向量的应用—平面向量的综合题
一、选择题（共19小题）
1、已知非零向量与满足（+）?=0，且?=﹣，则△ABC为（ ）21*cnjy*com
A、等腰非等边三角形
B、等边三角形21世纪教育网版权所有
C、三边均不相等的三角形
D、直角三角形
2、设向量，满足：||=1，||=2，?（+）=0，则与的夹角是（ ）21世纪教育网21*cnjy*com
A、30° B、60°21cnjy
C、90° D、120°
3、已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（ ）21*cnjy*com
A、﹣ B、21世纪教育网版权所有
C、﹣ D、21cnjy
4、（中数量积）已知向量a，b，x，y满足|a|=|b|=1，a?b=0，且，则|x|+|y|等于（ ）
A、 B、
C、2 D、5
5、将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x+）+1的图象，则a等于（ ）
A、（﹣，1） B、（﹣，1）
C、（，﹣1） D、（，1）
6、已知两点A（1，0），，O为坐标原点，点C在第二象限，且，设，则λ等于（ ）
A、 B、
C、﹣1 D、1
7、如图，，若，则=（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
8、向量=（1，﹣1），非零向量2+与反向，则的取值范围为（ ）21*cnjy*com
A、（﹣∞，﹣4） B、（﹣4，+∞）
C、（﹣∞，﹣2） D、（﹣2，+∞）
9、设向量，的夹角为θ，且，，m是向量在方向上的射影的数量，则函数的最大值和最小值之和为（ ）
A、 B、821世纪教育网版权所有
C、 D、21世纪教育网21*cnjy*com
10、设、、为非零向量，下列等恒成立的个数有（ ）
①（?）?=（?）?；②[（?）?﹣（?）?]?=0；
③2﹣2=（+）（﹣）；④+=（+）（﹣?+）．21世纪21世纪教育网教育网版权所有
A、1个 B、2个21cnjy
C、3个 D、4个
11、△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且，则AD的长为（ ）
A、 B、21cnjy
C、1 D、2
12、设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（ ）
①（）﹣（）=0；
②||﹣||＜|﹣|；
③（?）﹣（?）不与垂直；
④（3+2）?（3﹣2）=9||2﹣4||2．
其中的真命题是（ ）
A、②④ B、③④
C、②③ D、①②
13、定义是向量a和b的“向量积”，它的长度为向量a和b的夹角，若等于（ ）
A、6 B、
C、2 D、
14、已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则||等于（ ）
A、0 B、
C、2 D、
15、将函数的图象按向量平移后，得到函数y=2cos2x的图象，则m，n的值分别为（ ）
A、 B、21世纪教育网21*cnjy*com
C、 D、21世纪教育网版权所有
16、已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A、 B、21世纪教育网21cnjy
C、 D、21cnjy
17、若向量=（cosα，sinβ），=（cosα，sinβ），则与一定满足（ ）21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
A、与的夹角等于α﹣β B、⊥
C、∥ D、（+）⊥（﹣）21cnjy
18、设，且在x轴上的射影为2，则=（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
19、已知=（sinα，cos2α），=（2sinα﹣1，1），α∈（，π），若?=，则tan（α+）的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共6小题）
20、在△ABC所在平面存在一点O使得=，则面积= _________ ．
21、已知向量，，且，，则向量= _________ ．
22、若平面向量的夹角是180°，且等于 _________ ．
23、已知向量，实数m，n满足，则（m﹣3）2+n2的最大值为 _________ ．
24、已知平面向量满足||=1，且与的夹角为120°，则||的取值范围是 _________ _．
25、在斜坐标系xOy中，∠xOy，分别是Jc轴，轴方向的单位向量．对于坐标平面内的点P，如果，则Ge，叫做P的斜坐标．21世纪教育网21cnjy
（1）已知P的斜坐标为（，1）则= _________ ．
（2）在此坐标平面內，以O为原点，半径为1的_的方程是 _________ ．
