平面向量数量积的运算
一、解答题（共10小题）
1、已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．21世纪教育网
（1）若α=，求当||取最小值时实数t的值；21世纪教育网版权所有
（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若⊥，求实数t的取值范围A，并判断当t∈A时函数f（t）=（t，﹣3）?（t2，t）的单调性．21*cnjy*com
2、已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）
（1）求f（0）的值；21cnjy
（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量，，是否存在实数λ，对任意恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说 明理由．
3、已知三点：A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）
①若a∈（﹣π，0），且，求角α的值；21*cnjy*com
②若，求21cnjy
4、已知A、B、C三点的坐标分别为A（，，B（，，C（，0）．
（1）求向量和向量的坐标；
（2）设，求f（x）的最小正周期；
（3）求当，时，f（x）的最大值及最小值．
5、已知向量，的夹角为120°，且，，
（1）求；
（2）求．
6、设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y﹣1），a⊥b，动点M（x，y）的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程；
（3）已知．设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．
7、设函数，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点．
（1）求实数m的值；21cnjy
（2）求f（x）的最小正周期．21*cnjy*com
8、已知向量=（2cos，tan（+）），=（sin（+），tan（﹣），令f（x）=?．是否存在实数x∈[0，π]，使f（x）+f'（x）=0（其中f'（x）是f（x）的导函数）？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之．
9、判断下列各命题正确与否：
（1）若a≠0，a?b=a?c，则b=c；21世纪教育网版权所有
（2）若a?b=a?c，则b≠c当且仅当a=0时成立；21cnjy
（3）（a?b）c=a（b?c）对任意向量a、b、c都成立；21*cnjy*com
（4）对任一向量a，有a2=|a|2．
10、如图所示，已知圆E：x2+（y﹣1）2=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN．
（1）若弦MN所在直线的斜率为2，求弦MN的长；21世纪教育网
（2）若弦MN的中点恰好落在x轴上，求弦MN所在直线的方程；
（3）设弦MN上一点P（不含端点）满足PA，PO，PB成等比数列（其中O为坐标原点），试探求的取值范围．
二、填空题（共10小题）
11、设向量a，b满足：，，则|b|= _________ ．
12、已知向量，则的值为 _________ ．
13、若向量与的夹角为120°，且||=1，||=2，=+，则||= _________ ．
14、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+3|等于 _________ ．
15、已知||=3，||=5，如果，则= _________ ．
16、下列命题中：①若a与b互为相反向量，则a+b=0；②若k为实数，且k?a=0，则a=0或k=0；③若a?b=0，则a=0或b=0；④若a与b为平行的向量，则a?b=|a||b|；⑤若|a|=1，则a=±1．其中假命题的个数为 _________ ．
17、在△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则= _________ ．
18、在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，，若（O是△ABC的外心），则x1+x2的值为 _________ ．
19、点G是△ABC的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为 _________ ．
20、已知向量= _________ ．21cnjy
三、选择题（共10小题）21世纪教育网版权所有
21、已知集合M={x|x2=x}，集合P={x||x﹣1|=1}，则M∩P等于（ ）
A、{0，1} B、{0，﹣1}
C、{0} D、{﹣1}21世纪教育网21cnjy
22、设，都是非零向量，若函数f（x）=（x+）?（﹣x）（x∈R）是偶函数，则必有（ ）21*cnjy*com
A、⊥ B、∥
C、||=|| D、||≠||21*cnjy*com
23、已知偶函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），且当x∈[0，1]时，f（x）=sinx，其图象与直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2…，则等于（ ）
A、2 B、4
C、8 D、16
24、若向量的夹角为60°，，则向量的模为：（ ）
A、2 B、4
C、6 D、12
25、已知平面向量=（2，4），=（﹣2，2）若=+（?），则||等于（ ）
A、6 B、6
C、6 D、6
26、已知向量，=（1，），则的最小值是（ ）
