两角和与差的余弦函数
一、选择题（共16小题）
1、下列四个命题中的假命题是（ ）21世纪教育网版权所有
A、存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ
B、不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ21世纪教育网
C、对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ
D、不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ﹣sinαsinβ21世纪教育网版权所有
2、下列命题错误的是（ ）21cnjy21*cnjy*com
A、?α，β∈R，cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
B、?x，k∈R，sin（x+k?2π）=sinx
C、?x，sin（x+）=sinx
D、?x∈R+，?k∈R，sinx≤kx
3、在△ABC中，“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的（ ）
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件21cnjy
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件21*cnjy*com
4、已知函数f（x）=，则f（1°）+f（2°）+…+f（59°）=（ ）
A、 B、
C、59 D、﹣59
5、，α、β等于（ ）
A、 B、
C、 D、
6、已知数列{an}为等比数列，且则cos（a2?a12）=（ ）
A、 B、﹣
C、 D、﹣
7、在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），则||的值是（ ）
A、 B、
C、 D、1
8、已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosφ，sinφ），若（θ﹣φ）=，则向量与向量+的夹角是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、已知α，β为锐角，且cosα=，cosβ=，则α+β的值是（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网
10、a是三角形的一个内角，若tana=，则cos（a+）=（ ）21*cnjy*com
A、﹣ B、﹣21世纪教育网版权所有
C、 D、21世纪教育网版权所有
11、设，且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，则β﹣α等于（ ）
A、 B、
C、 D、21cnjy
12、若，，则=（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、21cnjy
13、已知cos=，则sin2（α﹣frac{π}{6}）﹣cos的值是（ ）
A、 B、﹣
C、 D、
14、sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（ ）
A、﹣ B、
C、 D、﹣
15、计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（ ）
A、 B、
C、 D、
16、若，，，则cos（α+β）的值等于（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
17、已知向量=（cosα，sinα），则= _________ ．
18、已知向量的值是 _________ ．
19、△OAB中，=（5cosα，5sinα），=（2cosβ，2sinβ），S△AOB=，则?= _________ ．
20、在△ABO中，，，若，则S△ABC= _________ ．21世纪教育网版权所有
21、已知平面向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）（α、β∈R）．当时，?的值为 _________ ；若=λ，则实数λ的值为 _________ ．21世21世21cnjy纪21*cnjy*com教育网纪教育网版权所有
三、解答题（共9小题）
22、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．
（1）求角A的大小；21cnjy
（2）求2cos2B﹣sin2B﹣的取值区间．
23、已知向量．21*cnjy*com
（1）若，求COS（﹣x）的值；
（2）记，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．
24、在三角形ABC中，已知，设∠CAB=α，
（1）求角α的值；
（2）若，其中，求cosβ的值．
25、如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），，四边形OAQP的面积为S．
（1）求的最大值及此时θ的值θ0；
（2）设点B的坐标为，∠AOB=α，在（1）的条件下求cos（α+θ0）．
26、已知A（2，3），B（5，4），C（7，8）
（1）若，试求当λ为何值时，点P在第三象限内．
（2）求∠A的余弦值．
（3）过B作BD⊥AC交于点D，求点D的坐标．
（4）求S△ABC．
27、已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），=（，﹣1），其中x∈R．
（1）当⊥时，求x值的集合；
