平行向量的正交分解
一、选择题（共6小题）21cnjy 21世纪教育网
1、若A（2，﹣1）、B（﹣1，3），则向量的坐标是（ ）21世纪教育网版权所有
A、（1，2） B、（﹣3，4）
C、（3，﹣4） D、（﹣2，﹣3）21cnjy
2、若A（2，﹣1），B（﹣1，3），则的坐标是（ ）21*cnjy*com
A、（1，2） B、（﹣1，﹣2）
C、（﹣3，4） D、（3，﹣4）
3、已知点A（2008，5，12），B（14，2，8），将向量按向量=（2009，4，27）平移，所得到的向量坐标是（ ）
A、（1994，3，4） B、（﹣1994，﹣3，﹣4）
C、（15，1，23） D、（4003，7，31）
4、图示一单摆在竖直平面做简谐振动，已知摆球质量为m，最大摆角偏离竖直方向为θ，摆长为L，则在摆球从最大位移处第一次回到平衡位置时，绳子拉力对球的冲量大小为（ ）
A、
B、
C、
D、
5、P={α|α=（﹣1，1）+m（1，2），m∈R}，Q={β|β=（1，﹣2）+n（2，3），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于（ ）
A、{（1，﹣2）} B、{（﹣13，﹣23）}
C、{（﹣2，1）} D、{（﹣23，﹣13）}
6、已知向量，满足，，（λ，μ∈R），若M为AB的中点，并且，则点（λ，μ）在（ ）
A、以（，）为圆心，半径为1的圆上
B、以（，）为圆心，半径为1的圆上
C、以（，）为圆心，半径为1的圆上
D、以（，）为圆心，半径为1的圆上
二、填空题（共6小题）
7、已知=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，2），则向量可用向量、表示为 _________ ．
8、直角坐标系xOy中，分别是与x、y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若，则k的可能值个数是 _________ ．
9、将函数y=log2x的图象按平移向量平移后得到函数的图象，则该平移向量= _________ ．
10、已知O 是坐标原点，点A在第二象限，||=2，∠xOA=150°求向量的坐标为 _________ ．21*cnjy*com
11、在直角坐标平面内，已知点列P1（1，2）、P2（2，22）、P3（3，23），…，Pn（n，2n），…如果n为正偶数，则向量的坐标（用k表示）为 _________ ．21cnjy 21世纪教育网版权所有
12、有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝 _________ 方向行驶．
三、解答题（共4小题）21世纪教育网
13、如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有5N和3N的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m（N）的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数m的取值范围．（滑轮大小可忽略不计）
14、已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？
15、出于应用方便和数学交流的需要，我们教材定义向量的坐标如下：取和为直角坐标第xOy中与x轴和y轴正方向相同的单位向量，根据平面向量基本定理，对于该平面上的任意一个向量，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得=+μ，我们就把实数对（λ，μ）称作向量的坐标．并依据这样的定义研究了向量加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．现在我们用和表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，其中＜，＞=，
（1）请你模仿直角坐标系xOy中向量坐标的定义方式，用向量和做基底向量定义斜坐标系x‘Oy’平面上的任意一个向量的坐标；
（2）在（1）的基础上研究斜坐标系x‘Oy’中向量的加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．
16、设已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t．求：t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
答案与评分标准
一、选择题（共6小题）
1、若A（2，﹣1）、B（﹣1，3），则向量的坐标是（ ）
A、（1，2） B、（﹣3，4）
C、（3，﹣4） D、（﹣2，﹣3）21*cnjy*com 21世纪教育网
考点：平面向量的正交分解及坐标表示。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21cnjy
分析：的坐标等于中点B坐标减去起点A的坐标，再根据向量的坐标表示即可．
解答：解：∵A（2，﹣1）、B（﹣1，3），
∴=（﹣1，3）﹣（2，﹣1）=（﹣1﹣2，3+1）=（﹣3，4），
故选B．
点评：本题考查向量的加法坐标表示，考查平面向量的正交分解及坐标表示及计算，属于基础题．
2、若A（2，﹣1），B（﹣1，3），则的坐标是（ ）
A、（1，2） B、（﹣1，﹣2）
C、（﹣3，4） D、（3，﹣4）
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，利用了向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标．
