平面向量数量积的坐标表示
一、选择题（共20小题）21世纪教育网版权所有
1、若平面向量满足，，，则=（ ）
A、（1，﹣1） B、（1，﹣1）或（﹣1，1）
C、（﹣1，1） D、（1，1）或（﹣1，﹣1）21世纪教育网版权所有
2、已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）21世纪教育网
A、1 B、2
C、 D、21cnjy21*cnjy*com
3、在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个21*cnjy*com
4、平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A、4 B、3
C、2 D、
5、若向量a与b不共线，a?b≠0，且，则向量a与c的夹角为（ ）
A、0 B、
C、 D、
6、已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
7、已知||=||=1，|+|=1，则|﹣|=（ ）
A、1 B、
C、 D、2
8、设向量、，满足||=||=1，?=﹣，则|+2|=（ ）
A、 B、
C、 D、
9、已知||=2，||=6，，则的值为（ ）
A、4 B、2
C、2 D、6
10、a，b是不共线的两向量，其夹角是θ，若函数f（x）=（xa+b）?（a﹣xb）（x∈R）在（0，+∞）上有最大值，则（ ）
A、|a|＜|b|，且θ是钝角
B、|a|＜|b|，且θ是锐角
C、|a|＞|b|，且θ是钝角
D、|a|＞|b|，且θ是锐角
11、已知向量=（2，﹣3），=（x，6），，则|的值为（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、5 D、13
12、已知向量，，其中θ∈[0，π]，则的取值范围是（ ）
A、[﹣1，2] B、[﹣1，1] 21cnjy
C、[﹣2，2] D、2121*cnjy*com世纪教育网版权所有
13、已知向量，则的最小值是（ ）
A、1 B、
C、 D、2
14、若都是单位向量，且它们两两的夹角均为60°，则向量与向量的夹角为（ ）
A、60° B、90°
C、120° D、180°
15、平面向量与的夹角为60°，=（1，0），||=2，则|2﹣|=（ ）
A、 B、
C、1 D、2
16、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（ ）
A、1 B、
C、 D、2
17、若平面向量和互相平行，其中x∈R，则=（ ）
A、 B、
C、﹣2或0 D、2或10
18、已知向量、均为单位向量，若它们的夹角120°，则|+3|等于（ ）
A、 B、
C、 D、4
19、已知，与的夹角为，那么等于（ ）
A、2 B、
C、6 D、12
20、在△ABC中，已知向量，，则△ABC的面积等于（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
21、若向量a、b为两个非零向量，且|a|=|b|=|a+b|，则向量a与a+b的夹角为 _________ ．
22、设向量，满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为 _________ ．
23、若平面向量与向量的夹角是180°，且，则= _________ ．21*cnjy*com
24、已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|= _________ ．21世纪教育网21*cnjy*com
25、已知||=3，||=4，的夹角为60°，则|2|= _________ ．
三、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
26、已知A（3，1），B（t，﹣2），C（1，2t）．
（1）若，求t；21cnjy
（2）若∠BAC=90°，求t．
27、设a=（﹣1，1），b=（4，3），c=（5，﹣2），
（1）求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；
（2）求c在a方向上的投影；
（3）求λ1和λ2，使c=λ1a+λ2B、
28、已知，，．
（1）求；
（2）求．
29、已知向量，其中是互相垂直的单位向量求：
（1），；
（2）与夹角的余弦值．
30、已知，，与的夹角为120°．
（1）求?；
（2）求+|．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、若平面向量满足，，，则=（ ）21*cnjy*com
A、（1，﹣1） B、（1，﹣1）或（﹣1，1）
C、（﹣1，1） D、（1，1）或（﹣1，﹣1）
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：根据两个向量是一对共线向量，设出要求的向量的坐标是向量的坐标的λ倍，根据这个向量的模长是，知道要求的向量与是相等向量或相反向量，得到结果．21*cnjy*com
解答：解：∵，21世纪教育网版权所有
∴设，21cnjy
∵||=，
∴λ=±1，
∴
故选B．
点评：本题考查平面向量共线的坐标表示和向量的模长，本题是一个简单题目，题目中包含的符合条件的向量有两个，不要漏掉．
2、已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A、1 B、2
C、 D、
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．
点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质，本题也可以利用数形结合，，对应的点A，B在圆x2+y2=1上，对应的点C在圆x2+y2=2上即可．
