三角函数中的恒等变换应用
一、选择题（共14小题）
1、有四个关于三角函数的命题：21世纪教育网版权所有
P1：?x∈R，sin2+cos2=；P2：?x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；21世纪教育网
P3：?x∈[0，π]，=sinx；P4：sinx=cosy?x+y=．其中假命题的是（ ）
A、P1，P4 B、P2，P4
C、P1，P3 D、P2，P421世纪教育网版权所有
2、在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）21*cnjy*com
A、必要不充分条件 B、充要条件21cnjy
C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件21cnjy
3、在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（ ）
A、充分非必要条件 B、充要条件
C、必要非充分条件 D、既不充分也不必要条件
4、知的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
5、设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（ ）
A、[﹣2，2] B、[，]
C、[，2] D、[，2]
6、已知函数f（x）=sin5x+1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是（ ）
A、 B、π
C、1 D、0
7、下列命题中：①函数，f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a+b＞c则+＞；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（ ）
A、①②③④ B、①④
C、②③④ D、②③
8、曲线f（x）=ωsinωx+ωcosωx（ω＞0，x∈R）上的一个最大值点为P，一个最小值点为Q，则P、Q两点间的距离|PQ|的最小值是（ ）
A、 B、
C、2 D、2
9、若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个实根，则m的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
10、设f（x）=cosx﹣sinx把f（x）的图象按向量平移后，图象恰好为函数f（x）=sinx+cosx的图象，则m的值可以为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、π D、21世纪教育网版权所有
11、已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（ ）21世纪教育网
A、﹣ B、21cnjy
C、﹣ D、21世纪教育网版权所有
12、函数在区间上的最大值是（ ）
A、1 B、
C、 D、1+
13、函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（ ）
A、﹣3，1 B、﹣2，2
C、﹣3， D、﹣2，
14、已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（ ）
A、最小正周期为π的奇函数
B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为π的偶函数
D、最小正周期为的偶函数
二、填空题（共9小题）
15、对于任意满足的θ，使得恒成立的所有实数对（p，q）是 _________ ．
16、等比数列{an}中，a1=cosx，x∈（0，π），公比q=sinx，若，则x= _________ ．
17、已知：
①tan10°?tan20°+tan20°?tan60°+tan60°?tan10°=1，
②tan5°?tan10°+tan10°?tan75°+tan75°?tan5°=1，
则tan8°? _________ + _________ ?tan70°+tan70°?tan8°=1（答对一空不给分）
18、△ABC为锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则的值为 _________ ．
19、若的取值范围是 _________ ．
20、设函数，其中向量若函数，则x= _________ ．
21、函数的最小正周期是 _________ ．
22、已知函数f（x）=（sinx﹣cosx）sinx，x∈R，则f（x）的最小正周期是 _________ ．
23、函数的最小正周期为 _________ ．
三、解答题（共5小题）21世纪教育网
24、已知函数﹣1，x∈R．a21*cnjy*com
（1）求f（x）的最值和最小正周期；21世纪教育网版权所有
（2）设p：，q：|f（x）﹣m|＜3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
25、已知函数．21世纪教育网版权所有
（1）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围
（2）若|f（x）﹣m|＜2成立的充分条件是，求实数m的取值范围．21cnjy
26、已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
（1）f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）cos2x2+4asin2x2（x1，x2∈R，a为常数）；
（2）f（0）=f（）=1；
（3）当x∈[0，]时，|f（x）|≤2
求：（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．
27、已知函数
（1）若f（x）的最大值为1，求m的值
（2）当时，|f（x）|≤4恒成立，求实数m的取值范围．
28、已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l﹣x）=f（l+x）恒成立，设向量=（sinx，2），=（2sinx，），=（cos2x，1），=（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（?）＞f（?）的解集．
答案与评分标准
一、选择题（共14小题）
