径后的平方，故
2
x 1 2 y 4 2 2最大值为 1 2 42 1 36
故答案为：36
18．（2021·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知点M 1,0 ， N 1,0 ，曲线 E 上任意一点到点 M 的
距离是到点 N 距离的 3倍.
(1)求曲线 E 的方程；
(2)点P x, y 2在曲线 E 上运动，则求 x2 y 1 的最大值与最小值.
x, y
【解析】(1)设曲线 E 上任意一点坐标为 ，
2
由题意得， x 1 y2 3 x 1 2 y2 ，
整理得 x2 y2 4x 1 0 x 2 2，即 y2 3，
2
∴曲线 E 的方程为 x 2 y2 3 .
(2)设点 A 0,1 ，则 x2 y 1 2 AP ，因为点 A 在圆 E 的外面，
则 AE 0 2 2 1 0 2 5 ，
所以 AP 最大值为 AE r 5 3 ，最小值为 AE r 5 3 ，
故 x2 y 1 2 的最大值为8 2 15 ，最小值为8 2 15 .
19．（多选题）（2022·广东·高二阶段练习）已知点P x, y C : x 1 2是圆 y2 4上的任意一点，直线
l : 1 m x 3m 1 y 3 3m 0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 l与圆C 的位置关系只有相交和相切两种
B．圆C 的圆心到直线 l距离的最大值为 2
C．点 P 到直线 4x 3y 16 0距离的最小值为 2
D．点 P 可能在圆 x2 y2 1上
【答案】ACD
【解析】对于 A 选项，因为直线 l的方程可化为 x y 3 m x 3y 3 0．
x y 3 x 0
令 解得 ，所以直线 l过定点Q 0, 3 ，
x 3y 3 y 3
直线 l是过点Q的所有直线中除去直线 x 3y 3 0 外的所有直线，
圆心C 1,0 1 3到直线 x 3y 3 0 的距离为 1 2，即直线 x 3y 3 0 与圆C 相交，
1 3
又点Q 0, 3 在圆C : x 1 2 y2 4上，所以直线 l与C 至少有一个公共点，
所以直线 l与圆C 的位置关系只有相交和相切两种，A 正确；
对于 B 选项，当直线 l为圆C 的切线时，点C 到直线 l的距离最大，且最大值为 QC 2 ，B 错误；
4 16
对于 C 选项，因为圆心C 到直线 4x 3y 16 0的距离 d 4，
5
所以圆C 上的点 P 到直线 4x 3y 16 0距离的最小值为 4 2 2，C 正确；
对于 D 选项，圆 x2 y2 1的圆心为原点O，半径为1，
因为 OC 1 2 1，所以，圆C 与圆O内切，故点 P 可能在圆 x2 y2 1上，D 正确.
故选：ACD.
20．（多选题）（2022·江苏·高二阶段练习）已知 A(x1,y1)，B(x 2 22 ,y2 )是圆 O： x y 1上两点，则下列结论
正确的是（ ）
A．若 AB 1，则 AOB
3
B．若点 O 到直线 AB 1 3的距离为 2 ，则 AB 2
C．若 AOB ，则 x1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为2 2 2
D．若 AOB ，则 x1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为 42
【答案】AD
A AB 1 O AB 3
【解析】对于 ，若 ，则可知点 到 的距离为 ，从而可知 AOB ，故 A 正确；
2 3
1 AB 3
对于 B，若点 O 到直线 AB 的距离为 2 ，则可知 = ，从而得 AB 3 ，故 B 错误；2 2
x1 y1 1 x2 y2 1
对于 C，D， 的值可转化为单位圆上的 A x1, y1 , B x2 , y2 两点到直线 x y 1 0 的距2 2
离之和，又 AOB 90 ，所以三角形 AOB是等腰直角三角形，设M 是 AB 的中点，则OM AB ，且
OM 2 OA 2 2 ，则M 在以O点为圆心，半径为 的圆上， A, B两点到直线 x y 1 0 的距离之和
2 2 2
为 AB 的中点M 到直线 x y 1 0 的距离的两倍.
