两角和与差的正弦函数
一、选择题（共20小题）21*cnjy*com
1、函数y=的值域为（ ）21世纪教育网版权所有
A、[﹣，] B、[﹣，0] 21世纪教育网
C、[0，] D、（0，]21cnjy
2、函数是奇函数，则tanθ等于（ ）
A、 B、﹣21世纪教育网
C、 D、﹣
3、给出下列四个命题，其中错误的命题有（ ）个．
（1）函数f（x）=ex﹣2的零点落在区间（0，1）内；21*cnjy*com
（2）函数y=sin2x+cos2x在x上的单调递增区间是[0，]；
（3）设A、B、C，且sinA﹣sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，则B﹣A 等于﹣；
（4）方程sin2x+2sinx+a=0有解，则a的取值范围是[﹣3，1]．
A、0 B、1
C、2 D、3
4、对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）
A、sin（α+β）＞sinα+sinβ
B、sin（α+β）＞cosα+cosβ
C、cos（α+β）＜sinα+sinβ
D、cos（α+β）＜cosα+cosβ
5、设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（ ）
A、a＜b＜c B、b＜a＜c
C、c＜b＜a D、a＜c＜b
6、有下列四个命题，其中真命题有（ ）
①{an}为等比数列，则a1+a5≤a2+a4；
②{an}为等差数列，则a1?a5≤a2?a4；
③对任意α，β，都有sin（α+β）sin（α﹣β）=sin2α﹣sin2β；
④对任意α，β，都有cos（α+β）≠cosα+cosβ．
A、①② B、②③
C、②④ D、③④
7、设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的范围是（ ）
A、（0，+∞）
B、
C、
D、
8、已知向量=（sin75°，﹣cos75°），=（﹣cos15°，sin15°）|﹣|
A、0 B、1
C、 D、2
9、在同一平面内，已知，，且．若
，，则△A'OB'的面积等于（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、1 D、221*cnjy*com
10、设a为函数的最大值，则二项式的展开式中含x2项的系数是（ ）
A、192 B、18221cnjy
C、﹣192 D、﹣182
11、已知α是第二象限角，其终边上一点，且cosα=x，则=（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 D、
12、cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ化简为（ ）
A、sin（2α+β） B、cos（α﹣2β）
C、cosα D、cosβ
13、sin75°cos30°﹣cos75°sin30°的值为（ ）
A、1 B、
C、 D、
14、的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
15、已知=（ ）
A、 B、
C、 D、
16、计算cos13°sin43°﹣sin13°cos43°的值等于（ ）
A、 B、
C、 D、
17、已知锐角α、β满足，则α+β等于（ ）
A、 B、
C、 D、
18、函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）
A、 B、2
C、 D、1
19、当时，sin（α+β）+cos（α+β）+sin（α﹣β）+cos（α﹣β）=（ ）
A、﹣1 B、21cnjy
C、0 D、21世纪教育网
20、可以化简为（ ）
A、
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C、
D、21世纪教育网
二、填空题（共1小题）21*cnjy*com
21、下列命题：
①命题p：?x0∈[﹣1，1]，满足x02+x0+1＞a，使命题p为真的实数a的取值范围为a＜3；
②代数式的值与角α有关；
③将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数；
④已知数列an满足：a1=m，a2=n，an+2=an+1﹣an（n∈N*），记Sn=a1+a2+a3+…+an，则S2011=m；其中正确的命题的序号是 _________ （把所有正确的命题序号写在横线上）．
三、解答题（共9小题）
22、设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数acosx+bsinx．
（1）证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当f0（x）∈M时，f1（x）=f0（x+t）∈M，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值f0（x），得M1={f0（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下点（m，n）的象属于M1，问：由所有符合条件的点（m，n）构成的图形是什么？
23、已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
（2）若的值．
24、计算（或化简）下列各式：
（1）计算：
（2）化简：
25、将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．