1、有四个关于三角函数的命题：21*cnjy*com 21世纪教育网版权所有
P1：?x∈R，sin2+cos2=；P2：?x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；
P3：?x∈[0，π]，=sinx；P4：sinx=cosy?x+y=．其中假命题的是（ ）
A、P1，P4 B、P2，P421世纪教育网
C、P1，P3 D、P2，P421世纪教育网版权所有
考点：四种命题的真假关系；三角函数中的恒等变换应用。
分析：P1：同角正余弦的平方和为1，显然错误；21cnjy
P2：取特值满足即可；
P3将根号中的式子利用二倍角公式化为平方形式，再注意正弦函数的符号即可．
P4由三角函数的周期性可判命题错误．
解答：解：?x∈R都有sin2+cos2frac{x}{2}=1，故P1错误；P2中x=y=0时满足式子，故正确；
P3：?x∈[0，π]，sinx＞0，且1﹣cos2x=2sin2x，所以=sinx正确；
P4：x=0，，sinx=cosy=0，错误．
故选A
点评：本题考查全称命题和特称命题的真假判断、以及三角函数求值、公式等，属基本题．
2、在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A、必要不充分条件 B、充要条件
C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件
点评：此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查三角函数相关知识．
3、在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（ ）
A、充分非必要条件 B、充要条件
C、必要非充分条件 D、既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差关系的确定；三角函数中的恒等变换应用。
分析：根据三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，我们可以对进行恒等变形，进而得到角A、B、C成等差数列与的等价关系，再由充要条件的定义即可得到答案．
解答：解：在△ABC中，
?2sinA?sinC﹣sin2A=2cosA?cosC+cos2A
?2sinA?sinC﹣2cosA?cosC=cos2A+sin2A=1
?﹣2cos（A+C）=1
?cos（A+C）=﹣
?A+C==2B21世纪教育网版权所有
?角A、B、C成等差数列21世纪教育网
故是角A、B、C成等差数列的充要条件．21cnjy
故选B．21*cnjy*com
点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，三角函数恒等变形，等差数列的定义，利用三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，对进行恒等变形，探究其与A、B、C成等差数列的等价关系是解答本题的关键．
4、知的值为（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、
点评：求函数的解析式的方法有凑的方法：将解析式用括号中的式子表示．
5、设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（ ）
A、[﹣2，2] B、[，]
C、[，2] D、[，2]
考点：导数的运算；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。
分析：要求f′（1）的范围，先求f′（x），然后把x=1代入后，利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式的逆运算化简得到2sin（），然后根据θ的范围，求出2sin（）的值域即可得到f′（1）的范围．
解答：解：由已知f′（x）=sinθ?x2+cosθ?x，
∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（），
又θ∈[0，]，
∴≤θ+≤
∴≤sin（）≤1，21世纪教育网版权所有
∴≤f′（1）≤221世纪教育网
故选D．21cnjy21*cnjy*com
点评：考查学生会求函数的导函数，会利用两角和的正弦函数公式化简求值，会根据角的范围求三角函数的值域．
6、已知函数f（x）=sin5x+1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是（ ）
A、 B、π21世纪教育网版权所有
C、1 D、0
考点：定积分的简单应用；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。
分析：根据积分的性质和几何意义可知，=（sin5x+1）dx=（﹣cos6x+x）求出值即
7、下列命题中：①函数，f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a+b＞c则+＞；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（ ）
A、①②③④ B、①④
C、②③④ D、②③
考点：函数在某点取得极值的条件；不等关系与不等式；三角函数中的恒等变换应用。
专题：常规题型。
分析：根据基本不等式和三角函数的有界性可知真假，利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0，推断出A+B=或A=B，则三角形形状可判断出．构造函数y=，根据函数的单调性可证得结论；由函数极值点与导数的关系，我们易判断对错．
解答：解：①f（x）=sinx+≥2，当sinx=时取等号，而sinx的最大值是1，故不正确；
②∵sin2A=sin2B∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0
∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0∴A+B=或A=B
∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故正确；
③可构造函数y=，该函数在（0．+∞）上单调递增，a+b＞c则+＞，故正确；
④∵f（x）是定义在R上的可导函数，
当f′（x0）=0时，x0可能f（x）极值点，也可能不是f（x）极值点，
当x0为f（x）极值点时，f′（x0）=0一定成立，