3、在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（ ）
A、1个 B、2个21*cnjy*com
C、3个 D、4个21世纪教育网21*cnjy*com
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是．21世纪教育网版权所有
点评：能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；会解两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．
4、平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A、4 B、3
C、2 D、21cnjy
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：利用两个向量的数量积的定义求出的值，再利用|+2|==，求出|+2|的值．
解答：解：由题意得||=2，=||?||cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，
|+2|====2，
故选C．
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的求法．
5、若向量a与b不共线，a?b≠0，且，则向量a与c的夹角为（ ）
A、0 B、
C、 D、
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律．
解答：解：∵
=21世纪教育网版权所有
=021世纪教育网
∴向量a与c垂直，
故选D．
点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的．
6、已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且，则=（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、
点评：本题考查两个向量共线的性质，向量的膜的求法．
7、已知||=||=1，|+|=1，则|﹣|=（ ）
A、1 B、
C、 D、2
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：根据||===1 求出 2的值，代入||=进行运算可得答案．
解答：解：由题意得||===1，2=﹣1，
∴||===，
故选B．
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的求法．
8、设向量、，满足||=||=1，?=﹣，则|+2|=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：利用向量模的平方等于向量的平方，求出模的平方，再开方即可．
解答：解：=3
∴
故选B
点评：本题考查求向量模常将向量模平方；利用向量的运算法则求出．
9、已知||=2，||=6，，则的值为（ ）
A、4 B、221世纪教育网版权所有
C、2 D、621世纪教育网
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。21cnjy
分析：由已知条件求出=6，再由==，代入已知条件运算求得结果．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，求向量的模的方法，属于基础题．
10、a，b是不共线的两向量，其夹角是θ，若函数f（x）=（xa+b）?（a﹣xb）（x∈R）在（0，+∞）上有最大值，则（ ）
A、|a|＜|b|，且θ是钝角 B、|a|＜|b|，且θ是锐角
C、|a|＞|b|，且θ是钝角 D、|a|＞|b|，且θ是锐角
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；函数的最值及其几何意义。
分析：化简f（x）=（xa+b）?（a﹣xb）是一元二次函数，有最大值需要开口向下对称轴在y轴右侧．
解答：解：f（x）=﹣a?bx2+（a2﹣b2）x+a?b，若函数f（x）在（0，+∞）上有最大值，则二次函数
的图象的开口向下，且对称轴在y轴右侧，即，
所以a，b的夹角为锐角，且|a|＞|b|．
故选项为D
点评：本题考查向量的运算和二次函数取最值的条件．
11、已知向量=（2，﹣3），=（x，6），，则|的值为（ ）
A、 B、
C、5 D、13
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：根据向量共线定理和已知条件可得﹣3x=12，从而求出x的值，并代入|，即可求得结果．
解答：解：∵向量=（2，﹣3），=（x，6），
﹣3x=12，
解得x=﹣4．
∴=（﹣2，3）
|=．21世纪教育网版权所有
故选B．21世纪教育网
点评：此题是个基础题．考查向量的模和共线向量定理，同时考查学生的计算能力．
12、已知向量，，其中θ∈[0，π]，则的取值范围是（ ）
A、[﹣1，2] B、[﹣1，1] 21*cnjy*com
C、[﹣2，2] D、21cnjy
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：根据θ∈[0，π]，得到的范围，进而得到sin（） 的范围，从而得到=2sin（） 的范围．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦，正弦函数的定义域和值域，求得﹣≤ssin（）≤1，
是解题的关键．
13、已知向量，则的最小值是（ ）
A、1 B、
C、 D、2
