二倍角的正切
一、选择题（共20小题）
1、下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）21世纪教育网版权所有
A、y=sinπ|x| B、y=|sinπx|
C、y=﹣sinπxcosπx D、y=
2、若tanα=2，则cot2α=（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、4 D、21世纪21*cnjy*com教育网
3、下列各式中，值为的是 （ ）
A、sin15？cos15
B、21*cnjy*com
C、
D、21世纪教育网21cnjy
4、已知α∈（，π），sinα=，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、21cnjy21*cnjy*com
5、下列各式中，值为的是（ ）
A、sin75°cos75°
B、
C、
D、
6、若tanα=3，则tan2α的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、计算cot15°﹣tan15°的结果（ ）
A、 B、
C、3 D、2
8、下列各项中，值等于的是（ ）
A、cos45°cos15°+sin45°sin15°
B、
C、
D、
9、已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（ ）
A、 B、﹣21世纪教育网版权所有
C、 D、﹣21世纪教育网
10、tan67°30′﹣tan22°30′等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、﹣1 B、21cnjy
C、2 D、421*cnjy*com
11、已知，则tan2α等于（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 D、21cnjy21*cnjy*com
12、已知向量=（4，﹣2），=（cosα，sinα），且，则tan2α=（ ）
A、 B、
C、 D、
13、下列各式的值不等于的是（ ）
A、
B、
C、
D、
14、下列各式中，值为的是（ ）
A、sin15°cos15° B、cos2﹣sin2
C、 D、
15、的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
16、已知θ是第二象限角，，则的值为（ ）
A、7 B、
C、 D、
17、在二项式（﹣）6（θ为常数）的展开式中常数项为160，则tan2θ的值为（ ）
A、 B、21世纪教育网21cnjy
C、﹣ D、﹣21世纪教育网版权所有
18、直角△POB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若弧AB等分△POB的面积，∠AOB=α弧度，给出下列关系式：（1）tanα=2α（2）tanα＞2sinα（3）tanα＞sin2α（4）sinα=2cosα
（5）sin2α=2α（1+cos2α）则正确的个数为（ ）
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A、1个 B、2个21世纪教育网
C、3个 D、4个21cnjy
19、已知，则tan2x=（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、
20、下列函数中，在（0，π）上单调递增的是（ ）
A、y=sin（﹣x）
B、y=cos（﹣x）
C、y=tan
D、y=tan2x
二、填空题（共5小题）
21、已知，则tan2x= _________ ．
22、化简：cotα﹣cot2α= _________ ．
23、已知a是第二象限的角，tan（π+2a）=﹣，则tana= _________ ．
24、已知cosαcos（α+β）+sinαsin（α+β）=，β是第二象限角，则tan2β= _________ ．
25、已知tan=2，则tanα的值为 _________ ，tan（α+）的值为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、（1）已知，且，求的值．
（2）已知，且α，β∈（0，π），求2α﹣β的值．
27、已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．
28、已知，且21世纪教育网
（1）求的值；21世纪教育网版权所有
（2）求的值．21世纪教育网
29、已知sinα=2cosα．21世纪教育网版权所有
求：（1）tan2α的值；（2）的值．
30、已知tan=2，求（1）tan（α+）的值21cnjy21*cnjy*com
（2）的值21cnjy
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）
A、y=sinπ|x| B、y=|sinπx|
C、y=﹣sinπxcosπx D、y=21世纪教育网版权所有
考点：函数奇偶性的判断；二倍角的正弦；二倍角的正切。2121*cnjy*com世纪教育网
专题：计算题。21世纪教育网
