平面向量的坐标表示
一、选择题（共13小题）21世纪教育网版权所有
1、若，则等于（ ）21*cnjy*com
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、21世纪教育网
2、已知向量，，则向量与的关系为（ ）
A、相等 B、共线
C、模相等 D、垂直21cnjy
3、设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（ ）
A、C可能是线段AB的中点
B、D可能是线段AB的中点
C、C，D可能同时在线段AB上
D、C，D不可能同时在线段AB的延长线上
4、若向量a=（3，m），b=（2，﹣1），a?b=0，则实数m的值为（ ）
A、 B、
C、2 D、6
5、已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，则顶点D的坐标为（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、（3，2） D、（1，3）
6、已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（ ）
A、（﹣5，﹣10） B、（﹣4，﹣8）
C、（﹣3，﹣6） D、（﹣2，﹣4）
7、满足方程（3，1）x2+（2，﹣1）x+（﹣8，﹣6）=的实数x为（ ）
A、﹣2 B、﹣3
C、3 D、
8、已知A（1，2），B（4，0），C（8，6），D（5，8）四点，则四边形ABCD是（ ）
A、梯形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
9、已知，则下列说法正确的是（ ）
A、A点的坐标是（﹣2，4）或B点的坐标是（﹣2，4）
B、按向量（﹣2，4）平移后，
C、当B是原点时，A点的坐标是（﹣2，4）
D、当A是原点时，B点的坐标是（﹣2，4），且不论按任何方向平移，不变
10、已知点A（1，2）、B（4，2），向量按=（1，3）平移后所得向量的坐标为（ ）
A、（3，0） B、（4，3）
C、（﹣4，﹣3） D、（﹣4，3）21*cnjy*com
11、已知两个向量集合：P=，
Q=，则P∩Q=（ ）21cnjy
A、{（1，﹣2）} B、{（﹣13，﹣23）}21世纪教育网版权所有
C、{（﹣2，1）} D、{（﹣23，﹣13）}21世纪教育网
12、若函数y=f（x）的图象按向量平移后，得到函数y=f（x﹣1）+1的图象，则向量等于（ ）
A、（﹣1，1） B、（1，﹣1）21cnjy
C、（1，1） D、（﹣1，﹣1）
13、将函数f（x）=log2x+1的反函数的图象按向量=（﹣1，1），平移后得到函数g（x），则y=g（x）的图象可能为（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、
二、填空题（共9小题）
14、已知两点A（﹣3，﹣2），B（3，6），点C满足，则点C的坐标是 _________ ，= _________ ．
15、已知O是坐标原点，A（2，﹣1）B（﹣4，8），+3=，= _________ ．
16、若向量，用表示= _________ ．
17、向量按平移所扫过平面部分的面积等于 _________ ．
18、已知向量，2），，3），，4），且，则λ1+λ2= _________ ．
19、若平面向量，满足|+|=1，=﹣3，=（2，﹣1），则= _________ ．
20、已知两点M（3，2），N（﹣3，﹣5），，则P点坐标是 _________ ．
21、已知空间中两点A（1，2，3），B（﹣2，2，6），若存在点P满足，则点P的坐标为 _________ ．
22、若=（3，4），点A的坐标为（﹣2，﹣1），则点B的坐标为 _________ ．
三、解答题（共4小题）
23、已知：向量=（sin，1﹣cosθ），=（cos），（O为坐标原点）．
（1）求的最大值及此时θ的值组成的集合；
（2）若A点在直线y=2x+m上运动，求实数m的取值范围．21世纪教育网
24、已知=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），设f（x）=．2121*cnjy*com世纪教育网版权所有
（1）求函数f（x）的图象的对称轴及其单调递增区间；
（2）当，求函数f（x）的值域及取得最大值时x的值；21cnjy
（3）若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边，且b?c=，f（A）=，试求△ABC的面积S．
25、在△ABC中，已知A（0，1）、B（0，﹣1），AC、BC两边所在的直线分别与x轴交于E、F两点，且．
（1）求点C的轨迹方程；21世纪教育网版权所有
（2）若，
①试确定点F的坐标；21世纪教育网版权所有
②设P是点C的轨迹上的动点，猜想△PBF的周长最大时点P的位置．
26、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（其中a≤b≤c），设向量，，且向量为单位向量．
