向量的应用—向量在物理中的应用
一、选择题（共6小题）
1、小船以10km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h．则小船实际航行速度的大小为（ ）
A、20km/h B、20km/h
C、10km/h D、10km/h
2、已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（ ）
A、（﹣1，﹣2） B、（1，﹣2）
C、（﹣1，2） D、（1，2）
3、已知力F1=i+2j+3k，F2=﹣2i+3j﹣k，F3=3i﹣4j+5k，若F1、F2、F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到点M2（3，1，2），则合力所做的功为（ ）
A、10 B、12
C、14 D、16
4、一物体在力F（x）=4x﹣1（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1m处运动到x=3m处，则力F（x）所作的功为（ ）
A、10J B、12J
C、14J D、16J
5、已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）
A、N B、5N
C、10N D、N
6、河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ）
A、13m/s B、12m/s
C、17m/s D、15m/s
二、填空题（共4小题）
7、如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为 _________ N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力= _________ ．
8、河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以2km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是 _________ km/h．
9、一条河的两岸平行，河的宽度为480m，一艘船从某岸的A处出发到河对岸，已知船的速度，水流的速度，当行驶航程最短时，所用的时间是 _________ min，若=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为 _________ ．
10、坐标平面上质点沿方向前进，现希望在此平面上设置一直线l，使质点碰到直线l时，依据光学原理（入射角等于反射角）反射，并经反射后沿方向前进，则直线l的其中一个方向向量= _________ ．
三、解答题（共4小题）
11、一汽车向北行驶3km，然后向北偏东60°方向行驶3km，求汽车的位移．
12、如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
13、平面内作用在同一质点O的三个力、处于平衡状态，已知的夹角是45°，求的夹角．
14、如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上．∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小．（忽略绳子重量）
答案与评分标准
一、选择题（共6小题）
1、小船以10km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h．则小船实际航行速度的大小为（ ）
A、20km/h B、20km/h
C、10km/h D、10km/h
考点：向量在物理中的应用。
专题：计算题。
分析：由题意知，船在静水中的速度为v1，实际航行的速度为v0，水流的速度为v2，它们构成直角三角形，由勾股定理容易求出小船实际航行速度．
解答：解：如图，设船在静水中的速度为v1=10km/h，河水的流速为v2=10km/h．
水流的速度为v2，则由v12+v22=v02，得+102=v02，
∴v0=±20，取v0=20km/h，即小船实际航行速度的大小为20km/h．
故选B．
点评：本题主要考查了向量在物理中的应用，三个速度构成直角三角形，勾股定理模型的应用，是基础题．
2、已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（ ）
A、（﹣1，﹣2） B、（1，﹣2）
C、（﹣1，2） D、（1，2）
点评：本题考查向量在物理中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意要使物体平衡，合外力为零．
3、已知力F1=i+2j+3k，F2=﹣2i+3j﹣k，F3=3i﹣4j+5k，若F1、F2、F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到点M2（3，1，2），则合力所做的功为（ ）
A、10 B、12
C、14 D、16
考点：向量在物理中的应用。
专题：计算题。
分析：先求出合力的坐标及的坐标，代入合力做功的计算公式进行运算．
解答：解析：∵F=F1+F2+F3=（1，2，3）+（﹣2，3，﹣1）+（3，﹣4，5）=（2，1，7），
=（2，3，1），
∴F?=（2，1，7）?（2，3，1）=4+3+7=14．
故选C．
点评：本题考查向量在物理中的应用．
4、一物体在力F（x）=4x﹣1（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1m处运动到x=3m处，则力F（x）所作的功为（ ）
A、10J B、12J
C、14J D、16J
点评：本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法．
5、已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）
A、N B、5N
C、10N D、N
考点：向量在物理中的应用。
专题：常规题型；转化思想。
分析：此题考查的是向量在物理中的应用．在解答时，影响根据信息画出平行四边形，结合已知向量的大小和向量间的夹角，通过运算或直接解直角三角形进行问题的解答即可．
解答：解：由题意可知：对应向量如图
由于α=60°，∴的大小为|F合|?sin60°=10×=．
故选A．
点评：此题考查的是向量在物理中的应用．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、向量运算的法则以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．