A、1 B、
C、 D、2
27、已知，则的最小值为（ ）
A、4 B、
C、2 D、
28、若向量满足，且，=3，，则=（ ）
A、 B、5
C、4 D、
29、三角形ABC中AP为BC边上的中线，，，则=（ ）
A、2 B、3
C、 D、
30、，下列等式中错误的是（ ）
A、 21*cnjy*com B、21cnjy
C、 D、21世纪教育网版权所有
答案与评分标准
一、解答题（共10小题）21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
1、已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．21世纪教育网
（1）若α=，求当||取最小值时实数t的值；21cnjy
（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
（3）若⊥，求实数t的取值范围A，并判断当t∈A时函数f（t）=（t，﹣3）?（t2，t）的单调性．
考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：（1）先把a=代入求出向量的坐标，再把转化为=，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出的最小值以及实数t的值；21cnjy
（2）先利用向量垂直求出以及和（）（），代入cos45°=，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．
（3）利用向量垂直的条件得到t的范围，再利用导数判断函数的单调性．
解答：解：（1）因为a=，所以=（），，
则====
所以当时，取到最小值，最小值为．
（2）由条件得cos45°=，
又因为==，==，
（）（）=5﹣t，则有=，且t＜5，
整理得t2+5t﹣5=0，所以存在t=满足条件．
（3）由题意可得：=（1+tcosα，2+tsinα），
因为⊥，
所以5+t（cosα+2sinα）=0，即5+tsin（α+φ）=0
∵|sin（α+φ）|≤1
∴，
∴，
又f（t）=（t，﹣3）?（t2，t），
∴f（t）=t3﹣3t
所以f′（t）=3t2﹣3，21世纪教育网版权所有
因为，21世纪教育网
所以f′（t）=3t2﹣3＞0，21*cnjy*com
所以函数f（t）在，上是增函数．
点评：本题主要考查平面向量的数量积与二次函数的一个现在，以及利用导数判断函数的单调性．
2、已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）
（1）求f（0）的值；
（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量，，是否存在实数λ，对任意恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．21*cnjy*com
考点：抽象函数及其应用；函数恒成立问题；平面向量数量积的运算。21cnjy
专题：计算题。
分析：（1）对任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），令x=y=0可得f（0）．
（2）已知f（x）为单调函数，由（1）知f（0）=0，再由已知等式求出f（1）=2，判断出f（x）为增函数，求出?代入不等式，利用单调性去掉f，得到关于sinθ的一元二次方程，令t=sinθ换元，得到关于t的二次方程，由θ范围，求出sinθ范围，也就是t的范围，问题就转化为在定区间上二次函数的最值，因为对称轴不确定，要求最小值，分三种情况讨论，得到三个范围，取并就是λ的取值范围．
令h（t）=t2﹣λt+2=+2﹣（﹣1≤t≤1），
①当＜﹣1时，即λ＜﹣2时，只要h（﹣1）≥0，则（*）恒成立，
∵h（﹣1）=λ+3≥0，∴﹣3＜λ＜﹣2；
②当﹣1≤≤1时，即﹣2≤λ≤2时，只要h（）≥0，则（*）恒成立，
∵h（）=2﹣≥0，∴﹣2≤λ≤2，
∴﹣2≤λ≤2；
③当＞1时，即λ＞2时，只要h（1）≥0，则（*）恒成立，
∵h（1）=3﹣λ≥0，∴∴2＜λ≤3；
综上：存在﹣3≤λ≤3，满足题目要求．
点评：本题涉及到抽象函数求函数值，向量的数量积运算，二次函数定区间上求最小值，在二次函数对称轴不确定的情况下，要按对称轴在区间左边，中间，右边三种情况分类，分别求得最小值．用到分类讨论和转化化归的思想．
3、已知三点：A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）21*cnjy*com
①若a∈（﹣π，0），且，求角α的值；221世纪教育网1世纪教育网版权所有
②若，求21cnjy
考点：向量的模；平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：（1）由已知代入坐标得出sinα和cosα的关系式，结合α的范围，求出角α的值；
（2）由已知代入坐标得出关于角α的关系式，再将利用二倍角公式和切化弦知识统一成角α的关系式，与已知找关系即可．
又因为
==21*cnjy*com
点评：本题是向量和三角的综合问题，以向量的模、向量的数量积为载体考查三角函数的化简和求值运算知识．
4、已知A、B、C三点的坐标分别为A（，，B（，，C（，0）．
（Ⅰ）求向量和向量的坐标；
（Ⅱ）设，求f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）求当，时，f（x）的最大值及最小值．
考点：向量的加法及其几何意义；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值。
专题：综合题。
分析：（1）求向量的坐标，要首先向量两端点的坐标，再根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标求解．