（1）求∠B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
答案与评分标准
一、选择题（共13小题）
1、若，则等于（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、21世纪教育网21*cnjy*com
考点：平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题。
分析：以和为基底表示，设出系数，用坐标形式表示出两个向量相等的形式，根据横标和纵标分别相等，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可．
解答：解：∵，21世纪教育网版权所有
∴，21cnjy
∴（﹣1，2）=m（1，1）+n（1，﹣1）=（m+n，m﹣n）
∴m+n=﹣1，m﹣n=2，
∴m=，n=﹣，
∴
故选B．
点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题等．
2、已知向量，，则向量与的关系为（ ）
A、相等 B、共线
C、模相等 D、垂直
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题。
分析：由已知中向量，表示出向量与的关系，结合向量平行（共线）的充要条件，判断它们的关系即可得到答案．
点评：本题考查的知识点平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据向量平行（共线）的充要条件，得出向量与的关系，是解答本题的关键．
3、设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（ ）21世纪教育网
A、C可能是线段AB的中点 B、D可能是线段AB的中点
C、C，D可能同时在线段AB上 D、C，D不可能同时在线段AB的延长线上
考点：平面向量坐标表示的应用。21*cnjy*com
专题：阅读型。21cnjy
分析：由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题即可．
A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．21世纪教育网版权所有
点评：本题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．
4、若向量a=（3，m），b=（2，﹣1），a?b=0，则实数m的值为（ ）
A、 B、
C、2 D、6
考点：平面向量坐标表示的应用。
分析：根据两个向量的数量积为零，写出坐标形式的公式，得到关于变量的方程，解方程可得．
解答：解：a?b=6﹣m=0，
∴m=6．
故选D
点评：由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
5、已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，则顶点D的坐标为（ ）
A、 B、
C、（3，2） D、（1，3）
考点：平面向量坐标表示的应用。
分析：本小题主要考查平面向量的基本知识，先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，根据向量的数乘关系，得到向量坐标之间的关系，由横标和纵标分别相等，得到结果．
解答：解：设顶点D的坐标为（x，y）
∵，，
且，
∴
故选A
点评：向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标．
6、已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（ ）21世纪教育网
A、（﹣5，﹣10） B、（﹣4，﹣8）
C、（﹣3，﹣6） D、（﹣2，﹣4）21世纪教育网版权所有21世纪教育网
考点：平面向量坐标表示的应用。
分析：向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标，然后用向量线性运算得到结果；另一种做法是针对选择题的特殊做法，即排除法．21cnjy21*cnjy*com
解答：解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，21世纪教育网版权所有
故选B．21*cnjy*com
点评：认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．
7、满足方程（3，1）x2+（2，﹣1）x+（﹣8，﹣6）=的实数x为（ ）
A、﹣2 B、﹣3
C、3 D、
考点：平面向量坐标表示的应用；相等向量与相反向量。
专题：计算题。
分析：由向量相等的定义：两个向量相等，则其横坐标相等且纵坐标相等，将已知向量方程转化为实数方程组，解得x的值即可