点O 0,0 到直线 x y 1 0 1 2的距离为 ，
2 2
M x y 1 0 2 2所以点 到直线 的距离的最大值为 2 ，
2 2
x1 y1 1 x2 y2 1
所以 的最大值为 2 2 .因此 x1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为 4.从而可知 C 错误，D2 2
正确..
故选：AD.
21．（2022·河南· 2南阳市第六完全学校高级中学高二阶段练习）已知点 P(m，n)在圆C : x 2 y 2 2 9
上运动，则 m 2 2 n 1 2 的最大值为______，最小值为_______， m2 n2 的范围为________．
【答案】 64 4 [3 2 2,3 2 2]
【解析】由圆 C 的圆心为 (2, 2)，半径为 3，且 P 在圆C 上，
则 m 2 2 n 1 2 表示在圆C 上点到 ( 2, 1)距离的平方，
而圆心到 ( 2, 1)的距离为 [2 ( 2)]2 [2 ( 1)]2 5 3，
所以在圆C 上点到 ( 2, 1)距离的最大值为 8，最小值为 2，
故 m 2 2 n 1 2 的最大值为 64，最小值为 4；
又 m2 n2 表示在圆C 上点到原点的距离，而圆心到原点距离为 2 2 3，
所以 m2 n2 的范围为[3 2 2,3 2 2] .
故答案为：64，4，[3 2 2,3 2 2]
22．（2022·河南· 2 2洛宁县第一高级中学高二阶段练习）若 x，y 满足 x2 y2 2x 4y 20 0，则 x y 的最
小值是（ ）
A．5 B．5 5 C．30 10 5 D．无法确定
【答案】C
【解析】由 x2 y2 2x 4y 20 0 2，可得 x 1 y 2 2 25，
表示以C 1, 2 为圆心，以 r = 5为半径的圆，
设原点O 0,0 ， OC 5 ，
则 x2 y2 2 2（ x y 为圆上的点与原点距离的平方）的最小值是
2 2 5 OC 5 5 30 10 5 ．
故选：C．
23．（2022· 2 2四川省德阳中学校高二开学考试）若圆C : x 1 y 2 2关于直线 2ax by 6 0对称，由
点 P a,b 向圆 C 作切线，切点为 A，则 PA 的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由题意知，直线 2ax by 6 0过圆心C 1,2 ，即 2a 2b 6 0，
化简得 a b 3 0, P a,b 在 x y 3 0上，
如图，为使 PA 最小，
只需圆心C 1,2 与直线 x y 3 0上的点的距离最小，
如图所示：
1 2 3
d 3 2
2
2
所以 PA 的最小值为 3 2 2 4，
故选：B
24．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）已知直线 l：mx y 3m 1 0恒过点 P ，过点 P 作直线与
圆 C： (x 1)2 (y 2)2 25相交于 A，B 两点，则 AB 的最小值为（ ）
A． 4 5 B．2 C．4 D． 2 5
【答案】A
【解析】由m(x 3) y 1 0 恒过P(3,1) ，
又 (3 1)2 (1 2)2 5 25，即 P 在圆 C 内，
要使 AB 最小，只需圆心C(1,2) 与 P 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由 | CP | 5 ，圆的半径为 5，
所以 AB 2 25 5 4 5 .
故选：A
25．（2022·广西梧州·高二期中（理））已知半径为 2 的圆经过点 2,1 ，则其圆心到原点的距离的最小值为
（ ）
A． 5 2 B． 5 2 C． 5 D．3
【答案】B
【解析】依题意，半径为 2 的圆经过点 2,1 ，
所以圆心的轨迹是以 2,1 为圆心，半径为 2 的圆，
所以圆心到原点的距离的最小值为 22 12 2 5 2 .
故选：B.
26．（2021·四川·南江中学高二阶段练习（理））已知半径为 2 的圆经过点 6,8 ，则其圆心到原点的距离的
最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】依题意，半径为 2 的圆经过点 6,8 ，
所以圆心的轨迹是以 6,8 为圆心，半径为 2的圆，
所以圆心到原点的距离的最小值为 62 82 2 8 .
