向量的应用—向量在几何中的应用 一、选择题（共20小题）
1、在以下四个命题中，不正确的个数为（ ）221*cnjy*com世纪教育网版权所有
（1）若
（2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，且x+y+z=121世纪教育网版权所有
（3）空间三个向量，若21世纪教育网
（4）对于任意空间任意两个向量，的充要条件是存在唯一的实数λ，使．
A、1 B、221cnjy
C、3 D、421*cnjy*com
2、已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（ ）
A、
B、
C、
D、
3、△ABC中，若对任意t∈R，恒有|﹣t|≥||，则（ ）
A、∠A=90° B、∠B=90°
C、∠C=90° D、∠A=∠B=∠C=60°
4、若O是△ABC所在平面上一点，且满足，则△ABC的形状为（ ）
A、等腰直角三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等边三角形
5、已知|a|=|b|=1，a与b夹角是90°，c=2a+3b，d=ka﹣4b，c与d垂直，k的值为（ ）
A、﹣6 B、6
C、3 D、﹣3
6、在平面直角坐标系中，i，j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，O为坐标原点，设向量=2i+j，=3i+kj，若A，O，B三点不共线，且△AOB有一个内角为直角，则实数k的所有可能取值的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
7、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、在下列四个命题中
①已知A、B、C、D是空间的任意四点，则．
②若{}为空间的一组基底，则{}也构成空间的一组基底．
③．21世纪教育网版权所有
④对于空间的任意一点O和不共线的三点A、B、C，若（其中x，y，z∈R），则P、A、B、C四点共面．21世纪教育网
其中正确的个数是（ ）21cnjy
A、3 B、221世纪教育网版权所有
C、1 D、021*cnjy*com
9、点P在，设△ABC的面积是△PBC的面积的m倍，那么m=（ ）
A、1 B、21*cnjy*com
C、4 D、2
10、将函数f（x）=x3的图象按向量平移后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）满足g（2+x）+g（2﹣x）=2，则向量的坐标是（ ）
A、（2，1） B、（﹣2，﹣1）
C、（2，2） D、（1，2）
11、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的（ ）
A、三个内角的角平分线的交点
B、三条边的垂直平分线的交点
C、三条中线的交点
D、三条高的交点
12、i，j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且=4i+2j，=3i+4j，则△OAB的面积等于（ ）
A、15 B、10
C、7.5 D、5
13、在Rt△ABC中，∠A=90°，，则的值为：（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、不能确定
14、在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，，则=（ ）
A、（0，﹣4）或（﹣2，0）
B、（0，4）或（2，0）
C、（0，﹣4）
D、（﹣2，0）
15、设P是曲线y=上一点，点P关于直线y=x的对称点为Q，点O为坐标原点，则=（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
16、在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、21世纪教育网版权所有
17、平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（ ）
A、
B、
C、
D、
18、在边长为1的等边△ABC中，设=（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、21世纪教育网
19、已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足：++=，若实数λ 满足：+=λ，则λ的值为（ ）
A、3 B、21*cnjy*com
C、2 D、8
20、设 O点 在△ABC内部，且有，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为（ ）
A、2 B、21*cnjy*com
C、3 D、
二、填空题（共5小题）
21、设△ABC是边长为1的正三角形，则= _________ ．
22、已知，，，夹角为，如图，若，，且D为BC中点，则的长度为 _________ ．
23、已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且A、B、D三点的坐标分别为（0，0）、（2，0）、（1，1），则顶点C的横坐标的取值范围是 _________ ．
24、如图所示，已知：，用表示，则= _________ ．
25、对n个向量，如果存在不全为零的实数k1，k2…kn使得，则称线性相关．若已知，，是线性相关的，则k1：k2：k3= _________ ．21cnjy
三、解答题（共5小题）21世纪教育网
26、在△ABC中，．
（1）求的值；21世纪教育网版权所有
（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．21世纪教育网