26、已知向量与共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；21世纪教育网版权所有
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．21*cnjy*com
27、已知向量，设函数．21cnjy
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间21世纪教育网
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．
28、已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），?=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．
29、在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且∥．
（1）求锐角B的大小；
（2）设，且B为钝角，求ac的最大值．
30、已知锐角三角形ABC中，定义向量=（sinB，﹣），=（cos2B，4cos2﹣2），且∥
（1）求函数f（x）=sin2xcosB﹣cos2xsinB的单调减区间；
（2）若b=1，求△ABC的面积的最大值．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、函数y=的值域为（ ）21cnjy
A、[﹣，] B、[﹣，0]
C、[0，] D、（0，]21世纪教育网版权所有
考点：函数的值域；两角和与差的正弦函数。21*cnjy*com
专题：计算题。21世纪教育网
分析：先将y=化成sinx﹣ycosx=2y﹣1，再利用三角函数的和角公式化成：sin（x+θ）=2y﹣1，最后利用三角函数的有界性即可求得值域．
解答：解：∵y=，
∴1+sinx=2y+ycosx，
∴sinx﹣ycosx=2y﹣1，
即：sin（x+θ）=2y﹣1，
∵﹣≤sin（x+θ）≤，
∴﹣≤2y﹣1≤，
解得：y∈[0，]．
故选C．
点评：本题以三角函数为载体考查分式函数的值域，属于求三角函数的最值问题，属于基本题．
2、函数是奇函数，则tanθ等于（ ）
A、 B、﹣
C、 D、﹣
点评：本题考查函数的奇偶性、三角函数的化简、求值等，有一定的综合性．
3、给出下列四个命题，其中错误的命题有（ ）个．
（1）函数f（x）=ex﹣2的零点落在区间（0，1）内；
（2）函数y=sin2x+cos2x在x上的单调递增区间是[0，]；
（3）设A、B、C，且sinA﹣sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，则B﹣A 等于﹣；
（4）方程sin2x+2sinx+a=0有解，则a的取值范围是[﹣3，1]．21cnjy
A、0 B、1
C、2 D、321世纪教育网
考点：函数的零点；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性。221*cnjy*com 1世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：A中由根的存在性定理只需判断f（0）f（1）的符号；B中函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+），再利用三角函数的图象进行判断；C中因为SinA﹣SinC=SinB，所以sinc=sina﹣sinb，那么（sinC）2=（sinA﹣sinB）2=（sinA）2﹣2sinA?sinB+（sinB）2，因为CosA+CosC=CoSB，所以cosC=cosB﹣cosA． 同理（cosC）2=（cosB）2﹣2cosA?cosB+（cosA）2，由此利用三角函知识进行求解；D中，方程sin2x+2sinx+a=0在x∈R上有解，可以转化为a=﹣sin2x﹣2sinx，x∈R．故令t=sinx∈[﹣1，1]，则方程转化为a=﹣t2﹣2t，t∈[﹣1，1]，借助二次函数的性质进行求解．
所以cos（A﹣B）=．
因为A，B，C∈（0，），
所以0＜A﹣B＜，
因此A﹣B=，
则B﹣A=﹣．
D中，方程sin2x+2sinx+a=0在x∈R上有解，可以转化为a=﹣sin2x﹣2sinx，x∈R
故令t=sinx∈[﹣1，1]，则方程转化为
a=﹣t2﹣2t，t∈[﹣1，1]，
此二次函数的对称轴为t=﹣1，故 a=a=﹣t2﹣2t在[﹣1，1]上是减函数，
∴﹣1≤t≤3，即a的取值范围是[﹣1，1]．
综上所述，D不正确．
故选B．
点评：本题考查函数的零点问题、三角函数的性质和运用、角的求法和参数取值范围的考查，考查知识点较多，但难度不大．
4、对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）
A、sin（α+β）＞sinα+sinβ B、sin（α+β）＞cosα+cosβ
C、cos（α+β）＜sinα+sinβ D、cos（α+β）＜cosα+cosβ
考点：不等关系与不等式；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数。
专题：证明题。
分析：对于A，B中的α，β可以分别令为30°，60°验证即可，对于C中的α，β可以令他们都等于15°，验证即可，对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ
解答：解：对于AB中的α，β可以分别令为30°，60°则知道A，B均不成立
对于C中的α，β可以令他们都等于15°，则知道C不成立
