平面向量的基本定理
一、选择题（共20小题）
1、如图，设P，Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（ ）21世纪教育网版权所有
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A、 B、21cnjy
C、 D、21世纪教育网
2、设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足，，则=（ ）
21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
3、在矩形ABCD中，AC与BD交于O点，，则等于（ ）
A、
B、
C、
D、
4、设点P是三角形ABC内一点（不包括边界），且，m，n∈R，则m2+（n﹣2）2的取值范围为（ ）
A、 B、（1，5）
C、 D、
5、如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：
①与；②与；
③与；④与．
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是．
A、①② B、③④
C、①③ D、①④
6、如图，在四边形ABCD中，AB=2AD=1，AC+且，设，则λ+μ=（ ）
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A、4 B、621世纪教育网版权所有
C、﹣4 D、﹣221世纪教育网
7、如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、
8、已知，，，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量等于（ ）
A、 B、
C、 D、
9、已知向量=（1，3），=（m，2m﹣3），若对于平面内任意一向量，都存在唯一实数对（λ，μ），使=λ+μ，则实数m的取值范围是（ ）
A、（﹣2，﹣3）
B、（﹣3，+∞）
C、（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞）
D、[﹣2，﹣3）
10、如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为60°，与、与的夹角都为30°，且||=||=1，||=2，若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ）
A、4 B、3
C、2 D、2
11、已知四边形OABC中，，则=（ ）21*cnjy*com
A、 B、21世纪教育网21cnjy21*cnjy*com
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12、已知两点，A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且设等于（ ）21cnjy
A、1 B、﹣1
C、﹣ D、2
13、已知，，点D为线段BC的中点，则=（ ）
A、（1，2） B、（1，﹣2）
C、（0，3） D、（0，﹣3）
14、若向量=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，﹣2），则=（ ），，
A、 B、
C、 D、
15、已知两点A（1，0）B（1，），则O为坐标原点，点C在第三象限，且∠AOC=150°，设等于（ ）
A、﹣1 B、1
C、﹣2 D、2
16、已知，O为坐标原点，点C在第一象限内，且∠AOC=60°，设，则λ等于（ ）
A、 B、
C、 D、3
17、已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则为（ ）
A、 B、
C、 D、
18、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A、=（0，0），=（1，﹣2）
B、=（﹣1，2），=（5，7）
C、=（3，5），=（6，10）
D、=（2，﹣3），=（，﹣）
19、若向量，则=（ ）
A、 B、21*cnjy*com
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20、若向量=（1，1），（1，﹣1），=（﹣2，4），则等于（ ）
A、﹣a+3b B、a﹣3b21世纪教育网
C、3a﹣b D、﹣3a+b21cnjy21*cnjy*com
二、填空题（共5小题）
21、设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即= _________ + _________ ．
22、如图，，则 x+y= _________ ．
23、如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中m，n∈R，则m+n= _________ ．
24、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为 _________ ．
25、如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，=a，=b，则= _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知函数的图象关于直线y=x对称．21*cnjy*com
（1）求实数b的值；21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
（2）设A、B是函数图象上两个不同的定点，记向量，试证明对于函数图象所在的平面早任一向量，都存在唯一的实数λ1、λ2，使得成立．21世纪教育网
27、已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P1，P2，P3，…，Pn，…，满足，其中{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点．
（1）求a1，b1的值；
（2）点P1，P2，P3，…，Pn，…能否共线？证明你的结论；21cnjy
（3）证明：对于给定的公差不零的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在一个指数函数的图象上．
28、如图所示，△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N．设=a，=b，用a，b分别表示向量，，，，，．
21世纪教育网
