人教A版（2019）选择性必修三6.3.1二项式定理 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修三6.3.1二项式定理 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 260.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-05 14:51:14 | ||
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文档简介
一、单选题
1．二项式的展开式中含项的系数是（ ）．
A．6 B． C． D．12
2．若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．的展开式的第3项是（ ）
A． B． C． D．
4．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
5．已知，则
A． B．0 C．14 D．
二、多选题
6．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（ ）．
A．除以90的余数是16 B．能被90整除
C．除以100的余数是81 D．除以100的余数是
8．已知，设，其中则（ ）
A． B．
C．若，则 D．
三、填空题
9．已知（为整数）的展开式中项的系数为20，则的展开式中的常数项为_________．
10．干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则年以后是__________年.
四、解答题
11．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）猜想的值，并证明你的结果．
12．当是大于的正整数且时，求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】因为二项式的展开式通项为，
令，则，
所以二项式的展开式中含项的系数为，
故选：.
2．C
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数分别为，求出展开式含项的系数和含项的系数，列出方程求出．
【详解】解：展开式的通项为
令得
故含的系数为
令得
故含项的系数为
将，6，8，10代入检验得
故选：C．
3．B
【分析】根据二项式定理展开式求解即可.
【详解】由二项式定理展开式的通项公式得：.
故选：B
4．A
【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
据此可得：的系数为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.
5．B
【解析】由题可知，将转化为，再根据二项式展开式的性质，即可求出和，便可得出.
【详解】解：由题知，，
且，
则，
，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查二项式定理的应用以及二项展开式的性质，考查计算能力.
6．ACD
【分析】对于A选项，利用组合数连乘式计算即可；对于B、C选项，利用组合数的性质计算；对于D选项，利用二项式定理即可求解所给式子.
【详解】对于A选项，，，所以，则A选项正确；
对于B选项，
，则B选项错误；
对于C选项，，则C选项正确；
对于D选项，，则D选项正确,
故选：ACD.
7．ABC
【分析】结合题意转化为恰当的二项式，利用二项式定理展开，分析公因式及余数即可得解.
【详解】
，
∵为整数，
∴能被90整除，故B正确．
同理
，
∵为整数，
∴除以90的余数为16，故A正确．
，
∵为整数，，
∴除以100的余数为81．故C正确，D错误．
故选：ABC
8．AC
【分析】根据二项式定理判断A，利用组合数公式结合二项式定理判断B，设是中最大项，列不等式组，求解后判断C，举反例判断D．
【详解】A． ，A正确；
B．，
所以
（除非），B错；
C．设是中最大项，
，即，
注意到，，又，
不等式组可解为，所以，所以，C正确；
D．例如时，，，
，D错误．
故选：AC．
【点睛】方法点睛：本题考查二项式定理，掌握二项式定理是解题关键．处理方法：（1）组合数的变形公式，（2）求二项展开式中最大项（或最小项）的方法，设第项是，可设第项最大，则有，解此不等式可得．
9．240
【分析】根据二项式定理和多项式的乘法得到，利用展开式的通项公式即可求得其展开式中的常数项.
【详解】，
则其展开式中项的系数为，
整理得：，解得：或，
又因为为整数，所以，
设展开式的通项为，
令，得.
所以的展开式中的常数项为，
故答案为：.
10．癸卯
【分析】根据二项式定理分别将展开为和，求出分别在以12为周期和10为周期时的位置，即可求出天干地支的位置.
【详解】因为，所以年以后地支为“寅”后面的“卯”.
因为，，除以10余数为1，所以年以后天干为“壬”后面的“癸”，故年以后是癸卯年.
故答案为：癸卯
11．（1）4；（2）8；（3），证明见解析.
【分析】对（1）（2）直接求解；猜想出，利用二项式定理，进行赋值即可证明.
【详解】（1）；
（2）；
（3）猜想：.下面进行证明：
由二项式定理得：
令得：，
即.
12．证明见解析.