点评：本题考查了向量的坐标表示，向量的坐标运算，向量相等的定义及其应用，向量方程的意义，转化化归的思想方法
8、已知A（1，2），B（4，0），C（8，6），D（5，8）四点，则四边形ABCD是（ ）
A、梯形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
考点：平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题。
分析：由已知中A（1，2），B（4，0），C（8，6），D（5，8）四点的坐标，我们易判断AB与CD平行，再由?=0，易判断四边形的内角为直角，但||≠||，可得四边形不是菱形，将三个小结论结合即可得到答案．21*cnjy*com
点评：本题考查的知识点是平面向量坐标表示的应用，利用两个向量平行，交叉相乘差为0，两个向量垂直，对应相乘和为0，来判断两个向量平行或垂直，进而得到对应线段平行或垂直是向量应用的重点．
9、已知，则下列说法正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、A点的坐标是（﹣2，4）或B点的坐标是（﹣2，4） B、按向量（﹣2，4）平移后，
C、当B是原点时，A点的坐标是（﹣2，4） D、当A是原点时，B点的坐标是（﹣2，4），且不论按任何方向平移，不变21世纪教育网
考点：平面向量坐标表示的应用。21cnjy
专题：向量法。
分析：利用向量的坐标公式：终点坐标减去始点坐标知向量的性质平移改变的仅仅是向量起点、终点的坐标，并不能改变向量本身．
解答：解：只与终点、始点的坐标差有关，与平移无关，
换句话说，平移改变的仅仅是向量起点、终点的坐标，并不能改变向量本身．
故选D
点评：本题考查向量的坐标求法及向量的平移的性质．
10、已知点A（1，2）、B（4，2），向量按=（1，3）平移后所得向量的坐标为（ ）
A、（3，0） B、（4，3）
C、（﹣4，﹣3） D、（﹣4，3）
考点：平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题；向量法。
分析：由已知中点A（1，2）、B（4，2）的坐标，我们易出向量的坐标，但向量平移后，坐标不变，由此易得到结果．
解答：解：∵A（1，2）、B（4，2），
∴=（3，0）
将向量按=（1，3）平移后，向量的坐标不变，
故选A．
点评：本题考查的知识点是平面向量坐标表示的应用及平移向量，解答本题时要注意，向量只有大小和方向，故在平移过程中，向量的坐标保持不变．
11、已知两个向量集合：P=，Q=，则P∩Q=（ ）21*cnjy*com
A、{（1，﹣2）} B、{（﹣13，﹣23）}
C、{（﹣2，1）} D、{（﹣23，﹣13）}21世纪教育网版权所有
考点：平面向量坐标表示的应用；相等向量与相反向量。21世纪教育网
专题：计算题。21cnjy
分析：根据数乘向量及向量加法的坐标运算，我们可以化简集合P，Q中元素的性质，进而计算出两个集合求交时，参数m，n的值，进而得到P∩Q的值．
点评：本题考查的知识点是平面向量的表示的应用，相等向量与相反向量，其中根据两个向量相等，其中横纵坐标均相等构造关于m，n的方程，是解答本题的关键．
12、若函数y=f（x）的图象按向量平移后，得到函数y=f（x﹣1）+1的图象，则向量等于（ ）
A、（﹣1，1） B、（1，﹣1）
C、（1，1） D、（﹣1，﹣1）
考点：平面向量坐标表示的应用；函数的图象与图象变化。
专题：计算题。
分析：根据两个函数的解析式，看出图象向右平移一个单位，在向上平移一个单位，这样可以写出图形平移的向量．
解答：解：∵函数y=f（x）的图象按向量平移后，
得到函数y=f（x﹣1）+1的图象，
从图象的解析式上来看，是图象向右平移一个单位，在向上平移一个单位，
∴平移的向量是（1，1）
故选C．
点评：本题考查图象的平移，考查函数的图象与函数的解析式之间的关系，本题是一个基础题，提醒同学们注意平移用向量来表示时，不要在方向上出错．
13、将函数f（x）=log2x+1的反函数的图象按向量=（﹣1，1），平移后得到函数g（x），则y=g（x）的图象可能为（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网版权所有
考点：平面向量坐标表示的应用；对数函数的图像与性质。2121*cnjy*com世纪教育网
专题：计算题。21cnjy
分析：求出函数f（x）=log2x+1经过的定点，然后求出反函数经过的定点，通过向量的平移求出定点，然后利用原函数与反函数具有相同的单调性，判断正确选项即可．
解答：解：函数f（x）=log2x+1经过的定点为（1，1），它的反函数经过的定点（1，1），
函数f（x）=log2x+1的反函数的图象按向量=（﹣1，1），平移后得到函数g（x），经过定点（0，2）；
因为函数f（x）=log2x+1的是单调增函数，是凸函数，所以反函数的图象按向量=（﹣1，1），平移后得到函数g（x），也是增函数，是凹函数．所以正确选项为C．
故选C．
点评：本题是中档题，考查函数与反函数的关系，图象的对称性，图象的平移与单调性的知识，考查逻辑推理能力，计算能力．