三、解答题（共5小题）21cnjy21*cnjy*com
26、已知a、b∈R，向量=（x，1），=（﹣1，b﹣x），函数f（x）=a﹣是偶函数．
（1）求b的值；21世纪教育网版权所有
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．21世纪教育网21cnjy
27、我们把一系列向量（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知向量列{}满足：，=（n≥2）．21世纪21cnjy教育网版权所有21*cnjy*com
（1）证明数列{||}是等比数列；
（2）设θn表示向量，间的夹角，若bn=2nθn﹣1，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn；
（3）设||?log2||，问数列{cn}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
28、已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且．
（1）若等边三角形边长为6，且，求；
（2）若，求实数λ的取值范围．
29、平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．
（1）当?取最小值时，求的坐标；
（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．
30、已知平面上一定点C（﹣1，0）和一定直线l：x=﹣4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，．
（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若，求λ的取值范围．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、已知非零向量与满足（+）?=0，且?=﹣，则△ABC为（ ）
A、等腰非等边三角形 B、等边三角形
C、三边均不相等的三角形 D、直角三角形21世纪教育网21*cnjy*com
考点：向量在几何中的应用；平面向量的综合题。
专题：计算题。21cnjy
分析：利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形．
解答：解：、分别是、方向的单位向量，21世纪教育网21*cnjy*com版权所有
向量+在∠BAC的平分线上，
由（+）?=0知，AB=AC，21世纪21*cnjy*com教育网版权所有21cnjy
由?=﹣，可得∠CAB=120°，
∴△ABC为等腰非等边三角形，
故选A．21cnjy
点评：本题考查单位向量的定义；向量垂直的充要条件；向量数量积的应用．
2、设向量，满足：||=1，||=2，?（+）=0，则与的夹角是（ ）
A、30° B、60°
C、90° D、120°
解答：解：∵||=1，||=2，
∴（）2=1，
又∵?（+）=（）2+?=1+?=0
∴?=﹣1
∴cos＜，＞==﹣
∴＜，＞=120°
故选D．
点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，熟练掌握公式cos＜，＞=是解答这类问题的关键．
3、已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（ ）
A、﹣ B、21世纪教育网
C、﹣ D、21世纪教育网版权所有
考点：平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系。21cnjy21*cnjy*com
专题：计算题。21cnjy
分析：先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．21世纪教育网版权所有
21*cnjy*com 点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得3λ+1+4λ=0，是解题的关键．
4、（中数量积）已知向量a，b，x，y满足|a|=|b|=1，a?b=0，且，则|x|+|y|等于（ ）
A、 B、
C、2 D、5
考点：平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可．
解答：解：由所给的方程组解得，
，，
∴=．
故选B．
点评：本题中的方程组是关于向量的方程，这与一般的关于实数的方程在解法上没有本质区别，方法与实数的方程组的解法相似．
5、将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x+）+1的图象，则a等于（ ）