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：先求出的坐标，利用向量的模的定义求出=，再利用基本不等式求出它的最小值．
解答：解：=（1+x﹣1，+1）=（x，），
故=≥，故的最小值是．
故选：B．
点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义以及基本不等式的应用，属于基础题．
14、若都是单位向量，且它们两两的夹角均为60°，则向量与向量的夹角为（ ）
A、60° B、90°
C、120° D、180°
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：由题意有可得=1×1cos60°===．根据cosθ==，及0°≤θ≤180°，求得 θ 的值．
解答：解：设向量与向量的夹角为θ，
由题意有可得=1×1cos60°===．21世21世纪教育网纪教育网版权所有
∴cosθ===，21cnjy
由0°≤θ≤180°，可得 θ=60°，
故选A．
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量夹角公式的应用．求出cosθ=，是解题的关键
15、平面向量与的夹角为60°，=（1，0），||=2，则|2﹣|=（ ）
A、 B、
C、1 D、2
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：先利用向量的运算法则求出（﹣）2，再开方即得|﹣|．
点评：本题考查向量的基本运算、向量模的计算．属于基础题．
16、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（ ）
A、1 B、
C、 D、2
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．
解答：解：∵、均为单位向量，它们的夹角为60°
∴||=||=1，?=
∴=
=
=1
∴=1
故选A．
点评：求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，考查运算能力，属基础题．21cnjy
17、若平面向量和互相平行，其中x∈R，则=（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、﹣2或0 D、2或1021世纪教育网
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：由于平面向量和互相平行，利用两向量平行式的坐标形式的等价条件可以求出x的值，再有向量的减法求出的坐标，利用模长公式即可求得．
点评：此题考查了两向量平行的坐标表示法及方程思想求解未知量x的值，还考查了已知向量的坐标求向量的模．
18、已知向量、均为单位向量，若它们的夹角120°，则|+3|等于（ ）
A、 B、
C、 D、4
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：利用向量的模的平方等于向量的数量积，直接求出模的平方，然后求出向量的模．
解答：解：因为|+3|2=（+3）?（+3）=||2+9||2+6=10﹣6×=7．
所以|+3|=．
故选A．
点评：本题是基础题，考查向量的模与向量的数量积的应用，考查计算能力．
19、已知，与的夹角为，那么等于（ ）
A、2 B、
C、6 D、12
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：求向量的模，一般转化为求它的平方，然后根据运算法则，将已知条件代入即可．
解答：解：由已知得，=
∵与的夹角为21世纪教育网21cnjy
∴==+16=1221*cnjy*com
∴=，21世纪教育网版权所有
故选 B．
点评：此题主要考查向量模的求法及向量数量积的概念．
20、在△ABC中，已知向量，，则△ABC的面积等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：由向量模的求法，可得||、||，进而由数量积的应用，可得cos＜，＞=，可得sinB，由三角形面积公式，计算可得答案．
点评：本题考查向量的数量积的运算与运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角．
二、填空题（共5小题）
21、若向量a、b为两个非零向量，且|a|=|b|=|a+b|，则向量a与a+b的夹角为 ．
考点：向量的加法及其几何意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：根据|a|=|b|=|a+b|，得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，且一条对角线等于边长，得到特殊的关系．
解答：解：∵|a|=|b|=|a+b|，
由向量加法平行四边形法则得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，
菱形的一条对角线同边相等
∴夹角是，
故答案为：．
点评：大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．
22、设向量，满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为 （﹣4，﹣2） ．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。21*cnjy*com 21世纪教育网
专题：计算题。21cnjy
分析：要求向量的坐标，我们可以高设出向量的坐标，然后根据与的方向相反，及||=2，我们构造方程，解方程得到向量的坐标．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量模的计算，其中根据与的方向相反，给出向量的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键．
