向量的坐标运算
一、选择题（共20小题）21世纪教育网版权所有
1、已知向量，，若与共线，则m的值为（ ）
A、 B、221世纪教育网版权所有
C、 D、﹣221世纪教育网
2、若向量=（1，1），=（﹣1，1），=（4，2），则=（ ）
A、3a+b B、3a﹣b21cnjy
C、﹣a+3b D、a+3b
3、已知平面向量a=（x，1），b=（﹣x，x2），则向量a+b（ ）
A、平行于x轴
B、平行于第一、三象限的角平分线
C、平行于y轴
D、平行于第二、四象限的角平分线
4、设平面向量，则=（ ）
A、（7，3） B、（7，7）
C、（1，7） D、（1，3）21*cnjy*com
5、设=（1，﹣2），=（﹣3，4），=（3，2）则=（ ）
A、（﹣15，12） B、0
C、﹣3 D、﹣11
6、若=（2，4），=（1，3），则=（ ）
A、（1，1） B、（﹣1，﹣1）
C、（3，7） D、（﹣3，﹣7）
7、已知向量，且，则向量等于（ ）
A、 B、
C、 D、
8、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则=（ ）
A、（﹣2，﹣4） B、（﹣3，﹣5）
C、（3，5） D、（2，4）
9、设向量a=（1，﹣3），b=（﹣2，4），若表示向量4a、3b﹣2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（ ）
A、（1，﹣1） B、（﹣1，1）
C、（﹣4，6） D、（4，﹣6）
10、己知向量=（2，1），=（﹣3，4），则﹣=（ ）
A、（5，﹣3） B、（1，﹣3）
C、（5，3） D、（﹣5，3）
11、已知向量，且a∥b，则锐角θ等于（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、75°21cnjy
12、△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2）．若∥，则∠C角的大小为（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、21世纪教育网
13、（中坐标运算）已知a=（﹣3，1），b=（1，﹣2），（﹣2a+b）∥（a+kb），则实数k的值是（ ）
A、 B、
C、 D、﹣1721*cnjy*com
14、已知向量=（2，2），=，则向量的模的最大值是（ ）
A、3 B、
C、 D、18
15、已知M（2，﹣4），N（3，﹣3），把向量向左平移1个单位后，在向下平移1个单位，所得向量的坐标为（ ）
A、（1，1） B、（0，0）
C、（﹣1，﹣1） D、（2，2）
16、若，点A的坐标为（﹣2，﹣1），则点B的坐标为（ ）
A、（5，5） B、（﹣5，﹣5）
C、（1，3） D、（﹣5，5）
17、已知向量a=（x，y），向量b∥a，|b|=|a|，且b≠a，则b的坐标为（ ）
A、（x，﹣y） B、（﹣x，﹣y）
C、（﹣y，﹣x） D、（﹣x，y）
18、设向量、，下列结论中，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
19、△ABC的顶点分别为A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC边上的高BD等于（ ）
A、5 B、
C、4 D、2
20、已知向量=（sina，sina﹣1），=（sina+1，1）则|﹣|的范围是（ ）
A、（，） B、（，]
C、[，） D、[，]
二、填空题（共5小题）
21、设，是与同向的单位向量，则的坐标是 _________ ．
22、已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥（α﹣2β），则|2a+β|的值是 _________ ．
23、在?ABCD中，=a，=b，=3，M为BC的中点，则= _________ （用a，b表示）．
24、已知点A（1，﹣2），若向量与a=（2，3）同向，||=2，则点B的坐标为 _________ ．
25、已知点A（﹣1，﹣5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为 _________ ．
三、解答题（共5小题）21世纪教育网
26、已知A、B、C是直线l上的三点，O是直线l外一点，向量满足=[f（x）+2f′（1）]﹣ln（x+1）．21cnjy
（1）求函数y=f（x）的表达式；21世纪教育网版权所有
（2）若x＞0，证明：f（x）＞；21*cnjy*com
（3）若不等式x2≤f（x2）+m2﹣2m﹣3对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
27、设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为．
（1）求点M的纵坐标；
（2）若，其中n∈N*且n≥2，
①求Sn；
②已知，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