故f′（x0）=0是x0为f（x）极值点的必要不充分条件，故④正确；21世纪教育网版权所有
故选C．21世纪教育网
点评：考查学生会利用基本不等式解题，注意等号成立的条件，同时考查了极值的有关问题，属于综合题．
8、曲线f（x）=ωsinωx+ωcosωx（ω＞0，x∈R）上的一个最大值点为P，一个最小值点为Q，则P、Q两点间的距离|PQ|的最小值是（ ）
A、 B、21cnj21*cnjy*com y
C、2 D、2
考点：基本不等式；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：由两角和的正弦公式化简f（x）的解析式为2ωsin（ωx+），由题意求出P、Q两点间的坐标，再利用两点间的距离公式求出|PQ|的表达式，再运用基本不等式求出其最小值．
点评：本题主要考查两角和的正弦公式，基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题．
9、若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个实根，则m的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。
分析：由已知中sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个实根，我们根据方程存在实根的条件，我们可以求出满足条件的m的值，然后根据韦达定理结合同角三角函数关系，我们易求出满足条件的m的值．
解答：解：若方程4x2+2mx+m=0有实根，
则△=（2m）2﹣16m≥0
m≤0，或m≥4
若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个实根，
则sinθ+cosθ=，
sinθ?cosθ=
则（sinθ+cosθ）2﹣2（sinθ?cosθ）=1
即m=1﹣，m=1+（舍去）
故选B
点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的颁布与系数的关系，三角函数中的恒等变换应用，其中本题易忽略方程存在实数根，而错解为．21cnjy
10、设f（x）=cosx﹣sinx把f（x）的图象按向量平移后，图象恰好为函数f（x）=sinx+cosx的图象，则m的值可以为（ ）21世纪教育网
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、π D、21*cnjy*com
考点：平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
专题：综合题。21世纪教育网版权所有
分析：利用两角差和的余弦函数化简函数f（x）=cosx﹣sinx，然后按照向量平移后的图象，推出函数表达式；f（x）=sinx+cosx，就是y=cos（x﹣），利用两个函数表达式相同，即可求出m的最小值．
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，两角和与差的余弦函数，向量的平移等知识，基本知识的掌握程度决定解题能力的高低，可见功在平时的重要性．
11、已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（ ）
A、﹣ B、
C、﹣ D、
考点：三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：利用sin2θ+cos2θ=1，令原式除以sin2θ+cos2θ，从而把原式转化成关于tanθ的式子，把tanθ=2代入即可．
解答：解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ
=
=
==．21*cnjy*com
故选D．
点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．
12、函数在区间上的最大值是（ ）
A、1 B、21cnjy
C、 D、1+221世纪教育网1世纪教育网版权所有
考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
分析：先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到f（x）=，然后再求其在区间上
点评：本题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．二倍角公式一般都是反向考查，一定要会灵活运用．
13、函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（ ）
A、﹣3，1 B、﹣2，2
C、﹣3， D、﹣2，21世纪教育网版权所有
考点：三角函数中的恒等变换应用。
分析：用二倍角公式把二倍角变为一倍角，得到关于sinx的二次函数，配方整理，求解二次函数的最值，解题时注意正弦的取值范围．
解答：解：∵，
∴当时，，
当sinx=﹣1时，fmin（x）=﹣3．
故选C．
点评：三角函数值域及二次函数值域，容易忽视正弦函数的范围而出错．高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可
14、已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（ ）
A、最小正周期为π的奇函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为π的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法。
分析：用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．
解答：解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，
故选D．
点评：通过应用公式进行恒等变形，在不断提高学生恒等变形能力的同时，让学生初步认识形式和内容的辩证关系．掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式，并运用这些公式以及三角函数的积化和差与和差化积等公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值，证明三角恒等式等．
二、填空题（共9小题）
15、对于任意满足的θ，使得恒成立的所有实数对（p，q）是 ．21世纪教育网