23、若平面向量与向量的夹角是180°，且，则= （﹣3，6） ．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：根据两个向量的夹角是180°，设出要求的向量的坐标，根据向量的模长．利用模长公式求出未知数的值．
解答：解：∵平面向量与向量的夹角是180°
∴平面向量=λ（1，﹣2）
∵
∴λ2+4λ2=45
∴λ=±3
∵两个向量的夹角是180°，
∴λ=﹣3
∴=（﹣3，6）
故答案为：（﹣3，6）
点评：本题考查平面向量的坐标运算，本题解题的关键是设出向量的坐标，根据两个向量的方向相反设出结果，注意把不合题意的舍去．
24、已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|= ．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．
解答：解：=
=21cnjy
=5﹣4cos60°21世纪教育网版权所有21cnjy
=3
∴21世纪教育网
故答案为
点评：本题考查求向量的模常利用向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．
25、已知||=3，||=4，的夹角为60°，则|2|= 2 ．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：由已知中向量、的夹角为60°，||=3，||=4，我们易计算出2，2及?的值，进而计算出2，开方后即可得到．
点评：题考查的知识点是向量的模，其中根据已知计算出2的值，是解答本题的关键．
三、解答题（共5小题）
26、已知A（3，1），B（t，﹣2），C（1，2t）．
（1）若，求t；
（2）若∠BAC=90°，求t．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：（1）由已知中A（3，1），B（t，﹣2），我们要以求出向量的坐标（含参数t），根据，构造关于t的方程，解方程即可得到答案．
（2）由∠BAC=90°，可得⊥，即?=0，将向量、的坐标代入向量数量积坐标运算公式，构造关于t的方程，解方程即可得到答案．
解答：解：（1）∵A（3，1），B（t，﹣2），
∴=（t﹣3，﹣3），
又∵，
即=5，21cnjy
解得t=7或t=﹣1．（4分）21世纪教育网
（2）若∠BAC=90°，由题意知⊥，21*cnjy*com
又∵=（﹣2，2t﹣1），21世纪教育网版权所有
∴（t﹣3）?（﹣2）﹣3（2t﹣1）=﹣8t+9=0
解得t=．（7分）
点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示及向量的模，其中根据向量的坐标运算公式，构造关于t的方程是解答本题的关键．
27、设a=（﹣1，1），b=（4，3），c=（5，﹣2），
（1）求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；
（2）求c在a方向上的投影；
（3）求λ1和λ2，使c=λ1a+λ2B、
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算。
分析：（1）两向量共线其坐标交叉相乘相等，据cos＜a，b＞=求夹角
（2）c在a方向上的投影为
（3）向量相等坐标分别相等
28、已知，，．
（I）求；
（ II）求．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：（I） 两个向量的和的坐标等于它们对应坐标的和，先求； 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；再求．21世纪教育网版权所有
（ II） 向量的模等于自身数量积再开方，先求自身数量积，再开方．21世纪教育网
解答：解：（I）=（﹣3+1，2+（﹣3），5+0）=（﹣2，﹣1，5），=（﹣2）×7+（﹣1）×（﹣2）+5×1=﹣721*cnjy*com
（ II）=（10，1，7），=10×10+1×1+7×7=150，==5
点评：本题考查向量数量积、模的坐标表示，属于基础题．
29、已知向量，其中是互相垂直的单位向量求：
（1），；
（2）与夹角的余弦值．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。21cnjy
专题：计算题。
分析：（1）先根据是互相垂直的单位向量表示出向量要用的两个向量，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算求出答案．
（2）先求出向量的模长，然后根据cosθ的表示式将数值代入即可得到答案．
点评：本题主要考查向量的模、平面向量的坐标运算、数量积运算，本题解题的关键是根据所给的两个单位向量，写出要用的向量的坐标．
30、已知，，与的夹角为120°．
（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）求+|．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：（1）直接运用向量的数量积公式?=进行求解；
（2）先将向量的模平方，利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的运算法则展开，求出值，再将值开方即可．21世纪教育网
点评：本题主要考查向量的数量积和求向量的模的问题，一般将模平方，利用模的平方等于向量本身的平方，利用向量的运算法则展开即可得．21世纪教育网版权所有21cnjy