故选：B
27．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）已知直线 l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点 P 在圆 x2 y2 1上，
则点 P 到直线 l 的距离的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】直线 l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为 x 3 4 y m 0，
所以直线过定点Q 3,4 ，
所以点 P 到直线 l 的距离的最大值为 OQ r 32 42 1 6，
故选：D
28 2 2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二开学考试）若实数 x，y 满足 x 5 + y 12 144，则
x2 y2 的最小值为______．
【答案】1
2 2
【解析】因为 x 5 + y 12 144，表示圆心为A 5,12 ，半径 r 12的圆，
而 x2 y2 表示圆上的点B x, y 与原点 0,0 的距离，
又 AO 5 0 2 12 0 2 13，
所以 x2 y2 的最小值为 AO r 13 12 1，
故答案为：1.
29．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）设m R ，过定点A 的动直线 x my 0和过定点 B 的动直
线mx y 2m 4 0交于点P x, y ，已知直线 l : x 2y 5 0 ，则点 P 到直线距离的最小值为______.
【答案】 5
【解析】动直线 x my 0过定点 A 0,0 ，动直线mx y 2m 4 0 .即m x 2 4 y 0过定点B 2,4 ．
无论m 0,m 0，都有此两条直线垂直，
所以点 P 在以 AB 为直径的圆上，
所以圆心坐标 1,2 1，半径为 AB 5 ．2
2
点 P 的轨迹方程： x 1 y 2 2 5，
1 2 2 5
又圆心 1, 2 到直线直线 l : x 2y 5 0 的距离为 2 5 ，5
所以点 P 到直线距离的最小值为 2 5 5 5 .
故答案为： 5 .
30．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）若圆 C 的方程为 x2 y2 4x 4y 5 0 ，点 P 是圆 C 上动点，
点 O 为坐标原点，则 OP 的最大值为（ ）
A． 2 3 2 B． 2 3 2 C． 2 2 3 D． 2 2 3
【答案】C
42 42
【解析】圆 C 的圆心为 ( 2, 2) 4 5，半径为 r 3， | OP |的最大值为 |OC | r 2 2 3 .
2
故选：C.
31．（2021· 2 2天津·高二阶段练习）已知圆C1 : x y 1，点 A x0 , y C x2 y20 在圆 1上，则 0 0 4x0 的最大值为
（ ）
A． 2 B． 1 C．5 D．9
【答案】C
2 2
【解析】由点 A x0 , y0 在圆C1上，所以 x0 y0 1，且 x0 1,1 ，
x2所以 0 y
2
0 4x0 1 4x0 3,5 ，
x2 2所以 0 y0 4x0 的最大值为 5，
故选：C
考点 4：周长面积型
32．（2022·江苏·南京市第十三中学高二开学考试）若 P 是直线 2x y 10 0上的动点，PA、PB 与圆
x2 y2 4相切于 A、B 两点，则四边形 PAOB 面积的最小值为（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．7 D．8
【答案】D
【解析】由圆 x2 y2 4，得到圆心 0,0 ，半径 r 2，
由题意可得：PA PB ，PA OA，PB OB，
∴ S PAOB 2S
1
PAO 2 PA AO 2PA四边形 ，2
在Rt△PAO 中，由勾股定理可得：PA2 PO2 r 2 PO2 4，
当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，
点 P 是直线 l： 2x y 10 0上的动点，
10
当PO l时，PO有最小值 d 2 5 ， PA 4 ，
5
所求四边形PAOB的面积的最小值为 8.
故选：D.
33．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知圆C 的方程为 x2 y2 2，点 P 是直线 x 2y 5 0上的
一个动点，过点 P 作圆C 的两条切线PA、 PB，A 、 B 为切点，则四边形PACB的面积的最小值为______
【答案】 6
【解析】由圆 x2 y2 2，得到圆心C(0,0)，半径 r 2
由题意可得：PA PB ，PA CA，PB CB ，
1
SPACB 2S PAC 2 | PA | | AC | 2 | PA |2 ，
在Rt△PAC 中，由勾股定理可得： | PA |2 | PC |2 r2 | PC |2 2，
当 | PC |最小时， | PA |最小，此时所求的面积也最小，
点 P 是直线 x 2y 5 0上的动点，
| 5 |
当PC l 时， | PC |有最小值 d 512 2 2 ，此时 | PA | 3，
所求四边形PACB的面积的最小值为 2 3 6 ；
故答案为： 6
34．（2022·浙江·瑞安市第六中学高二开学考试）过直线3x 4y 2 0 P C : x 2 2上一动点 作圆 y2 1的
两条切线，切点分别为 A，B，则四边形 PACB 面积的最小值为______．
39
【答案】
5
【解析】根据题意可知：当圆心 ( 2,0) 与点 P 的距离最小时，切线长PA， PB最小，则四边形PACB的面积
最小，此时CP是点C 到已知直线的垂线段.