（2）由（1）的结论，结合向量数量积的运算公式，易得f（x）的解析式，将其化为正弦型函数（或余弦型函数），再利用三角函数求周期的方法即可解答．
（3）由（2）中的函数解析式，结合，，根据三角函数的性质即可求出f（x）的最大值及最小值21*cnjy*com
（Ⅲ）∵，∴．21世纪教育网
∴当，即x=时，f（x）有最小值，21世纪教育网版权所有
当，即x=时，f（x）有最大值．21cnjy21*cnjy*com
点评：要求三角函数的周期和最值，我们一般要将函数的解析式化为正弦型（或余弦型 ）的形式，再根据T=，ymax=|A|，ymin=﹣|A|，进行解答，如果自变量的取值范围受到限制，要根据限制条件进行讨论．
5、已知向量，的夹角为120°，且，，
（1）求；
（2）求．
考点：平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：（1）由可求
（2））由|+|2=（+）2=+2?+可求
解答：解：（1）∵，
=2×3cos120°=﹣3
（2）∵|+|2=（+）2=+2?+=4﹣2×（﹣3）+9=10
点评：本题主要考查了平面向量的数量积的定义及性质的应用，属于基础试题
6、设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y﹣1），a⊥b，动点M（x，y）的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（Ⅱ）已知．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程；21*cnjy*com
（Ⅲ）已知．设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．21世纪教育网
考点：平面向量数量积的运算；圆的标准方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用。21cnjy21*cnjy*com
专题：综合题；压轴题；分类讨论。21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
分析：（1）由a⊥b，所以a?b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1．
此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；
（2）当时，轨迹E的方程为，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2（0＜r＜1），
当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，
由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．
当切线斜率不存在时，代入检验即可．
（3）因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，
直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值．
（Ⅱ）当时，轨迹E的方程为，
设圆的方程为x2+y2=r2（0＜r＜1），当
切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，
A（x1，y1），B（x2，y2），
所以，
即t2=r2（1+k2）．①
因为OA⊥OB，
所以x1x2+y1y1=0，
即x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，
整理得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．②
由方程组
消去y得
（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．③
由韦达定理21世纪教育网版权所有
代入②式并整理得21世纪教育网
（1+k2），21cnjy21*cnjy*com
即5t2=4+4k2．
结合①式有5r2=4，r=，
当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，
故所求圆的方程为x2+y2=．21*cnjy*com
（Ⅲ）显然，直线l的斜率存在，
设l的方程y=k1x+t1，B1（x3，y3）
轨迹E的方程为．
由直线l与圆相切得t12=R2（1+k12），
且对应③式有△=（8k1t1）2﹣4（1+4k12）（4t12﹣4）=0，
即t12=1+4k12，
由方程组，
解得
当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．
由韦达定理
又B1在椭圆上，
所以，
因为l与圆C相切，
所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2
≤，21*cnjy*com
其中，等号成立的条件
21世纪教育网版权所有21世纪教育网
即故当时，|A1B1|的最大值为1．
点评：本题考查求轨迹方程、及方程所表示的曲线、直线与圆、直线与椭圆的位置关系等知识，考查计算能力和分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较大．
7、设函数，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点．
（1）求实数m的值；21世纪教育网21*cnjy*com
（2）求f（x）的最小正周期．
考点：平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法。21cnjy
专题：综合题。
