向量的共线定理
一、选择题（共18小题）21*cnjy*com
1、已知D是△ABC所在平面内一点，若，则=（ ）
A、1：3 B、3：121世21世纪教育网纪教育网版权所有
C、1：2 D、2：121cnjy
2、若四边形ABCD满足：，且，则四边形ABCD的形状是（ ）
A、矩形 B、正方形
C、等腰梯形 D、菱形
3、||=1，||=，?=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=mOA+n（m、n∈R），则等于（ ）
A、 B、3
C、 D、
4、已知向量，，且=+2，=﹣5+6，=7﹣2，则一定共线的（ ）
A、A，B，D B、A，B，C
C、B，C，D D、A，C，D
5、已知点A（，1），B（0，0）C（，0）．设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于（ ）
A、2 B、
C、﹣3 D、﹣
6、若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数的方程有解（点O不在l上），则此方程的解集为（ ）
A、{﹣1} B、{0}
C、 D、{﹣1，0}
7、已知向量、不共线，若，且A、B、C三点共线，则关于实数λ1、λ2一定成立的关系式为（ ）
A、λ1=λ2=1 B、λ1=λ2=﹣1
C、λ1λ2=1 D、λ1+λ2=1
8、已知向量a=（1，0），b=（0，1），c=a+λb（λ∈R），向量d如图所示．则（ ）
21世纪教育网
A、存在λ＞0，使得向量c与向量d垂直
B、存在λ＞0，使得向量c与向量d夹角为60°
C、存在λ＜0，使得向量c与向量d夹角为30°
D、存在λ＞0，使得向量c与向量d共线
9、在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，若，则m+n的值是（ ）
A、1 B、﹣1
C、 D、21世纪教育网版权所有
10、设P为△ABC所在平面内一点，且，则△PAB的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A、 B、21cnj21*cnjy*com y
C、 D、
11、已知P是△ABC所在平面内的一点，若=λ，其中λ∈R，则点P一定在（ ）
A、AC边所在的直线上 B、BC边所在的直线上
C、AB边所在的直线上 D、△ABC的内部
12、已知，其中A、B、C三点共线，则满足条件的x（ ）
A、不存在 B、有一个
C、有两个 D、以上情况均有可能
13、设、、是不共线的向量，，，则A、B、C三点共线的充要条件是（ ）
A、k+m=0 B、k=m
C、km+1=0 D、km﹣1=0
14、已知是两个不共线的向量，它们的起点相同，且，，三个向量的终点在同一直线上，则t的值为（ ）
A、 B、1
C、2 D、3
15、在四边形ABCD中，，则ABCD是（ ）
A、梯形 B、平行四边形
C、矩形 D、以上都不对
16、已知向量a=（1，2），b=（2，3），c=（3，4），则用a，b表示c为（ ）
A、c=a+b B、c=a+2b
C、c=﹣a+2b D、c=a﹣2b
17、（易线性表示）已知平面内不共线的四点0，A，B，C满足，则=（ ）
A、3：1 B、1：3
C、2：1 D、1：2
18、设e1，e2为已知向量，且，则x等于（ ）
A、 B、21cnjy21*cnjy*com
C、 D、21世纪教育网版权所有
二、填空题（共8小题）
19、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若向量=a100+a101，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于 _________ ．
20、已知点A（1，2，1），B（﹣1，3，4），D（1，1，1），若=2，则||的值是 _________ ．
21、平面上的向量，若向量的
最大为 _________ ．
22、已知△ABC的三个顶点A、B、C及△ABC所在平面内的一点P，，若实数λ满足，则实数λ等于 _________ ．
23、下列命题：21世纪教育网
①若与共线，与共线，则与共线；
②向量、、共面，则它们所在直线也共面；
③若与共线，则存在唯一的实数λ，使=λ；
④若A、B、C三点不共线，0是平面ABC外一点．，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，
上述命题中的真命题是 _________ ．
24、已知是平面上两个不共线的向量，向量，．若，则实数m= _________ ．
25、在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ= _________ ．
26、设、是不共线的两个向量，则向量与向量共线，则λ= _________ ．
三、解答题（共4小题）
27、已知：
（1）求
（2）求满足条件的实数m，n．
（3）若向量满足，且求．21cnjy
28、在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
