二倍角的正弦
一、选择题（共20小题）21世纪教育网版权所有
1、△ABC中，是A＞15°的（ ）
A、充分非必要条件
B、必要非充分条件21世纪教育网版权所有
C、充要条件
D、既非充分又非必要条件
2、“cos2α=﹣”是“α=kπ+，k∈Z”的（ ）21世纪教育网
A、必要不充分条件
B、充分不必要条件
C、充分必要条件
D、既不充分又不必要条件
3、的值为（ ）
A、2 B、﹣2
C、4 D、﹣421cnjy
4、=（ ）
A、﹣2 B、221cnjy21*cnjy*com
C、﹣1 D、1
5、若||=2sin，||=2cos，与的夹角为，则?的值为（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、
6、已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），，若，则的值为（ ）
A、 B、
C、2 D、3
7、||=cos15°，||=4sin15°，、的夹角30°，则?=（ ）
A、 B、
C、 D、
8、若sin2θ﹣1+i（cosθ+1）是纯虚数，则θ的值为（ ）
A、2kπ﹣（k∈Z） B、2kπ+（k∈Z）
C、2kπ±（k∈Z） D、π+（k∈Z）
9、若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
10、若sin2α＞0，且cosα＜0，则角α是（ ）
A、第一象限角 B、第二象限角
C、第三象限角 D、第四象限角
11、设﹣≤x＜，且=sinx+cosx，则（ ）21世纪教育网版权所有
A、0≤x≤π
B、﹣≤x≤
C、≤x≤
D、﹣≤x≤﹣或≤x＜21世纪教育网
12、已知则=（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、21*cnjy*com
13、若A是△ABC的一个内角，且，△ABC的形状是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、不确定
14、的值等于（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、
15、函数y=（sinx+cosx）2+1的最大值是（ ）
A、3 B、2
C、1 D、021cnjy
16、已知sin2α=，则sinα+cosα的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
17、函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x的最小正周期为（ ）
A、3π B、2π
C、π D、
18、若，则sinαcosα=（ ）
A、 B、
C、 D、
19、设0≤x＜2π，且=sinx﹣cosx，则（ ）
A、0≤x≤π B、≤x≤
C、≤x≤ D、≤x≤
20、若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为（ ）
A、 B、
C、tan2A+cot2A=7 D、
二、填空题（共5小题）21*cnjy*com
21、给出下列四个函数：①y=sinx+cosx；②y=sinx﹣cosx；③y=sinx?cosx；
④．其中在上既无最大值又无最小值的函数是 _________ ．（写出全部正确结论的序号）
22、的值为 _________ ．21世纪教育网版权所有
23、已知向量=（sinq，2cosq ），=（，﹣）．若∥，则sin2q的值为 _________ ．
24、若，则sin 2θ的值是 _________ ．21世21*cnjy*com纪教育网版权所有
25、函数，x∈R的值域是 _________ ．21世21cnjy纪教育网
三、解答题（共5小题）
26、已知坐标平面上的直线与x，y轴分别相交于A（3，0），B（0，3）两点，点C（cosα，sinα），其中．
（1）若，求角α的值；21cnjy
（2）若，求sin2α的值．
27、已知：A（5，0），B（0，5），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．
（1）若，求sin2α；
（2）若，求与的夹角．
28、已知向量，，x∈R，设．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）若，且，求sin2x的值．
29、已知
（1）当时，求函数的最小正周期；
（2）当∥，α﹣x，α+x都是锐角时，求cos2α的值．
30、在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）求的值域．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、△ABC中，是A＞15°的（ ）21cnjy
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件21世纪教育网
C、充要条件 D、既非充分又非必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；二倍角的正弦。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：先判别充分性是否成立，易推出15°＜A＜75°，得到充分性是成立的．再判别必要性是否成立，显然不成立，例如取A=90°时，sin2A=0，不符合，综合可得答案．21cnjy
解答：解：在△ABC中，由于，得到30°＜2A＜150°，即15°＜A＜75°，故充分性成立．
当A＞15°时，sin2A的值可能小于0，所以必要性不成立．21*cnjy*com
故答案选A．
点评：此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查正弦的二倍角公式．21世纪教育网版权所有
2、“cos2α=﹣”是“α=kπ+，k∈Z”的（ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件
点评：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