二、填空题（共9小题）
14、已知两点A（﹣3，﹣2），B（3，6），点C满足，则点C的坐标是 （0，2） ，= 50 ．
考点：平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题。
分析：设出C的坐标，求出两个向量的坐标，据已知条件中的向量关系列出方程，求出点C的坐标，将C代入向量的数量积公式即可．
点评：本题考查向量坐标的求法、向量的数量积；考查两个向量相等则它们的坐标相同，属于基础题．
15、已知O是坐标原点，A（2，﹣1）B（﹣4，8），+3=，= （﹣2，5） ．
考点：平面向量坐标表示的应用；向量的线性运算性质及几何意义。
专题：计算题。
分析：由已知中A（2，﹣1）B（﹣4，8），+3=，我们设=（x，y），可以构造关于x，y的方程组，解方程组，即可得到答案．
解答：解：设=（x，y），
∵A（2，﹣1）B（﹣4，8），
∴=（﹣6，9），=（x+4，y﹣8）
又∵+3=，
∴x+4=2，y﹣8=﹣3
∴x=﹣2，y=521*cnjy*com
故=（﹣2，5），
故答案为：（﹣2，5）21世纪教育网版权所有
点评：本题考查的知识点是平面向量坐标表示的应用，向量的线性运算性质的几何意义，其中设出的坐标，结合已知条件构造关于x，y的方程组，是解答本题的关键．21世纪教育网
16、若向量，用表示= ．
考点：平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题。21cnjy
分析：设出与的关系，利用坐标运算求出具体关系式，得到结果．
点评：本题是基础题，考查向量的坐标基本运算，考查计算能力．
17、向量按平移所扫过平面部分的面积等于 ．
考点：平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题。
分析：由向量按平移，是将向量向左平移一个单位，分析其扫过的平面部分的形状，代入面积公式即可求出答案．
解答：解：，
平移所扫过平面部分是
一个边长为1菱形，其锐角为600，
∴面积S=
故答案：
点评：本题考查的平面向量坐标表示的应用，其中根据向量的坐标及平移向量的坐标，分析出平移过程中，向量扫过的平面区域的形状是解答本题的关键．
18、已知向量，2），，3），，4），且，则λ1+λ2= 1 ．
考点：平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题。
分析：利用向量的坐标运算法则，求出，利用向量相等的充要条件列出方程组，求出λ2=2，λ，1=﹣1进一步求出
λ1+λ2=1．
解答：解：因为，2），，3），，4），且，21世纪教育网
所以（3，4）=（λ1+2λ2，2λ1+3λ2）
所以21世纪教育网版权所有
解得λ2=2，λ，1=﹣121cnjy
所以λ1+λ2=1
故答案为121*cnjy*com
点评：解决向量的坐标运算，应该注意向量相等的充要条件，是一道基础题．
19、若平面向量，满足|+|=1，=﹣3，=（2，﹣1），则= 或（﹣1，1） ．
考点：平面向量坐标表示的应用。
专题：向量法。
分析：设出的坐标，利用向量模的平方等于向量的平方；向量的数量积公式列出方程组，解方程组求出向量的坐标．
点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方；向量的坐标形式的数量积公式．
20、已知两点M（3，2），N（﹣3，﹣5），，则P点坐标是 （15，16） ．
考点：平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题；待定系数法。
分析：设P点坐标是（x，y），分别求出和的坐标，根据，解方程求得 x、y 的值，即得P点坐标．
解答：解：设P点坐标是（x，y），∵两点M（3，2），N（﹣3，﹣5），∴=（x﹣3，y﹣2），=（﹣6，﹣7）．
∵，∴（x﹣3，y﹣2）=﹣2?（﹣6，﹣7）=（12，14），∴x﹣3=12，y﹣2=14，
∴x=15，y=16，∴P点坐标是（15，16），21世纪教育网
故答案为：（15，16）．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
21、已知空间中两点A（1，2，3），B（﹣2，2，6），若存在点P满足，则点P的坐标为 （﹣1，2，5） ．
考点：平面向量坐标表示的应用。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21cnjy21*cnjy*com
分析：设出P的坐标，求出两个向量的坐标，据已知条件中的向量关系列出方程，求出点P的坐标，
点评：本题考查向量坐标的求法、平面向量坐标表示的应用，考查两个向量相等则它们的坐标相同，属于基础题．
22、若=（3，4），点A的坐标为（﹣2，﹣1），则点B的坐标为 （1，3） ．
考点：平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题。