（1）求k的取值范围；21*cnjy*com
（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．21世纪教育网版权所有
29、设a、b为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λa+μb=0，则称a、b线性相关，下面的命题中，a、b、c均为已知平面M上的向量．21世纪教育网
①若a=2b，则a、b线性相关；
②若a、b为非零向量，且a⊥b，则a、b线性相关；
③若a、b线性相关，b、c线性相关，则a、c线性相关；
④向量a、b线性相关的充要条件是a、b共线．
上述命题中正确的是 _________ （写出所有正确命题的编号）
30、设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值．
答案与评分标准
一、选择题（共18小题）
1、已知D是△ABC所在平面内一点，若，则=（ ）
A、1：3 B、3：121*cnjy*com
C、1：2 D、2：121世纪教育网
考点：向量的模；向量的共线定理。21cnjy 21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：利用向量的三角形法则及向量的运算律得出，将等式求模即得．
解答：解：，
∵
∴
∴==
即
故=2：1
故答案为D
点评：本题考查向量的运算法则及向量的运算律．
2、若四边形ABCD满足：，且，则四边形ABCD的形状是（ ）
A、矩形 B、正方形
C、等腰梯形 D、菱形
解答：解：由题意可得出ABCD，由此得，四边形ABCD是平行四边形
又
可得此四边形邻边相等，所以此四边形是菱形
故选D
点评：本题考查向量共线与向量相等的几何意义，由此判断出四边形的形状，解题的关键是熟练掌握向量相等与模相等的意义，由向量关系转化出几何关系，本题数形结合，由代数而几何，题型新颖，是向量考查中常见题型，也是近几年高考试卷上对向量考查的主要形式
3、||=1，||=，?=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=mOA+n（m、n∈R），则等于（ ）
A、 B、3
C、 D、
考点：向量的共线定理；向量的模。21cnjy
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．21世纪教育网
法二：如图所示，建立直角坐标系．
则=（1，0），=（0，），21世纪教育网版权所有
∴=m+n
=（m，n），
∴tan30°==，
∴=3．
故选B
点评：对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．
4、已知向量，，且=+2，=﹣5+6，=7﹣2，则一定共线的（ ）
A、A，B，D B、A，B，C
C、B，C，D D、A，C，D
考点：向量的共线定理。
分析：先判断向量与共线，又有公共点，进而判断出三点共线．
解答：解：∵=﹣5+6+7﹣2=2+4=2
∴
又因为直线AB、BD有公共点B
所以点A、B、D在同一条直线上．
故选A．
点评：本题主要考查向量的共线定理．注意共线向量与平行向量是等价的．
5、已知点A（，1），B（0，0）C（，0）．设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于（ ）21cnjy
A、2 B、21世纪教育网
C、﹣3 D、﹣21世纪教育网版权所有
点评：本题考查学生对角平分线知识的记忆和运用以及对数乘向量的理解，对学生思维能力的提高很有好处
6、若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数的方程有解（点O不在l上），则此方程的解集为（ ）21*cnjy*com
A、{﹣1} B、{0}
C、 D、{﹣1，0}
考点：向量的共线定理。
分析：利用向量的运算法则将等式中的向量都用以o为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x
解答：解：
即
∴
∵A，B，C共线
∴﹣x2﹣x+1=1解得x=0，﹣1
当x=0时，等价于不合题意
故选A．
点评：本题考查向量的运算法则、三点共线的充要条件：A，B，C共线?，其中x+y=1
7、已知向量、不共线，若，且A、B、C三点共线，则关于实数λ1、λ2一定成立的关系式为（ ）
A、λ1=λ2=1 B、λ1=λ2=﹣1
C、λ1λ2=1 D、λ1+λ2=1
考点：向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：先求A、B、C三点共线的充要条件，我们要先根据已知条件a、b是不共线的向量，判断λ与μ满足的关系；并以此关系为已知条件，看能不能反推回来得到A、B、C三点共线．如果两个过程都是可以的，该关系式即为所求．21世纪教育网
点评：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
8、已知向量a=（1，0），b=（0，1），c=a+λb（λ∈R），向量d如图所示．则（ ）21cnjy