（2）求|﹣|的最大值．21世纪教育网21*cnjy*com
28、已知
（1）求的值；21世纪教育网版权所有21cnjy
（2）求证：与互相垂直；21cnjy21*cnjy*com
（3）设且k≠0，求β﹣α的值．21*cnjy*com
29、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为．
（1）求α+β； （2）求tan（α﹣β）的值．
30、如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cosα和sinβ的值；
（2）在（Ⅰ）的条件下，求cos（β﹣α）的值；
（3）已知点C，求函数的值域．
答案与评分标准
一、选择题（共16小题）
1、下列四个命题中的假命题是（ ）21cnjy
A、存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ B、不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ21世纪教育网21cnjy
C、对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ D、不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ﹣sinαsinβ21cnjy
考点：四种命题的真假关系；两角和与差的余弦函数。
专题：证明题。21世纪教育网版权所有
分析：对A，由两角和的余弦定理可知存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ，即可判断；
对B，由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ﹣sinαsinβ，得sinαsinβ=0．∴α=kπ或β=kπ（k∈Z），即可判断；
对C，对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，即可得出答案；
对D，不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ﹣sinαsinβ，即可判断真假；
解答：解：对A，由两角和的余弦定理可知存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ，故本选项为真命题；
对B，由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ﹣sinαsinβ，得sinαsinβ=0．∴α=kπ或β=kπ（k∈Z），故本选项为假命题．
对C，对于任意的α、β，由两角和的余弦公式可得：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故本选项为真命题；
对D，不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ﹣sinαsinβ，若存在α，β，则与两角和的余弦公式矛盾，故本选项为真命题；
故选B．
点评：本题考查了四种命题的真假关系及两角和与差的余弦函数，属于基础题，关键是掌握两角和的余弦函数公式．
2、下列命题错误的是（ ）
A、?α，β∈R，cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ B、?x，k∈R，sin（x+k?2π）=sinx
C、?x，sin（x+）=sinx D、?x∈R+，?k∈R，sinx≤kx
点评：本题主要考查全称量词和存在量词的应用，其中，用到了三角函数的知识，综合性强，应认真分析．
3、在△ABC中，“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的（ ）21*cnjy*com
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：根据在三角形中，大角对大边得到a＞b，利用正弦定理得到A＞B，根据三角形中角的正弦值一定是正数得到sin2A＞sin2B，根据不等式的性质与同角的三角函数的关系得到“cos2A＜cos2B”，得到结论．
解答：解：∵在△ABC中，A＞B
∴根据大角对大边得到a＞b
∵
∴sinA＞sinB
根据两个角的正弦值都是正数得到sin2A＞sin2B
∴1﹣cos2A＞1﹣cos2B21世纪教育网
∴cos2A＜cos2B
∴“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的充要条件．21世纪教育网版权所有
故选C21cnjy
点评：本题考查三角形的正弦定理，同一个三角形中大边对大角，考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是对于边角关系的互化，注意初中所学的三角形基本知识的应用，本题是一个基础题．本题考查三角形的一些结论的应用：大边对大角、正弦定理、余弦定理．
4、已知函数f（x）=，则f（1°）+f（2°）+…+f（59°）=（ ）
A、 B、
C、59 D、﹣59
考点：函数的值；两角和与差的余弦函数。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：可令s=f（1°）+f（2°）+…+f（59°），s=f（59°）+f（58°）+…+f（2°）+f（1°），利用倒序相加法，将角度之和为60°的两项结合（如f（1°）+f（59°））化简整理即可．
点评：本题考查函数的求值，解题的关键是利用数列求和中的倒序相加法求f（1°）+f（2°）+…+f（59°）的值，难点在于将角度之和为60°的两项结合化简，是中档题．