3 ( 2) 4 0 2 8
圆心到直线的距离为 d =
32 4 2 5
PA = PB = d 2 r 2 39
5
PACB S 2 1 PA r= 39四边形 面积的最小值为 PACB 2 5
39
故答案为：
5
35．（2022· 2河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知圆 M： x2 y 2 1，Q 是 x 轴上的动点，QA、
QB 分别与圆m 相切于 A、B两点.
(1)若Q 1,0 ，求切线方程；
(2)求四边形QAMB 面积的最小值；
Q 1,0
【解析】（1）由题意，过点 且与 x 轴垂直的直线显然与圆M 相切，此时，切线方程为 x 1，
2 k
当过点Q 1,0 的直线不与 x 轴垂直时，设其方程为 y （k x 1），即 kx y k 0 1 k 3，由 解得 2 ，k 1 4
此时切线方程为3x 4y 3 0 .
（2）
2
连接QM ，因为圆的方程为 x2 y 2 1，所以M 0,2 ， r 1，设Q m,0 ，所以 QM m2 4 ，根据
1
勾股定理得 QA m2 3 S 2 2，所以 QAMB 2S QAM 2 m 3 1 m 3，所以当m 0时，四边形QAMB2
的面积最小， Smin 3 .
36．（2022· 2江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）已知圆C : x 2 y2 9．
(1)直线 l1过点D 1,1 ，且与圆 C 相切，求直线 l1的方程；
(2)设直线 l2 : x 3y 1 0与圆 C 相交于 M，N 两点，点 P 为圆 C 上的一动点，求 PMN 的面积 S 的最大
值．
【解析】（1）由题意得 C（2，0），圆 C 的半径为 3．
当直线 l1的斜率存在时，设直线 l1的方程为 y－l＝k（x＋1），即 kx－y＋k＋1＝0，
2k 0 k 1
l 4由直线 1与圆 C 相切，得 3，解得 k ，所以直线 l 的方程为 4x－3y＋7＝0．
k 2 1 3
1
当直线 l1的斜率不存在时，直线 l1的方程为 x 1，显然与圆 C 相切．
综上，直线 l1的方程为 x＝－1 或 4x－3y＋7＝0．
2 0 1
l d
1
（2）由题意得圆心 C 到直线 2的距离 1 3 2 ，
2
设圆 C 的半径为 r 1 ，所以 r＝3，所以 MN 2 32 35 ，
2
7
点 P 到直线 l2距离的最大值为 r d ，2
PMN 1 1 7 7 35则 的面积的最大值 Smax MN r d 35 ．2 2 2 4
37．（2022·四川成都·高二开学考试（理））已知直线 l : x y 1 0 C : x 1 2 2，圆 y 2 1，P 为 l 上一动
点，过点 P 作圆 C 的切线 PM，PN，切点为 M，N，则四边形 PMCN 面积的最小值为（ ）．
A． 7 B．7 C．8 D． 2 2
【答案】A
【解析】如图所示：
圆C : x 1 2 y 2 2 1的圆心为 1,2 ，半径为 R 1，
圆心 C 到直线直线 l : x
1 2 1
y 1 0的距离为 d 2 2 ，
2
PM PC 2 R2 PC 2 1 d 2 1，
所以四边形 PMCN 面积 S 2
1
PM R d 2 1 7
2 ，
故选：A
38．（2022·江苏省丹阳高级中学高二开学考试）直线 x y 2 0分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，点 P
在圆 x 2 2 y2 2上运动，则△ABP面积的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D． 4 2 2
【答案】C
【解析】由直线 x y 2 0分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，得 A 2，0 ，B 0， 2 ，所以 AB 2 2 ，
由圆 x 2 2 y2 2得圆心M 2，0 ，半径 r 2 ，
设点 P 到直线 AB 的距离为 h ，点M 到直线 AB 的距离为d ，
2 0 2
则 d 2 2 ，所以 h d 2 2 ，
2
1 1
S ABC AB h 2 2 2 2，2 2
故选：C.