3、已知点A（2008，5，12），B（14，2，8），将向量按向量=（2009，4，27）平移，所得到的向量坐标是（ ）
A、（1994，3，4） B、（﹣1994，﹣3，﹣4）
C、（15，1，23） D、（4003，7，31）
考点：平面向量的正交分解及坐标表示。
专题：计算题；规律型。
分析：由已知中始点坐标A（2008，5，12），终点坐标B（14，2，8），根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标，可以求出向量的坐标，进而根据向量按向量平移后不发生变化，得到答案．
解答：解：∵A（2008，5，12），B（14，2，8），
∴=（﹣1994，﹣3，﹣4），
又∵按向量平移后不发生变化
∴平移后=（﹣1994，﹣3，﹣4），
故选B
点评：本题考查的知识点是向量的坐标及向量的平移，其中根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标，求出向量的坐标，是解答本题的关键，解答时易忽略向量平移坐标不变而错解为（15，1，23）．
4、图示一单摆在竖直平面做简谐振动，已知摆球质量为m，最大摆角偏离竖直方向为θ，摆长为L，则在摆球从最大位移处第一次回到平衡位置时，绳子拉力对球的冲量大小为（ ）21cnjy
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A、 B、21世21*cnjy*com纪教育网
C、 D、
考点：平面向量的正交分解及坐标表示。
分析：小球从最大位移处第一次回到平衡位置，势能变为动能，列出势能和动能转化的等式，解出其中的速度v，绳子拉力对球的冲量大小就等于mv﹣0，代入数据得到结果．
点评：生活中常见的向量都是物理中学到的量，比如：速度、位移、加速度、重力，这些量既有大小又有方向，数学中学的向量有了物理中量的形容，更容易接受一些．
5、P={α|α=（﹣1，1）+m（1，2），m∈R}，Q={β|β=（1，﹣2）+n（2，3），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于（ ）
A、{（1，﹣2）} B、{（﹣13，﹣23）}
C、{（﹣2，1）} D、{（﹣23，﹣13）}
考点：平面向量的正交分解及坐标表示；交集及其运算。
专题：计算题。
分析：根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，在集合P中，元素α=（﹣1+m，1+2m），在集合Q中，元素β=（1+2n，﹣2+3n），根据这两个元素是相同的写出关系式，得到m和n的值，得到点的坐标．
解答：解：根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，
在集合P中，=（﹣1+m，1+2m），
在集合Q中，=（1+2n，﹣2+3n）．
要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，
∵元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等，
∴
二元一次方程组的解只有一组，
∴
此时α=β=（﹣1﹣12，1﹣2×12）=（﹣13，﹣23）．21*cnjy*com
故选B．
点评：本题考查集合种元素的关系，考查向量的坐标表示，是一个基础题，解题的关键是正确理解两个集合的元素相等的条件．21cnjy 21世纪教育网
6、已知向量，满足，，（λ，μ∈R），若M为AB的中点，并且，则点（λ，μ）在（ ）21世纪教育网版权所有
A、以（，）为圆心，半径为1的圆上 B、以（，）为圆心，半径为1的圆上
C、以（，）为圆心，半径为1的圆上 D、以（，）为圆心，半径为1的圆上
考点：平面向量的正交分解及坐标表示；向量的模。
专题：计算题。
分析：由题意分别以OA、OB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则点M（，），C（λ，μ），故此题为求C点的轨迹问题，由知C点轨迹是以M（，）为圆心，以1为半径的圆．
二、填空题（共6小题）
7、已知=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，2），则向量可用向量、表示为 ．
考点：平面向量的基本定理及其意义；平面向量的正交分解及坐标表示。
专题：计算题；待定系数法。
分析：设=λ+μ，则可得 （﹣1，2）=（λ+μ，λ﹣μ ），解得 λ=，μ=﹣，可得即为所求．
解答：解：设=λ+μ，则 （﹣1，2）=（λ+μ，λ﹣μ ），∴λ=，μ=﹣，
故，
故答案为：．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，用待定系数法求出λ 和μ 的值，是解题的关键．
8、直角坐标系xOy中，分别是与x、y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若，则k的可能值个数是 ﹣6，﹣1 ．
考点：平面向量的正交分解及坐标表示。
专题：计算题。
分析：利用==+（k﹣1），再分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°加以讨论，利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k的值．
解答：解：∵，
∴=21世纪教21*cnjy*com育网
因为△ABC为直角三角形，21cnjy 21世纪教育网版权所有
（1）∠A=90°时，?k=﹣6；
（2）∠B=90°时，?k=﹣1；
（3））∠C=90°时，?k∈?