考点：函数恒成立问题；三角函数恒等式的证明；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：根据对于任意满足的θ，使得恒成立，则取θ=0，，时恒成立，然后解不等式可求出p的值，代入可求出q的值，从而求出所求．
解答：解：∵对于任意满足的θ，使得恒成立21cnjy21*cnjy*com
点评：本题主要考查了函数恒成立，以及利用夹逼法则求值，同时考查了不等式的解法，属于中档题．
16、等比数列{an}中，a1=cosx，x∈（0，π），公比q=sinx，若，则x= ．
考点：等比数列的前n项和；极限及其运算；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。
分析：由数列{an}为等比数列可知，sinx≠1时，由x∈（0，π）可得sinx∈（0，1）．利用等比数列的前 n项和公式先求
代入极限运算可得=从而可得利用辅助角公式可得sin（x+）=结合x∈（0，π）且sinx≠1可求x21世纪教育网
点评：本题主要考查了等比数列的定义及前 n项和公式的运用，还考查了极限及运算，三角函数的辅助角公式的运用，属于基础知识的简单综合．21cnjy21*cnjy*com
17、已知：21世纪教育网版权所有
①tan10°?tan20°+tan20°?tan60°+tan60°?tan10°=1，
②tan5°?tan10°+tan10°?tan75°+tan75°?tan5°=1，
则tan8°? tan12° + tan12° ?tan70°+tan70°?tan8°=1（答对一空不给分）
考点：归纳推理；三角函数中的恒等变换应用。
专题：探究型。
分析：由题意得，式子中共有三个角，最大角与最小角的和与另一个角互余，70°+8°=78°，故另一个角等于12°，得到答案为tan12°，tan12°．
解答：解：∵tan8°?tan12°+tan12°?tan70°+tan70°?tan8°=tan12°（tan8°+tan70°）+tan70°?tan8°
=tan12° tan78°?（1﹣tan70°?tan8°）+tan70°?tan8°=（1﹣tan70°?tan8°）+tan70°?tan8°
=1
故答案为 tan12°，tan12°．
点评：本题考查两角和的正切公式的变形 tanα+tanβ=tan（α+β ）?（1﹣tanα?tanβ） 的应用，以及互余的两个角的正切值等于1．
18、△ABC为锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则的值为 ﹣1 ．
考点：任意角的三角函数的定义；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题；综合题。
分析：△ABC为锐角三角形，则A+B＞90°，推出P的横坐标的符号，再推出纵坐标的符号，确定P的象限，然后求y即可．
解答：解：∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞90°
得A＞90°﹣B
∴sinA＞sin（90°﹣B）=cosB，即
sinA＞cosB，sinA﹣cosB＞0同理可得
sinC＞cosA，cosA﹣sinC＜0
点P位于第四象限，
所以
故答案为：﹣1
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数恒等变形，是中档题．21*cnjy*com
19、若的取值范围是 ．21世纪教育网
考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。21cnjy
分析：通过二倍角公式化简cos2A+cos2B，通过A+B=，进而求出cos2A+cos2B=cos（2A+）+1，根据余弦函数的性质得出答案．21世纪教育网版权所有
即cos2A+cos2B=cos（2A+）+1
∵﹣1≤cos（2A+）≤1
∴≤cos（2A+）+1≤
即cos2A+cos2B的取值范围为
故答案为：
点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角和两角和公式的应用．要求应熟练掌握并灵活运用这些公式．
20、设函数，其中向量若函数，则x= ．
考点：三角函数的化简求值；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。
分析：利用向量的数量积公式求出f（x），据已知条件列出三角函数方程，根据x的范围求出x的值．
解答：解：∵
∴
∵，
∴
∵21世纪教育网版权所有
∴21世纪教育网
故答案为21cnjy21*cnjy*com
点评：解决向量数量积问题利用向量的数量积公式，解三角方程一个先利用三角函数的二倍角公式及诱导公式化简三角函数．
21、函数的最小正周期是 π ．
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法。
分析：本题考查的知识点是正（余）弦型函数的最小正周期的求法，由函数化简函数的解析式后可得到：
f（x）=，然后可利用T=求出函数的最小正周期．
点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，周期T=进行求解．、
22、已知函数f（x）=（sinx﹣cosx）sinx，x∈R，则f（x）的最小正周期是 π ．
考点：三角函数中的恒等变换应用；半角的三角函数。
分析：f（x）=（sinx﹣cosx）sinx=sin2x﹣cosxsinx再由二倍角公式可得f（x）=﹣，最后可得答案．
解答：解：∵f（x）=sin2x﹣sinxcosx==﹣，
此时可得函数的最小正周期．
故答案为：π．
点评：本题主要考查运用三角函数的二倍角公式对函数进行化简后求函数周期的问题．二倍角公式在三角函数的化简中经常用到，要引起重视．
23、函数的最小正周期为 π ．
考点：三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法。
专题：计算题。21cnjy21*cnjy*com
分析：先对三角函数进行化解为y=Asinωx的形式，再根据周期公式可求周期
点评：本题主要考查了三角函数y=Asinωx的周期公式的应用，解题的关键是要根据二倍角公式及同角平方关系对已知函数进行化解．21世纪教育网
三、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
24、已知函数﹣1，x∈R．a
（1）求f（x）的最值和最小正周期；