28、已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2）．
（1）若，求tanθ的值；
（2）若|a|=|b|，0＜θ＜π，求θ的值．
29、设i、j分别是平面直角坐示系Ox，Oy正方向上的单位向量，且=﹣2i+mj，=ni+j，=5i﹣j，若点A、B、C在同一条直线上，且m=2n，求实数m、n的值．
30、已知向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，），x∈R，记f（x）=?．若y=f（x）的图象经过点（，2 ）．
（1）求实数a的值；
（2）设x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值；
（3）将y=f（x）的图象向右平移，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知向量，，若与共线，则m的值为（ ）
A、 B、2
C、 D、﹣221cnjy
考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算。21世纪教育网
分析：先由向量的坐标运算表示出与，再根据向量共线定理的坐标表示可得答案．
解答：解：由题意可知=m（2，3）+4（﹣1，2）=（2m﹣4，3m+8）
=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）21世纪教育网版权所有
∵与共线
∴（2m﹣4）×（﹣1）=（3m+8）×421*cnjy*com
∴m=﹣2
故选D．21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查向量的坐标运算和共线定理．属基础题．
2、若向量=（1，1），=（﹣1，1），=（4，2），则=（ ）
A、3a+b B、3a﹣b
C、﹣a+3b D、a+3b
3、已知平面向量a=（x，1），b=（﹣x，x2），则向量a+b（ ）
A、平行于x轴 B、平行于第一、三象限的角平分线
C、平行于y轴 D、平行于第二、四象限的角平分线
考点：平面向量的坐标运算。
分析：先做出两个向量的和，横标和纵标都用含x的代数式表示，结果和的横标为零，得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点，比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．
解答：解：a+b=（0，1+x2），1+x2≠0，
故a+b平行于y轴．
故选C
点评：本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．
4、设平面向量，则=（ ）
A、（7，3） B、（7，7）
C、（1，7） D、（1，3）21世纪教育网版权所有
考点：平面向量的坐标运算。21世纪教育网
分析：根据向量的坐标运算法则即可解题．
解答：解：∵∴
故选A．21*cnjy*com
点评：此题重点考查向量加减、数乘的坐标运算；应用向量的坐标运算公式是解题的关键；
5、设=（1，﹣2），=（﹣3，4），=（3，2）则=（ ）
A、（﹣15，12） B、0
C、﹣3 D、﹣1121cnjy
6、若=（2，4），=（1，3），则=（ ）
A、（1，1） B、（﹣1，﹣1）
C、（3，7） D、（﹣3，﹣7）21世纪教育网版权所有
考点：平面向量的坐标运算。
分析：根据即可得到答案．
解答：解：．
故选B．
点评：本题主要考查平面向量的坐标运算．属基础题．
7、已知向量，且，则向量等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量的坐标运算。
专题：计算题。
分析：根据向量平行垂直的坐标公式X1Y2﹣X2Y1=0和X1X2+Y1Y2=0运算即可．
解答：解：设C（x，y），
∵，
，
联立解得
故选D．
点评：本题考查两个向量的位置关系①平行②垂直，此种题型是高考考查的方向．
8、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则=（ ）
A、（﹣2，﹣4） B、（﹣3，﹣5）21世纪教育网
C、（3，5） D、（2，4）21cnjy
考点：平面向量的坐标运算。21世纪教育网版权所有
分析：根据平行四边形法则，可以求出，再根据平行四边形法则可以求出结果，在运算过程中要先看清各向量的关系，理清思路以后再用坐标表示出结果．
解答：解：∵，故选B．
点评：由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
9、设向量a=（1，﹣3），b=（﹣2，4），若表示向量4a、3b﹣2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（ ）
A、（1，﹣1） B、（﹣1，1）21世纪教育网版权所有
C、（﹣4，6） D、（4，﹣6）
考点：平面向量的坐标运算。21*cnjy*com