5、，α、β等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：由根与系数的关系求出tanα，tanβ的和与积，再由正切的两角和公式计算出tan（α+β）值，再由同角三角函数的基本关系求出两角和的余弦值．
解答：解：由题设条件tanα+tanβ=﹣3，tanα×tanβ=4
tan（α+β）===
又α、β∈，则α+β∈（﹣π，0）
∴α+β∈（﹣π，﹣）21世纪教育网版权所有
取α+β终边上一点P（﹣1，﹣）21世21cnjy纪教育网21*cnjy*com
则OP=2，cos（α+β）=﹣
故就选B．
点评：本题考查一元二次方程的根与系数的关系及两角和的正切公式、同角三角函数的关系，知识覆盖面广，技巧性强．
6、已知数列{an}为等比数列，且则cos（a2?a12）=（ ）
A、 B、﹣
C、 D、﹣
考点：等比数列的性质；两角和与差的余弦函数。
专题：综合题。
分析：首先根据等比数列的性质得出a2?a12=a5?a9=，然后由诱导公式得出cos（）=cos（﹣），进而根据
点评：本题考查了等比数列的性质以及三角函数的诱导公式，根据等比数列的性质求出a2?a12=a5?a9是解题的关键，同时要牢记特殊角的三角函数值．属于基础题．
7、在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），则||的值是（ ）
A、 B、
C、 D、1
考点：向量的模；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．
解答：解：∵A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），
∴||===1．
故选D．
点评：本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值．
8、已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosφ，sinφ），若（θ﹣φ）=，则向量与向量+的夹角是（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网
考点：数量积表示两个向量的夹角；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出；利用向量的数量积公式求出夹角余弦，求出夹角．21cnjy
点评：本题考查向量模的坐标形式的公式、向量的数量积表示向量的夹角、向量模的平方等于向量的平方．
9、已知α，β为锐角，且cosα=，cosβ=，则α+β的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：任意角的三角函数的定义；两角和与差的余弦函数。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：由题意求出，，然后求出0＜α+β＜π，求cos（α+β）的值，确定α+β的值．
解答：解：由α，β为锐角，且cosα=，cosβ=，
可得，，且0＜α+β＜π，
，
故
故选B．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数，考查计算能力，推理能力，是基础题．
10、a是三角形的一个内角，若tana=，则cos（a+）=（ ）
A、﹣ B、﹣
C、 D、21世纪教21世纪教育网育网版权所有
考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：由同角三角函数的基本关系 及tana=，可得cosa和sina的值，代入cos（a+）=cosa?cos﹣sina?sin
进行运算．21cnjy
解答：解：a是三角形的一个内角，若tana=，则 a是锐角，再由同角三角函数的基本关系可得
cosa=，sina=，∴cos（a+）=cosa?cos﹣sina?sin=，21cnjy
故选 D．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的余弦公式的应用，求出cosa和sina的值，是解题的关键．
11、设，且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，则β﹣α等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：把已知的两等式分别移项，使关于γ的三角函数移项到等式右边，根据α，β，γ的范围得到β大于α，然后把化简后的两等式两边分别平方后，相加并利用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简后，得到cos（α﹣β）的值，根据α与β的范围及β大于α，得到β﹣α大于0，利用特殊角的三角函数值即可求出β﹣α的值．
点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应根据已知条件判断出β＞α，进而得到β﹣α的值．
12、若，，则=（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：由sinα的值大于0，且α的范围，可得出α的具体范围，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosα，最后利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，把sinα和cosα的值代入可得出值．
解答：解：∵sinα=＞0，，
∴，且，
则．21*cnjy*com
故选C21世纪教育网21cnjy
点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值以及两角和与差的余弦函数公式，由sinα的值大于0且α的范围，得出α的具体范围是本题的突破点．