29、在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知：=1：2，：=3：2，连接AQ、BP，设它们交于点R，若=，=．
（1）用与表示；
（2）过R作RH⊥AB，垂足为H，若||=1，||=2，与的夹角，求的范围．
30、如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如图，设P，Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（ ）
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A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
考点：向量的加法及其几何意义；平面向量的基本定理及其意义。21cnjy
专题：计算题；数形结合。21世纪教育网
分析：利用向量的运算法则：平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出，同理求出，两个式子比求出△ABP的面积与△ABQ的面积之比．
解答：解：设
则
由平行四边形法则知NP∥AB
所以
同理
故
故选C．
点评：本题以向量为载体，考查向量的运算法则：平行四边形法则以及三角形的面积公式．属于基础题．
2、设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足，，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量的加法及其几何意义；平面向量的基本定理及其意义。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：利用平面向量基本定理将表示出来，从而可以得到四边形DPEB为平行四边形，再利用三角形面积公式，
点评：本题的考点是向量在几何中的应用，主要考查向量的加法运算，考查三角形的面积之比，关键是由向量条件得出对应三角形的高之比．21世纪教育网版权所有
3、在矩形ABCD中，AC与BD交于O点，，则等于（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。
分析：在矩形ABCD中，=，=等，由向量加法公式可得答案．
解答：解：在矩形ABCD中
在△ABC中
∵，
∴=
故选A
点评：本题考查相等的向量，以及向两加法的平行四边形法则的应用．属于基础题．
4、设点P是三角形ABC内一点（不包括边界），且，m，n∈R，则m2+（n﹣2）2的取值范围为（ ）
A、 B、（1，5）
C、 D、
考点：平面向量的基本定理及其意义；两点间距离公式的应用。21世纪教育网
专题：计算题；数形结合。
分析：根据点P是△ABC内一点（不包括边界），向量加法的平行四边形法则得m，n的范围，据两点距离公式赋予几何意义，用线性规划求出最值．21cnjy世纪教育网版权所有
点评：本题考查平面向量的基本定理及其意义、两点间距离公式的应用、线性规划即数性结合求最值．
5、如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：
①与；②与；21*cnjy*com
③与；④与．
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是．
A、①② B、③④
C、①③ D、①④
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。
分析：利用基底的定义，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，故需判断各个选项中的两个向量是否共线．
解答：解：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，
①与不共线，可作为基底；
②与为共线向量，不可作为基底；
③与是两个不共线的向量，可作为基底；
④与在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．
综上，只有①③中的向量可以作为基底，21世纪教育网
故选 C．21世纪教育网版权所有21世纪教育网
点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，基底的定义．
6、如图，在四边形ABCD中，AB=2AD=1，AC+且，设，则λ+μ=（ ）
A、4 B、621cnjy
C、﹣4 D、﹣2
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。21cnjy
分析：根据平行四边形法则，我们过点C作AD，AB的平行线，分别交AB的延长线于点M，交AD的延长线于点N，则=+，根据∠CAB=，∠BAD=，我们易求出AM，AN的长，进而得到与，与的关系，进而求出λ+μ的值．21*cnjy*com
点评：本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中利用平面向量加法的平行四边形法则分别向量是解答本题的关键．
7、如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量的基本定理及其意义。21世纪教育网版权所有
分析：由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值21世纪教育网
点评：本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组，是解答本题的关键．21*cnjy*com 21cnjy
8、已知，，，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量的基本定理及其意义；向量的线性运算性质及几何意义。
专题：计算题。
分析：过点C做CE∥OA CF∥OB，得到两个三角形相似，根据三角形相似得到对应边成比例，把OE，OF都用OC来表示，代入比例式，求出OC的值，做出向量之间的关系．
解答：解：过点c做CE∥OA CF∥OB
设OC长度为a
有△CEB∽△AFC
∴（1）
∵∠AOC=30°
则CF==OE
OF=CE=21世纪教育网版权所有
∴BE=2﹣AF=2﹣
代入（1）中化简整理可解：a=
OF===OA OE==OB，
∴21世纪教育网
故选B．
点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，本题解题的关键是构造平行四边形，利用平行四边形法则来解题，本题是一个易错题．
9、已知向量=（1，3），=（m，2m﹣3），若对于平面内任意一向量，都存在唯一实数对（λ，μ），使=λ+μ，则实数m的取值范围是（ ）
A、（﹣2，﹣3） B、（﹣3，+∞）21*cnjy*com 21cnjy