分析：向量4a、3b﹣2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形则一定有4a+（3b﹣2a）+c=0，将向量a，b代入即可求出向量c．
10、己知向量=（2，1），=（﹣3，4），则﹣=（ ）
A、（5，﹣3） B、（1，﹣3）
C、（5，3） D、（﹣5，3）
考点：平面向量的坐标运算。
专题：计算题。
分析：利用向量的差的坐标等于第一个向量的坐标减去第二个向量的坐标，计算可得答案．
解答：解：
故选A
点评：本题考查向量的坐标形式的运算法则．
11、已知向量，且a∥b，则锐角θ等于（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、75°
考点：平面向量的坐标运算。
分析：根据向量平行的坐标表示出两者的关系，再由θ为锐角最终确定范围．
解答：解：∵a∥b
∴
∴cosθ=
又因为θ为锐角∴θ=45°2121*cnjy*com世纪教育网
故选B．21cnjy
点评：本题主要考查平行向量的坐标表示．属基础题．
12、△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2）．若∥，则∠C角的大小为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
点评：本题主要考查平面向量的坐标运算和平行向量的坐标表示．属基础题．这里要熟练掌握如何用坐标表示平行向量．
13、（中坐标运算）已知a=（﹣3，1），b=（1，﹣2），（﹣2a+b）∥（a+kb），则实数k的值是（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、﹣17
考点：平面向量的坐标运算。
分析：先表示出向量﹣2a+b和向量a+kb，根据共线定理的坐标表示即可解题．
解答：解：∵（﹣2a+b）=（7，﹣4），（a+kb）=（﹣3+k，1﹣2k），
（﹣2a+b）∥（a+kb）得7×（1﹣2k）﹣（﹣3+k）×（﹣4）=0，
∴．
故选C．
点评：本题主要考查平面向量的坐标运算和共线定理，属基础题．
14、已知向量=（2，2），=，则向量的模的最大值是（ ）
A、3 B、
C、 D、18
考点：平面向量的坐标运算。
分析：先表示出向量，再对其进行求模运算，最后根据三角函数的最值确定答案．
解答：解：∵==（2+cosa，2+sina）21世纪教育网
==
∴21世纪教育网版权所有
故选B．21cnjy
点评：本题主要考查向量的坐标运算．向量的运算经常和三角函数联系起来，一般都是小综合题．
15、已知M（2，﹣4），N（3，﹣3），把向量向左平移1个单位后，在向下平移1个单位，所得向量的坐标为（ ）
A、（1，1） B、（0，0）21*cnjy*com
C、（﹣1，﹣1） D、（2，2）
16、若，点A的坐标为（﹣2，﹣1），则点B的坐标为（ ）
A、（5，5） B、（﹣5，﹣5）
C、（1，3） D、（﹣5，5）21世纪教育网版权所有
考点：平面向量的坐标运算。
分析：利用向量的坐标的求法：终点坐标减去始点坐标，列出方程组求出点的坐标．
解答：解：设B（x，y）则
∵
∴
解得
故选C
点评：本题考查向量的坐标的求法：终点坐标减去始点坐标．
17、已知向量a=（x，y），向量b∥a，|b|=|a|，且b≠a，则b的坐标为（ ）
A、（x，﹣y） B、（﹣x，﹣y）
C、（﹣y，﹣x） D、（﹣x，y）
考点：平面向量的坐标运算。
专题：计算题。
分析：设=λ=（λx，λy ），λ 为实数，且λ≠1，由=求得λ，进而得到的坐标．
解答：解：由题意知，可设=λ=（λx，λy ），λ 为实数，且λ≠1，21cnjy
由=得21世纪教育网
λ=﹣1，∴=（﹣x，﹣y），21*cnjy*com
故选B．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查两个向量共线的性质，向量的模的定义和求法．
18、设向量、，下列结论中，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量的坐标运算。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：利用向量共线的充要条件是：坐标交叉相乘相等；向量垂直的充要条件是：数量积为0判断出选项．
19、△ABC的顶点分别为A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC边上的高BD等于（ ）
A、5 B、
C、4 D、2
考点：平面向量的坐标运算。
专题：计算题。
分析：利用向量共线的充要条件及向量垂直的充要条件列出方程组，求出的坐标；利用向量模的坐标公式求出BD长．
解答：解：设=λ，又=（0，4，﹣3）．
则=（0，4λ，﹣3λ）．=（4，﹣5，0），=（﹣4，4λ+5，﹣3λ），
由?=0，
得λ=﹣，∴=（﹣4，，），21cnjy
∴||=5．21世纪教育网
故选A21*cnjy*com
点评：本题考查向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件、考查向量模的坐标公式．