39．（2022·江苏·高二阶段练习）在平面直角坐标系 xoy中，已知点P 3, 1 在圆
C : x2 y2 2mx 2y m2 15 0内，动直线 AB 过点 P 且交圆C 于 A, B两点，若 ABC 的面积的最大值为
8，则实数m 的取值范围是（ ）
A． 3 2 3,3 2 3 B． 1,5
C． 3 2 3,1 5,3 2 3 D． ,1 5,
【答案】C
C : x2 y2 2mx 2y m2 15 0 C : x m 2 y 1 2【解析】圆 ，即圆 16 ，即圆心为C m,1 , r 4，
1
所以 ABC 2的面积为 S△ABC r sin ACB 8sin ACB 8，2
当且仅当 ACB ，此时 ABC 为等腰直角三角形， AB 4 2 ，圆心C 到直线 AB 的距离为
2
2
r 2 AB 2 2 ，
2
因为点P 3, 1 在圆C : x2 y2 2mx 2y m2 15 0内，
所以 2 2 PC 4，即 2 2 (m 3)2 22 4 ，
所以，8 (m 3)2 4 16，解得3 2 3 m 1或5 m 3 2 3 ，
所以，实数m 的取值范围是 3 2 3,1 5,3 2 3
故选：C
40．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（文））阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题:
平面内到两定点距离之比为常数 k(k 0,k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点
PA
A( 1,0), B(1,0) ，动点 P 满足 2PB ，当 P、A、B 不共线时， PAB 面积的最大值是（ ）
2 4A． 4 B． 2 C． 3 D． 3
【答案】D
| PA |
【解析】设P(x，y) ，因为 A( 1，0) 、B(1，0)，且 2| PB | ，
(x 1)2 y2
所以 2，整理得3x2 3y2 10x 3 0，
(x 1)2 y2
5 2 2 16 4
即圆的方程为 (x ) y ，半径为 ；
3 9 3
| y | 4 1 4 4所以 ，则△PAB面积的最大值是 2 .
3 2 3 3
故选：D.
考点 5：长度型
41．（多选题）（2022· 2江苏南京·高二开学考试）已知圆M : x 2 y2 2，直线 l : x y 2 0 ，点 P 在直
线 l上运动，直线 PA, PB 分别于圆M 切于点 A, B .则下列说法正确的是（ ）
A．四边形PAMB的面积最小值为 2 3
B． PA 最短时，弦 AB 长为 6
C． PA 最短时，弦 AB 直线方程为 x y 1 0
3 , 1 D．直线 AB 过定点 2 2
【答案】ABD
【解析】由圆的方程知：圆心M 2,0 ，半径 r 2 ，
1
对于 AB，四边形PAMB的面积 S 2S PAM 2 PA r 2 PA ，2
则当 PA 最短时，四边形PAMB的面积最小，
2 0 2
点M 到直线 l的距离 d 2 2 ， PA d 2 r 2 6 ，
2 min
此时 Smin 2 3 ，A 正确；
S 1 1 1
6 2
又 PAM PA r PM AB
AB 6
， 此时 ，B 正确；
2 2 2 1 2 2
2
对于 C，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，P x0, y 0 ，
则过A 作圆的切线，切线方程为： x1 2 x 2 y1y 2；过 B 作圆的切线，切线方程为：
x2 2 x 2 y2 y 2，
x1 2 x 2 y y 2
又 P
0 1 0
为两切线交点， ，
x2 2 x0 2 y2 y0 2
则 A, B两点坐标满足方程： x0 2 x 2 y0 y 2，即 AB 方程为： x0 2 x 2 y0 y 2；
当 PA 最小时，PM l， 直线PM 方程为： y x 2 ，
y x 2 x 0
由 P 0, 2
x y 2 0
得：
y
，即 ，
2
AB方程为： 2 x 2 2y 2，即 x y 1 0，C 错误；
对于 D，由 C 知： AB 方程为： x0 2 x 2 y0 y 2；
又 x0 y0 2 0，即 y0 2 x0 ，
AB方程可整理为： x y 2 x0 2x 2y 2 0 ，
3
x y 2 0 x 2 3 1
由 2x 2y 2 0 得： 1 ， AB过定点
, ，D 正确.
y 2 2
2
故选：ABD.