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ21c21*cnjy*com njy 21世纪教育网版权所有
故选D21世纪教育网
点评：本题考查了两角和与差的正余弦公式，同时也考查了放缩法对命题的证明，属于基础题．
5、设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（ ）
A、a＜b＜c B、b＜a＜c
C、c＜b＜a D、a＜c＜b
点评：本题考查了比较式子大小的方法，一般需要把各项转化统一的形式，再由对应的性质进行比较，考查了转化思想．
6、有下列四个命题，其中真命题有（ ）
①{an}为等比数列，则a1+a5≤a2+a4；
②{an}为等差数列，则a1?a5≤a2?a4；
③对任意α，β，都有sin（α+β）sin（α﹣β）=sin2α﹣sin2β；
④对任意α，β，都有cos（α+β）≠cosα+cosβ．
A、①② B、②③
C、②④ D、③④
考点：等差数列的性质；等比数列的性质；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数。
专题：应用题。
分析：通过给变量取特殊值，举反例可得①④不正确，根据 a2?a4﹣a1?a5=3d2≥0，可得②正确．
利用两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系化简sin（α+β）sin（α﹣β）=sin2α﹣sin2β，故③正确．
解答：解：①不正确，如 an=时，a1+a5=，a2+a4=．
②正确，因为 a2?a4﹣a1?a5=3d2≥0．
③正确，因为sin（α+β）sin（α﹣β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ﹣cosαsinβ）
=sin2αcos2β﹣cos2αsin2β=sin2α（1﹣sin2β）﹣（1﹣sin2α）sin2β=sin2α﹣sin2β．
④不正确，如时，cos（α+β）=1，cosα+cosβ==1．
故②③正确，①④不正确．
故选B．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，两角和的正弦公式．通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
7、设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的范围是（ ）
A、（0，+∞） B、21世纪教育网
C、 D、
考点：等比数列的性质；弦切互化；两角和与差的正弦函数。
分析：把要求的式子整理，首先切化弦，通分，逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角和之间的关系，最后角化边，得到要求的范围既是公比的范围，用公比表示出三条边，根据两边之和大于第三边，得到不等式组，得到结果．
解答：解：设三边的公比是q，三边为a，aq，aq2，21cnjy
原式=21世纪教育网版权所有
=
=
===q
∵aq+aq2＞a，①
a+aq＞aq2②
a+aq2＞aq，③
解三个不等式可得q
0，21*cnjy*com
综上有，
故选C．
点评：这是一个综合题目，包括三角函数的恒等变化，三角形内角之间的关系，一元二次不等式的解法，等比数列的应用，变量的范围的求解，化归思想的应用．
8、已知向量=（sin75°，﹣cos75°），=（﹣cos15°，sin15°）|﹣|
A、0 B、1
C、 D、2
所以||=1，||=1，?=﹣1，
又因为|﹣|2=（﹣）2=，
所以|﹣|2=4，
所以|﹣|=2．21世纪教育网
故选D．21cnjy
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量求模的公式即，以及两角和、差的正弦余弦公式，在解题时有点小技巧，就是不要急于把两个向量的坐标代入，应该先化简再代入计算．
9、在同一平面内，已知，，且．若，，则△A'OB'的面积等于（ ）
A、 B、
C、1 D、221世21*cnjy*com纪教育网版权所有
解答：解：由题意可得，|OA|=|OB|=1，∴△AOB的面积为S==．
而由条件可得是把向上平移2个单位得到的，故点O到A'B'的距离等于点O到AB的距离的2倍，
故△A'OB'的面积等于△AOB的面积的2倍，∴△A'OB'的面积等于1．
故选：C．
点评：本题主要考查两个向量垂直的条件，判断△A'OB'的面积等于△AOB的面积的2倍，是解题的关键．
10、设a为函数的最大值，则二项式的展开式中含x2项的系数是（ ）
A、192 B、182
C、﹣192 D、﹣182
考点：二项式定理的应用；两角和与差的正弦函数。
专题：计算题。
分析：首先根据两角和的正弦公式，可得a=2，进而可得二项展开式的通项公式，令3﹣r=2，得r=1，将r=1代入二项展开式可得答案．
解答：解：因为，由题设a=2，
则二项展开式的通项公式为．
令3﹣r=2，得r=1，
所以含x2项的系数是C61?25=﹣192，
故选C．
点评：本题考查二项式定理的应用，涉及两角和与差的公式，难度不大．
11、已知α是第二象限角，其终边上一点，且cosα=x，则=（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 D、
考点：两角和与差的正弦函数。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：由题意有可得 x＜0，r=0P=，由 cosα=x=，求得 x 的值，从而得到cosα的值，由=cosα，求出结果．21cnjy