13、已知cos=，则sin2（α﹣frac{π}{6}）﹣cos的值是（ ）
A、 B、﹣
C、 D、21世纪教育网版权所有21cnjy
点评：本题主要考查了诱导公式和同角三角函数的基本关系的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．
14、sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（ ）
A、﹣ B、
C、 D、﹣
考点：两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：由题意知本题是一个三角恒等变换，解题时注意观察式子的结构特点，根据同角的三角函数的关系，把7°的正弦变为83°的余弦，把53°的余弦变为37°的正弦，根据两角和的余弦公式逆用，得到特殊角的三角函数，得到结果．
解答：解：sin7°cos37°﹣sin83°cos53°
=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°
=cos（83°+37°）
=cos120°
=﹣，
故选B．
点评：本题考查两角和与差的公式，是一个基础题，解题时有一个整理变化的过程，把式子化归我可以直接利用公式的形式是解题的关键，熟悉公式的结构是解题的依据．
15、计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：两角和与差的余弦函数。
分析：先根据诱导公式将sin137°cos13°+cos103°cos43°转化为sin43°cos13°﹣sin13°cos43°，再根据两角差的正弦公式得到答案．
解答：解：∵sin137°cos13°+cos103°cos43°
=sin（180°﹣43°）cos13°+cos（90°+13°）cos43°
=sin43°cos13°﹣sin13°cos43°
=sin（43°﹣13°）=sin30°=21世纪教21cnjy育网版权所有
故选A．21世纪教育网
点评：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正弦公式．这种题型经常在选择题中出现，应给与重视．
16、若，，，则cos（α+β）的值等于（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
考点：两角和与差的余弦函数。
分析：先根据α、β的范围确定、的范围，再由所给的三角函数值确定α+β的大小，进而可得答案．
点评：本题主要考查求三角函数值的问题，这里一定要注意角的取值范围．
二、填空题（共5小题）
17、已知向量=（cosα，sinα），则= 1 ．
考点：向量的模；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，利用向量的数量积公式及三角函数的差角的余弦公式求出向量的模．
解答：解：=
=2﹣2cosαcos（）
=2﹣2cos[]
2﹣2cos
=1
∴
故答案为：1
点评：本题考查向量模的平方等于向量的平方、向量的数量积公式、三角函数的和差角公式．
18、已知向量的值是 1 ．
考点：向量的模；两角和与差的余弦函数。21世纪教育网21cnjy
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：先根据，利用向量的减法表示得到=（cos75°﹣cos15°，sin75°﹣sin15°）再利用向量的模的公式结合三角变换公式计算||即可．
点评：本小题主要考查向量的模、两角和与差的余弦函数等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．
19、△OAB中，=（5cosα，5sinα），=（2cosβ，2sinβ），S△AOB=，则?= ±5 ．
考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：由题意可得：，，由三角形的面积公式可得：sin=，即可得到cos=±，进而结合平面向量的数量积公式求出的数值．
解答：解：由题意可得：=（5cosα，5sinα），=（2cosβ，2sinβ），21*cnjy*com
∴，，
∵S△AOB=，即S△AOB==，
∴sin=，
∵，
∴cos=±，
所以==±5．
故答案为：±5．
点评：本题主要考查三角形的面积公式与平面向量的数量积公式，以及考查两角差的余弦公式的逆用与特殊角的三角函数值，此题属于基础题，综合性交强，考查学生的运算能力与分析问题解决问题的能力．
20、在△ABO中，，，若，则S△ABC= ．
考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数；正弦定理。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：先利用向量的数量积公式及两个角差的余弦公式求出两个向量的数量积，列出等式，求出向量的夹角值，再利用三角形面积公式求△AOB的面积．21世纪教育网
点评：本题考查向量的数量积公式：对应坐标的乘积和、考查两角和与差的余弦公式．解答关键是利用向量的数量积求出∠AOB的大小．
21、已知平面向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）（α、β∈R）．当时，?的值为 ；若=λ，则实数λ的值为 ±1 ．21cnjy