42．（2022·四川省南充高级中学高二开学考试（理））已知圆C : x2 y2 2x 0与直线
l : mx y 2m 0(m 0) ，过 l 上任意一点 P 向圆 C 引切线，切点为 A，B，若线段 AB 长度的最小值为 3，
则实数 m 的值为（ ）
A 3 B 2 2 C 3 3 D 2 5． ． ． ．
2 3 4 5
【答案】D
【解析】圆C : (x 1)2 y2 1，设 ACP
0
，则 | AB | 2sin ，
2
因为 | AB |min 3
3
，所以 (sin )min ，2
又0
，所以 ，
2 3 2
| CP | 1又 ，
cos
| CP | 1 2 | m 2m |
所以 min cos ，即
2，
3 m
2 1
m 0 m 2 5又 ，所以 ．
5
故选：D．
43．（2022·江西· 2 2赣州市赣县第三中学高二开学考试（文））已知A ， B 分别是圆C1 : x y 2x 4y 4 0
2 2
和圆C2 : x y 6x 4y 12 0上的动点，点 P 在直线 l : x y 3 0上，则 | PA | | PB |的最小值是（ ）
A．2 17 4 B． 2 17 4 C． 2 17 2 D． 2 17 2
【答案】B
【解析】由题意可知圆C1的圆心为C1(1, 2)，半径R 3，圆C2 的圆心为C2 (3, 2)，半径 r 1．
y0 2
1
设C1关于直线 l : x y 3 0 D(x , y )
x 1 的对称点为 00 0 ，则 解得D( 5, 4) ，
l : x0 1 y 0 2
3 0
2 2
则 PC1 | PD |．
因为A ， B 分别在圆C1和圆C2 上，所以 | PA | PC1 R ， | PB | PC2 r ，
则 | PA | | PB | PC1 PC2 4 | PD | PC2 4．
因为 | PD | PC2 DC2 2 17 ，所以 | PA | | PB | 2 17 4．
故选：B.
PA 1
44．（2022·上海市控江中学高二期中）已知 A 2,0 B 8,0 C 4,2 ，且动点 P 满足 2 PC PBPB 2 ，则
取得最小值时，点 P 的坐标是___________.
【答案】 7 1, 7 1
2
PA
x 2 2 y2
【解析】设P x, y
1
，则 2 2 PB
2 ，整理可得： x y 16；
x 8 y2 4
2 PC PB 2 PC 2 PA 2 PC PA ，
当 A, P,C 三点共线且 P 在线段 AC 上时， 2 PC PB 取得最小值，
y 2 x 4
又直线 AC 方程为： ，即 y x 2，
0 2 2 4
x2 y2 16 x 7 1 x 1 7
由 得：y x 2
或 ，
y 7 1 y 1 7
又 P 在线段 AC 上， P 7 1, 7 1 .
故答案为： 7 1, 7 1 .
45 2021· · x x y y x2 y2 1 x2 y2 1 x x y y 1．（ 湖北武汉 高二期中）已知实数 1、 2、 1、 2满足 1 1 ， 2 2 ， 1 2 1 2 ，则2
| x1 y1 2 | | x y 2 | 2 2 的最大值为___________.