分析：由函数的奇偶性的定义很容易判断函数的奇偶性，只需探讨f（﹣x）与f（x）的关系即可．排除A，B，然后通过化简C，D可得它们的周期，即可得到答案．
解答：解：由函数奇偶性的定义易得y=sinπ|x|，y=|sinπx|为偶函数，故不符合题意．
而y=﹣sinπxcosπx=﹣sin2πx，∴它的周期为=1，其定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），∴其为奇函数
∵y==tan2πx∴它的周期为，也不符合题意21世纪教育网版权所有
故选C21cnjy
点评：本题考查了函数的奇偶性的判断和二倍角的正弦与正切公式，同时考查了函数周期，是个基础题．
2、若tanα=2，则cot2α=（ ）
A、 B、
C、4 D、
3、下列各式中，值为的是 （ ）
A、sin15？cos15 B、
C、 D、
考点：三角函数的化简求值；二倍角的正切。
专题：计算题。
分析：利用公式对四个选项进行化简求值，所得的结果是的选项即为正确选项，A选项可用正弦的2倍角公式化简，B选项可用余弦的2倍角公式化简，C选项可用正切的2倍角公式化简，D选项中是特殊角，计算即可
解答：解：A选项，sin15°×cos15°=sin30°=，不正确；
B选项，=，不正确；
C选项，=，正确；
D选项，≠，不正确．21世21cnjy纪教育网版权所有
综上知C选项正确
故选C21世纪教育网
点评：本题考查三角函数的化简求值，解题的关键是熟练掌握三角函数的二倍角公式，及特殊角的函数值，由此对三角函数进行化简．本题涉及公式较多，知识性强，对基本公式要熟练掌握．
4、已知α∈（，π），sinα=，则等于（ ）
A、 B、21世纪教育21*cnjy*com网版权所有
C、 D、21世纪教育网
解答：解：由α∈（，π），sinα=，得到cosα=﹣，
∴tanα=﹣，∴tan2α===﹣
则tan（α+）===﹣．
故选B
点评：此题考查了二倍角的正切函数公式，两角和与差的正切函数公式及同角三角函数间的基本关系．熟练掌握公式是解本题的关键．
5、下列各式中，值为的是（ ）
A、sin75°cos75° B、
C、 D、
考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦；二倍角的正切。
专题：计算题。
分析：A、利用二倍角的正弦函数公式2sinαcosα=sin2α及特殊角的三角函数值化简，求出所求式子的值，即可作出判断；
B、利用二倍角的余弦函数公式2cos2α﹣1=cos2α及特殊角的三角函数值化简，求出所求式子的值，即可作出判断；
C、利用二倍角的正切函数公式=tan2α及特殊角的三角函数值化简，求出所求式子的值，即可作出判断；
D、利用余弦函数为偶函数，再根据cos（180°+α）=﹣cosα及特殊角的三角函数值化简，求出所求式子的值，即可作出判断．
解答：解：A、sin75°cos75°=sin150°=×=，本选项错误；21世纪教育网版权所有
B、=cos（2×）=cos=，本选项正确；21*cnjy*com
C、=tan30°=，本选项错误；21世纪教育网版权所有
D、==，本选项错误，21cnjy
故选B
点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦、正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
6、若tanα=3，则tan2α的值是（ ）
A、 B、221cnjy 1世纪教育网
C、 D、
点评：本题考查的知识点是二倍角的正切公式，熟练掌握公式是三角函数化简求值的关键．
7、计算cot15°﹣tan15°的结果（ ）
A、 B、
C、3 D、2
考点：二倍角的正切。
专题：计算题。
分析：利用同角三角函数的基本关系，把要求的式子化为，再利用二倍角公式求出结果．
解答：解：cot15°﹣tan15°=﹣===2，
故选D．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，是一道基础题．
8、下列各项中，值等于的是（ ）
A、cos45°cos15°+sin45°sin15° B、
C、 D、21世纪教育网版权所有
考点：二倍角的正切；三角函数的恒等变换及化简求值。
专题：计算题。21cnjy
分析：利用余弦和差公式直接求值；原式是tan（22.5°+22.5°）的值；运用余弦和差公式得出原式等于cos；直接将cos=，代入即可21*cnjy*com 21世纪教育网版权所有
点评：本题考查了余弦、正切和与差的公式，要灵活运用公式化简，同时要善于观察一般角与特殊角的关系，属于基础题．
9、已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（ ）
A、 B、﹣21世纪教育网
C、 D、﹣
考点：二倍角的正切；弦切互化。
专题：计算题。
分析：先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．
解答：解：∵cosx=，x∈（﹣，0），
∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．
∴tan2x===﹣×=﹣．
故选D．