20、已知向量=（sina，sina﹣1），=（sina+1，1）则|﹣|的范围是（ ）
A、（，） B、（，]
C、[，） D、[，]
考点：平面向量的坐标运算。21世纪教育网版权所有
分析：先求出﹣=（1，sina﹣2），再根据向量模的运算表示出|﹣|，再由﹣1≤sina≤1确定出最终范围．
二、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
21、设，是与同向的单位向量，则的坐标是 ．
考点：单位向量；平面向量的坐标运算。
专题：计算题。
分析：由已知中，我们求出向量的坐标，进而根据是与同向，设=λ（）（λ＞0），再由是单位向量，构造关于λ的方程，解方程即可求出λ值，进而得到的坐标．
解答：解：∵，
故=（3，﹣4）
又∵是与同向的单位向量
设=λ（）（λ＞0）
则=（3λ，﹣4λ）
且||=1
解得λ=
则=
故答案为：21cnjy21*cnjy*com
点评：本题考查的知识点是单位向量，平面向量的坐标运算，其中根据是与同向的单位向量，构造关于λ的方程，是解答本题的关键．21世纪教育网
22、已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥（α﹣2β），则|2a+β|的值是 ．
考点：平面向量的坐标运算。
分析：先由α⊥（α﹣2β）可知α?（α﹣2β）=0求出，再根据|2a+β|2=4α2+4α?β+β2可得答案．
解答：解：由题意可知α?（α﹣2β）=0，
结合|α|2=1，|β|2=4，解得，
所以|2a+β|2=4α2+4α?β+β2=8+2=10，
开方可知|2a+β|=21世纪教育网版权所有
故答案为．
点评：本题主要考查了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题．
23、在?ABCD中，=a，=b，=3，M为BC的中点，则= ﹣+ （用a，b表示）．
点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，是解题的一个中间过程，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决数学问题．21世纪教育网版权所有
24，已知点A（1，﹣2），若向量与a=（2，3）同向，||=2，则点B的坐标为 （5，4） ．
考点：平面向量的坐标运算。
分析：先假设A、B点的坐标，表示出向量，再由向量与a=（2，3）同向且||=2，可确定点B的坐标．
解答：解：设A点坐标为（xA，yA），B点坐标为（xB，yB）．
∵与a同向，∴可设=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）．
∴||==2，∴λ=2．
则=（xB﹣xA，yB﹣yA）=（4，6），
∴∵∴21cnjy
∴B点坐标为（5，4）．21世纪教育网
故答案为：（5，4）21*cnjy*com
点评：本题主要考查两向量间的共线问题．属基础题．
25、已知点A（﹣1，﹣5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为 （5，4） ．
考点：平面向量的坐标运算。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：由的坐标求出的坐标，再由点A的坐标和向量的坐标表示即：终点的坐标减去起点的坐标，求出终点B的坐标．
三、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
26、已知A、B、C是直线l上的三点，O是直线l外一点，向量满足=[f（x）+2f′（1）]﹣ln（x+1）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若x＞0，证明：f（x）＞；
（Ⅲ）若不等式x2≤f（x2）+m2﹣2m﹣3对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
考点：函数恒成立问题；平面向量的坐标运算。
专题：综合题。
分析：（Ⅰ）先利用从同一点出发终点在一条线上的三向量间的关系得到f（x）+2f'（1）﹣ln（x+1）=1，再求出y=f（x）的表达式，进而求出f'（1），找到f（x）=ln（x+1）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣，利用导函数找出g（x）在（0，+∞）上的单调性，可得结论．
（Ⅲ）h（x）=，转化为找h（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值，让找出的最大值小于等于m2﹣2m﹣3即可．
解答：解：（Ⅰ）∵=[f（x）+2f'（1）]﹣ln（x+1），且A、B、C在直线l上，
∴f（x）+2f'（1）﹣ln（x+1）=1，（2分）
∴y=f（x）=ln（x+1）+1﹣2f'（1），f'（x）=，于是f'（1）=，
∴f（x）=ln（x+1）（4分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣，由g'（x）=﹣=，