3、的值为（ ）21*cnjy*com
A、2 B、﹣2
C、4 D、﹣4
考点：对数的运算性质；二倍角的正弦。
专题：常规题型。
分析：利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：loga（MN）=logaM+logaN，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得．
解答：解：
=
=21世纪教育网
==﹣2．21世纪教育网版权所有
故选B．21cnjy
点评：本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、二倍角的正弦公式等基础知识，考查基本运算能力．属于基础题．
4、=（ ）21世纪教育网版权所有
A、﹣2 B、2
C、﹣1 D、121cnjy21*cnjy*com
考点：极限及其运算；诱导公式的作用；二倍角的正弦。
分析：由三角函数的恒等变换，把等价转化，进一步简化为，由此能求出的值．21*cnjy*com
点评：本题考查极限的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换．
5、若||=2sin，||=2cos，与的夹角为，则?的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平面向量数量积的运算；二倍角的正弦。
分析：利用向量的数量积的运算法则将转化成三角函数，再利用二倍角公式求值．
解答：解：?=?=2sin?2cos?==．
故选项为A．
点评：考查向量的数量积运算及二倍角公式．
6、已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），，若，则的值为（ ）21世纪教育网
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、2 D、321cnjy21*cnjy*com
考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦。
专题：计算题。
分析：先由A、B、C三点的坐标，求出的坐标，再根据，列出一个关于α的方程，可将问题转化为简单的三角函数化简求值问题．
点评：解决此题的关键是：熟练掌握向量数量积公式以及三角函数的变换方法．已知某三角函数值、求其它三角函数的值．一般先化简，再求值．化简三角函数的基本方法：统一角、统一名通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简．
7、||=cos15°，||=4sin15°，、的夹角30°，则?=（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、
考点：平面向量数量积的运算；二倍角的正弦。
专题：计算题。
分析：利用向量的数量积公式将数量积用模与夹角的余弦的乘积表示，利用二倍角的正弦公式求出值．
解答：解：
=4cos15°sin15°cos30°
=sin60°
=
故选C
点评：本题考查向量的数量积公式、三角函数的二倍角公式．
8、若sin2θ﹣1+i（cosθ+1）是纯虚数，则θ的值为（ ）
A、2kπ﹣（k∈Z） B、2kπ+（k∈Z）
C、2kπ±（k∈Z） D、π+（k∈Z）
考点：复数的基本概念；二倍角的正弦。
专题：计算题；综合题。
分析：复数是纯虚数，所以实部为0，虚部不为0，解不等式组，求出θ的值．
解答：解：由题意，得，21世纪教育网版权所有
∴θ=2kπ+，k∈Z．21cnjy21*cnjy*com
故选B．
点评：本题考查复数的基本概念，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．
9、若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（ ）21世纪教育网
A、第一象限 B、第二象限21世纪教育网版权所有
C、第三象限 D、第四象限
点评：本题考查象限角、轴线角，二倍角的正弦，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
10、若sin2α＞0，且cosα＜0，则角α是（ ）
A、第一象限角 B、第二象限角21*cnjy*com
C、第三象限角 D、第四象限角
考点：象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦。
专题：计算题；综合题。
分析：sin2α＞0，确定2α的范围，再确定α的范围；cosα＜0，确定α的象限，然后推出结论．
解答：解：由cosα＜0，可知α是二，三象限角；
由sin2α＞0可知2α是一、二象限角，α是一、三象限角；
所以α是第三象限角
故选C．
点评：本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
11、设﹣≤x＜，且=sinx+cosx，则（ ）
A、0≤x≤π B、﹣≤x≤
C、≤x≤ D、﹣≤x≤﹣或≤x＜
考点：三角函数值的符号；二倍角的正弦。
专题：计算题。
分析：利用条件可知sinx+cosx≥0，结合已知角的范围可得答案．
解答：解：由题意，sinx+cosx≥0，即，∵﹣≤x＜，∴，
故选B．
点评：本题的考点是三角函数的符号，主要考查利用和角公式化简，考查二倍角公式，考查三角函数的符号的确定．
12、已知则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：三角函数的恒等变换及化简求值；二倍角的正弦。
专题：计算题。21cnjy
分析：把已知的等式平方可得sin2α，利用诱导公式可得=sin2α．
解答：解：∵，平方可得1﹣2sinα?cosα=，21世纪教育网
∴sin2α=，21*cnjy*com
=sin2α=，21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，求出sin2α 的值，是解题的关键．
13、若A是△ABC的一个内角，且，△ABC的形状是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形21*cnjy*com