27、如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使，，，．
（1）求λ及μ；
（2）用，表示；21*cnjy*com
（3）求△PAC的面积．
28、已知，，，
（1）求与的夹角θ；21*cnjy*com
（2）求；
（3）若，，求△ABC的面积．
29、在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足（）?=0，求t的值．
30、在△AOB中，已知，当△AOB的面积最大时，求与的夹角θ．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）21cnjy
1、在以下四个命题中，不正确的个数为（ ）21世纪教育网
（1）若
（2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，且x+y+z=121世纪教育网
（3）空间三个向量，若
（4）对于任意空间任意两个向量，的充要条件是存在唯一的实数λ，使．
A、1 B、221*cnjy*com
C、3 D、421世纪教育网版权所有
考点：充要条件；平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用。
专题：探究型。
分析：利用“两个向量垂直”等价于“两向量的数量积为零”知①正确；根据空间向量基本定理可以推得②正确，举反例可得③、④不正确，因此可得题中的正确命题有两个．
解答：解：对于（1），由向量垂直的充要条件得：??，说明①正确．
对于（2），若且x+y+z=1，则
=21*cnjy*com
由空间向量基本定理，得、、三个向量共面，说明点P在平面ABC内．
反之，如果点P在平面ABC内，类似地可以证明存在x，y，z∈R，且x+y+z=1，方法同上，因此②正确．
对于（3），若空间三个向量，若，但是零向量，则不能满足，说明③不正确．
对于（4），若两个向量，，但若但不是零向量，则不存在实数λ，使成立说明④不正确．
故选B．
点评：本题考查两个向量数量积的运算和充要条件的定义，属于基础题．熟练掌握向量运算性质，准确理解充要条件的含义，是解决本题的关键．
2、已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量的几何表示；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，绕着图形的棱到P，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量再用是基地的向量来表示，做出结果．
解答：解：∵===
=21世纪教育网
=21cnjy21*cnjy*com
=21世纪教育网版权所有
故选A．
点评：本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．
3、△ABC中，若对任意t∈R，恒有|﹣t|≥||，则（ ）21世纪教育网
A、∠A=90° B、∠B=90°
C、∠C=90° D、∠A=∠B=∠C=60°21*cnjy*com
考点：向量的模；向量在几何中的应用。
分析：利用向量共线的充要条件及向量的三角形运算法则得到是以点A为起点以边BC上任意一点为终边的向量，
得到三角形的边的关系不管点D在哪里，恒成立，当且仅当两线垂直．
点评：本题考查向量平行的充要条件；向量的三角形运算法则及三角形的边的特殊关系．
4、若O是△ABC所在平面上一点，且满足，则△ABC的形状为（ ）
A、等腰直角三角形 B、直角三角形21*cnjy*com
C、等腰三角形 D、等边三角形21世纪教育网
考点：向量的模；向量在几何中的应用。21cnjy
专题：计算题；转化思想。21世纪教育网版权所有
分析：根据两个向量的模相等，把向量应用向量的减法运算进行整理，把两个向量的和应用平行四边形法则运算，得到平行四边形的两条对角线相等，是矩形，得到直角三角形．
点评：向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．
5、已知|a|=|b|=1，a与b夹角是90°，c=2a+3b，d=ka﹣4b，c与d垂直，k的值为（ ）
A、﹣6 B、6
C、3 D、﹣3
考点：零向量；向量在几何中的应用。
分析：根据c与d垂直的条件，写出c?d=（2a+3b）?（ka﹣4b），它的结果为0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．
解答：解：∵c?d=（2a+3b）?（ka﹣4b）21*cnjy*com
=2k+（3k﹣8）a?b﹣12=0，
又∵a?b=0．∴2k﹣12=0，k=6．
故选B
点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的
6、在平面直角坐标系中，i，j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，O为坐标原点，设向量=2i+j，=3i+kj，若A，O，B三点不共线，且△AOB有一个内角为直角，则实数k的所有可能取值的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：单位向量；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：根据△AOB有一个内角为直角，进行分类讨论，根据两向量垂直则两向量的数量积为零建立方程，分别求出各种情形下的k的值即可．
解答：解：当∠AOB为直角时，即（2i+j）（3i+kj）=6+k=0，解得k=﹣6；
当∠OAB为直角时，即（2i+j）[i+（k﹣1）j]=2+k﹣1=0，解得k=﹣1；21cnjy21*cnjy*com