21*cnjy*com
A、存在λ＞0，使得向量c与向量d垂直 B、存在λ＞0，使得向量c与向量d夹角为60°
C、存在λ＜0，使得向量c与向量d夹角为30° D、存在λ＞0，使得向量c与向量d共线
考点：向量的共线定理。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：利用向量垂直的充要条件：数量积为0，判断出A错；利用向量的数量积的坐标公式及模，夹角公式判断出B，C错；利用向量共线的充要条件判断出D对．
解答：解：由图知，，则
若则4+3λ=0得，故A错21世纪教育网
若夹角为60°则有即11λ2+96λ+39=0，有两个负根；故B错；
若夹角为30°，则有即39λ2﹣96λ+9=0有两个正根，故C错；21cnjy
若两个向量共线则有4λ=3解得，故D对．21世纪教育网版权所有
故选D21*cnjy*com
点评：本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0即对应的坐标相乘等于0；向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等．
9、在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，若，则m+n的值是（ ）
A、1 B、﹣1
C、 D、
10、设P为△ABC所在平面内一点，且，则△PAB的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：根据已知中，P为△ABC所在平面内一点，且，我们易得到，将AB延长至D，使长度AD=2AB，根据向量加法的平行四边形法则，我们易判断出P点在P点到AB边的距离为C点到AB边距离的，进而得到△PAB的面积与△ABC的面积之比．
解答：解：∵
∴
则
将AB延长至D，使长度AD=2AB
向量AD=2AB，则
则21*cnjy*com
则
21世纪教育网
△PAB的面积与△ABC的面积之比是1：521世纪教育网版权所有
故选A21cnjy
点评：本题考查的知识点是向量的共线定理，其中将AB延长至D，使长度AD=2AB，然后根据平行四边形法则临到P点在P点到AB边的距离为C点到AB边距离的，是解答本题的关键．
11、已知P是△ABC所在平面内的一点，若=λ，其中λ∈R，则点P一定在（ ）
A、AC边所在的直线上 B、BC边所在的直线上
C、AB边所在的直线上 D、△ABC的内部
考点：向量的共线定理。
分析：找出向量与向量的关系，即可确定答案．
点评：本题主要考查向量的共线定理．要证明三点共线时一般转化为证明向量的共线问题．
12、已知，其中A、B、C三点共线，则满足条件的x（ ）
A、不存在 B、有一个
C、有两个 D、以上情况均有可能
考点：向量的共线定理。
专题：常规题型。
分析：利用三点共线的充要条件，列出方程解方程求出x值．
解答：解：∵
A、B、C三点共线，
∴x2+x﹣1=0
∴△＞0
故有两解
故选C
点评：本题考查三点共线的充要条件：A，B，C共线?其中x+y+z=0
13、设、、是不共线的向量，，，则A、B、C三点共线的充要条件是（ ）
A、k+m=0 B、k=m
C、km+1=0 D、km﹣1=021世纪教育网
考点：向量的共线定理。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：将三点共线转化为两个向量共线，利用向量共线的向量形式的充要条件列出方程，根据向量的基本定理列出方程组，求出k，md的关系．21cnjy
点评：解决三点共线问题常转化为以三点为起点、终点的向量共线，再利用向量共线的充要条件找关系．
14、已知是两个不共线的向量，它们的起点相同，且，，三个向量的终点在同一直线上，则t的值为（ ）
A、 B、1
C、2 D、3
考点：向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：根据题意是两个不共线的向量，它们的起点相同，且，，三个向量的终点在同一直线上，我们不难构造关于t的方程，解方程即可求解．
解答：解：∵，，三个向量的终点在同一直线上
∴=λ+μ
∴且λ+μ=1
解得t=
故选A
点评：若，且λ+μ=1．则A、B、C三点共线，且C分AB的两段线段AC与BC的长度之比，AC：BC=μ：λ
15、在四边形ABCD中，，则ABCD是（ ）
A、梯形 B、平行四边形
C、矩形 D、以上都不对
考点：向量的共线定理。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：先由条件：得：向量平行，且长度相差两倍，从而得出故四边形ABCD是梯形．
解答：解：由条件：得：21世纪教育网
向量平行，且长度相差两倍，21cnjy 21世纪教育网版权所有
故四边形ABCD是梯形，
故选A．
点评：主要考查向量的共线定理、梯形的判定：一组对边分别平行且不相等的四边形是梯形．
16、已知向量a=（1，2），b=（2，3），c=（3，4），则用a，b表示c为（ ）
A、c=a+b B、c=a+2b
C、c=﹣a+2b D、c=a﹣2b