C、钝角三角形 D、不确定
点评：在三角形中考查三角函数取值范围，是常考内容．
14、的值等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦。
专题：计算题。
分析：根据正弦的二倍角公式，分子分母同乘以4sin，再由诱导公式进行求值．
解答：解：===，
故选B．
点评：本题考查了正弦的二倍角公式和诱导公式的应用，利用公式以及结合式子的特点进行化简求值
15、函数y=（sinx+cosx）2+1的最大值是（ ）
A、3 B、2
C、1 D、0
考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。21cnjy
分析：利用两角和的正弦公式把函数y=sinx+cosx 化为sin（x+）≤，从而得到结论．
16、已知sin2α=，则sinα+cosα的值为（ ）21*cnjy*com
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、21世纪教育网
考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦。21cnjy
专题：计算题。
分析：由已知中sin2α=，要以根据同角三角函数关系及二倍角的正弦公式，求出（sinα+cosα）2的值，进而得到sinα+cosα的值．
解答：解：∵sin2α=，
∴sinα+cosα＜0
又∵（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinα?cosα=1+sin2α=
故sinα+cosα=
故选C
点评：本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦公式，在解答中，易忽略α的范围，而忽略sinα，cosα的符号，而错选A或D
17、函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x的最小正周期为（ ）
A、3π B、2π
C、π D、
考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法。
专题：计算题。
分析：把函数解析式的第一项利用完全平方公式展开，再利用同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式化简，提取后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期．
解答：解：f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x
=sin2x+2sinxcosx+cos2x+cos2x
=1+sin2x+cos2x
=sin（2x+）+1，
∵ω=2，
∴函数最小正周期T==π．
故选C
点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，其中灵活运用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的三角函数是解此类题的关键．21世纪教育网
18、若，则sinαcosα=（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、21cnjy
C、 D、21*cnjy*com
19、设0≤x＜2π，且=sinx﹣cosx，则（ ）21*cnjy*com
A、0≤x≤π B、≤x≤
C、≤x≤ D、≤x≤
考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦。
分析：先对进行化简，即=|sinx﹣cosx|，再由=sinx﹣cosx确定sinx＞cosx，从而确定x的范围，得到答案．
解答：解：∵，
∴sinx≥cosx．∵x∈[0，2π），∴．
故选B．
点评：本题主要考查三角函数的二倍角公式和同角三角函数的基本关系．属基础题．三角函数这一部分的公式比较多，一定要强化公式的记忆．
20、若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为（ ）
A、 B、
C、tan2A+cot2A=7 D、
考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦。
专题：计算题。
分析：先根据题设条件判断出sinθ＞0，cosθ＜0，进而可知sinθ﹣cosθ＞0，进而利用同角三角函数基本关系利用求得答案．21世纪教育网
解答：解：∵且cosθ＜021世纪教育网版权所有
∴sinθ﹣cosθ＞0，21cnjy
∴
故选D21*cnjy*com
点评：本题主要考查同角三角函数基本关系的运用．解题时要注意对三角函数值正负号的判定．
二、填空题（共5小题）
21、给出下列四个函数：①y=sinx+cosx；②y=sinx﹣cosx；③y=sinx?cosx；
④．其中在上既无最大值又无最小值的函数是 ②④ ．（写出全部正确结论的序号）
考点：函数的值域；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦。
分析：①②③都可以化为y=Asin（ωx+φ）形式，结合正弦函数的图象求最值，
④可从几何意义入手，看作单位圆上的点与原点连线的斜率，从而求范围．
点评：本题考查三角函数的值域问题，注意数形结合思想的应用．
22、的值为 ﹣2 ．
考点：对数的运算性质；二倍角的正弦。
分析：首先由对数函数的运算性质，可将原式化简为log2（sincos），再根据二倍角的正弦的公式，进一步化简可得
log2（sin），进而可得答案．
解答：解：根据对数的运算性质可得，
原式=log2（sincos）=log2（sin）=log2=﹣2．
点评：本题考查对数的运算性质以及二倍角的正弦的公式，初学时，要特别注意对数的运算性质的特殊性与对数函数的定义域．
23、已知向量=（sinq，2cosq ），=（，﹣）．若∥，则sin2q的值为 ﹣ ．
考点：平行向量与共线向量；二倍角的正弦。
分析：据向量共线的充要条件为坐标交叉相乘相等，再据同角三角函数的平方关系和三角函数的二倍角关系求．
解答：解：∵，，
∴21世纪教育网
