平面向量共线
一、解答题（共6小题）21世纪教育网版权所有
1、（提示：1、12、13、14班同学请完成试题（B），其他班级同学任选试题（A）或（B）作答）
（A） 已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10）及，试问：21世纪教育网
（1）t为何值时，P在第三象限？21世纪教育网版权所有
（2）是否存在D点使得四边形ABCD为平行四边形，若存在，求出D点坐标．
（B） 已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点E，，连接BN交AC于M，
（1）若，求实数λ．21cnjy
（2）若B（0，0），C（1，0），D（2，1），求M的坐标．21*cnjy*com
2、已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．
3、已知A（4，1），B（1，﹣），C（x，﹣），若A、B、C共线，求x．
4、已知向量，，其中ω为常数，且ω＞0．
（1）若ω=1，且∥，求tanx的值；
（2）设函数，若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在时的值域．
5、已知三点A（1，﹣1），B（4，2m），C（2m，0）共线，求m的值．
6、已知向量，且A、B、C三点共线，求k的值．
二、填空题（共7小题）
7、已知向量=（1，﹣3），=（2，﹣1），=（m+1，m﹣2），若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是 _________ ．
8、若点O（0，0），A（1，2），B（﹣1，3），且=2，=3，则点A′的坐标为 _________ ，点B′的坐标为 _________ ，向量的坐标为 _________ ．
9、已知向量，若向量b与a反向，且|b|=2，则向量的坐标是 _________ ．
10、设向量，若向量与向量共线，则λ= _________ ．
11、已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k= _________ ．
12、已知向量a=（2，﹣1），b=（﹣1，m），c=（﹣1，2），若（a+b）∥c，则m= _________
13、若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则的值等于 _________
三、选择题（共17小题）
14、设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（ ）21cnjy
A、[﹣6，1] B、[4，8] 21世纪教育网
C、（﹣∞，1] D、[﹣1，6] 21世纪教育网版权所有
15、已知向量与向量平行，则x，y的值分别是（ ）
A、6和10 B、﹣6和1021*cnjy*com
C、﹣6和﹣10 D、6和﹣10
16、已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ为实数，（（a+λb）∥c），则λ=（ ）
A、 B、
C、1 D、2
17、已知向量a=（1，1），b=（2，x），若a+b与4b﹣2a平行，则实数x的值是（ ）
A、﹣2 B、0
C、1 D、2
18、已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（ ）
A、k=1且c与d同向
B、k=1且c与d反向
C、k=﹣1且c与d同向
D、k=﹣1且c与d反向
19、已知等式，其中，使这个等式成立的实数x（ ）
A、仅有一个 B、至少有一个
C、恰有两个 D、不存在
20、下列向量中与向量平行的是（ ）
A、（﹣4，6） B、（4，6）
C、（﹣3，2） D、（3，2）
21、已知平面向量等于（ ）
A、9 B、1
C、﹣1 D、﹣9
22、已知a=（2，3），b=（x，﹣6），若a∥b，则x等于（ ）
A、9 B、4
C、﹣4 D、﹣9
23、如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设=a+β（α，β∈R），则α+β的取值范围是（ ）
A、（0，] B、[，]
C、（1，） D、（1，）
24、已知向量=（﹣3，2），=（x，4），若∥，则x=（ ）
A、﹣6 B、521cnjy
C、4 D、721世纪教育网
25、若，则m=（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、2 D、﹣221世纪教育网版权所有
26、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（1，﹣5），则第四个点的坐标为（ ）
A、（1，5）或（5，﹣5）
B、（1，5）或（﹣3，﹣5）
C、（5，﹣5）或（﹣3，﹣5）
D、（1，5）或（﹣3，﹣5）或（5，﹣5）
27、向量=（1，2），=（x，1），，，若，则实数x的值等于（ ）
A、 B、
C、 D、
28、已知=（﹣2，5），，反向，则等于（ ）
A、（﹣1，） B、（1，﹣）
C、（﹣4，10） D、（4，﹣10）
29、设A，B，C，D四点的坐标依次为（﹣1，0），（0，2），（4，3），（3，1），则四边形ABCD是（ ）
A、正方形 B、矩形
C、菱形 D、平行四边形
30、已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且∥，则tanα等于（ ）
A、﹣ B、
C、 D、﹣
答案与评分标准
一、解答题（共6小题）
1、（提示：1、12、13、14班同学请完成试题（B），其他班级同学任选试题（A）或（B）作答）
（A） 已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10）及，试问：
（1）t为何值时，P在第三象限？21世纪教育网
（2）是否存在D点使得四边形ABCD为平行四边形，若存在，求出D点坐标．
（B） 已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点E，，连接BN交AC于M，
（1）若，求实数λ．21*cnjy*com 21世纪教育网版权所有