A、（﹣，1） B、（﹣，1）
C、（，﹣1） D、（，1）
考点：平面向量的综合题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：函数y=2sin（2x+）+1的表达式要化成y=2sin2（x+）+1后，再看平移的向量．
解答：解：由y=2sin（2x+）+1得y=2sin2（x+）+1，21cnjy
∴=（﹣，1）．21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
答案：B
点评：本题容易错在：以为由函数y=2sin2x的图象向右平移个单位得到，这是错误的，一定要观察x的变化情况才行．
6、已知两点A（1，0），，O为坐标原点，点C在第二象限，且，设，则λ等于（ ）21世纪教育网21*cnjy*com
A、 B、
C、﹣1 D、1
∵
∴（）=（﹣2，0）+（）
∴
解方程可得，
故选B．
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点评：本题主要考查了三角函数的定义的简单应用，平面向量的坐标表示的加法运算，属于基础试题．
7、如图，，若，则=（ ）
21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
A、2 B、4
C、6 D、8
解答：解：∵△ABC中，，
∴G是△ABC的重心，21世纪教育网
∵，21cnjy
，
由平行线等分线段成比例定理，可以取特殊值，
假设QP∥AB，过G点作EF∥PQ，交AC于E，交BC于F，
延长CG交AB于D，
∴PQ∥EF∥AB，
∵，
由重心的性质知：
CH=HG=DG，
∵PQ∥EF∥AB，
∴CQ：QF：FB=CH：HG：GD=CP：PE：EA，
∴，
∴=6．
故选C．21世纪教育网版权所有
21世纪教育网21*cnjy*com
点评：本题考查平面向量的综合应用，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是由，知G是△ABC的重心．然后取特殊值假设QP∥AB，能够又快又准地得到答案．
8、向量=（1，﹣1），非零向量2+与反向，则的取值范围为（ ）21cnjy21*cnjy*com
A、（﹣∞，﹣4） B、（﹣4，+∞）
C、（﹣∞，﹣2） D、（﹣2，+∞）21世纪教育网版权所有
考点：平面向量的综合题。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：设出的坐标（m，n），根据与反向得到2+m=k，﹣2+n=﹣k，k＜0，再根据向量的坐标运算得到=m﹣n=2k﹣4＜﹣4．
9、设向量，的夹角为θ，且，，m是向量在方向上的射影的数量，则函数的最大值和最小值之和为（ ）
A、 B、8
C、 D、
考点：平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：由题意知，向量在方向上的射影的数量是m=?cosθ，且θ∈[0，π]，所以m∈[﹣3，3]，则函数的最大值是，最小值是，其和可求．21世纪教育网
21世纪教育网版权所有 点评：本题考查了平面向量中一向量在另一向量方向上的射影，向量的夹角，指数函数等概念，是基础题．
10、设、、为非零向量，下列等恒成立的个数有（ ）21cnj21*cnjy*com y
①（?）?=（?）?；②[（?）?﹣（?）?]?=0；
③2﹣2=（+）（﹣）；④+=（+）（﹣?+）．
A、1个 B、2个21世纪教育网版权所有
C、3个 D、4个21*cnjy*com
考点：平面向量的综合题。
专题：阅读型。
分析：在（?）?=（?）?中，（?）与（?）是实数，而，方向可能不同，故①式不一定成立；由向量的数量积运算法则，可验证②式成立，同理，也可验证③④成立．
解答：解：（1）设（?）?=λ，（?）?=λ'（其中λ，λ'∈R），，方向可能不同，故①式不一定成立；
（2）∵[（?）?﹣（?）?]?=（?）?（?）﹣（?）?（?）=0，∴②式恒成立；
（3）∵（+）（﹣）=﹣?+?﹣=﹣，∴③式恒成立；
（4）∵（+）（﹣?+）=﹣??++?﹣??+=+，∴④式恒成立；
故选C．
点评：本题考查了平面向量数量积的定义，数量积的运算法则及其应用，是基础题．
11、△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且，则AD的长为（ ）
A、 B、
C、1 D、2
考点：平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：D在AB上及存在实数t满足可得结合向量加法的三角形法则可得从而有结合根据角平分线性质可得可求AC
由向量的性质可得，把已知数据代入可求
21世纪教育网版权所有 ∵AD为∠A的平分线，根据角平分线性质可得??