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，求出cos α=，是解题的关键．
12、cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ化简为（ ）
A、sin（2α+β） B、cos（α﹣2β）
C、cosα D、cosβ
考点：两角和与差的正弦函数。
专题：计算题。
分析：利用两角差的余弦函数公式cosAcosB+sinAcosB=cos（A﹣B），把α+β即为角度A，β即为角度B，变形后可得化简结果．
解答：解：cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
=cos[（α+β）﹣β]
=cosα．
故选C
点评：此题考查了两角和与差得余弦函数公式，即cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）及cosαcosβ﹣sinαsinβ=cos（α+β）．熟练掌握公式的特点是解本题的关键．
13、sin75°cos30°﹣cos75°sin30°的值为（ ）
A、1 B、
C、 D、
考点：两角和与差的正弦函数。
专题：计算题。
分析：利用两角和与差的正弦函数公式，把原式整理成sin（75°﹣30°）的形式，利用特殊角的三角函数值，求得答案．
解答：解：sin75°cos30°﹣cos75°sin30°=sin（75°﹣30°）=sin45°=
故选C
点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的化简求值．考查了学生对三角函数基本公式的记忆．属基础题．
14、的值是（ ）21*cnjy*com
A、 B、21cnjy
C、 D、21世纪教育网
点评：本题主要考查了正弦函数两角的和与差．注意利用好特殊角．
15、已知=（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系。
专题：计算题。
分析：利用同角三角函数的基本关系式，结合α的范围，求出cosα，利用两角差的正弦函数化简所求表达式，代入正弦函数值、余弦函数值，即可求出结果．
解答：解：因为，所以cosα===，
所以==sinα﹣cosα==﹣．
故选B．
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式、两角差的三角函数的应用，考查计算能力，注意α的范围与三角函数的值的符号．
16、计算cos13°sin43°﹣sin13°cos43°的值等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：两角和与差的正弦函数。
专题：计算题。
分析：把原式的被减数和减数都利用乘法交换律变形，发现符合两角和与差的正弦函数公式，由公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．
解答：解：cos13°sin43°﹣sin13°cos43°
=sin43°cos13°﹣cos43°sin13°
=sin（43°﹣13°）
=sin30°
=．21*cnjy*com
故选A
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握公式是解本题的关键．
17、已知锐角α、β满足，则α+β等于（ ）21cnjy21*cnjy*com
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点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．
18、函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）
A、 B、2
C、 D、1
考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域。
专题：计算题。
分析：利用两角和的正弦公式把函数y=sinx+cosx 化为sin（x+）≤，从而得到结论．
解答：解：∵函数y=sinx+cosx=sin（x+）≤，
故函数y=sinx+cosx的最大值是，
故选A．
点评：本题考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
19、当时，sin（α+β）+cos（α+β）+sin（α﹣β）+cos（α﹣β）=（ ）
A、﹣1 B、
C、0 D、
考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：把α=代入题设条件中，利用两角和公式展开后整理求得进而求得答案．
解答：解：原式=．
故选C
点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．属基础题．
20、可以化简为（ ）
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二、填空题（共1小题）21cnjy
21、下列命题：
①命题p：?x0∈[﹣1，1]，满足x02+x0+1＞a，使命题p为真的实数a的取值范围为a＜3；
②代数式的值与角α有关；
③将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数；
④已知数列an满足：a1=m，a2=n，an+2=an+1﹣an（n∈N*），记Sn=a1+a2+a3+…+an，则S2011=m；其中正确的命题的序号是 ①④ （把所有正确的命题序号写在横线上）．
考点：命题的真假判断与应用；存在量词；数列递推式；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