又∵sin2q+cos2q=1
∴cos2q=
∴sin2q=2sinqcosq=﹣8cos2q21世纪教育网版权所有
故答案为﹣21*cnjy*com
点评：本题考查向量共线的充要条件和三角函数的平方关系、三角函数的二倍角公式．
24、若，则sin 2θ的值是 ．21cnjy
点评：本题考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式．计算能力是高考考查的能力之一，防止计算出错，是基础题．
25、函数，x∈R的值域是 ．
考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦。
专题：计算题；转化思想。
分析：利用二倍角公式的变形，以及两角和差的三角公式，把函数解析式化为关于某个角的正弦和一个常数的代数和形式，再利用正弦函数的值域求出此函数的值域．
解答：解：∵函数=sin2x+=+（sin2x+cos2x）
=+sin（2x﹣），∵﹣1≤sin（2x﹣）≤1，∴﹣≤sin（2x﹣）≤，
∴﹣≤y≤+，
故函数的值域为，
故答案为．
点评：本题考查两角和差的三角公式、二倍角公式的变形的应用，以及正弦函数的值域．
三、解答题（共5小题）
26、已知坐标平面上的直线与x，y轴分别相交于A（3，0），B（0，3）两点，点C（cosα，sinα），其中．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求sin2α的值．
考点：向量的模；平面向量数量积的运算；二倍角的正弦。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：（1）先求出和的坐标，根据化简可得cosα=sinα，再由α的范围求出α的值．
（2）根据，化简可得 （cosα+sinα ）=，再平方可得sin2α 的值．221cnjy 1世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，求向量的模的方法，二倍角公式的应用，属于基础题．
27、已知：A（5，0），B（0，5），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．
（1）若，求sin2α；
（2）若，求与的夹角．21cnjy21*cnjy*com
考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦。
专题：常规题型；计算题。
分析：（1）求出，由于，那么，化简，即可得到sin2α，求解即可．
（2）求出，利用，解出cosα，再求，利用求与的夹角．
解答：解：（1），（1分）
，∴，
即，（4分）
∴，∴，（7分）
（2），
则（9分）
∴又α∈（0，π），∴，，
∴，（11分）
设与夹角为θ，则，21cnjy
∴θ=30°，与夹角为30°．（14分）．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查平面向量的数量积，二倍角的正弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生计算能力，是基础题．
28、已知向量，，x∈R，设．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）若，且，求sin2x的值．21世21*cnjy*com纪教育网
考点：平面向量数量积的运算；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法。
专题：计算题。
分析：（1）根据，结合向量，，我们易得函数f（x）的解析式，利用辅助角公式将其化为正弦型函数的形式，再利用T=，即可求出函数的最小正周期．
（2）由（1）中函数解析式，根据，我们可求出sin（2x+）的值，结合，我们还可以求出cos（2x+）的值，根据sin2x=sin[（2x+）﹣]代入两名差的正弦公式，即可求出答案．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，二倍角公式，辅助角公式，最小正周期的求法，给值求值及两角差的正弦公式，处理的关键（1）中要将函数的解析式化为正弦型函数；（2）中要分析已知角与未知角之间的关系，以选取恰当的公式．
29、已知
（1）当时，求函数的最小正周期；
（2）当∥，α﹣x，α+x都是锐角时，求cos2α的值．
考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法。
专题：综合题。21世纪教育网版权所有
分析：（1）根据函数，，我们可给出函数的解析式，根据三角恒等变换，我们可将函数的解析式化为余弦型函数的形式，进而根据T=，求出函数的最小正周期．21世纪教育网21*cnjy*com
（2）因为，我们易结合，再根据α﹣x、α+x是锐角，我们易求出α﹣x、α+x的三角函数值，再根据2α=（α﹣x）+（α+x），求出cos2α的值．
解答：解：（1）∵，
所以=．
又∵，21cnjy21*cnjy*com
∴
=．
所以该函数的最小正周期是π．
（2）因为
所以
∵α﹣x是锐角
∴
∵∥
∴，即
∵α+x是锐角
∴
∴cos2α=cos[（α+x）+（α﹣x）]=cos（α+x）cos（α﹣x）﹣sin（α+x）sin（α﹣x）
=，即cos2α=．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换，平行（共线）向量，两角和的余弦公式，解答的关键（1）中要将函数的解析式化为余弦型函数的形式，（2）中关键是分析已知角与未知角的关系．
30、在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）求的值域．
考点：平面向量数量积坐标表示的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域；正弦定理的应用。
分析：（1）用向量的共线的充要条件及三角形中的正弦定理求得角A．221cnjy 1世纪教育网版权所有
（2）用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用正弦函数的图象求出范围．21世纪教育网