考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：由向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），根据平面向量的数量积运算公式，我们可将?变形为两角差的余弦，然后将代入即可得到第一空的答案；再根据=λ，则表示向量、共线，又由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）我们易得，||=||=1，则与同向或反向，由向量相等或相反的定义，易求出实数λ的值．21*cnjy*com
解答：解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），
∴?=cosα×cosβ﹣sinα×sinβ=cos（α﹣β），
当时，
?=cos（）=cos=
∵当=λ时，向量、共线
又∵||=||=1
∴与同向或反向
∴=±
故λ=±1
故答案为：，±1
点评：熟练掌握平面向量的数量积公式是解答向量数量积问题的关键，其公式可简记为“横乘横加纵乘纵”而若=λ表示两个向量共线（平行）是解决向量共线（平行）问题最常用的性质．21世纪教育网版权所有
三、解答题（共9小题）
22、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．
（1）求角A的大小；21世纪教育网
（2）求2cos2B﹣sin2B﹣的取值区间．
解答：解：（1）由∥得（2b﹣c）cosA﹣acosC=021cnjy
由正弦定理的2sinBcosA﹣sinCcosA﹣sinAcosC=0
∴2sinBcosA﹣cos（A+C）=0
∴2sinBcosA﹣sinb=0
∵A，B∈（0，π）
∴sinB≠021*cnjy*com
∴cosA=
∴A=
（2）∵2cos2B﹣sin2B﹣=（1+cos2B）﹣sin2B﹣=2cos（2B+）
又∵A=21*cnjy*com
∴0＜B＜
∴＜2B+＜
∴﹣2≤2cos（2B+）＜
即所求的取值区间为[﹣2，）
点评：本题主要考查了向量和三角函数的综合．解题的关键是第一问要利用向量共线的坐标表示和正弦定理将边转化为有关角的式子再求解而第二问关键是要利用降幂公式和辅助角公式将要求的式子化为Asin（wx+?）+k．同时此题有关角的范围的利用也要引起注意（比如第一问中利用A，B∈（0，π）得到sinB≠0，第二问中利用A=得到0＜B＜）！
23、已知向量．
（I）若，求COS（﹣x）的值；
（II）记，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．21世纪教育网版权所有
考点：数量积的坐标表达式；两角和与差的余弦函数；正弦定理。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：（1）利用向量的数量积公式列出方程求出，利用二倍角的余弦公式求出要求的式子的值．
（2）利用三角形中的正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值，利用三角形的内角和为180°化简等式，求出角B，求出角A的范围，求出三角函数值的范围．
（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞021cnjy
∴cosB=
∵B∈（0，π），
∴
∴
∵21*cnjy*com
∴
∵
∴
∴（12分）
点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的内角和为180°、考查利用三角函数的单调性求三角函数值的范围．
24、在三角形ABC中，已知，设∠CAB=α，
（1）求角α的值；
（2）若，其中，求cosβ的值．
考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：（1）根据向量之间的关系，把向量的数量积用公式表示出来，两边比较，得到角的余弦值，根据角的范围，确定角的值．21*cnjy*com
（2）根据角α和角β﹣α的函数值和角的范围，把要求的角变化为两个已知角的关系，解题过程中需要的角的三角函数值，结合角的范围求出，本题的关键是角的变换．21世21世纪教育网纪教育网版权所有
点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到角的变换问题．注意解题过程中角的范围．
25、如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），，四边形OAQP的面积为S．
（1）求的最大值及此时θ的值θ0；21cnjy
（2）设点B的坐标为，∠AOB=α，在（1）的条件下求cos（α+θ0）．
考点：平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值。
专题：计算题。
分析：（1）由已知我们可得：=+S=1+cosθ+sinθ，转化为正弦型函数数，结合（0＜θ＜π），易给出的最大值及此时θ的值θ0；
（2）由已知，根据（1）的结论，代入两角和的余弦函数公式，即可得到结论．
解答：解：（1），
故的最大值是，
此时．
（2）
∴．21世纪教育21世纪教育网网版权所有
点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，周期T=进行求解．
26、已知A（2，3），B（5，4），C（7，8）21世纪教育网
（1）若，试求当λ为何值时，点P在第三象限内．
（2）求∠A的余弦值．
（3）过B作BD⊥AC交于点D，求点D的坐标．21*cnjy*com
（4）求S△ABC．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的加法及其几何意义；数量积表示两个向量的夹角；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。21cnjy
