2023年1月份第1周 数学好题推荐（含解析）

2023年1月份第1周 数学好题推荐
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2、设集合，，函数若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%的新鲜度（已知，结果取整数）( )
A.23天 B.33天 C.43天 D.50天
4、在函数的图像上,横坐标在区间内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、已知,则( )
A. B.2 C. D.
6、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则( )
A. B. C.或 D.
7、中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,则走的路程少于30里开始于( )
A.第三天 B.第四天 C.第五天 D.第六天
8、已知关于x的不等式的解集为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
9、已知三棱锥的外接球半径为R，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
10、已知命题，，命题q：“，”.若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是( )
A.或 B.或
C. D.
11、函数的图象大致为( ).
A. B. C. D.
12、已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c()，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
13、已知关于x的不等式有解，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
14、将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则m的最小值为( )
A. B. C. D.
15、将一副三角板中的两个直角三角板按如图所示的位置摆放,若,则( )
A. B. C. D.192
16、已知在等差数列中，，则( )
A.8 B.6 C.4 D.3
17、已知数列的前n项和满足，记数列的前n项和为，.则使得的值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
18、已知向量，，则下列结论中正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.不存在实数，使得 D.若，则
19、新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为.该研发项目的奖金为100万元，分配方案是:若只有某一小组研发成功，则该小组获得全部奖金；若两个小组都研发成功，则平分全部奖金；若两个小组均未研发成功，则均不获得奖金.则( )
A.该研究所疫苗研发成功的概率为
B.乙小组获得全部奖金的概率为
C.在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为
D.甲小组获得奖金的期望值为60万元
20、已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A.离心率的取值范围为
B.当离心率为时，的最大值为
C.存在点Q使得
D.的最小值为1
21、已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面的距离为
C.平面与平面间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
三、填空题
22、己知，则________.（用数字作案）
23、某机场有并排的10个停机位，若有3架飞机要降落在该机场并停放在这排停机位中，每架飞机停放在任一停机位都是随机的，则3架飞机停好后每架飞机两边各至少有一个空停机位的不同停法种数为__________.
24、已知复数z满足（其中i为虚数单位），则__________.
25、椭圆与直线相交于A、B两点，C是AB的中点，O为坐标原点，OC的斜率为，则椭圆C的离心率为__________.
四、解答题
26、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
（1）求的值；
（2）若为锐角三角形，求的面积.
27、已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
28、为丰富学生的课外生活，某中学要求高一年级全体学生在国庆黄金周期间，在家长的陪同下开展以“读万卷书，行万里路”为主题的研学活动，学校结合研学主题向学生们推荐了一份由历史文化类和红色文化类组成的10个景点的清单，要求每位学生选择其中的3个景点参观游览，并将参观现场的互动照片以及参观的感想在各班级微信群中与大家分享.已知学校推荐的景点清单中历史文化类景点有7个，红色文化类景点有6个，其中有部分景点既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点.
（1）求某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率；
（2）设某学生选择参观的3个景点中既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
29、如图,和都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.平面,且.
(1)设P是的中点,求证:平面.
(2)求二面角的正弦值.
30、已知函数.
(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)当时，若存在唯一零点，极值点为，证明：.
参考答案
1、答案：D
解析：集合，集合，
.
故选：D.
2、答案：C
解析：，
，
.
，，
，
又，.故选C.
3、答案：B
解析：本题考查指数型函数模型的实际应用.由题意可得故，故，令，则，即，故，故选B.
4、答案：C
解析：函数，求导得.由横坐标在区间内变化的点处的切线斜率均大于1，可得对恒成立，即对恒成立.令，对称轴方程为,且在上单调递增，则在上，则.
5、答案：D
解析：本题考查利用二倍角公式求值.由，得,
则.故选D.
6、答案：C
解析：，，或；
当时，，解得：；
当时，，解得：.
综上所述：或.
故选：C.
7、答案：B
解析：设第一天走的路程为，依题意知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，，解得，.由，得，解得，故选B.
8、答案：D
解析：不等式的解集为，在方程中，由根与系数的关系知，，则.，，当且仅当，即时等号成立.，故的最大值为.故选D.
9、答案：D
解析：如图，设外接圆的半径为r，已知外接圆的面积为，故，所以，当为正三角形（的面积最大），且P，O（球心），（外接圆圆心）三点共线时，三棱锥的体积最大.在中，由正弦定理知，所以，所以.设三棱锥的外接球半径为R，因为，所以.在中，由，得，，所以该球的体积为，故选D.
10、答案：D
解析：命题p：“，"，则
由于为真命题，所以p为假命题，故，
命题，为真命题.
所以，解得或.
由于命题和命题q都是真命题，故，整理得故选：D.
11、答案：C
解析：由解得，所以的定义域为，故A选项错误.，函数的图象开口向下，对称轴为直线，根据复合函数的单调性同增异减可知，在上单调递增，在上单调递减，且图象关于直线对称，故B，D选项错误，C选项正确.故选C.
12、答案：A
解析：画出的图象，如图所示.