C、（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞） D、[﹣2，﹣3）
点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，平面内的任意一个向量都可以用平面内的两个不共线的向量来唯一表示，
这两个不共线的向量坐标一定满足：x1?y2﹣x2?y1≠0，
10、如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为60°，与、与的夹角都为30°，且||=||=1，||=2，若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ）
A、4 B、3
C、2 D、2
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：过C分别作CN∥OM，交射线OB于N，作CM∥ON，交射线OA于M，先将写成+，再利用向量共线定理求出λ，μ．得出结果．21世纪教育网
221*cnjy*com 1cnjy
点评：本题考查空间向量基本定理，向量共线定理的应用．考查转化、计算、解三角形的能力．
11、已知四边形OABC中，，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量的基本定理及其意义；向量的三角形法则。
专题：计算题。
分析：先由=﹣=，求出的解析式，再把的解析式代入=﹣进行运算．
解答：解：∵=﹣=，∴=+=+，
∴=﹣=+﹣=﹣，
故选 C．
点评：本题考查平面向量基本定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义．
12、已知两点，A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且设等于（ ）21*cnjy*com
A、1 B、﹣1
C、﹣ D、221世纪教育网版权所有
考点：平面向量的基本定理及其意义。21世纪教育网
分析：先由题意可设：C（﹣m，m）（m＞0）利用向量的坐标表示得出=（﹣m，m）；=（1，0），=（1，），由，得到关于λ的方程，解之即可．21cnjy
点评：本小题主要考查平面向量的基本定理及其意义、平面向量的坐标表示等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．
13、已知，，点D为线段BC的中点，则=（ ）
A、（1，2） B、（1，﹣2）
C、（0，3） D、（0，﹣3）
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。
分析：由向量加法的平行四边形法则及平行四边形的性质得，则等于（+），将已知向量的坐标代入进行运算．
解答：解：由向量加法的平行四边形法则及平行四边形的性质得，，
故选C．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，平面向量基本定理及其意义．
14、若向量=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，﹣2），则=（ ），，
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量的基本定理及其意义。21世纪教育网
专题：计算题；待定系数法。21世纪教育网版权所有21世纪教育网
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，平面向量基本定理及其意义，用待定系数法求参数的值．
15、已知两点A（1，0）B（1，），则O为坐标原点，点C在第三象限，且∠AOC=150°，设等于（ ）21cnjy
A、﹣1 B、121*cnjy*com
C、﹣2 D、2
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。
分析：由题意可得 λ＜0，求出的坐标，利用两个向量夹角公式 cos150°==﹣，解可得λ 的值．
解答：解：由题意可得 λ＜0，==（﹣2+λ，λ ），且与的夹角等于 150°，
故有 cos150°==﹣，解得 λ=﹣1，
故选A．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，判断λ＜0并求出的坐标，是解题的关键．
16、已知，O为坐标原点，点C在第一象限内，且∠AOC=60°，设，则λ等于（ ）
A、 B、
C、 D、3
考点：平面向量的基本定理及其意义。
分析：∵=，先用向量加法的平行四边形法则得到，再解直角三角形求出λ．
解答：解：∵=，∠AOC=60°
∴
又∵|OB|=21世纪教育网
∴λ=321世纪教育网版权所有
故选D．
点评：本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，解答的关键是利用平行四边形法则求从同一点出发的两个向量的和．
17、已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：设，将作为基向量则求出后 利用=表示出即可．
点评：本题考查平面向量基本定理及其应用，此类题目若选择合适的基向量，则能较好的表示出其他有关向量，简化运算量．
18、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）21cnjy
A、=（0，0），=（1，﹣2） B、=（﹣1，2），=（5，7）
C、=（3，5），=（6，10） D、=（2，﹣3），=（，﹣）
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：综合题。
分析：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A，D，C选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B．
解答：解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，
A中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求
c中两个向量是，两个向量共线，
C项中的两个向量是，也共线，21世纪教育网
故选B．21世纪教育网版权所有
点评：由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
19、若向量，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量的基本定理及其意义。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：设，由题意可得=（ x+y）+（x﹣y）=，由此求出x，y的值，即可得到结论．