当∠OBA为直角时，即（3i+kj）[i+（k﹣1）j]=3+k（k﹣1）=0，无解；
k可取的值有2个；21世纪教育网
故选B．21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查了单位向量，以及向量在几何中的应用和分类讨论的数学思想，属于基础题．
7、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：结合平行四边形可以看出以平行四边形的边做向量，所得到向量之间的关系，依据是平行四边形的一对对边平行且相等，得到相等向量和相反向量．
点评：本题考查相等向量和相反向量，以及向量的加法、减法及其几何意义，是一个借助于平行四边形的边之间的关系来解题的，是一个基础题，只要认真就没有问题．
8、在下列四个命题中
①已知A、B、C、D是空间的任意四点，则．
②若{}为空间的一组基底，则{}也构成空间的一组基底．
③．
④对于空间的任意一点O和不共线的三点A、B、C，若（其中x，y，z∈R），则P、A、B、C四点共面．
其中正确的个数是（ ）
A、3 B、2
C、1 D、0
考点：向量的加法及其几何意义；平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的性质及其运算律；向量在几何中的应用。
专题：探究型。
分析：①由向量的运算法则知正确
②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，得出两向量反向．
③向量共线的几何意义知所在的线平行或重合．21*cnjy*com
④利用空间向量的基本定理知错．21世纪教育网
解答：解：易知只有①是正确的，21cnjy
对于②，|③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．．
对于③共线，则它们所在直线平行或重合21世纪教育网版权所有
对于④，若O?平面ABC，则、、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面．
故选C．
点评：本题考查向量的运算法则、向量模的平方等于向量的平方、向量的几何意义、空间向量基本定理．
9、点P在，设△ABC的面积是△PBC的面积的m倍，那么m=（ ）
A、1 B、21*cnjy*com
C、4 D、2
考点：向量的线性运算性质及几何意义；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：由点P在三角形ABC内，得M＞1．记，交BC与E．再由，得到共线，从而有点E是BC的中点．且E点平分PD．得到，再由△ABC与△PBC同底求出高之比即可．
点评：本题主要考查平面向量在平图形中的应用，用向量的加法来刻画平面图形中的点的位置和量的关系．
10、将函数f（x）=x3的图象按向量平移后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）满足g（2+x）+g（2﹣x）=2，则向量的坐标是（ ）
A、（2，1） B、（﹣2，﹣1）21cnjy 21世纪教育网
C、（2，2） D、（1，2）21世纪教21*cnjy*com育网版权所有
考点：平面向量的坐标运算；函数的值；向量在几何中的应用。
专题：数形结合。
分析：由g（2+x）+g（2﹣x）=2可知g（x）的对称中心为（2，1），是本题解题的关键，通过f（x）与g（x）的对称中心之间的关系可得到平移方向，向量的坐标很容易解出．
解答：解：函数f（x）=x3的对称中心为（0，0），
由g（2+x）+g（2﹣x）=2可知g（x）的对称中心为（2，1），
点（2，1）向左移两个单位再向下移两个单位得到（0，0），
所以f（x）向右移两个单位向上移一个单位，21世纪教育网
则向量的坐标是（2，1），
故选A．
点评：本题考查了两个函数图象之间的平移，注意平移的顺序，以及考查了向量在几何中的应用．
11、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的（ ）
A、三个内角的角平分线的交点 B、三条边的垂直平分线的交点
C、三条中线的交点 D、三条高的交点
考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：由得到从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点
点评：本题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求
12、i，j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且=4i+2j，=3i+4j，则△OAB的面积等于（ ）
A、15 B、10
C、7.5 D、5
考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：本题求三角形的面积，根据题目条件有两边长度可求出，又两边的夹角可用向量法求出，故用公式S=absinC求面积，由此知求解本题先用向量的模公式求两邻边的长度再由内积公式求两边的夹角．
解答：解：由已知：A（4，2），B（3，4）．
则=12+8=20，||=2，||=5．21*cnjy*com
∴，21世纪教育网版权所有
∴，21cnjy
∴．21世纪教育网
故应选D．
点评：本题考查向量数量积的运算，向量模的公式，三角形的面积公式，涉及到的知识点较多，综合性较强．
13、在Rt△ABC中，∠A=90°，，则的值为：（ ）
A、1 B、﹣1
C、1或﹣1 D、不能确定
考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的差，再进行数量积的运算．
点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．?