2 2
【答案】 2 2 3
【解析】设 A x1 , y1 ,B x2 , y2 ，O为坐标原点，则OA x1, y1 ,OB x2 , y2 ，
x2 2 2 2 1由 1 y1 1, x2 y2 1, x1x2 y1 y2 ，2
可得 A, B两点在圆 x2 y2 1上，且OA OB 1 1 cos AOB
1
，则 AOB 60 ，
2
所以三角形OAB 为等边三角形， AB 1，
x1 y1 2 x2 y2 2 的几何意义为 A, B两点到直线 x y 2 0的距离 AA1与BB1之和，
2 2
记线段 AB, A1B1的中点分别是C,C1 ，O到直线 x y 2 0的距离为OO1 ，
则有 AA1 BB1 2 CC1 ，且 CC1 | OC | OO 31 2 ，2
所以 AA1 BB1 2 2 3 ，
x1 y1 2 x2 y 2
2
所以 的最大值为 2 2 3 ，
2 2
故答案为： 2 2 3 .
46．（2021· 2 2 2重庆市江津中学校高二期中）已知 x y 4x 2my 2m 2m 1 0 m R 表示圆C 的方程.
(1)求实数m 的取值范围；
(2)当圆C 的面积最大时，求过点 A 4, 4 圆的切线方程.
(3) 2 2P 为圆上任意一点，已知B 6,0 ，在（2）的条件下，求 PA PB 的最小值.
2 2 2 2
【解析】(1) x 2 y m 3 2m m由题可知： ，该方程表示圆，则3 2m m 0，
即m2 2m 3 0 ，解得 1 m 3 .则实数m 的取值范围为 1,3 ；
(2)令 y 3 2m m2 m 1 2 4， m 1,3 ，开口向下，对称轴为m 1 1,3 ，
2 2
当m 1时，圆 C 的面积取得最大值，此时圆的方程为 x 2 y 1 4，
设切线方程为 y 4 k x 4 即 kx y 4k 4 0 .圆心 2, 1 到切线的距离等于半径长，
2k 1 4k 4
即 2
5
，解得 k ，则另一条切线斜率不存在。
1 k 2 12
5
即切线方程为 y 4 x 4 ，即5x 12y 28 0；另一条切线方程为 x 4；
12
(3)设P x, y ，
则 PA
2 PB 2 x 4 2 y 4 2 x 6 2 y2 2 x 5
2 y 2 2 10，
设M 5, 2 2 2，则 x 5 y 2 表示圆 C 上的点 P 与点 M 的距离的平方，
由（2）知C 2, 1 ，
又 CM 5 2 2 2 1 2 10 2，则点 M 在圆 C 外面，
所以 PM CM 2 10 2min ，
则 2PA 2 PB 2 2 10 2 10 28 8 10 10 38 8 10 .
min
则可知 PA 2 PB 2的最小值为38 8 10 .
考点 6：坐标型
47．（2022·四川省德阳中学校高二开学考试）已知直线 l:x y 2 0 和圆M : x2 y2 4x 4y 2 0 ，点A
在直线 l上，若直线 AC 与圆M 至少有一个公共点C ，且 CAM 45 ，则点A 的横坐标的最大值是（ ）
A． 2 B．1 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由圆M : x2 y2 4x 4y 2 0 2，可得M : x 2 y 2 2 10，
所以圆心M 2,2 ，半径 r 10 ，
设 A x0 , x0 2 ，由题意知圆心到直线 AC 的距离 d AM sin 45 10 ，
即 x 2 20 2 x0 20，解得 x0 2,4 ，
故点A 的横坐标的最大值为 4.
故选：D．
48 2021· · C x 6 2 y 8 2．（ 山西 长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆 ： 1和两点 A m,0 ，
B m,0 m 0 ，若圆 C 上存在点 P，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】 APB 90 ，记 AB 中点为O，则 | OP | m，故 P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，
又 P 在圆 C 上，所以两圆有交点，则 | m 1| | OC | m 1，而 | OC | 62 82 10，
得9 m 11．
故选：B
49．（2021· 2吉林·东北师大附中高二阶段练习（理））设点P x0 ,1 ，若在圆M : x 1 y2 1上存在点 N ，
使得 MPN 45 ，则 x0 的最大值是（ ）
A．1 B． 2 C．2 D．4
【答案】C
【解析】以 MP 为一边作正方形 MPSQ.
2
若对角线 PQ 与圆有交点,则满足条件的 N 存在,此时正方形的中心在圆上或内,即 MH≤1,所以 PM 1，
2
2
所以 x 20 1 1 1,所以 x0 0,2 ，则其最大值为 2.2
故选：C