点评：本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，求出 x=，y=﹣，是解题的关键，属于基础题．
20、若向量=（1，1），（1，﹣1），=（﹣2，4），则等于（ ）21cnjy
A、﹣a+3b B、a﹣3b
C、3a﹣b D、﹣3a+b
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。
分析：由题意=（1，1），=（1，﹣1）两向量不共线，符合作为平面中向量基底的条件，可由平面向量基本定理引入两个参数λ，μ，使得=λ+μ，将三向量的坐标代入，由向量相等建立方程求出两参数的值，即可得到向量关于两向量，的线性表达式，选出正确答案，
解答：解：由题意令=λ+μ，λ，μ∈R
又=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣2，4），
∴（﹣2，4）=λ（1，1）+μ（1，﹣1），
∴
解得λ=1，μ=﹣3，
即=﹣3，21世纪教育网版权所有
故选B21世纪教育网
点评：本题平面向量基本定理及其意义，解题的关键是根据平面向量基本定理用待定系数法建立起方程=λ+μ，再由向量的相等求参数
二、填空题（共5小题）
21、设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即= + ．
考点：向量的加法及其几何意义；平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：根据和，先把，用表示，再相加即可．
22、如图，，则 x+y= 1 ．21cnjy
考点：向量的加法及其几何意义；平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。
分析：利用向量加法的平行四边形法则可过E分别作AB，AD的平行线与AD，AB分别交于N，M点则可得，即，而由图形可得与，与共线故即，再结合EM∥AD，EN∥AB根据平行线分线段成比例性质代入化简即可得解．
解答：解：过E分别作AB，AD的平行线与AD，AB分别交于N，M点如下图．
∴EM∥AD，EN∥AB
∴四边形AMEN为平行四边形
∴利用向量加法的平行四边形法则可得
又∵
∴
又∵与，与共线221世纪教育网1世纪教育网版权所有
∴21*cnjy*com
又∵EM∥AD，EN∥AB
∴，
∴x+y===121cnjy
故答案为1
点评：本题关键是要利用向量加法的平行四边形法则和平行线分线段成比例性质解题．解题的关键是要构造出以AE为对角线的平行四边形然后利用向量加法的平行四边形法则和共线定理再结合平行线分线段成比例性质即可求解．另外若本题是选择和填空的话可采用特殊图形法即将此四边形看成是平行四边形点E看做中点直接即可得解，这也不失为一种好的方法！
23、如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中m，n∈R，则m+n= ．
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。
分析：根据向量加法的平行四边形法则，我们易得，然后根据，我们易将向量、进行分解，结合平面向量的基本定理我们易构造关于m，n的方程组，解方程组后即可得到m+n的值．
解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴
又∵，
点评：本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于m，n的方程组，是解答本题的关键．21世纪教育网
24、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为 ．21世21cnjy纪教育网版权所有
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考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题。21cnjy
分析：建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，求出λ+μ=的最小值．
解答：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）． 设 P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．
再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ ），
∴=1，﹣λ+μsinθ=1，∴λ=，μ=，
∴λ+μ=．由题意得 0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1，
∴当cosθ取最大值1时，λ+μ取最小值为=，
故答案为．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ 的取值范围求三角函数式的最值，用cosθ，sinθ表示 λ和μ 是解题的难点．
25、如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，=a，=b，则= ．
考点：平面向量的基本定理及其意义。
专题：计算题；数形结合。21世纪教育网版权所有
分析：由向量减法的三角形法则，我们易得，而根据M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，结合共线向量的性质，=，即可得到答案．21世纪教育网
三、解答题（共5小题）21cnjy21*cnjy*com
26、已知函数的图象关于直线y=x对称．
（1）求实数b的值；
（2）设A、B是函数图象上两个不同的定点，记向量，试证明对于函数图象所在的平面早任一向量，都存在唯一的实数λ1、λ2，使得成立．
考点：函数的图象；平面向量的基本定理及其意义。
分析：（1）由已知中函数的图象关于直线y=x对称，故点在函数的图象上时，点也在函数的图象，代入即可构造关于b的方程组，解方程组，即可得到答案．
（2）若要证明对于函数图象所在的平面早任一向量，都存在唯一的实数λ1、λ2，使得成立，即证明向量不共线．
解答：解：（1）∵函数的图象关于直线y=x对称，
∴当点在函数的图象上时，点也在函数的图象上，即，化简，得（a+ab）x02+（1﹣b2）x0﹣1﹣b=0．
此关于x0的方程对的实数均成立，即方程的根多于2个，
∴，解之，得b=﹣1．21世纪教育网版权所有