点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．
10、tan67°30′﹣tan22°30′等于（ ）
A、﹣1 B、
C、2 D、4
考点：二倍角的正切；两角和与差的正切函数。
专题：计算题。
分析：先利用诱导公式tan22°30'=cot67°30'，把切换成弦，进而利用倍角公式化简整理即可得到答案．
解答：解：tan67°30'﹣tan22°30'
=tan67°30'﹣cot67°30'21cnjy
=21世纪教育网版权所有
=﹣21世21*cnjy*com纪教育网版权所有
=﹣121世纪教育网
故选A
点评：本题主要考查了正切的二倍角公式．属基础题．
11、已知，则tan2α等于（ ）
A、 B、
12、已知向量=（4，﹣2），=（cosα，sinα），且，则tan2α=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：二倍角的正切；数量积判断两个平面向量的垂直关系。
专题：计算题。
分析：利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，可得4cosα﹣2sinα=0，即tanα=2，利用二倍角公式求得
tan2α 的值．
解答：解：∵向量=（4，﹣2），=（cosα，sinα），且，则=4cosα﹣2sinα=0，
∴sinα=2cosα，∴tanα=2，∴tan2α==﹣，
故选 A．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，二倍角的正切公式的应用，求出 tanα 的值，
是解题的关键．
13、下列各式的值不等于的是（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 21*cnjy*com D、
考点：二倍角的正切。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21cnjy21*cnjy*com
分析：A、把被开方数的分子分母都乘以2，利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到所求式子的值，作出判断；
B、利用二倍角余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值，作出判断；
C、把所求式子的分母中的加号变为减号，分子分母同时乘以2，利用二倍角的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到值为，故原式的值不为，符合题意；21世纪教育网版权所有
D、利用特殊角的三角函数值及二次根式的化简公式化简，得到所求式子的值，作出判断．
解答：解：A、===，本选项不合题意；
B、=cos=，本选项不合题意；
C、因为==tan45°=，所以≠，本选项符合题意；
D、==，本选项不合题意，
故选C
点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦及正切函数公式，以及特殊角的三角函数公式．熟练掌握公式，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
14、下列各式中，值为的是（ ）
A、sin15°cos15° B、cos2﹣sin2
C、 D、
由tan45°=，知选D．
故选D
点评：本题主要考查正切函数的二倍角公式的应用．注意利用好特殊角来求值．
15、的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、21cnjy21*cnjy*com
C、 D、21世纪教育网版权所有
考点：二倍角的正切。21cnjy
专题：计算题。
分析：利用15°+165°=180°，可将tan165°转化为﹣tan15°，再逆用二倍角的正切公式即可．
解答：解：∵15°+165°=180°，
∴==tan30°=．21世纪教育网
故选C．
点评：本题考查二倍角的正切，着重考查三角函数的诱导公式及逆用二倍角的正切公式，属于中档题．
16、已知θ是第二象限角，，则的值为（ ）
A、7 B、
C、 D、
考点：二倍角的正切。
专题：计算题。
分析：由sinθ的值及θ为第二象限的角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，进而求出tanθ的值，再利用二倍角的正切函数公式化简tanθ，并根据tanθ的值列出关于tan的方程，求出方程的解得出tan的值，最后把所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tan的值代入即可求出值．
解答：解：∵已知θ是第二象限角，，
∴cosθ=﹣=﹣，
∴tanθ=﹣，又tanθ=，
∴=﹣，即2tan2﹣3tan﹣2=0，
解得：tan=﹣（舍去），或tan=2，
则==．
故选C
点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正切函数公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．同时注意角度的范围．