考点：向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：用两个已知向量，表示另一个已知的向量，可以利用待定系数法，先将三个向量之间的关系式表达出来，再构造方程（组），解方程（组），不难得到答案．
点评：解答本题的理论依据是：平面向量的基本定理，如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，存在唯一一对有序实数（x、y），使=x+y．这是构造方程的依据，切不可忽视．
17、（易线性表示）已知平面内不共线的四点0，A，B，C满足，则=（ ）
A、3：1 B、1：3
C、2：1 D、1：2
考点：向量的共线定理；向量的模。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点为向量共线定理及性质，根据向量加减法的三角形法则，我们易将，中的三个向量，均用和来表示，进而得到两个向量共线，再根据共线向量模的关系，即可求解．
解答：解：，
得，
得．21世纪教育网
故选C21*cnjy*com
点评：若，且λ+μ=1．则A、B、C三点共线，且C分AB的两段线段AC与BC的长度之比，AC：BC=μ：λ21世纪教育网版权所有
18、设e1，e2为已知向量，且，则x等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量的共线定理。21cnjy
专题：计算题。
分析：根据向量的线性运算可以得到=﹣+4﹣=，即可求出的值．
解答：解：∵==﹣+4﹣=
∴=4﹣
故选D．
点评：本题主要考查向量的线性运算．考查基础知识的运用．
二、填空题（共8小题）
19、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若向量=a100+a101，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于 100 ．
考点：数列与向量的综合；向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：先根据向量的共线定理求出a100与a101的关系，再根据等差数列前n项和公式便可求出S200的值．
点评：本题主要考查了向量的共线定理与等差数列的综合应用，在解题时要运用化归与转化的数学思想方法，要求同学们熟练掌握．
20、已知点A（1，2，1），B（﹣1，3，4），D（1，1，1），若=2，则||的值是 ．
考点：向量的模；向量的共线定理。
分析：设出P点的坐标，根据所给的=2和A、B两点的坐标求出P点的坐标，写出向量的坐标，利用求模的公式得到结果．
解答：解：设P（x，y，z），21世纪教21*cnjy*com育网版权所有
∴=（x﹣1，y﹣2，z﹣1）．=（﹣1﹣x，3﹣y，4﹣z）
由=2得点P坐标为P（﹣，，3），
又D（1，1，1），21世纪教育网
∴||=．21cnjy
点评：认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．空间向量在立体几何中作用不可估量．
21、平面上的向量，若向量的
最大为 ．21*cnjy*com
考点：向量的模；向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：设，则x2+y2=4，要求||的最小值，可先表示||=，把已知向量代入可转化为关于x的二次函数，根据二次函数的性质可求
点评：求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积的性质进行计算，本题主要考查的是第二种方法的应用．
22、已知△ABC的三个顶点A、B、C及△ABC所在平面内的一点P，，若实数λ满足，则实数λ等于 3 ．
考点：零向量；向量的共线定理。21世纪教育网版权所有
分析：利用向量的减法，化简即得．21cnjy21*cnjy*com
解答：解：由题意得，；
∴21世纪教育网
∴λ=3
点评：本题的计算中，只需将向量都化成以P为起点就可以比较得出解答了．
23、下列命题：
①若与共线，与共线，则与共线；
②向量、、共面，则它们所在直线也共面；
③若与共线，则存在唯一的实数λ，使=λ；
④若A、B、C三点不共线，0是平面ABC外一点．，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，
上述命题中的真命题是 ④ ．
考点：平行向量与共线向量；向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：本题综合考查了平行向量与共线向量，向量的共线定理等知识点，我们要根据向量共线的定义和性质对四个命题逐一进行判断，即可得到答案．
点评：在解答向量问题时，向量共线（平行）是最常见的情况之一，我们一定要注意向量平行分为三种情况：①两个非零向量同向；②两个非零向量反向；③零向量与任何一个向量都共线（平行）．其中第③种情况，最容易被忽视．
24、已知是平面上两个不共线的向量，向量，．若，则实数m= ﹣6 ．