∴==
==21世纪教育网版权所有
故选A．221cnjy 1世纪教育网
点评：本题主要考查了平面向量的共线定理：D在AB上，存在实数t满足的应用，角平分线的性质定理的综合应用，平面向量数量积的性质，本题的综合性比较强，运用的知识较为灵活．
12、设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（ ）21*cnjy*com
①（）﹣（）=0；
②||﹣||＜|﹣|；
③（?）﹣（?）不与垂直；
④（3+2）?（3﹣2）=9||2﹣4||2．
其中的真命题是（ ）
A、②④ B、③④
C、②③ D、①②
考点：平面向量的综合题。
分析：利用向量的基本知识进行分析转化是解决本题的关键．根据向量的数乘运算、向量的数量积运算性质，向量减法的几何意义对有关问题进行求解并加以判断．
解答：解：由于是不共线的向量，因此（）不一定等于（），故①错误；
由于不共线，故构成三角形，因此②正确；
由于[（）﹣（）]==0，故③中两向量垂直，故③错误；
根据向量数量积的运算可以得出④是正确的．故选A．
点评：本题考查平面向量的基本运算性质，数量积的运算性质，考查向量问题的基本解法，等价转化思想．要区分向量运算与数的运算．避免类比数的运算进行错误选择．
13、定义是向量a和b的“向量积”，它的长度为向量a和b的夹角，若等于（ ）21cnjy
A、6 B、
C、2 D、21世纪教育网版权所有
考点：平面向量的综合题。21世纪教育网21cnjy
专题：新定义。21*cnjy*com
分析：可先设的夹角为θ，利用向量的夹角公式可求θ，然后根据题目中的定义可求21世纪教育网版权所有
点评：本题以新定义为平台，主要考查了平面向量的数量积的性质的应用，解决本题的关键是要由
向量的夹角公式求θ，还要读懂题目中所给的新定义．根据新定义．
14、已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则||等于（ ）
A、0 B、
C、2 D、
考点：平面向量的综合题；向量的模；向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。
分析：由题意得，||=，故有||=|2|，由此求出结果．
解答：解析：如图，，
故．
有||=|2|，
又||=1
∴有||=2，
故选C．
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点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的定义，求向量的模的方法，运用向量和的三角形法则求出向量的和是解题的关键．21cnjy
15、将函数的图象按向量平移后，得到函数y=2cos2x的图象，则m，n的值分别为（ ）21世纪教育网
A、 B、21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
C、 D、
点评：本题主要考查三角函数的向量的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意三角函数的化简．
16、已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可得=2（3λ2﹣8λ+5），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q
解答：解：设Q（x，y，z）
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得，则有Q（λ，λ，2λ）
，
当=（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ）=2（3λ2﹣8λ+5）
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值此时Q21世纪教育网版权所有
故选：C21世纪教育网
点评：本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得，进而有Q（λ，λ，2λ），然后转化为关于λ的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用．
17、若向量=（cosα，sinβ），=（cosα，sinβ），则与一定满足（ ）21*cnjy*com
A、与的夹角等于α﹣β B、⊥21世纪教育网版权所有
C、∥ D、（+）⊥（﹣）21cnjy
点评：本题考查平面向量的综合知识，考查平面向量积的运算用于判别向量间的关系．
18、设，且在x轴上的射影为2，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：由条件“在x轴上的射影为2”，即可设，再根据，即求出y．
解答：解：由题意，可设，
∵
∴
∴2×3+4y=0，解得y=
∴
故选B．
点评：向量知识是高考中的常见内容，经常会与其他知识结合起来综合考量，比如三角函数，数列，解析几何等，其中，对于非零向量，?是经常考查到的知识点，考生要尤为重视．
19、已知=（sinα，cos2α），=（2sinα﹣1，1），α∈（，π），若?=，则tan（α+）的值为（ ）21*cnjy*com
A、 B、21世纪教育21世纪教育网网版权所有
C、 D、
考点：平面向量的综合题。21cnjy
专题：计算题。21世纪教育网
