【核心素养目标】24.2.2垂径定理 教学设计

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沪科版九年级下册数学 24.2.2垂径定理教学设计
课题 24.2.2垂径定理 单元 第24单元 学科 数学 年级 九
教材分析 本节课在前面学习了圆的弦、弧、弓形、直径等基本概念的基础上，进一步学习垂直的直径平分弦的性质，并且学习垂径定理的推论。
核心素养分析 本节重点研究了垂直于弦的直径，平分弦的直径、平分弦所对的两条弧之间的关系，在证明垂径定理及其推论的过程中，培养了学生几何直观的观念，也提高了学生的计算能力。
学习目标 1.证明和理解垂径定理及其两个推论。2.运用垂径定理及其推论，解决圆与三角形、四边形的综合实际问题。
重点 1.证明和理解垂径定理及其两个推论
难点 2.运用垂径定理及其推论，解决圆与三角形、四边形综合知识解答问题
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 点P与圆心O的距离为d，半径为r，点与圆的位置关系如何用d和r的关系判断呢？(1）点P在⊙O上 OP=r；(2）点P在⊙O内 OPr。 回顾知识，温故知新，复习上节点与圆的位置关系。 学生复习上节内容，引入本节内容。
讲授新课 判断下列图形哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形圆是否具有对称性呢 根据它的对称性又能推出圆的哪些性质呢 探究1、在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，如图24-18，你发现了什么 圆是轴对称图形,对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线。2.在折叠⊙O后,用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，如图24-18.图24-18把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A,B是关于直线CD的一对对应点.连接AB，得弦AB，如图24-19，这时直径 CD与弦AB有怎样的位置关系 直径 CD⊥AB，垂足为点E3．直径CD把劣弧分成与两部分,把优弧分成与两部分,这时与 、 与各有怎样的关系 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.已知:如图24-20,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,并且CD⊥AB,垂足为E.求证: AE= EB, 证明:连接OA,OB,则OA =OB,△OAB为等腰三角形,所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,AE与BE重合,点A与点B重合， 与 重合，与 重合. 因此，AE= EB, =,=。定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理及其的推论：（1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。判断下列命题是否正确：1、平分一条直径的弦必垂直于这条直径( × )2、平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦( × )3、弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心( × )4、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心( √ )解1、两条直径互相平分，但不一定垂直，错误；2、平分一条弧的直线不一定垂直于这条弧所对的弦，错误；3、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，错误；4、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，正确。例2、如图24-21,⊙O的半径为5cm,弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离。解：连接OA,过圆心O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=EB=AB =×6= 3(cm).又∵OA =5 cm,在Rt△OEA中，有=4(cm).答．圆心O到弦AB的距离是4cm.例3 赵州桥(图24-22)建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆孤形,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4 m,拱高（弧的中点到弦的距离)为7.2 m, 求赵州桥桥拱所在圆的半径（精确到0.1m）解：如图24-23，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交 于点C,交AB于点D，则CD=7.2 m.由垂径定理,得AD=AB =×37.4 =18.7( m ).设⊙O的半径为Rm,在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.2，AD = 18.7.由勾股定理,得AO2= OD2+AD2.∴R2=(R-7.2)2+18.72.解方程,得 R≈27.9.答:赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9m. 根据老师的提问，回顾所学知识并思考.动手操作，折纸、观察、归纳，认识圆的对称性学生独立思考。学生独立思考，动手操作，折叠圆，理解圆的对称性，理解垂径定理。 学生独立思考、小组合作，理解圆的垂径定理及其推论。学生思考。学生观察、思考并回答. 回顾轴对称图形和中心对称图形，为本节课的学习作铺垫.让学生通过动手实践来感受圆的轴对称性.引导学生来证明圆是轴对称图.让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧，尝试总结出垂径定理.理解和运用垂径定理的条件和结论。加深知识的理解。通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，发展应用意识，锻炼实践能力.
课堂练习 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则OE=( )A. 8cm B. 5cm C. 3cm D. 2cm解：∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×8=4，在Rt△OCE中，OE==3(cm)．故选：C．2.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮主视图的直径为88米，最高点A距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为_____分钟。解:摩天轮转动的角速度为：360°÷18分=20°/分，由题意得：AD⊥PE，AD=88米，AC=100米，CE=PQ=34米，则OP=OD=44(米)，DC=AC-AD=12(米)，∴ED=EC-DC=34-12=22(米)，∴OE=OD-ED=22(米)，∴OE= OP，∵∠OEP=90°，∴∠OPE=30°，∴∠POE=90°-30°=60°，∴∠AOP=180°-∠BOC=120°，∴最佳观赏位置的圆心角为2×120°=240°，∴在运行的一圈里最佳观赏时长为： 240°÷20°/分=12(分钟)，故答案为：12．3.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)解：连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=3(米)，在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴ ，即 (米)OD=AD tan41.3°≈3×0.88=2.64(米)，则CD=CO+OD=4+2.64=6.64(米)．∴点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. 学生做练习，互相补充， 教师进行补充，做最后总结，学生共同完成本节课练习。 练习是为了巩固学生对知识的掌握，理解和运用垂径定理解决实际问题。
课堂小结 垂径定理及其的推论：（1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论 学生先发言总结，在教师的引导下总结归纳本节内容，理解垂径定理。 让学生自己对本节课知识进行整合归纳，培养学生养成及时总结的习惯，形成自己的知识体系。
板书 课题：24.2.2 垂径定理1.垂径定理及其推论2.例2 例3
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