（2）由（1）知，，又点A、B是该函数图象上不同两点，则它们的横坐标必不相同，于是，可设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），21世纪教育网
所以都是非零向量．
又=
∴y1≠y2，
∴与不平行，
即与为函数图象所在坐标平面上所有向量的一组基．21cnjy21*cnjy*com
根据平面向量的分解定理，可知，函数图象所在僄平面上任一向量，都存在唯一实数λ1、λ2，使得成立．
点评：本题考查的知识点是函数的图象的对称性质，平面向量的基本定理及其意义，其中（1）的关键是要根据已知条件构造关于b的方程组，（2）的关键是理解向量，为平面内的一组基底，两向量不共线．
27、已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P1，P2，P3，…，Pn，…，满足，其中{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点．
（Ⅰ）求a1，b1的值；
（Ⅱ）点P1，P2，P3，…，Pn，…能否共线？证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对于给定的公差不零的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在一个指数函数的图象上．
考点：数列与解析几何的综合；平面向量的基本定理及其意义；三点共线。
专题：综合题。
分析：（Ⅰ）P1是线段AB的中点，，且不共线，由平面向量基本定理，能求出a1，b1的值．
（Ⅱ） 由，设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由于P1，P2，P3，…，Pn，…互不相同，所以d=0，q=1不会同时成立；若d=0，则，所以P1，P2，P3，…，Pn，…都在直线上．由此能求出当d≠0且q≠1时，P1，P2，P3，…，Pn，…不共线．
（Ⅲ）设Pn（an，bn）都在指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，则．令n=1，则，于是，有唯一解．由此能够得到当对于给定的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在指数函数的图象上．
解答：解：（Ⅰ）P1是线段AB的中点…（1分）
又，且不共线，21世纪教育网
由平面向量基本定理，知：…（3分）21世纪教育网版权所有
（Ⅱ） 由
设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由于P1，P2，P3，…，Pn，…互不相同，所以d=0，q=1不会同时成立； （4分）21*cnjy*com
若d=0，则，?P1，P2，P3，…，Pn，…都在直线上； …（5分）
若q=1，则为常数列，?P1，P2，P3，…，Pn，…都在直线上； …（6分）
若d≠0且q≠1，P1，P2，P3，…，Pn，…共线?=（an﹣an﹣1，bn﹣bn﹣1）与共线（n＞1，n∈N*）?（an﹣an﹣1）（bn+1﹣bn）﹣（an+1﹣an）（bn﹣bn﹣1）=0?d（bn+1﹣bn）﹣d（bn﹣bn﹣1）=0?（bn+1﹣bn）=（bn﹣bn﹣1）?q=1与q≠1矛盾，
∴当d≠0且q≠1时，P1，P2，P3，…，Pn，…不共线． …（9分）21cnjy
（Ⅲ）设Pn（an，bn）都在指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，则（10分）
令n=1，则，…（11分）
于是，有唯一解，…（13分）
由于d≠0，?q≠1，从而满足条件“P1，P2，P3，…，Pn，…互不相同”．
∴当对于给定的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，
使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在指数函数的图象上．…（14分）
点评：本题考查数列与解析几何间的关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
28、如图所示，△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N．设=a，=b，用a，b分别表示向量，，，，，．
考点：向量的几何表示；平面向量的基本定理及其意义。
专题：数形结合。
分析：利用利用平行线以及三角形相似，先找出线段间的关系，再结合图象得到向量间的关系．
解答：解：如图所示，
由可得==，=﹣=﹣．21世纪教育网版权所有
由△ADE∽△ABC，得==（﹣）．21世纪教育网
由AM是△ABC的中线，DE∥BC，得==（﹣）．
而且=+=+=+（﹣）=（+）．21*cnjy*com
可得==（+）．21cnjy
点评：本题考查向量的几何表示，三角形相似的性质，平面向量基本定理，体现了数形结合的数学思想．
29、在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知：=1：2，：=3：2，连接AQ、BP，设它们交于点R，若=，=．
（Ⅰ）用与表示；
（Ⅱ）过R作RH⊥AB，垂足为H，若||=1，||=2，与的夹角，求的范围．
考点：向量的模；平面向量的基本定理及其意义。
分析：（I）根据点P在边OA上且：=1：2，点Q在边OB上且：=3：2，我们易将向量和表示成，．再根据AQR三点共线，BPR三点共线，我们可以分别得到两个关于，的分解形式，利用平面向量的基本定理，易构造关于λ，μ的方程，进而可用与表示；
（II）由||=1，||=2，与的夹角，结合（I）的结论及RH⊥AB，我们易求出的取值范围．
=+﹣b）=+（1﹣μ）．（4分）
∵向量与不共线，
∴解得21世纪教育网版权所有
∴+．（5分）
（II）设，则（﹣），221*cnjy*com 1世纪教育网21cnjy
∴（﹣）﹣（+）+=+（．（6分）
∵，
∴，
即[+（]?（﹣）=02+（2+?=0（8分）
又∵||=1，||=2，?=||||cosθ=2cosθ，
∴
∴．（10分）
∵，
∴，
∴5﹣4cosθ∈[3，7]，
∴．
故的取值范围是．（12分）
点评：本题考查的知识点是平面向量的定理及其意义，向量的模，其中根据平面向量的基本定理，得到A，B，P三点共线时，=+（其中O为直线AB外任一点，且λ+μ=1是解答的关键．
30、如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和．
考点：向量的三角形法则；平面向量的基本定理及其意义。21*cnjy*com 21世21cnjy纪教育网版21世纪教育网权所有
专题：计算题。
分析：因为D、E是△ABC中AB、AC边的中点，所以DEBC，故可表达；和在△ABC中，由向量的共线和三角形法则表达即可．