分析：由已知中=（sinα，cos2α），=（2sinα﹣1，1），根据平面向量的数量积公式，结合已知中?=，可以构造一个关于α的三角方程，解方程即可求出sinα，进而根据α∈（，π），求出tanα的值，进而根据两角和的正切公式，得到答案．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，两角和的正切公式，其中根据已知条件构造三角方程，求出sinα，进而根据α∈（，π），求出tanα的值，是解答本题的关键．
二、填空题（共6小题）21世纪教育网版权所有
20、在△ABC所在平面存在一点O使得=，则面积= ．
考点：零向量；平面向量的综合题。
分析：三个向量之间的关系是和为零向量，移项得到两个向量的和与一个向量之间的关系，根据平行四边形法则得到三等分点，又有两个三角形是同底的三角形，得到面积之比．
解答：解：∵=，
∴，
设
∴O是AD的中点，
要求面积之比的两个三角形是同底的三角形，21*cnjy*com
∴面积之比等于三角形的高之比，21cnjy
∴比值是，21世纪教育网版权所有
故答案为：．21世纪教育网
点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体．
21、已知向量，，且，，则向量= ．
考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量；平面向量的综合题。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：设出向量的坐标，根据两个向量的减法运算得到向量的坐标，再根据两个向量的平行和垂直关系得到两组向量的坐标之间的关系，平行和垂直放在一起用，不要把两种关系的充要条件弄混，特别是中间的符号，再解方程组即可．
点评：本题是一个向量之间关系的平行和垂直关系的问题，是把向量的几何关系转化为代数运算的问题，特别注意连接代数式之间的符号，注意平行和垂直充要条件不要用错．
22、若平面向量的夹角是180°，且等于 （﹣2，2） ．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：根据两个向量的夹角是180°，得到两个向量共线且方向相反，设出要求的向量，根据之金额各向量的模长做出向量的坐标，把不合题意的舍去．
解答：解：∵的夹角是180°
∴共线，
∴设，
∵，
∴，21cnjy
∴λ=±2，21世纪教育网版权所有
∵的夹角是180°21世纪教育网21*cnjy*com
∴λ＜021*cnjy*com
∴=（﹣2，2）
故答案为：（﹣2，2）
点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，是一个基础题，解题时注意向量的设法，这是本题要考查的一个方面，注意把不合题意的舍去．
23、已知向量，实数m，n满足，则（m﹣3）2+n2的最大值为 16 ．21世纪教育网版权所有
考点：向量在几何中的应用；平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：利用下了的运算法则及两向量相等的公式求出m，n；表示出（m﹣3）2+n2，据三角函数的有界性求出三角函数的最值．
点评：本题考查下了的运算法则；向量相等的坐标公式；三角函数的有界性．
24、已知平面向量满足||=1，且与的夹角为120°，则||的取值范围是 （0，] _．
考点：平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：设则，由已知与的夹角为120°可得∠ABC=60°，由正弦定理得||=sinC≤从而可求||的取值范围
解答：解：设如图所示：
则由
又∵与的夹角为120°21*cnjy*com
∴∠ABC=60°
又由||=||=121世纪教育网版权所有
由正弦定理得：21世纪教育网
||=sinC≤
∴||∈（0，]
故|α|的取值范围是（0，]
21cnjy
点评：本题主考查了向量的加法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，综合性较大．
25、在斜坐标系xOy中，∠xOy，分别是Jc轴，轴方向的单位向量．对于坐标平面内的点P，如果，则Ge，叫做P的斜坐标．21世纪教育网版权所有
（1）已知P的斜坐标为（，1）则= ．
（2）在此坐标平面內，以O为原点，半径为1的_的方程是 ．
考点：平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：（1）根据p点的坐标表示出向量，进而由||2=（e1+e2）2可得答案．
（2）设圆上任意点M的坐标然后表示出=xe1+ye2，根据||=1找出x，y的关系即可．
点评：本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，解答的关键是将新定义的斜坐标转化为熟悉的直角坐标进行运算．属中档题．
三、解答题（共5小题）
26、已知a、b∈R，向量=（x，1），=（﹣1，b﹣x），函数f（x）=a﹣是偶函数．21*cnjy*com
（1）求b的值；21世纪教育网版权所有
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．21世纪教育网
考点：函数的值域；偶函数；平面向量的综合题。221cnjy世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：（1）利用向量的数量积公式求出f（x），利用偶函数的定义列出方程f（x）=f（﹣x）恒成立，求出b的值．
（2）先判断出f（x）的单调性，对x分段讨论求出函数f（x）的最值，列出方程组，求出a 的值．
解答：解（1）由已知可得，，且函数的定义域为D=．
又y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．