（2）设p：，q：|f（x）﹣m|＜3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。
分析：（1）先利用二倍角公式化简，再利用三角函数的有界性可求f（x）的最值和最小正周期；
（2）由于p是q的充分条件，所以问题等价于f（x）﹣m|＜3在上恒成立，借助于求函数的最值，问题得解．
解答：解：（1）∵=．（4分）
∵x∈R∴f（x）max=2，f（x）min=﹣2；T=π． （6分）
（2）由题意可知：|f（x）﹣m|＜3在上恒成立
∵，∴，即，
∴f（x）max=2，f（x）min=1．（9分）
∵|f（x）﹣m|＜3?f（x）﹣3＜m＜f（x）+3，
∴m＞f（x）max﹣3且m＜f（x）min+3，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）． （12分）
点评：本题主要考查三角函数的最值，考查恒成立问题的处理，关键是问题的等价转化．
25、已知函数．
（I）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围
（II）若|f（x）﹣m|＜2成立的充分条件是，求实数m的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式。
专题：计算题。21*cnjy*com 221cnjy 1世纪教育网21世纪教育网版权所有
分析：（1）化简函数，然后利用是函数增区间的子集，解答即可．
（2）先求|f（x）﹣m|＜2中的m的范围表达式，f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，m大于f（x）﹣2的最大值，小于f（x）+2的最小值，即可．
（II）由题意，当时，≤sinx≤1，
2sinx﹣1＜m＜2sinx+3恒成立 …8分
可得（2sinx﹣1）max＜m＜（2sinx+3）min当sinx=1时，（2sinx﹣1）max=1；
当sinx=时，（2sinx+3）min=4；
∴1＜m＜4…10分．
∴实数m的取值范围1＜m＜4．
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，子集知识，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想，是中档题．
26、已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
（1）f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）cos2x2+4asin2x2（x1，x2∈R，a为常数）；
（2）f（0）=f（）=1；
（3）当x∈[0，]时，|f（x）|≤2
求：（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．
考点：函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用。
专题：综合题；分类讨论。
分析：（Ⅰ）根据题中的关系式和已知的函数值，分别给x1和x2三组值，必须与0以及有关，列出三个方程构成一个方程组，对其进行化简变形，再利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式进行化简，求出函数的解析式；
（Ⅱ）由x的范围和正弦函数的性质求出sin（2x+）的范围，根据a与1的大小进行分类求解，去掉绝对值利用平方差公式进行化简求解，最后要把结果并在一起．
解答：解：（Ⅰ）在f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）cos2x2+4asin2x2中，
分别令；；得
由①+②﹣③，得21世纪教育网版权所有21世纪教育网
点评：本题是有关三角函数的较难的综合题，求函数解析式时根据题意给两个变量适当的值，列出有关f（x）的几个方程，通过观察进行化简求出解析式，还利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式；求解绝对值不等式时需要对参数进行分类讨论，利用正弦函数的性质求出正弦值的范围，从而列出关于a的不等式进行求解，考查了分析问题和解决问题的能力．21cnjy
27、已知函数21*cnjy*com
（1）若f（x）的最大值为1，求m的值
（2）当时，|f（x）|≤4恒成立，求实数m的取值范围．
考点：函数恒成立问题；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值。
专题：计算题；综合题。
分析：（1）首先对于所给的三角函数是进行整理，先逆用正弦与余弦的二倍角公式，再利用两角和的正弦公式，做出能够求解最值的形式，根据最值的结果，求出字母系数．
（2）根据所给的x的值，做出函数式的值域，根据由|f（x）|≤4，得﹣4≤f（x）≤4恒成立．得到m+2≥﹣4，且m+3≤4，得到﹣6≤m≤1为所求．
解答：解：（1）…．（2分）
当时，f（x）的最大值为m+3，
由题意，m+3=1，所以m=﹣2…．（4分）
（2），
所以f（x）∈[m+2，m+3]…．（6分）
由|f（x）|≤4，得﹣4≤f（x）≤4恒成立．
∴m+2≥﹣4，且m+3≤421*cnjy*com
所以﹣6≤m≤1为所求．…．（8分）21世纪教育网版权21cnjy所有
点评：本题考查函数的恒成立问题，考查三角函数的恒等变形，本题解题的关键是求出三角函数式的值域，根据所给的不等式恒成立得到不等式组，本题是一个中档题目．
28、已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l﹣x）=f（l+x）恒成立，设向量=（sinx，2），=（2sinx，），=（cos2x，1），=（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（?）＞f（?）的解集．
考点：二次函数的性质；三角函数中的恒等变换应用。21世纪教育网
专题：综合题；分类讨论。
分析：由f（x）对任意x∈R，都有f（l﹣x）=f（l+x）恒成立得其对称轴，结合二次项系数的符号可得其单调性
通过计算，，从而确定它们所在的单调区间，由此解得x的范围．21世纪教育网版权所有
②当m＜0时，同理可得0≤x＜＜或π＜x≤π．
综上：f（）＞f（）的解集是：
当m＞0时，为{x|＜x＜π}；
当m＜0时，为{x|0≤x＜＜，或π＜x≤π}．
点评：本题是个中档题，主要考查二次函数的性质，同时考查了向量的数量积运算和三角恒等变换，解三角不等式．注意分类讨论的思想的应用．