分析：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算及三角函数的周期及其求法，21*cnjy*com
（1）由=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），我们易出求f（x）=?的解析式（含参数m），同由y=f（x）的图象经过点，将点的坐标代入可以得到一个关于m的方程，解方程即可求出m的值．
（2）由（1）的结论，我们可以写出函数f（x）的解析式，利用辅助角公式易将其转化为一个正弦型函数，然后根据正弦型函数的周期T=，求出f（x）的最小正周期．
点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，周期T=进行求解．
8、已知向量=（2cos，tan（+）），=（sin（+），tan（﹣），令f（x）=?．是否存在实数x∈[0，π]，使f（x）+f'（x）=0（其中f'（x）是f（x）的导函数）？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之．
考点：平面向量数量积的运算。
分析：先表示出函数f（x）的解析式，然后对其求导．令f（x）+f′（x）=0可得答案．
解答：解：f（x）=?=2cossin（+）+tan（+）tan（﹣）
=2cos（sin+cos）+?21*cnjy*com
=2sincos+2﹣121世纪教育网版权所有
=sinx+cosx．21世纪教育网21cnjy
f（x）+f′（x）=0，
即：f（x）+f′（x）=sinx+cosx+cosx﹣sinx=2cosx=0．可得x=，所以存在实数x=∈[0，π]，使f（x）+f′（x）=0
点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角函数求导运算，是小综合题．向量和三角函数的综合是高考热点要给予重视．
9、判断下列各命题正确与否：
（1）若a≠0，a?b=a?c，则b=c；21cnjy
（2）若a?b=a?c，则b≠c当且仅当a=0时成立；
（3）（a?b）c=a（b?c）对任意向量a、b、c都成立；21世纪教育网
（4）对任一向量a，有a2=|a|2．
（3）（a?b）c=（|a||b|cosα）c，
a（b?c）=a|b||c|cosθ（其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角）．
（a?b）c是与c共线的向量，
a（b?c）是与a共线的向量．
∴（3）不正确．（4）正确．
点评：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律．
10、如图所示，已知圆E：x2+（y﹣1）2=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN．
（1）若弦MN所在直线的斜率为2，求弦MN的长；
（2）若弦MN的中点恰好落在x轴上，求弦MN所在直线的方程；
（3）设弦MN上一点P（不含端点）满足PA，PO，PB成等比数列（其中O为坐标原点），试探求的取值范围．
21世纪教育网
考点：平面向量数量积的运算；直线和圆的方程的应用。21世纪教育网版权所有
分析：（1）根据KMN=2，且过点M（0，﹣1），，代入即可得：弦MN所在直线的方程为y+1=2x
（2）弦MN的中点恰好落在x轴上时有yM+yN=0，可得yN=1，代入圆E的方程中得N（±2，1），进而可求直线MN的方程为x﹣y﹣1=0或x+y+1=0．21cnjy
（3）设P（x，y），由PA?PB=PO2，得，化简得．
又由于点P在圆E内，所以x2+（y﹣1）2＜4，21世纪教育网
联立可得答案．21*cnjy*com
点评：本题主要考查向量的数量积运算和圆的方程的有关问题．属小综合题．
二、填空题（共10小题）
11、设向量a，b满足：，，则|b|= 2 ．
考点：向量的模；平面向量数量积的运算。
分析：根据题意，||=2，左右求平方可得，2+2+2=8；代入||=1，=，可得答案．
解答：解：根据题意，||=2，则||2=8，
即2+2+2=8；
又有||=1，=，
则2=4，
故=2．
点评：本题考查向量的模的运算，解题时注意向量运算的特殊性，特别应注意向量的表示法，如、．
12、已知向量，则的值为 3 ．
考点：向量的模；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由，且我们易求出的值，又由=，代入即可求解．21世纪教育网
解答：解：∵，且21*cnjy*com
可得：=21世纪教育网版权所有
==321cnjy
故答案为：321*cnjy*com
点评：∵=，，我们要求结果，必须求出的值，这种由因索果的分析法，是我们寻找解题思路最常用的方法．
13、若向量与的夹角为120°，且||=1，||=2，=+，则||= ．
考点：向量的模；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：利用向量的数量积公式求出；再利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．
解答：解：
因为====．
故答案为
点评：本题考查向量的数量积公式、向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．
14、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+3|等于 ．
考点：向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：因为、均为单位向量，且夹角为60°，所以可求出它们的模以及数量积，欲求|+3|，只需自身平方再开方即可，这样就可出现两向量的模与数量积，把前面所求代入即可．
15、已知||=3，||=5，如果，则= ±15 ．