分析：（1）设P（x，y），，，，由点P在第三象限内，能求出λ＜﹣1．
（2），由此能求出cosA．
（3）利用A（2，3），C（7，8）求出直线AC的表达式，为y=x+1．也由此知AC的斜率为1，又因为BD⊥AC，所以知直线BD的斜率为k=﹣1，又因为直线BD过点B（5，4），所以可求得直线BD的表达式是y=﹣x+9．由此能求出两直线的交点坐标．．
（2）根据两点间的距离公式d=，得到AC=，BD=，由BD⊥AC，能求出S△ABC．
（2）∵，
∴cosA=．
（3）利用A（2，3），C（7，8）求出直线AC的表达式，
可用直线表达式y=kx+b，A、C两点代进去求出．
得k=1，b=1，
直线AC的表达式为y=x+1．
也由此知AC的斜率为1，
又因为BD⊥AC，
所以知直线BD的斜率为k=﹣1，21*cnjy*com
又因为直线BD过点B（5，4），21世纪教育网版权所有
所以可求得直线BD的表达式是y=﹣x+921世纪教育网
解方程组，得x=4，y=5′．
∴两直线的交点坐标为D（4，5）．
（2）根据两点间的距离公式d=，
得到AC=，
BD=，21cnjy
由（1）知BD⊥AC，
所以S△ABC=AC×BD==5．
点评：本题考查平面向量的运算，解题时要认真审题，注意直线方程的知识的灵活运用．
27、已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），=（，﹣1），其中x∈R．
（I）当⊥时，求x值的集合；
（Ⅱ）求|﹣|的最大值．21世纪教育网
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：（1）根据数量积是否为零判断两个平面向量的垂直关系，建立等量关系，求出x即可；
（2）求向量的模时一般的处理方法是先计算模的平方，即利用得到一个三角函数，求出其最大值即可．
（Ⅱ）|﹣|2=（）2=2﹣2+2=||2﹣2+||2，（9分）
又||2=（cos）2+（sin）2=1，||2=（）2+（﹣1）2=4，
=cos﹣sin=2（cos﹣sin）=2cos（+），
∴||2=1﹣4cos（+）+4=5﹣4cos（+），（13分）
∴||2max=9，∴||max=3，
即||的最大值为3．（15分）
点评：本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及向量的模和两角和与差的余弦函数，属于基础题．
28、已知
（I）求的值；21世纪教育网版权所有
（II）求证：与互相垂直；21世纪教育网
（III）设且k≠0，求β﹣α的值．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数。
专题：综合题。21cnjy
分析：（I）由，能求出的值．
（II）由（）?（）=（cosα+cosβ）（cosα﹣cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα﹣sinβ）=0，能证明（）⊥（）．
（III）由，=（cosα﹣kcosβ，sinα﹣ksinβ）和|k+|=|﹣k|，能够求出．
（III）解：∵，
∴=（cosα﹣kcosβ，sinα﹣ksinβ），（10分）21*cnjy*com
∴
=，（12分）
=，
∵|k+|=|﹣k|，
∴，
整理，得2kcos（β﹣α）=﹣2kcos（β﹣α）
又k≠0，∴cos（β﹣α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β﹣α＜π，
∴．（14分）21世纪教育网版权所有
点评：本题考查向量的模的求法，求证：与互相垂直和求β﹣α的值．综合性强，较繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．
29、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为．21世纪教育网21cnjy21*cnjy*com
（1）求α+β； （2）求tan（α﹣β）的值．21*cnjy*com
考点：任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正切函数。
专题：计算题。
分析：（1）先由已知条件得，再由α、β为锐角，求得，从而利用差角的余弦可求．
（2）由第一问求出tanα、tanβ的值，再求tan（α﹣β）的值．
（2）由条件可知，∴
点评：本题主要考查已知角终边上点的坐标求三角函数值的问题．考查基础知识的简单应用和计算能力．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和练习．
30、如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cosα和sinβ的值；
（2）在（Ⅰ）的条件下，求cos（β﹣α）的值；
（3）已知点C，求函数的值域．21世纪教育网
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考点：任意角的三角函数的定义；平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题；综合题。
分析：（1）根据三角函数的定义，利用单位圆，直接求出cosα和sinβ的值．
（2）由题意判断α，β范围，求出，．利用两角差的余弦公式求解cos（β﹣α）的值．
（3）求出函数的表达式，，根据α的范围，确定函数的值域．
（Ⅲ）由题意可知，，．
所以，21*cnjy*com
因为，所以，
所以函数的值域为．（13分）
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的余弦函数，考查计算能力，是中档题．