17、在二项式（﹣）6（θ为常数）的展开式中常数项为160，则tan2θ的值为（ ）
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C、﹣ D、﹣21世纪21*cnjy*com 21cnjy教育网
考点：二倍角的正切；二项式定理。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：根据二次项定理找出已知二项式的常数项，让常数项等于160列出关于tanθ的方程，求出方程的解即可得到tanθ的值，然后利用二倍角的正切函数公式化简所求的式子，把tanθ的值代入即可求出值．
点评：此题考查了二项式定理以及二倍角的正切函数公式的应用，是一道中档题；根据二项式定理找出已知二项式的常数项是解本题的关键．
18、直角△POB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若弧AB等分△POB的面积，∠AOB=α弧度，给出下列关系式：（1）tanα=2α（2）tanα＞2sinα（3）tanα＞sin2α（4）sinα=2cosα
（5）sin2α=2α（1+cos2α）则正确的个数为（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：二倍角的正切。
专题：计算题。
分析：（1）根据题意设出扇形的半径，表示出扇形的面积，再计算出直角三角形的面积，结合条件可得tanα=2α．
（2）（3）（5）分别对结论进行化简，再结合（1）的正确结论进而证明此结论正确．
（4）假设此结论正确，再结合（1）得到矛盾，进而证明sinα=2cosα错误．
解答：解：（1）设扇形的半径为r，由扇形的面积公式可得：扇形的面积为α r2，
在Rt△POB中，PB=rtanα，所以△POB的面积为r×rtanα，
由题意得：r×rtanα=2×α r2，即tanα=2α．21世纪教育网版权所有
所以（1）正确．21cnjy
（2）由题意可得：tanα＞2sinα整理可得cosα，
因为S△OAB＜S扇形=，2121*cnjy*com世纪教育网版权所有
所以OAOP，即OBOP，21世纪教育网
所以cosα=，即tanα＞2sinα．
所以（2）正确．21cnjy
（3）由题意可得：tanα＞sin2α化简整理可得cos2α，
由（2）可得cosα，所以cos2α一定成立，
所以（3）正确．
（4）若sinα=2cosα则tanα=2，所以由（1）可得α=1，即得到tanα=2，
与tan1≠2矛盾，所以sinα=2cosα错误．
所以（4）错误．
（5）由sin2α=2α（1+cos2α）结合二倍角公式化简可得：，
所以由（1）可得sin2α=2α（1+cos2α）正确．
所以（5）正确．
故选D．
点评：本题考查扇形的面积公式，以及二倍角公式、余弦函数性质等知识点，此题综合性较强，属于中档题．
19、已知，则tan2x=（ ）
A、 B、
C、 D、
则tan2x===﹣．
故选D
点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合．
20、下列函数中，在（0，π）上单调递增的是（ ）21cnjy
A、y=sin（﹣x） B、y=cos（﹣x）21世纪教育网版权所有
C、y=tan D、y=tan2x21世21*cnjy*com纪教育网
考点：正弦函数的单调性；诱导公式的作用；二倍角的正切；余弦函数的单调性。
专题：计算题。
分析：化简并判定四个函数的单调增区间，满足题意者，即可得到选项．
解答：解：对于A、y=sin（﹣x）=cosx，显然在在（0，π）上不是增函数；
对于B、y=cos（﹣x）=sinx，显然在在（0，π）上不是增函数；
对于C、y=tan，在（0，π）上单调递增函数，正确；
对于D、y=tan2x，显然在在（0，π）上不是增函数；
故选C．
点评：本题是基础题，考查三角函数的单调性，基本知识的灵活运应，考查判断推理能力．
二、填空题（共5小题）
21、已知，则tan2x= ．
考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切。
分析：化简三角方程，易知形式和tan2x的倒数相似，不难求得结果．
解答：解：已知，所以
所以tan2x=
故答案为：．
点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，二倍角的正切，关键在于公式的熟练程度，是基础题．
22、化简：cotα﹣cot2α= ．
考点：同角三角函数间的基本关系；弦切互化；二倍角的正切。
分析：切化弦，同分用二倍角公式消项，化简即可．
解答：解：cotα﹣cot2α=
故答案为：
点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，弦切互化，二倍角的正切等知识，是中档题．
23、已知a是第二象限的角，tan（π+2a）=﹣，则tana= ．
考点：运用诱导公式化简求值；二倍角的正切。21cnjy
专题：计算题。21*cnjy*com 21世纪教育网
分析：根据诱导公式tan（π+α）=tanα得到tan2α，然后利用公式tan（α+β）=求出tanα，因为α为第二象限的角，判断取值即可．21世纪教育网版权所有