考点：平行向量与共线向量；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：利用向量平行的定义求出两向量的夹角，利用向量的数量积公式求出数量积．
解答：解：根据平行向量的概念知两向量的夹角为0°或180°，
∴=3×5×cos0°=15，或=3×5×cos180°=﹣15．21*cnjy*com
故答案为：±1521世纪教育网版权所有
点评：本题考查两个向量共线的定义、两个向量的数量积公式．
16、下列命题中：①若a与b互为相反向量，则a+b=0；②若k为实数，且k?a=0，则a=0或k=0；③若a?b=0，则a=0或b=0；④若a与b为平行的向量，则a?b=|a||b|；⑤若|a|=1，则a=±1．其中假命题的个数为 3个 ．
考点：相等向量与相反向量；平面向量数量积的运算。21世纪教育网
分析：根据向量、向量积的基本概念与性质，依次分析选项，可得其是否正确，即可得答案．
解答：解：依次分析可得，21cnjy
①、由相反向量的意义，若与互为相反向量，则+=，正确；
②、由数乘向量的运算，可得若k?=，则=或k=0，正确；
③、若?=，则=或=或⊥，故错误；
④、若、为平行的向量，则其夹角为0°或180°，则?=±|||?|，故错误；
⑤、||=1，即的大小是1，故错误，
故其中假命题为③④⑤，则其个数为3个．
点评：本题考查向量、向量积的基本概念与性质，是一些常见的错误，如a=±1，平时应注意这些细节的问题．
17、在△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则= ．21世纪教育网
考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；平面向量数量积的运算。
分析：由△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，我们易将中两个向量变形为：，，然后再利用向量数量积的计算公式，代入即可得到答案．
点评：如果两个非量平面向量平行（共线），则它们的方向相同或相反，此时他们的夹角为0或π．当它们同向时，夹角为0，此时向量的数量积，等于他们模的积；当它们反向时，夹角为π，此时向量的数量积，等于他们模的积的相反数．如果两个向量垂直，则它们的夹角为，此时向量的数量积，等于0．
18、在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，，若（O是△ABC的外心），则x1+x2的值为 ．21cnjy
考点：向量的加法及其几何意义；平面向量数量积的运算。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ1和λ2的值．
解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2，0），C（﹣，）．
∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，21*cnjy*com
AC的中点（﹣，），AC的斜率为﹣3，∴中垂线n的方程为 y﹣=（x+）．
把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，），由条件=，
得（1，）=x1（2，0）+x2（﹣，）=（2x1﹣x2，x2），21cnjy
∴2x1﹣x2=1，x2=，∴x1=，x2=，∴x1+x2=，21世纪教育网版权所有
故答案为：．
21世纪教育网
点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．
19、点G是△ABC的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为 ．
考点：向量的共线定理；两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：欲求最小值，先求其平方的最小值，这里解决向量模的问题常用的方法．
解答：解：∵点G是△ABC的重心，∴，
∴=
∵，∴AB×AC×COSA=﹣2，∴AB×AC=4．
∴AG2≥
故填．
点评：平面几何与向量的交汇，是向量试题的增长点，必须充分注意到平面图形的几何性质．本题中点G是△ABC的重心，就存在．21世纪教育网
20、已知向量= ﹣15 ．21cnjy
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：根据向量共线的坐标关系，建立等式解出x的值为﹣3，再用数量积的坐标表示公式，得出答案．
解答：解：∵向量=（﹣2，1），=（6，x），且，
∴，21世纪教育网版权所有
∴=（6，﹣3），可得21cnjy
故答案为﹣15．
点评：本题考查了两个向量平行的坐标表示以及向量数量积的坐标公式，属于简单题．
三、选择题（共10小题）
21、已知集合M={x|x2=x}，集合P={x||x﹣1|=1}，则M∩P等于（ ）
A、{0，1} B、{0，﹣1}
C、{0} D、{﹣1}21世纪教育网
22、设，都是非零向量，若函数f（x）=（x+）?（﹣x）（x∈R）是偶函数，则必有（ ）
A、⊥ B、∥
C、||=|| D、||≠||
考点：偶函数；平面向量数量积的运算。
专题：综合题。
分析：先将函数f（x）的解析式进行化简得到关于x的二次函数，根据偶函数的定义可知一次项的系数为0，即可求得a与b的关系．
解答：解：f（x）=（x+）?（﹣x）=（﹣?）x2+（2﹣2）x+?∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）恒成立，
故2﹣2=0，即||2=||2，故||=||．
故选C
点评：本小题考查偶函数的定义和向量的基本运算，体现了在知识网络的交汇处命题的指导思想，属于小综合的基础题．