（2）若B（0，0），C（1，0），D（2，1），求M的坐标．21cnjy
考点：平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：综合题；转化思想；数形结合法。
分析：（A）（1）解出P的坐标，令其横纵坐标小于0，即可解出参数t的取值范围．
（2）设出D的坐标，利用向量的相等建立方程求出其坐标，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．
（B）（1）选定基向量，利用三角形法则将两个向量用基向量表示出来即可得出参数的值；
（2）由向量的坐标运算规则直接求出M的坐标．
解答：解：（A）（1）∵A（2，3），B（5，4），C（7，10）及，
∴=（3，1）+t（5，7）=（3+5t，1+7t）
∴P（5+5t，4+7t）
又P在第三象限，故有解得t＜﹣1
（2）存在D（x，y）使得四边形ABCD为平行四边形，因为
∵四边形ABCD为平行四边形，令AC，与BD的交点为E，则E是对角线的中点，可求得E（，），
∴故D（4，9）
（B）（1）如图，以，为基向量，则=（+） ①
=+=+α=+α（﹣）=+α（﹣）=α+（1﹣α）
又=β=β（+）
故有解得α=β=，即==（+） ②
由①②知，M是A，E的中点故λ=，
（2）∵B（0，0），C（1，0），D（2，1），
∴=（﹣1，0），=（1，1）21*cnjy*com
∴=（0，1），21世纪教育网
由上，=，即，=﹣=（0，﹣）21cnjy
点评：本题考查向量的坐标运算，求解本题的关键是掌握住向量的加减法则，本题是一个向量综合题，综合考查了向量的三角形法则，向量的坐标运算，运算量较大，易因马虎导致出错，做题时要严谨．
2、已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；21世纪教育网版权所有
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。21世纪教育网版权所有
分析：（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．
（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．
点评：向量是数学中重要和基本的概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数的对象，向量可以运算，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度等几何度量问题．
3、已知A（4，1），B（1，﹣），C（x，﹣），若A、B、C共线，求x．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：利用两个向量共线的充要条件是 x1y2﹣x2y1=0，解方程求出x 的值．
解答：解：∵=（﹣3，﹣），=（x﹣1，﹣1），又∵∥，21*cnjy*com
∴根据两个向量共线的充要条件得﹣（x﹣1）=3，解得 x=﹣1．21世纪教育网
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的充要条件是 x1y2﹣x2y1=0．
4、已知向量，，其中ω为常数，且ω＞0．
（1）若ω=1，且∥，求tanx的值；21cnjy 21世纪教育网版权所有
（2）设函数，若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在时的值域．
解答：解：（1）若ω=1，则，，
由∥的充要条件知，存在非零实数λ，使得，即，
所以，，，
∴，k∈Z，，k∈Z，．
（2）=，
因为f（x）的最小正周期为π，所以，ω=1，
所以，（10分）
当时，，
所以函数f（x）的值域为．
点评：本题考查两个向量共线的性质，函数周期性的应用及诱导公式的应用，已知三角函数的值求角的大小即利用函数的单调性求函数的值域．
5、已知三点A（1，﹣1），B（4，2m），C（2m，0）共线，求m的值．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：将三点共线转化为以三点确定的两条直线重合，其斜率相同，利用两点的斜率公式列出方程求出m
解答：解：∵A、B、C三点共线21cnjy21*cnjy*com
∴直线AC、BC的斜率相等
∴21世纪教育网
解之得：m=±1．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查两点连线的斜率公式、考查三点共线转化为三点确定的直线斜率相同．
6、已知向量，且A、B、C三点共线，求k的值．
二、填空题（共7小题）
7、已知向量=（1，﹣3），=（2，﹣1），=（m+1，m﹣2），若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是 m≠1 ．
考点：平行向量与共线向量；平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：若点A、B、C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，我们求出A，B，C三点共线时m的取值范围，其补集即为A、B、C能构成三角形时，实数m应满足的条件．
解答：解：若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线．
∵=﹣=（2，﹣1）﹣（1，﹣3）=（1，2），
=﹣=（m+1，m﹣2）﹣（1，﹣3）=（m，m+1）．
假设A、B、C三点共线，
则1×（m+1）﹣2m=0，即m=1．
∴若A、B、C三点能构成三角形，则m≠1．
故答案：m≠1
点评：本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，平行向量与共线向量，如果从正面进行解答，需要复杂的分类讨论，故根据正难则反的原则，先确定A，B，C三点共线时m的取值范围，进而得到答案是解答本题的关键．
8、若点O（0，0），A（1，2），B（﹣1，3），且=2，=3，则点A′的坐标为 （2，4） ，点B′的坐标为 （﹣3，9） ，向量的坐标为 （﹣5，5） ．
考点：相等向量与相反向量；平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：向量法。