解答：解：由tan（π+2a）=﹣得tan2a=﹣，又tan2a==﹣，
解得tana=﹣或tana=2，
又a是第二象限的角，所以tana=﹣．21世纪教育网版权所有
故答案为：．
点评：本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力．
24、已知cosαcos（α+β）+sinαsin（α+β）=，β是第二象限角，则tan2β= ．
考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的正切。
专题：计算题。
分析：把已知的等式利用两角差的余弦函数公式化简，求出cosβ的值，由β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，进而求出tanβ的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tanβ的值代入即可求出值．
点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正切函数公式以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
25、已知tan=2，则tanα的值为 ﹣ ，tan（α+）的值为 ﹣ ．
考点：两角和与差的正切函数；二倍角的正切。
分析：（1）求tanα，用二倍角公式；
（2）在前一问的基础上，用和角公式求tan（α+）的值．
解答：解：tanα==
tan（α+）=．21*cnjy*com 21世纪教育网版权所有
点评：本题是二倍公式及和角公式的简单应用，属于基础题，只要熟记公式即可解出结果，对于三角函数的常用公式要求准确记忆，灵活应用．21世纪教育网
三、解答题（共5小题）2121cnjy世纪教育网版权所有
26、（1）已知，且，求的值．
（2）已知，且α，β∈（0，π），求2α﹣β的值．
考点：三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的正切函数；二倍角的正切。
专题：计算题。
分析：（1）通过，求出cos，利用同角三角函数的基本关系式求出cos，通过二倍角公式q求出cos2x，即可求出的值．
（2）通过已知条件，利用二倍角的正切公式求出tan2（α﹣β），结合tan（2α﹣β）=tan[2（α﹣β）+β]，利用两角和的正切公式，求出tanβ，三角函数的值推出角的范围，求出结果．
（2）∵
∴
∴tan（2α﹣β）=tan[2（α﹣β）+β]=
因为，而β∈（0，π）
∴，
=，21世纪教育网
解得tanα=，α∈（0，π），21世纪教育网版权所有
∴，21cnjy
∴﹣π＜2α﹣β＜021*cnjy*com
∴
点评：本题是中档题，考查三角函数的基本知识，公式的灵活运用，注意角的范围的判断，角的变换的技巧，角的大小的值的求法，是解题的关键．
27、已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．
考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切。
分析：（1）由可直接求出tan，再由二倍角公式可得tanx的值．
（2）先对所求式子进行化简，再同时除以cosx得到关于tanx的关系式得到答案．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系．这里二倍角公式是考查的重要对象．
28、已知，且
（1）求的值；
（2）求的值．
考点：三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦；二倍角的正切。
专题：计算题。
分析：（1）根据角的范围求出cosα，tanα，然后通过二倍角公式转化，分子分母同除cos2α，代入tanα，即可求出值．
（2）直接利用两角和的正切函数，展开代入tanα的值求解即可．
解答：解：（1）由sinα=又 0＜α＜∴cosα=，tanα=（4分）
∴21世纪教育网
=（8分）2121*cnjy*com世纪教育网版权所有
（2）（12分）21cnjy
点评：本题考查三角函数的求值，二倍角公式的应用，两角和的正切函数的求值与化简，考查计算能力，常考题型．
29、已知sinα=2cosα．
求：（1）tan2α的值；（2）的值．
点评：已知一个角的正切值求观音正弦、余弦的同次分式的值，一般分子、分母同除以角的余弦转化为关于正切的代数式再解即可．
30、（2005?北京）已知tan=2，求（1）tan（α+）的值
（2）的值
考点：弦切互化；两角和与差的正切函数；二倍角的正切。
分析：（1）根据正切的二倍角公式，求出tanα的值，再利用正切的两角和公式求出tan（α+）的值．
（2）把原式化简成正切的分数式，再把（1）中tanα的值代入即可．
解答：解：（I）∵tan=2，
∴tanα=
=
=﹣
∴tan（α+）=21世纪教育网版21cnjy权所有
=21世纪教育网21cnjy
=21*cnjy*com
=﹣
点评：本题主要考查弦切互化的问题．要熟练掌握三角函数中的两角和公式、积化和差和和差化积等公式．