分析：设出B的坐标，利用，求出B的坐标即可．
解答：解：设B（a，b），点A的坐标为（﹣2，﹣1），所以=（a+2，b+1），因为=（3，4），
所以（a+2，b+1）=（3，4），所以a=1，b=3，点B的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
点评：本题考查向量的基本运算，注意向量表示的方法与法则，考查计算能力．
三、解答题（共4小题）
23、已知：向量=（sin，1﹣cosθ），=（cos），（O为坐标原点）．
（1）求的最大值及此时θ的值组成的集合；
（2）若A点在直线y=2x+m上运动，求实数m的取值范围．
考点：平面向量坐标表示的应用。
专题：计算题。
分析：（1）利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，令，求出最大值．
（2）将A的坐标代入直线的方程表示出m，利用三角函数的二倍角公式化简m的解析式；再对m的解析式配方，求出m的范围．
解答：解：（1）=，（4分）
（k∈Z）时，．（9分）
（2）将A点坐标代入直线方程得：
=21世纪教育网
∵21世纪教育网版权所有
∴（14分）21cnjy
点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角函数的和差角公式、二倍角公式、求三角函数最值的方法：整体角处理．21*cnjy*com
24、已知=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），设f（x）=．
（1）求函数f（x）的图象的对称轴及其单调递增区间；
（2）当，求函数f（x）的值域及取得最大值时x的值；
（3）若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边，且b?c=，f（A）=，试求△ABC的面积S．
解答：解：（1）因为f（x）==cosxcosx+cosxsinx=
==
所以对称轴方程：（k∈Z）
单调递增区间为（k∈Z）
（2）当时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，
∈[0，]
所以，当2x+=，即，有最大值为
f（x）的值域为，是取得最大值
（3）因为f（A）=，所以=，所以A=
sin=sin（）=sincos+cossin=21cnjy
s△ABC=b?csin=（）=21世纪教育网版权所有
所以△ABC的面积为．21世纪教育网
点评：本题考查了三角函数性质的应用，以及三角形面积公式的应用，做题时看清题意，认真解答．
25、在△ABC中，已知A（0，1）、B（0，﹣1），AC、BC两边所在的直线分别与x轴交于E、F两点，且．
（I）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）若，21*cnjy*com
①试确定点F的坐标；
②设P是点C的轨迹上的动点，猜想△PBF的周长最大时点P的位置．
考点：平面向量坐标表示的应用。
分析：（1）设出点的坐标，根据三点共线得到坐标之间的关系，根据数量积为4，整理点C的坐标满足的关系，注意所求的曲线上的点是否都满足条件，把不合题意的去掉．
（2）根据向量之间的关系得到点之间的关系，把所求的点之间的关系代入曲线的方程的，得到点的坐标，猜想周长最大时P的位置，一般情况下是一个特殊点．
（Ⅱ）若，
①∵，
∴（xc，yc+1）=﹣8（xf﹣xc，﹣yc）
∴21cnjy
代入，得21世纪教育网
∴
即F为椭圆的焦点．21世纪教育网版权所有
②猜想：F2（，是椭圆左焦点，21*cnjy*com
则P点位于直线BF1与椭圆的交点处时，
△BCF周长最大，最大值为8．
点评：通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补充．
26、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（其中a≤b≤c），设向量，，且向量为单位向量．
（1）求∠B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
解答：解：（1）∵，向量为单位向量﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
∴
又B为三角形的内角，由a≤b≤c，故﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）根据正弦定理，知，即，
∴，又a≤b≤c，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∵，∴C=，
∴△ABC的面积=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21cnjy
点评：本题以向量为载体，考查向量的数量积运算，考查正弦定理的运用，有一定的综合性．21世纪教育网版权所有
21世纪教育网21世纪教育网21世纪教育网