所以当实数m的取值范围为时，方程恰有三个不同的实数解a，b，c()，
由题意可知，，所以，所以.故选A.
13、答案：D
解析：由题可知有解，（分离参数）
设，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，，故选D.
14、答案：C
解析：由题意知，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，再将的图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，.为奇函数，，，解得，，，m的最小值为.故选C.
15、答案：B
解析：本题考查平面向量数量积的运算.在中,.在中,.所以,故选B.
16、答案：D
解析：由题意，设等差数列的公差为d，则，即，所以，故选D.
17、答案：B
解析：数列的前n项和满足，
当时，；
当时，，
当时，适合上式，所以，
则，
所以.
故选B.
18、答案：AC
解析：由得，
解得，故A选项正确；由
得，解得，故B选项错误；
若存在实数，使得，则，
，，显然无解，
即不存在实数使得，故C选项正确；
若，则，解得，
于是，故D选项错误.
19、答案：AC
解析：由题，当甲、乙两个小组至少有一个小组研发成功时，该研究所疫苗研发成功，其概率为，故A选项正确；乙小组获得全部奖金，即甲小组没有研发成功，而乙小组研发成功，概率为故B选项错误；设事件A为“疫苗研发成功”，事件B为“甲小组研发成功”，则故C选项正确；设甲小组获得的奖金数为（单位：万元），则的可能取值为0，50，100，且所以，故D选项错误.
20、答案：BD
解析：本题考查椭圆的几何性质、椭圆中的最值问题、向量的数量积.由题意可得，所以，由点在椭圆内部可得，可得，即，所以，对A，离心率，所以，故A错误；对B，当时，，，，故B正确；对C，假设点Q存在，因为当Q在短轴端点时，最大，所以此时，由A知，所以，故的最大值小于90°，所以不存在点Q使得，故C错误；对D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选BD.
21、答案：BC
解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.
设，则，.
故A到直线BE的距离，故A错.
易知，
平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对.
，，.
设平面的法向量为，
则所以
令，得，，
所以.
所以点到平面的距离.
因为易证得平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对.
因为，所以，又，则，所以点P到AB的距离，故D错.
22、答案：34
解析：令，得；
令，得.
二项式的通项公式为，
又，，
所以.
故答案为：34.
23、答案：120
解析：求3架飞机随机停在10个停机位的3个停机位中，每架飞机两边各至少有一个空停机位的方法数，可考虑先将其中的7个空停机位排成一排，这样有6个空隙，再把3架飞机安排到其中的3个空隙中，共有种不同的停法.
24、答案：
解析：由题意可得，，.
所以，.
故答案为：.
25、答案：
解析：设，，，则，
两式作差有，
.
又，，，
，，即，
椭圆C的方程为，且，即，
设椭圆的半长轴、半短轴长分别为、，则，，
故椭圆C的离心率.
故答案为：.
26、答案：（1）
（2）的面积为
解析：（1）由正弦定理，可化为（R为外接圆的半径），
解得，则.
（2）因为为锐角三角形，所以.由余弦定理得，
即，解得或.
当时，，此时A为钝角，舍去；当时，且，所以此时为锐角三角形.
所以，则的面积.
27、答案：(1)标准方程为.
(2)过定点.
解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，
，
四边形OMPN的周长为，
，
，
，
椭圆C的标准方程为.
(2)设，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入，整理得，
则，
.
易知，
，
化简得，
或(舍去)，
直线l的方程为，即，直线l过定点.
当直线l的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此时直线l过点.
综上，直线l过定点.
28、答案：（1）某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率为
（2）随机变量X的分布列见解析，数学期望
解析：（1）设某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点为事件A，
由题意，推荐的景点清单中属于历史文化类且不属于红色文化类的景点有4个，既属于历史文化类又属于红色文化类的景点有3个，属于红色文化类且不属于历史文化类的景点有3个.
则，
所以某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率为.
（2）由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望.
29、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：取的中点O,连接.
是正三角形,
.
∵平面平面,平面平面,
平面.
平面,
.
在中,,
.
又,
为等腰三角形.
是的中点,.
平面,
.
平面平面,
平面.
(2)由(1)知,,
∴四边形为平行四边形,
,
.
以点O为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,
则, ,
.
设平面的法向量为,
则即
令,则,
.
设平面的法向量为,
则即
令,则,
.
.
,
∴二面角的正弦值为.
30、答案：(1)取值范围为.
(2)证明过程见解析.
解析：(1)由题，，
因为在定义域内单调递增，因此恒成立.
当时，，不满足题意.
当时，，满足题意.
当时，即，得，
设，则，
注意到函数单调递减，
且时，，因此在时，单调递增，
在时，单调递减，得，
从而，得.
综上，a的取值范围为.
(2)，当时单调递增，
而，，
因此存在，使得，
且时，）单调递减，
当时，单调递增，
且，
故存在，使得.
要证明，只需证明，
即证.
由，得，
因此只需证明，
即证，
先证明：，
即证，
即证，
设，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
即.
接下来证明.
即证，
设，
则，
设，
则，
故单调递减，，
从而单调递减，故，即.
因此，
即不等式成立，故.