考点：向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：利用向量共线的充要条件得到等式；利用平面向量的基本定理列出方程组，求出m的值．
解答：解：∵21世纪教育网版权所有
∴21*cnjy*com
21世纪教育网
∴
解得m=﹣621cnjy
故答案为﹣6
点评：本题考查向量共线的充要条件、考查平面向量的基本定理．
25、在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ= ．
解答：解析：设=，=，
那么=+，=+，
又∵=+，
∴=（+），即λ=μ=，
∴λ+μ=．
故答案为：．
点评：本题考查向量的共线定理的应用，用=和=作为基底，表示出，也表示出 λ+μ，利用=λ+μ，
解出λ和μ的值．
26、设、是不共线的两个向量，则向量与向量共线，则λ= ．
考点：向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：利用向量关系的充要条件列出方程；利用平面向量的基本定理；对应基底的系数相同，列出方程组求出λ的值．
解答：解：∵
∴存在m使21*cnjy*com
即221世纪教育网
∴21世纪教育网版权所有
解得λ=﹣21cnjy
故答案为﹣
点评：本题考查向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．
三、解答题（共4小题）
27、已知：
（1）求
（2）求满足条件的实数m，n．
（3）若向量满足，且求．
考点：向量的模；平行向量与共线向量；向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：（1）由，我们易求出的坐标，代入向量模的公式，即可得到答案．
（2）由及，我们可构造一个关于m，n的方程组，解方程组，即可得到实数m，n的值．
（3）若，由向量的共线定理，我们易得，又由，我们可以得到一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，进而求以求出向量的坐标．
（3）
∴（λ∈R）（11分）
∴∴（14分）21*cnjy*com
∴，（15分）．（16分）21世21世纪教育网纪教育网版权所有
点评：判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．
28、在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
（I）求k的取值范围；21cnjy
（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
考点：向量的共线定理；平面的概念、画法及表示。
专题：计算题。
分析：（1）直线l与椭圆有两个不同的交点，即方程组有2个不同解，转化为判别式大于0．
（2）利用2个向量共线时，坐标之间的关系，由一元二次方程根与系数的关系求两根之和，解方程求常数k．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
由方程①，． ②
又． ③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，
故没有符合题意的常数k．
点评：（1）把直线l与椭圆有两个不同的交点，转化为方程组有2个不同解．
（2）考查2个向量共线的条件．
29、设a、b为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λa+μb=0，则称a、b线性相关，下面的命题中，a、b、c均为已知平面M上的向量．21*cnjy*com
①若a=2b，则a、b线性相关；
②若a、b为非零向量，且a⊥b，则a、b线性相关；
③若a、b线性相关，b、c线性相关，则a、c线性相关；
④向量a、b线性相关的充要条件是a、b共线．21cnjy
上述命题中正确的是 ①④ （写出所有正确命题的编号）
考点：向量的共线定理。21世纪教育网
专题：证明题；新定义。21世纪教育网版权所有
分析：利用和线性相关 等价于和是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确．
点评：本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确和线性相关 等价于和是共线向量，是解题的关键．
30、设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值．
考点：向量的共线定理。
专题：计算题。
分析：利用向量的运算法则求出；将三点共线转化为两个向量共线；利用向量共线的充要条件列出方程；利用平面向量的基本定理列出方程，求出k的值．
解答：解：∵
若A，B，D三点共线，则共线，
∴
即
由于不共线可得：
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故λ=2，k=﹣821世纪教育网21*cnjy*com
点评：本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查平面向量的基本定理．