专题：综合题。
分析：利用函数成立问题的处理方法，可以判断①的正误；根据特殊角三角函数值，及两角和的正弦值，可以判断②的对错；利用函数平移变换及三角函数的奇偶性的判断方法，可以判断③的对错；根据数列的分组求和法，利用数列各项的变化趋势，可以得到④正误，进而得到答案．
解答：解：当x0∈[﹣1，1]时，x02+x0+1∈[，3]
∴?x0∈[﹣1，1]，满足x02+x0+1＞a，使命题p为真的实数a的取值范围为a＜3为真命题；
∵=0恒成立，
∴代数式的值与角α有关为假命题；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数，
由函数是非奇非偶函数，故③为假命题；
∵数列an满足：a1=m，a2=n，an+2=an+1﹣an（n∈N*），
∴a3=n﹣m，a4=﹣m，a5=﹣n，a6=m﹣n，a7=m，a8=n，…
数列an的项以6为周期，呈周期性变化，
且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0
故∴S2011=a1+a2+…+a2011=a1=m
故④为真命题
故答案为：①④
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，存在题词，数列递推式，两角和与差的正弦函数，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换其中熟练掌握这些基本的知识点是解答此类问题的根本．21世纪教育网
三、解答题（共9小题）21cnjy
22、设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数acosx+bsinx．
（1）证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；21*cnjy*com
（2）证明：当f0（x）∈M时，f1（x）=f0（x+t）∈M，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值f0（x），得M1={f0（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下点（m，n）的象属于M1，问：由所有符合条件的点（m，n）构成的图形是什么？
考点：映射；两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象。21世纪教育网版权所有
专题：综合题。
分析：（1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．特别令x=0，得a=c；令x=，得b=d．这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，故不存在两个不同点对应同函数．
（2）当f0（x）∈M时，可得常数aa0，b0，使f0（x）=a0cosx+b0sinx，f1（x）=f0（x+t）=a0cos（x+t）+b0sin（x+t）=（a0cost+b0sint）+（b0cost﹣a0sint）sinx．由此能够证明f1（x）=f0（x+t）∈M．
（3）设f0（x）∈M，由此得f0（x+t）=mcosx+nsinx，在映射F下，f0（x+t）的原象是（m，n），则M1的原象是{（m，n）|m=a0cost+b0sint，n=b0cost﹣a0sint，t∈R}，消去t得m2+n2=a02+b02，由此能得到有符合条件的点（m，n）构成的图形是圆．
（3）设f0（x）∈M，
由此得f0（x+t）=mcosx+nsinx，
（其中m=a0cost+b0sint，n=b0cost﹣a0sint）
在映射F下，f0（x+t）的原象是（m，n），
则M1的原象是
{（m，n）|m=a0cost+b0sint，n=b0cost﹣a0sint，t∈R}，
消去t得m2+n2=a02+b02，
即在映射F下，M1的原象{（m，n）|m2+n2=a02+b02}是以原点为圆心，为半径的圆．
点评：本题考查映射的概念，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
23、已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；21*cnjy*com
（Ⅱ）若的值．21世纪教育网
考点：函数的周期性；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数。
专题：计算题。21cnjy
分析：（Ⅰ）先将函数化简得，从而可求函数的周期，利用三角函数在区间上的单调性，可求函数在区间[0，]上的最大值和最小值；21世纪教育网版权所有
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，求cos2α的值，关键是配角即，故求相应的三角函数值即可．
点评：本题的考点是两角和差的三角函数，主要考查利用两角和差的三角函数，化简三角函数，考查函数的周期，函数的最值．同时考查了配角法求三角函数的值．
24、计算（或化简）下列各式：
（1）计算：
（2）化简：
考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质；两角和与差的正弦函数。
专题：计算题。
分析：（1）直接利用有理数指数幂和对数的运算性质计算．
（2）先将tan10°变形为，然后通分，最后利用差角的正弦公式进行求解．
解答：解：（1）原式=1+（）﹣2×﹣10（﹣2）×（﹣0.5）+
=1+（）0﹣10﹣
=﹣9.25；
（2）原式=（）?