分析：利用向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标求出，求出点的坐标．
解答：解：∵O（0，0），A（1，2），B（﹣1，3），21世纪教育网
∴=（1，2），=（﹣1，3），21世纪教育网版权所有
=2×（1，2）=（2，4），=3×（﹣1，3）=（﹣3，9）．
∴A′（2，4），B′（﹣3，9），=（﹣3﹣2，9﹣4）=（﹣5，5）．
故答案为：（2，4） （﹣3，9） （﹣5，5）21cnjy
点评：本题考查向量的坐标计算方法是：终点的坐标减去始点的坐标．21*cnjy*com
9、已知向量，若向量b与a反向，且|b|=2，则向量的坐标是 ．
点评：从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到2009年几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量这部分知识仍是继续命题的热点．
10、设向量，若向量与向量共线，则λ= ﹣1 ．
考点：向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：先求出向量的坐标，然后根据向量共线的坐标形式的充要条件：?x1y2﹣x2y1=0建立等式，解之即可．
解答：解：=（2+λ，3+2λ）
∵若向量与向量共线，
∴﹣3×（2+λ）﹣3×（3+2λ）=0
解得：λ=﹣1
故答案为：﹣1
点评：本题考查向量共线的坐标形式的充要条件：?x1y2﹣x2y1=0
11、已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k= 1 ．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．
解答：解：21世纪教育网版权所有
∵21cnjy
∴
解得k=121*cnjy*com
故答案为1
点评：本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．
12、已知向量a=（2，﹣1），b=（﹣1，m），c=（﹣1，2），若（a+b）∥c，则m= ﹣1
13、若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共线，则的值等于
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算。
分析：三点共线得两向量共线，用两向量共线的坐标公式列方程求解．
解答：解：，，
依题意知，
有（a﹣2）?（b﹣2）﹣4=0
即ab﹣2a﹣2b=0
所以=
故答案为
点评：考查两向量共线的充要条件．
三、选择题（共17小题）
14、设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（ ）
A、[﹣6，1] B、[4，8]
C、（﹣∞，1] D、[﹣1，6]
考点：相等向量与相反向量；平面向量共线（平行）的坐标表示。
分析：利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．
解答：解：由，，，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得（sin2α﹣1）2+（16t2+18t+2）=0可得﹣（16t2+18t+2）∈[0，4]解不等式得因而解得﹣6≤k≤1．
故选A．21世纪教育网版权所有
点评：本题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，体现了化归的思想方法．21世纪教育网
15、已知向量与向量平行，则x，y的值分别是（ ）
A、6和10 B、﹣6和1021cnjy
C、﹣6和﹣10 D、6和﹣1021*cnjy*com
点评：本题主要考查了向量平行的向量形式的充要条件（），是解题的关键，属于中档题．
16、已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ为实数，（（a+λb）∥c），则λ=（ ）
A、 B、
C、1 D、2
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．
解答：解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．
∴=（1+λ，2）
∵（+λ）∥，
∴4（1+λ）﹣6=0，
∴
故选B．
点评：本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题．
17、已知向量a=（1，1），b=（2，x），若a+b与4b﹣2a平行，则实数x的值是（ ）
A、﹣2 B、0
C、1 D、2
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
分析：写出要用的两个向量的坐标，由a+b与4b﹣2a平行，根据向量共线的坐标形式的充要条件可得关于X的方程，解方程可得结果．
解答：解：∵a=（1，1），b=（2，x），
∴a+b=（3，x+1），4b﹣2a=（6，4x﹣2），21世纪教育网
由于a+b与4b﹣2a平行，21*cnjy*com
得6（x+1）﹣3（4x﹣2）=0，21世纪教育网版权所有
解得x=2．21cnjy
故选D
点评：本题也可以这样解：因为a+b与4b﹣2a平行，则存在常数λ，使a+b=λ（4b﹣2a），即（2λ+1）a=（4λ﹣1）b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x=2．
18、已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（ ）
A、k=1且c与d同向 B、k=1且c与d反向
C、k=﹣1且c与d同向 D、k=﹣1且c与d反向
点评：本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．
19、已知等式，其中，使这个等式成立的实数x（ ）
A、仅有一个 B、至少有一个
C、恰有两个 D、不存在
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