以及x＞0，知g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，又g（x）在x=0处右连续，
∴当x＞0时，得g（x）＞g（0）=0，∴f（x）＞（8分）221cnjy 1世纪教育网
（Ⅲ）原不等式等价于，21世纪教育网版权所有
令h（x）==，则h'（x）==，（10分）
∵x∈（﹣1，0）时，h'（x）＞0，x∈（0，1）时，h'（x）＜0，21*cnjy*com
∴h（x）在（﹣1，0）为增函数，在（0，1）上为减函数，（11分）
∴当x∈[﹣1，1]时，h（x）max=h（0）=0，从而依题意有0≤m2﹣2m﹣3，21世纪教育网版权所有
解得m≥3或m≤﹣1，故m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）（12分）
点评：本题是函数和向量的一道综合题，在解题过程中用到从同一点出发终点在一条线上的三向量间的关系，即系数和为1这一结论．而后两问都用到了利用导函数求原函数的单调性，这是一道中档难度的题．
27、设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为．
（1）求点M的纵坐标；
（2）若，其中n∈N*且n≥2，
①求Sn；
②已知，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
解答：解：（1）依题意由知M为线段AB的中点．
又∵M的横坐标为1，A（x1，y1），B（x2，y2）即
∴
即M点的纵坐标为定值．
（2）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1﹣x）=1，
又∵n≥2时21cnjy
∴21世纪教育网
两式想加得，2Sn=n﹣121*cnjy*com
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②当n≥2时，==4（）
又n=1时，a1=也适合．
∴an=4（﹣）
∴=
由恒成立
而（当且仅当n=2取等号）
∴，∴λ的最小正整数为1．
点评：本题考查了数列与函数、函数的图象、不等式等综合内容，函数图象成中心对称的有关知识，考查相关方法，考查了数列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂项相消法求数列前n项的和，利用函数与方程的思想，转化与化归思想解答热点问题﹣﹣有关恒成立问题．
28、已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2）．
（1）若，求tanθ的值；
（2）若|a|=|b|，0＜θ＜π，求θ的值．
（2）由|a|=|b|
∴sin2θ+（cosθ﹣2sinθ）2=5
即1﹣2sin2θ+4sin2θ=5化简得sin2θ+cos2θ=﹣1
故有sin（2θ+）=﹣
又∵θ∈（0，π）∴2θ+∈（，π）
∴2θ+=π或2θ==π
∴θ=或θ=π21*cnjy*com
点评：本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考．21cnjy
29、设i、j分别是平面直角坐示系Ox，Oy正方向上的单位向量，且=﹣2i+mj，=ni+j，=5i﹣j，若点A、B、C在同一条直线上，且m=2n，求实数m、n的值．21世纪教育网
考点：平面向量的坐标运算。
分析：由A、B、C共线，可找出共线向量，然后由共线向量的性质可解题．
解答：解：=（n+2）i+（1﹣m）j，=（5﹣n）i+（﹣2）j．
∵点A、B、C在同一条直线上，∴∥，21世纪教育网版权所有
即=λ，
∴（n+2）i+（1﹣m）j=λ[（5﹣n）i+（﹣2）j]，
点评：本题主要考查向量的坐标运算和向量的共线问题．在向量中，共线和平行是相同的．
30、已知向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，），x∈R，记f（x）=?．若y=f（x）的图象经过点（，2 ）．
（1）求实数a的值；
（2）设x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值；
（3）将y=f（x）的图象向右平移，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．
考点：平面向量的坐标运算。
分析：（1）表示出函数f（x）后将点代入即可求出a的值．
（2）将a的值代入函数f（x），由x的取值区间可求出最值．
（3）先将函数f（x）平移变换得到函数g（x），再求其单调区间．
（3）∵将y=f（x）的图象向右平移可得 y=2sin（2x+）+1
将y=f（x）的图象横坐标伸长到原来的4倍可得：y=2sin（x+）+1
令可求出
故函数g（x）的单调递减区间为：21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查三角函数的最值和单调区间．求三角函数的单调区间和最值时要注意整体思想．21世纪教育网21cnjy21cnjy21cnjy