于是，b=0．
又对任意x∈D有f（x）=f（﹣x）
因此所求实数b=0．
（2）由（1）可知，（D=（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
考察函数的图象，可知：f（x）在区间（0，+∞）上增函数．
f（x）在区间（﹣∞，0）上减函数
因y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m，n同号．
①当0＜m＜n时，f（x）在 区间[m，n]上是增函数有，即方程，也就是2x2﹣2ax+1=0有两个不相等的正实数根，因此，解得．
②当m＜n＜0时，f（x）区间[m，n]上是减函数有，化简得（m﹣n）a=0，
解得a=0．
综上所述，所求实数a的取值范围a=0或．
点评：解决函数的奇偶性问题常利用奇函数、偶函数的定义得到恒成立的等式，注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．
27、我们把一系列向量（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知向量列{}满足：，=（n≥2）．
（1）证明数列{||}是等比数列；
（2）设θn表示向量，间的夹角，若bn=2nθn﹣1，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn；
（3）设||?log2||，问数列{cn}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
考点：数列与向量的综合；平面向量的综合题。
专题：综合题。21*cnjy*com
分析：（1）由=||，知数列{}是等比数列．21世纪教育网版权所有
（2）由cosθn==，知，由此能求出求Sn．21cnjy
（3）由||=，知．假设{cn}中的第n项最小，由，c2=0，能够推导出数列{cn}中存在最小项，最小项是．2121世纪教育网世纪教育网版权所有
（3）∵||=∴…（10分）
假设{cn}中的第n项最小，由，c2=0，∴0≤c2＜c1…（11分）
当n≥3时，有cn＜0，由cn≤cn+1
得
即，n2﹣6n+7≥0，或（舍），
∴n≥5
即有c5＜c6＜c7＜…； …（13分）
由cn≥cn+1，得3≤n≤5，又0≤c2＜c1，∴c5＜c4＜…＜c1；…（15分）
故数列{cn}中存在最小项，最小项是．…（16分）
点评：本题考查数列和向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
28、已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且．21*cnjy*com
（1）若等边三角形边长为6，且，求；2121*cnjy*com世纪教21cnjy育网
（2）若，求实数λ的取值范围．21世纪教育网版权所有
考点：平行向量与共线向量；平面向量数量积的运算；平面向量的综合题。
分析：（1）据向量模的平方等于向量的平方求向量的模，利用向量的数量积法则求向量的平方；
（2）向量的数量积等于两向量的模和它们夹角余弦的乘积得不等式，解不等式．
解答：解：（1）当时，，．
∴；
（2）设等边三角形的边长为a，
则，
即，21世纪教育网版权所有
∴，
∴．
又0≤λ≤1，
∴．
点评：本题考查向量模的求法：向量模的平方等于向量的平方；考查向量的数量积法则及解不等式．
29、平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．
（1）当?取最小值时，求的坐标；
（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．
（2）cos∠AXB是与夹角的余弦，利用数量积的知识易解决．
解答：解：（1）设=（x，y），
∵点X在直线OP上，∴向量与共线．
又=（2，1），∴x﹣2y=0，即x=2y．
∴=（2y，y）．又=﹣，=（1，7），21cnj21*cnjy*com y
∴=（1﹣2y，7﹣y）．21世纪教育网版权所有21世纪教育网
同样=﹣=（5﹣2y，1﹣y）．21世纪教育网
于是?=（1﹣2y）（5﹣2y）+（7﹣y）（1﹣y）=5y2﹣20y+12=5（y﹣2）2﹣8．
∴当y=2时，?有最小值﹣8，此时=（4，2）．21世纪教育网版权所有
（2）当=（4，2），即y=2时，有=（﹣3，5），=（1，﹣1）．
∴||=，||=．
∴cos∠AXB==﹣．
点评：（1）中求最值问题可转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数；也可以利用与反向时，?有最小值进行求解．而（2）中即为数量积定义的应用．
30、已知平面上一定点C（﹣1，0）和一定直线l：x=﹣4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，．
（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若，求λ的取值范围．
解答：解：（1）由，得：，…（2分）
设P（x，y），则（x+4）2﹣4[（x+1）2+y2]=0，化简得：，…（4分）
点P在椭圆上，其方程为．…（6分）
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由得：，
所以，A、B、C三点共线．且λ＞0，
得：（x1+1，y1）+λ（x2+1，y2）=0，即：…（8分）21世纪教育网21世纪教育网版权所有
因为，所以①…（9分）21cn21*cnjy*com jy
又因为，所以②…（10分）