=×
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=21世纪教育网
=﹣2．21cnjy21*cnjy*com
点评：本题主要考查了有理数指数幂和对数的运算性质，以及差角的正弦公式，熟练记忆和运用公式、性质是解题的关键．
25、将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．
考点：根据实际问题选择函数类型；两角和与差的正弦函数。
专题：计算题。
分析：对甲种裁法分析设∠MOA=θ，则矩形的一边为20sinθ，一边为20cosθ，则得出面积，利用正弦函数取最值的方法求出最大面积；对乙种裁法分析设∠MOA=α利用三角函数表示出长为40sin（60°﹣α），再用相似三角形求得宽，进而表示出面积，利用余弦函数取最大值的方法求出最大面积．比较看哪个面积大即可．
点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及运用两角和与差的正弦函数的能力，求正弦函数最值的能力．
26、已知向量与共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．
考点：向量的共线定理；基本不等式；两角和与差的正弦函数；正弦定理。
专题：计算题。
分析：（1）根据向量平行得出角2A的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．
（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件．
解答：解：（1）因为∥，所以；21*cnjy*com
所以，21世纪教育网版权所有
即，21世纪教育网
即．21世纪教育网版权所有
因为A∈（0，π），所以．
故，；21cnjy
27、已知向量，设函数．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．
考点：平面向量的坐标运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用；余弦定理的应用。
分析：（1）用向量的数量积法则及三角函数的二倍角公式化简f（x），再用三角函数的周期公式和整体代换的方法求出周期和单调区间
（2）用三角形的面积公式和余弦定理列方程求．
解答：解：（1）∵，
∴===
∴
令
∴
∴f（x）的单调区间为，k∈Z
（2）由f（A）=4得
∴
又∵A为△ABC的内角
∴
∴21世纪教育网版权所有
∴21世纪教育网
∵21世纪21cnjy教育网版权所有
∴21*cnjy*com
∴c=2
∴
∴
点评：本题考查向量的运算法则、三角函数的二倍角公式、三角函数的面积公式、三角函数的余弦定理．
28、已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），?=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．
考点：平面向量的坐标运算；函数的值域；两角和与差的正弦函数。
分析：（1）利用向量数量积计算?，得到A 的三角函数式，即可求出A．
（2）把A代入函数f（x）并化简，利用三角函数的有界性，求得值域．
点评：本题考查平面向量的数量积，两角和与两角差的三角函数，以及函数值域问题，是中档题．
29、在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且∥．
（1）求锐角B的大小；
（2）设，且B为钝角，求ac的最大值．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正弦函数；余弦定理。
专题：计算题。
分析：（1）由∥得．法一：，所以，由此能求出∠B．法二：．所以．由此能求出∠B．
（2）由B为钝角，知，b=，由余弦定理得：，由此能求出ac的最大值．21cnjy
（2）∵B为钝角，由（Ⅰ）知：，b=，
∴由余弦定理得：21世纪21*cnjy*com教育网版权所有
得：，21世纪教育网
∴，
∴ac的最大值为：．
点评：本题考查平面向量的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的恒等式和余弦定理的灵活运用．
30、已知锐角三角形ABC中，定义向量=（sinB，﹣），=（cos2B，4cos2﹣2），且∥
（1）求函数f（x）=sin2xcosB﹣cos2xsinB的单调减区间；
（2）若b=1，求△ABC的面积的最大值．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性。
专题：综合题。
分析：（1）利用向量共线的坐标等价条件，以及三角形是锐角三角形求出角B的值，由两角差的正弦公式对函数解析式进行整理，再由正弦函数的单调性求出原函数的单调区间；
（2）由（1）和余弦定理列出关于a和c式子，再由a+c≥2将方程转化为不等式，求出ac的最大值，再代入三角形的面积公式求出面积的最大值．
解答：解：（1）由题意知，=（sinB，﹣），=（cos2B，4cos2﹣2），∥，
∴sinB（4cos2﹣2）﹣（﹣）cos2B=0，21世纪教育网
∴cos2B（2sinB+）=0，则cos2B=0或sinB=﹣，21*cnjy*com
由于是锐角三角形，故cos2B=0，即B=，21cnjy
∴f（x）=sin2xcosB﹣cos2xsinB=sin（2x﹣B）=sin（2x﹣），21世纪教育网版权所有
由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ（k∈z）解得，+kπ≤x≤+kπ（k∈z），
∴函数的单调减区间是[+kπ，+kπ]（k∈z）；
点评：本题是有关向量和三角函数的综合题，涉及了向量共线的坐标等价条件，两角差的正弦公式，正弦函数的单调性，余弦定理以及基本不等式等，考查知识全面、综合，考查了分析问题、解决问题的能力和转化思想．