14、在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，，则=（ ）
A、（0，﹣4）或（﹣2，0） B、（0，4）或（2，0）
C、（0，﹣4） D、（﹣2，0）
考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，则且，联立方程组，解方程组可得答案．
解答：解：在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，则
∴，得m+2n=0，
又，得m2+n2=5，
解得或，
∴或（﹣1，2），21cnjy21*cnjy*com
或（﹣2，0）21世纪教育网版权所有
故选A．21*cnjy*com
点评：若向量=（x1，y1），=（x2，y2），则∥?x1?x2+y1y2=0．即：“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0．
15、（中应用举例）设P是曲线y=上一点，点P关于直线y=x的对称点为Q，点O为坐标原点，则=（ ）
A、0 B、1
C、2 D、321世纪教育网
考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：设P点横坐标X1，则纵坐标，Q与P关于y=x对称则Q坐标为；代入所求式子进行向量
16、在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用。
分析：在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．
解答：解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣
=
=
∵
θ∈（0，]，
∴2θ∈（0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=
故选D．
点评：本题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．
17、平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：向量在几何中的应用。21世21cnjy纪教育网
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．
点评：本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．
18、在边长为1的等边△ABC中，设=（ ）
A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
考点：向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：利用向量的数量积的运算法则：两向量的数量积等于两向量的模与它们夹角余弦的积．
解答：解：=||?=﹣
故选项为A
点评：本题考查两向量的数量积的运算法则．
19、已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足：++=，若实数λ 满足：+=λ，则λ的值为（ ）
A、3 B、
C、2 D、8
考点：向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：利用向量基本定理结合向量的减法有：，化简即得．
解答：解：由题意得，；
∴
∴λ=321cnjy
故选A．21世纪教育网
点评：本题的计算中，只需将向量都化成以P为起点就可以比较得出解答了．解答的关键是向量基本定理的理解与应用．21世纪教育网版权所有
20、设 O点 在△ABC内部，且有，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为（ ）
A、2 B、21世纪教育网
C、3 D、21*cnjy*com
考点：向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：根据，变形得∴，利用向量加法的平行四边形法则可得2=﹣4，从而确定点O的位置，进而求得△ABC 的面积与△AOC 的面积的比．
点评：此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．
二、填空题（共5小题）
21、设△ABC是边长为1的正三角形，则= ．
考点：向量的模；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：本题是一个向量求模的问题，这种题目一般需要先平方变为已知向量的模长和数量积问题，根据正三角形的特点，得到向量的模长和夹角，代入数据得到结果．
解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴||=1，||=1，=1×1×cos=
∴|+|===，21cnjy
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点评：本题是一个求模长的问题，是数量积的一个应用，学生应在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．?
22、已知，，，夹角为，如图，若，，且D为BC中点，则的长度为 ．21世纪教育网
考点：向量的模；向量在几何中的应用。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：根据向量加法的平行四边形法则可知，从而可用，表示，进而可以求出他的模．
解答：解：根据向量加法的平行四边形法则可知，
∵若，，21*cnjy*com
∴
∴=15
∴
故答案为
点评：本题的考点是向量在几何中的应用．主要考查向量的运算法则：平行四边形法则、向量的数量积的定义式以及向量的模计算公式．体现了数形结合的思想，同时也考查了学生应用知识分析解决问题的能力．
23、已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且A、B、D三点的坐标分别为（0，0）、（2，0）、（1，1），则顶点C的横坐标的取值范围是 （1，3）∪（3，+∞） ．
考点：平行向量与共线向量；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：根据梯形的性质AB∥DC，且AB≠DC，易得向量，结合向量平行的坐标运算，构造不等式，即可得到C点横坐标的取值范围．
解答：解：当ABCD为平行四边形，
则=+=（2，0）+（1，1）=（3，1），
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是（1，3）∪（3，+∞）