6、河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ）
A、13m/s B、12m/s
C、17m/s D、15m/s
考点：向量在物理中的应用。
专题：计算题。
分析：为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2=2m/s平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v=12m/s指向对岸，由此能求出静水速度．
点评：本题考查向量在物理中的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意公式静水速度的灵活运用．
二、填空题（共4小题）
7、如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为 N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力= （5，4） ．
考点：向量在物理中的应用。
专题：计算题。
分析：由题中图可得两个力的大小和方向，可得两个力的坐标，则利用两向量的坐标加法运算，从而得合力的坐标以及大小．
解答：解：由题中图可得两个力的大小和方向，可得两个力的坐标为
，，
∴则利用两向量的坐标加法运算，
，
从而得合力的坐标（5，4）以及大小．
故填：；（5，4）．
点评：向量是数学中的重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，许多物理学问题，用向量知识来解决就显得格外简练，关键在于会用平面向量的语言进行转换．
8、河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以2km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是 4 km/h．
考点：向量在物理中的应用。
专题：计算题。
分析：画出示意图，根据三角形的有关知识进行求解即可求出所求．
解答：解：由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，
则表示船的实际速度．
则，，∠AOB=90°
∴
∴实际速度为4km/h．
故答案为：4
点评：本题主要考查了向量在物理中的应用，解题时注意船在静水中速度，水流速度和船的实际速度三个概念的区分．
9、一条河的两岸平行，河的宽度为480m，一艘船从某岸的A处出发到河对岸，已知船的速度，水流的速度，当行驶航程最短时，所用的时间是 2.4 min，若=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为 2 ．
考点：向量在物理中的应用。
专题：计算题。
分析：根据平行四边形法则把船速分解，得到垂直于河岸的速度，根据所给的河的宽度和船速得到时间，注意单位要统一，根据一个向量在另一个向量上的投影公式做出投影．
点评：本题考查向量在物理中的应用，本题是一个基础题，解题的关键是注意题目中单位要统一，最后要求的是以分钟为单位．
10、坐标平面上质点沿方向前进，现希望在此平面上设置一直线l，使质点碰到直线l时，依据光学原理（入射角等于反射角）反射，并经反射后沿方向前进，则直线l的其中一个方向向量= （1，﹣3）（答案不唯一） ．
考点：向量在物理中的应用。
专题：计算题；开放型。
分析：先分别根据方向向量求出所在直线的斜率，然后根据光学原理（入射角等于反射角），利用到角公式建立等式，求出直线l的斜率，从而求出直线的一个方向向量．
点评：本题主要考查了向量在物理中的应用，以及直线的方向向量（1，k），属于中档题．
三、解答题（共4小题）
11、一汽车向北行驶3km，然后向北偏东60°方向行驶3km，求汽车的位移．
考点：向量在物理中的应用。
专题：计算题。
分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由有关三角形的定理即可求得汽车的位移．
解答：解：根据题意画出图形，汽车行驶的路程A→C→B．
在三角形ABC中，AC=BC=3，∠ACB=120°
∴∠BAC=30°，AB=3
故汽车的位移为：北偏东30°方向，大小为km．
点评：考查向量在物理中的应用、解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形．根据数据特点选择合适的定理求解．
12、如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
考点：向量在物理中的应用。
专题：数形结合。
分析：先求出木板对球的支持力为，由动力矩等于阻力矩解出绳子的拉力为，再利用基本不等式求出的最小值．
解答：解：如图：设木板对球的支持力为，则=，
设绳子的拉力为．
又AC=20cosα，AD=，
由动力矩等于阻力矩得×20cosα=×=，
∴=
=
≥
==12，
∴当且仅当 cosα=1﹣coaα 即cosα=，亦即 α=60°时，有最小值12N．
点评：本题考查向量在物理中的应用，基本不等式ab≤的应用，体现了数形结合的数学思想．
13、平面内作用在同一质点O的三个力、处于平衡状态，已知的夹角是45°，求的夹角．
考点：向量在物理中的应用。
专题：计算题。
分析：根据题中条件，将三个向量集中到同一个三角形中去，后再利用解三角形的知识解决．
解答：解：画出图形：
在三角形OAB中，OA=1，AB=，∠OAB=135°
由余弦定理得，OB2=OA2+AB2﹣2OA*ABcos135°=4+2
∴由余弦定理得，∠AOB=30°
∴F1与F3的夹角120．同理，F2与F3的夹角165°．
点评：向量在物理中的应用体现了数理结合的思想，解决 的方法是将向量条件集中到三角形中去解决．
14、如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上．∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小．（忽略绳子重量）
∠FCW=180°﹣120°=60°，∠FCE=90°．
∴四边形CEWF为矩形．
∴||=||cos30°=10?=5，
||=||cos60°=10×=5．
∴A处受力为5N，B处受力为5N．
点评：数学中学的向量有了物理中量的形容，更容易接受一些．让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用．