分析：利用向量的数量积公式及向量模的坐标公式，求出判别式；判断出判别式的符号；判断出二次方程根的个数．
解答：解：对于
∵=
故方程无解．
故选D．
点评：二次方程的根的个数取决于判别式的符号、向量数量积的坐标公式为：对应坐标的乘积的和．
20、下列向量中与向量平行的是（ ）
A、（﹣4，6） B、（4，6）21世纪教育网版权所有
C、（﹣3，2） D、（3，2）21世纪教育网
点评：本题考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．
21、已知平面向量等于（ ）
A、9 B、121cnjy
C、﹣1 D、﹣921*cnjy*com
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：利用两个向量共线时，它们的坐标间的关系，建立等式，解方程求得 x值．
解答：解：∵，∴=λ，
∴（3，1）=（xλ，﹣3λ ），
∴xλ=3，﹣3λ=1，
∴x=﹣9，
故选 D．
点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量、共线时，=λ．
22、已知a=（2，3），b=（x，﹣6），若a∥b，则x等于（ ）
A、9 B、4
C、﹣4 D、﹣9
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：利用两个向量平行的性质：x1y2﹣x2y1=0，解出x的值即可．
解答：解：∵=（2，3），=（x，﹣6），且∥，
∴2×（﹣6）﹣3x=0，
∴x=﹣4．
故选C．
点评：本题考查两个向量平行的性质，以及两个向量平面向量共线（平行）的坐标表示．
23、如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设=a+β（α，β∈R），则α+β的取值范围是（ ）
A、（0，] B、[，]
C、（1，） D、（1，）21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。21cnjy
专题：计算题。21世纪教育网
分析：建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标用α，β表示，代入圆内方程求出范围．
点评：通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式．
24、已知向量=（﹣3，2），=（x，4），若∥，则x=（ ）
A、﹣6 B、5
C、4 D、7
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
分析：利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等，列出方程求出x．
解答：解：∵
∴﹣3×4=2x
解得x=﹣6
故选A
点评：本题考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．
25、若，则m=（ ）
A、 B、
C、2 D、﹣2
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：先写出要用的两个向量的坐标，由2+与﹣m平行，根据向量共线的坐标形式的充要条件可得关于m的方程，解方程可得结果．21世纪教育网
解答：解：∵=（1，2），=（﹣3，0），
∴2+=（﹣1，4），﹣m=（1+3m，2），21cnjy
由于2+与﹣m平行，21世纪教育网版权所有
得﹣1×2﹣4（1+3m）=0，
解得m=﹣．
故选A．21*cnjy*com
点评：本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题．向量共线的充要条件是坐标交叉相乘相等．
26、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（1，﹣5），则第四个点的坐标为（ ）
A、（1，5）或（5，﹣5） B、（1，5）或（﹣3，﹣5）
C、（5，﹣5）或（﹣3，﹣5） D、（1，5）或（﹣3，﹣5）或（5，﹣5）
点评：本题考查平行四边形的对角线相交且平分、考查中点坐标公式．
27、向量=（1，2），=（x，1），，，若，则实数x的值等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：先根据向量的坐标求向量的坐标，再根据，用向量平行的充要条件计算即可．
解答：解：∵=（1，2），=（x，1），，
∴=（2+x，5），=（2﹣x，3）
∵，∴3（2+x）﹣5（2﹣x）=021世纪教育网
∴x=21cnjy
故选A21世纪教育网版权所有
点评：本题考查了向量平行的充要条件的应用，做题时要与向量垂直的充要条件区分开．
28、已知=（﹣2，5），，反向，则等于（ ）
A、（﹣1，） B、（1，﹣）21*cnjy*com
C、（﹣4，10） D、（4，﹣10）
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
点评：本题考查向量共线的充要条件、向量的坐标运算法则．
29、设A，B，C，D四点的坐标依次为（﹣1，0），（0，2），（4，3），（3，1），则四边形ABCD是（ ）
A、正方形 B、矩形
C、菱形 D、平行四边形
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：利用向量的坐标公式求出三个边对应的向量，利用向量共线的充要条件及向量垂直的充要条件判断出四边形的形状．
解答：解：∵，，
∴，
四边形为平行四边形，
∵，
，
∴不垂直，
所以四边形不是矩形，
故选D．
点评：本题考查向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件．
30、已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且∥，则tanα等于（ ）
A、﹣ B、
C、 D、﹣
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系。21世纪教21cnjy育网
专题：计算题。21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