故答案为：（1，3）∪（3，+∞）．
点评：利用向量证明平面内线与线的位置关系，是向量的主要用法，当我们需要判断一个四边形的形状时，也常常使用平面向量的解答或证明，若两个向量平行，则表示它们的有向线段所在的直线平行或重合，若两个向量的模相等，则表示它们的有向线段长度相等．
24、如图所示，已知：，用表示，则= ．
考点：向量的减法及其几何意义；向量在几何中的应用。21cnjy 21世纪教育网
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：???=．
点评：本题考查向量的坐标运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量在几何中的灵活运用．
25、对n个向量，如果存在不全为零的实数k1，k2…kn使得，则称线性相关．若已知，，是线性相关的，则k1：k2：k3= 3：（﹣2）：1 ．21世纪教育网
考点：向量的线性运算性质及几何意义；向量在几何中的应用。
专题：新定义。
分析：道德利用题中的定义，设出方程，利用向量的坐标运算得到方程组，然后给其中某一个未知数赋值，从而得出方程组的一个解，再化成三个数的比值即可．
解答：解：设k1+k2+k3=，21*cnjy*com
则
当k3=1时，k1=3，k2=﹣2
故答案为3：（﹣2）：1
点评：线性相关，是向量的一个常见的概念，在近几年考的频率较高，值得重视．本题考查理解题中给的新定义、向量的坐标运算、平面向量的基本定理，属于基础题．
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，．
（1）求的值；
（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．
考点：向量的模；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：（1）．变形出的表达式，求值即可．21世纪教育网版权所有
（2）由面积公式表示出△ABC的面积，根据其形式用基本不等式求出等号成立的条件，即可．21*cnjy*com
∴cos∠BAC=21世纪教育网
∴sin∠BAC═=21cnjy
∴S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC=≤
等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，
又由（1）|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值．
cos∠BAC=，即∠BAC=60°
答：当△ABC的面积最大时，求∠A的大小是600．
点评：考查向量的夹角公式、三角形中同角三角函数的基本关系以及基本不等式求最值，综合性与知识性较强．
27、如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使，，，．
（1）求λ及μ；
（2）用，表示；
（3）求△PAC的面积．
考点：向量数乘的运算及其几何意义；向量在几何中的应用。
专题：数形结合。
分析：（1）根据，用基底、表示出．再根据，
用基底、表示出．这两种表示方式是相同的，由此求出λ及μ．
（2）把用来表示，把（1）中的结果代入可得用基底、表 示的．
（3） 根据面积之比等于对应的向量的长度比求出△PAB和△PBC 的面积，用△ABC的面积减去△PAB和△PBC 的面积21cnjy21*cnjy*com
即得△PAC的面积．21世纪教育网
（2）．
（3）设△ABC，△PAB，△PBC的高分别为h，h1，h2，
，，21世纪教育网版权所有
，，S△PAC=4．
点评：本题考查向量数乘的运算和几何意义，把三角形的面积之比转化为向量的长度比，是解题的难点．
28、已知，，，
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）若，，求△ABC的面积．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：（1）根据两个向量的数量积的值，把这两个向量展开写出有关向量的模长和数量积的表示式，得到两个向量的数量积，代入求夹角的公式得到夹角的余弦值，求出夹角．
（2）利用模长公式做出求模长，这是一个公式的应用．
（3）做出两个向量的夹角，做出三角形的内角，用正弦定理写出三角形的面积的表示形式，代入模长和夹角得到结果．
解答：解：（1）∵，∴4||2﹣4﹣3||2=61，
又||=4，||=3，∴64﹣4﹣27=61，∴=﹣6，
∴21cnjy
又0≤θ≤π，
∴21世纪教育网
（2）
（3）∵与的夹角，21世纪教育网版权所有
∴21*cnjy*com
又，
∴
点评：本题考查向量的夹角模长和正弦定理的应用，本题解题的关键是对于所给的表示式的整理，得到要用的数量积．
29、在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足（）?=0，求t的值．
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：
由E是AC，BD的中点，易得D（1，4）
从而得：BC=、AD=；
（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．
由（）?=0，得：（3+2t，5+t）?（﹣2，﹣1）=0，
从而得：．
或者由，，得：
解答：解：（1）（方法一）由题设知，则
所以21世纪教育网
故所求的两条对角线的长分别为、．
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：
E为B、C的中点，E（0，1）21世纪教育网版权所有
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）21cnjy
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；21*cnjy*com
（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．
由（）?=0，得：（3+2t，5+t）?（﹣2，﹣1）=0，
从而5t=﹣11，所以．
或者：，，
点评：本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力．
30、在△AOB中，已知，当△AOB的面积最大时，求与的夹角θ．
考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算律；向量在几何中的应用。
专题：计算题。
分析：由条件可得，，由此化简△AOB的面积为，可得当时，S△AOB最大．此时，，从而得到θ的值．