【分析】利用二项式定理可得展开式，由可得结论.
【详解】由二项式定理可知：，
，，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．二项式的展开式中含项的系数是（ ）．
A．6 B． C． D．12
2．若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．的展开式的第3项是（ ）
A． B． C． D．
4．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
5．已知，则
A． B．0 C．14 D．
二、多选题
6．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（ ）．
A．除以90的余数是16 B．能被90整除
C．除以100的余数是81 D．除以100的余数是
8．已知，设，其中则（ ）
A． B．
C．若，则 D．
三、填空题
9．已知（为整数）的展开式中项的系数为20，则的展开式中的常数项为_________．
10．干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则年以后是__________年.
四、解答题
11．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）猜想的值，并证明你的结果．
12．当是大于的正整数且时，求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】因为二项式的展开式通项为，
令，则，
所以二项式的展开式中含项的系数为，
故选：.
2．C
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数分别为，求出展开式含项的系数和含项的系数，列出方程求出．
【详解】解：展开式的通项为
令得
故含的系数为
令得
故含项的系数为
将，6，8，10代入检验得
故选：C．
3．B
【分析】根据二项式定理展开式求解即可.
【详解】由二项式定理展开式的通项公式得：.
故选：B
4．A
【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
据此可得：的系数为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.
5．B
【解析】由题可知，将转化为，再根据二项式展开式的性质，即可求出和，便可得出.
【详解】解：由题知，，
且，
则，
，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查二项式定理的应用以及二项展开式的性质，考查计算能力.
6．ACD
【分析】对于A选项，利用组合数连乘式计算即可；对于B、C选项，利用组合数的性质计算；对于D选项，利用二项式定理即可求解所给式子.
【详解】对于A选项，，，所以，则A选项正确；
对于B选项，
，则B选项错误；
对于C选项，，则C选项正确；
对于D选项，，则D选项正确,
故选：ACD.
7．ABC
【分析】结合题意转化为恰当的二项式，利用二项式定理展开，分析公因式及余数即可得解.
【详解】
，
∵为整数，
∴能被90整除，故B正确．
同理
，
∵为整数，
∴除以90的余数为16，故A正确．
，
∵为整数，，
∴除以100的余数为81．故C正确，D错误．
故选：ABC
8．AC
【分析】根据二项式定理判断A，利用组合数公式结合二项式定理判断B，设是中最大项，列不等式组，求解后判断C，举反例判断D．
【详解】A． ，A正确；
B．，
所以
（除非），B错；
C．设是中最大项，
，即，
注意到，，又，
不等式组可解为，所以，所以，C正确；
D．例如时，，，
，D错误．
故选：AC．
【点睛】方法点睛：本题考查二项式定理，掌握二项式定理是解题关键．处理方法：（1）组合数的变形公式，（2）求二项展开式中最大项（或最小项）的方法，设第项是，可设第项最大，则有，解此不等式可得．
9．240
【分析】根据二项式定理和多项式的乘法得到，利用展开式的通项公式即可求得其展开式中的常数项.
【详解】，
则其展开式中项的系数为，
整理得：，解得：或，
又因为为整数，所以，
设展开式的通项为，
令，得.
所以的展开式中的常数项为，
故答案为：.
10．癸卯
【分析】根据二项式定理分别将展开为和，求出分别在以12为周期和10为周期时的位置，即可求出天干地支的位置.
【详解】因为，所以年以后地支为“寅”后面的“卯”.
因为，，除以10余数为1，所以年以后天干为“壬”后面的“癸”，故年以后是癸卯年.
故答案为：癸卯
11．（1）4；（2）8；（3），证明见解析.
【分析】对（1）（2）直接求解；猜想出，利用二项式定理，进行赋值即可证明.
【详解】（1）；
（2）；
（3）猜想：.下面进行证明：
由二项式定理得：
令得：，
即.
12．证明见解析.
【分析】利用二项式定理可得展开式，由可得结论.
【详解】由二项式定理可知：，
，，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页