23、已知偶函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），且当x∈[0，1]时，f（x）=sinx，其图象与直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2…，则等于（ ）
A、2 B、4
C、8 D、1621*cnjy*com
考点：函数奇偶性的性质；平面向量数量积的运算。21世纪教育网
专题：计算题。21cnjy
分析：本题考查的知识是函数性质的综合应用及平面向量的数量积运算，我们可以由已知中函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），且当x∈[0，1]时，f（x）=sinx，求出其图象与直线在y轴右侧的交点P1，P2…，的关系，由于与同向，我们求出两个向量的模代入平面向量数量积公式，即可求解．21世纪教育网版权所有
21世纪教育网 点评：如果两个非量平面向量平行（共线），则它们的方向相同或相反，此时他们的夹角为0或π．当它们同向时，夹角为0，此时向量的数量积，等于他们模的积；当它们反向时，夹角为π，此时向量的数量积，等于他们模的积的相反数．如果两个向量垂直，则它们的夹角为，此时向量的数量积等于0．21cnjy21*cnjy*com
24、若向量的夹角为60°，，则向量的模为：（ ）
A、2 B、4
C、6 D、1221*cnjy*com
考点：向量的模；平面向量数量积的运算。
分析：分解（a+2b）?（a﹣3b）得|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2，因为向量的夹角、已知，代入可得关于的方程，解方程可得．
解答：解：（a+2b）?（a﹣3b）
=|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2=|a|2﹣2|a|﹣96=﹣72，
∴|a|2﹣2|a|﹣24=0．
∴（|a|﹣6）?（|a|+4）=0．
∴|a|=6．
故选C
点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．
25、已知平面向量=（2，4），=（﹣2，2）若=+（?），则||等于（ ）
A、6 B、6
C、6 D、6
考点：向量的模；平面向量数量积的运算。21*cnjy*com
专题：计算题。21世纪教育网
分析：由已知中，平面向量=（2，4），=（﹣2，2）我们根据平面向量数量积运算公式，数乘向量运算公式及向量加法的坐标公式，计算出向量的坐标，代入向量模的计算公式，即可得到答案．21世纪教育网版权所有
21世纪教育网 点评：本题考查的知识点是向量的模，平面向量数量积的运算，其中根据平面向量数量积运算公式，数乘向量运算公式及向量加法的坐标公式，计算出向量的坐标，是解答本题的关键．21cnjy
26、已知向量，=（1，），则的最小值是（ ）21*cnjy*com
A、1 B、
C、 D、2
考点：向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：根据向量的坐标表示，=（1，），求得和向量的坐标：=（x，），及模=最后利用基本不等式求出的最小值即可．
解答：解：∵向量，=（1，），
则=（x，），
∴=≥，当且仅当x=±1时取等号，
则的最小值是，
故选B．
点评：本小题主要考查向量的模、平面向量数量积的性质及其运算律、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
27、已知，则的最小值为（ ）
A、4 B、
C、2 D、
考点：向量的模；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：由条件求出?的值，先求出的平方的值，进而求得的值．21世纪教育网版权21世纪教育网所有
解答：解：∵，∴?﹣=?﹣4=2，∴?=6，21*cnjy*com
∵的平方为：﹣2λ?+λ2=4﹣2λ?6+36λ2=4（9λ2﹣3λ+1），21cnjy21*cnjy*com
其最小值为 4?=3，故的最小值为，21世纪教育网
故选 D．
点评：本题考查两个向量的数量积，向量的模的求法，通过求向量模的平方求得向量的模．
28、若向量满足，且，=3，，则=（ ）
A、 B、5
C、4 D、
考点：向量的模；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：将已知等式变形，将等式平方，将已知条件代入求出向量的模
点评：本题考查向量的运算律、向量的模的平方等于向量的平方．
29、三角形ABC中AP为BC边上的中线，，，则=（ ）
A、2 B、3
C、 D、
考点：向量的模；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：由已知中三角形ABC中AP为BC边上的中线，根据向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，可得=（+），=﹣，再由，我们可以构造关于的方程，解方程即可得到答案．
解答：解：∵AP为三角形ABC中BC边上的中线，
∴=（+），=﹣，
∴=（+）?（﹣）=（||2﹣||2）=﹣2，
又∵，21世纪教育网
∴||2=5
∴=21世纪教育网版权所有
故选C
点评：本题考查的知识点是向量的模，平面向量数量积的运算，其中根据向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，得到=（+），=﹣，是解答本题的关键．21cnjy21*cnjy*com
30、，下列等式中错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
考点：向量的模；平面向量数量积的运算。
专题：计算题；综合题。
分析：利用向量的模判断A的正误，向量的数量积判断C的正误，向量数量积的模判断B、D的正误，即可．