综上所述，k=﹣6或﹣1
故答案为：﹣6，﹣1．
点评：本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件．解答的关键是利用向量垂直的充要条件列出等式，所得到方程的所有解即为可能的k值．
9、将函数y=log2x的图象按平移向量平移后得到函数的图象，则该平移向量= （1，﹣1） ．
考点：平面向量的正交分解及坐标表示。
专题：计算题。
分析：根据对数的性质，把平移以后的函数式化简，得到y=log2（x﹣1）﹣1，同原来的函数式进行比较，看出函数图象在横轴和纵轴平移的方向和大小，写出对应的向量的坐标．
点评：本题考查函数的平移，一个对数函数函数按照一个向量平移，这种题目平移的大小一般不错，而方向容易出错，是一个易错题．
10、已知O 是坐标原点，点A在第二象限，||=2，∠xOA=150°求向量的坐标为 （﹣，1） ．
考点：平面向量的正交分解及坐标表示；向量的模。
专题：计算题。
分析：先由xA=?cos∠xOA 及yA=?sin∠xOA，求出点A的坐标，即得向量的坐标．
解答：解：∵O是坐标原点，点A在第二象限，||=2，∠xOA=150°，∴xA=?cos∠xOA=2×=﹣，
yA=?sin∠xOA=2×=1，即 A（），∴=（）．
故答案为：（）．
点评：本题主要考查求向量的坐标的方法，向量的正交分解与坐标表示，属于基础题．
11、在直角坐标平面内，已知点列P1（1，2）、P2（2，22）、P3（3，23），…，Pn（n，2n），…如果n为正偶数，则向量的坐标（用k表示）为 ， ．
考点：平面向量的正交分解及坐标表示。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：由已知中，P1（1，2）、P2（2，22）、P3（3，23），…，Pn（n，2n），…我们根据向量坐标的确定方法可以求出向量的坐标，进而根据平面向量加法的坐标公式，及等比数列的前n项和公式，易求出答案．21*cnjy*com 21cnjy 21世纪教育网
解答：解：∵P1（1，2）、P2（2，22）、P3（3，23），…，Pn（n，2n）
∴P1P2（1，2），P3P4（1，23），P5P6（1，25），…，Pk﹣1Pk（1，2n﹣1），
∴=（1+3+5+…+k﹣1，2+23+25+…+2n﹣1）=，，
故答案为：，
点评：本题考查的知识点是平面向量的正交分解及坐标表示，等比数列的前n项和，其中根据已知求出向量的坐标，是解答本题的关键．
12、有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝 与水流方向成135°角 方向行驶．
三、解答题（共4小题）
13、如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有5N和3N的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m（N）的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数m的取值范围．（滑轮大小可忽略不计）
考点：平面向量的正交分解及坐标表示；向量的物理背景与概念。
专题：计算题；应用题。
分析：本题由向量加法的物理意义建立方程得到具有物理背景的量的方程，然后根据三角的相关公式整理出正数m关于角的函数，再进行恒等变换求出参数的取值范围．
解答：解：如图建立坐标系，记OB、OA与y轴的正半轴的夹角
分别为α，β，则由三角函数定义得，
由于系统处于平衡状态，∴221*cnjy*com 1世纪教育网
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两式平方相加得34+30cos（α+β）=m2
由（1）知sinβ=sinα，而α，β∈[0，]21cnjy
∴β随α单调递增，且sinβ≤=sinθ
∴0≤β≤θ
且（写成不扣分，这时α，β均为0）
从而，（这里α+β的范围不是（0，π），这是易错点）
∴，即
∴16≤m2＜64∴正数m的取值范围为4≤m＜8．
点评：本题考点是平面微量的正交分解及坐标表示，考查了有实际物理背景的向量之间的运算，本题用向量的加法法则建立起相关的方程，然后求出参数，用向量方法求解物理问题是向量的一个重要运用，就好好总结物理量与向量的关联方法．
14、已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？
∴∴
∵P在第三象限内221*cnjy*com 1世纪教育网
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∴λ＜﹣1，即λ＜﹣1时，P点在第三象限．
点评：本题考查平面向量的正交分解及坐标表示，考查向量与平面上的点的对应，考查四个不同象限的点的坐标的特点，是一个基础题．
15、出于应用方便和数学交流的需要，我们教材定义向量的坐标如下：取和为直角坐标第xOy中与x轴和y轴正方向相同的单位向量，根据平面向量基本定理，对于该平面上的任意一个向量，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得=+μ，我们就把实数对（λ，μ）称作向量的坐标．并依据这样的定义研究了向量加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．现在我们用和表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，其中＜，＞=，
（1）请你模仿直角坐标系xOy中向量坐标的定义方式，用向量和做基底向量定义斜坐标系x‘Oy’平面上的任意一个向量的坐标；
（2）在（1）的基础上研究斜坐标系x‘Oy’中向量的加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．
考点：平面向量的正交分解及坐标表示。
专题：计算题；新定义。
分析：（1）用和表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，对于平面向量，存在唯一的实数对p，q，使得，定义数对（p，q）为向量在斜坐标系下的坐标．
（2）设出两个向量的坐标，模仿直角坐标系中两个向量的加法，减法，数乘和数量积写出来，只是在两个向量数量积的运算中，注意应用数量积的运算律．
解答：解：（1）根据平面向量基本定理，用和表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，
对于平面向量，存在唯一的实数对p，q，使得，定义数对（p，q）为向量在斜坐标系下的坐标．
（2）设在斜坐标系中的坐标分别为（a1，b1），（a2，b2），
那么=（a1+a2，b1+b2）
=（a1﹣a2，b1﹣b2）
λ=（λa1，λb1）
=a1a2+b1b2+
点评：本题考查平面向量正交分解的应用，考查一个新定义问题，考查两个向量的四则运算，考查学生的理解能力和应变能力，是一个比较好的题目．221*cnjy*com 1cnjy 21世纪教育网
16、设已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t．求：t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？21世纪教育网版权所有
考点：平面向量的正交分解及坐标表示；向量数乘的运算及其几何意义。
专题：计算题；向量法。
分析：根据所给的三个点的坐标，写出和的坐标，利用向量的加减和数乘表示出的坐标，横标和纵标都是含有t的代数式，根据所给的P的不同的位置，结合这个位置的坐标特点，写出t要满足的关系式，得到结果．
