三倍角的余弦
一、选择题（共20小题）21世纪教育网版权所有
1、 “a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（ ）21世纪教育网版权所有
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件21cnjy
2、在△ABC中，cos 2B＞cos 2A是A＞B的（ ）21*cnjy*com
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件21世纪教育网
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
3、关于函数f（x）=sin2x，有下列四个结论：
①f（x）为偶函数； ②当x＞2003时，f（x）＞恒成立；
③f（x）的最大值为； ④f（x）的最小值为．其中结论正确个数为（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个21cnjy
4、若f（cosx）=cos2x，f（sin15°）=（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、
5、在0≤x≤2π范围内，方程cos2x=cosx（sinx+|sinx|）的解的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
6、关于x的方程有一个根为1，则△ABC中一定有（ ）
A、A=B B、A=C
C、B=C D、
7、已知A，B，C为△ABC的三个内角；a，b，c分别为对边，向量=（2cosC﹣1，﹣2），=（cosC，cosC+1），若⊥，且a+b=10，则△ABC周长的最小值为（ ）
A、10﹣5 B、10+5
C、10﹣2 D、10+2
8、若，则角θ的终边在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
9、若是θ第二象限角，则下列四个值中，恒小于零的是（ ）
A、sin2θ B、cos2θ
C、sin D、cos
10、已知sin=，cos=﹣，那么α的终边在（ ）
A、第一象限 B、第三或第四象限
C、第三象限 D、第四象限
11、若，则cos2θ的值为（ ）21世纪教育网
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、21*cnjy*com
12、已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1的图象与g（x）=﹣1的图象在y轴的右侧交点按从横坐标由小到大的顺序记为D1，D2，D3，…，
则|D5D7|=（ ）21cnjy
A、 B、π21*cnjy*com
C、2π D、21世纪教育网版权所有
13、函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为（ ）
A、[，2] B、[，2] 21cnjy
C、[，] D、[，2]
14、已知sin，则cos的值是（ ）
A、﹣ B、﹣
C、 D、
15、函数是（ ）
A、周期为π的奇函数
B、周期为π的偶函数
C、周期为2π的奇函数
D、周期为2π的偶函数
16、已知向=（2，sinx），=（cos2x，2cosx）则函数f（x）=的最小正周期是（ ）
A、 B、π
C、2π D、4π
17、函数的最小正周期是（ ）
A、 B、
C、π D、2π
18、函数f（x）=cos2x﹣sin2x（x∈R）的最小正周期T=（ ）
A、2π B、π
C、 D、
19、函数的最小正周期是（ ）
A、2π B、π
C、 D、
20、函数是（ ）21世纪教育网版权所有
A、最小正周期为π的偶函数
B、最小正周期为π的奇函数
C、最小正周期为的偶函数
D、最小正周期为的奇函数21世纪教育网
二、填空题（共4小题）21世纪教育网
21、已知f（cosx）=cos2x，则f（sinx）的表达为 _________ ．
22、（理）函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为 _________ ．
23、若f（x）是以5为周期的函数，f（3）=4，且cosα=，则f（4cos2α）= _________ ．
24、函数y=2sinx﹣cos2x的值域是 _________ ．21cnjy
三、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
25、已知向量，，且．
（1）若，求函数f（x）关于x的解析式；21*cnjy*com
（2）求f（x）的值域；21cnjy
（3）设t=2f（x）+a的值域为D，且函数在D上的最小值为2，求a的值．
26、对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=
（1）若函数f（x）=+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．
27、已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（﹣sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1．
（1）记函数f（α）=?，α∈（﹣，），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，求|+|的值．
28、定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n﹣m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax2﹣12x﹣3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；
（2）求关于x的不等式，x∈[0，2π]的解集构成的各区间的长度和；
（3）已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．
29、已知f（x）=acos2x+2cosx﹣3
（1） 当a=1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）存在零点，求a的取值范围．21世纪教育网版权所有
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、 “a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（ ）21世纪教育网版权所有
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件21世纪教育网
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件21cnjy
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦。
分析：本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．21世纪教育网21*cnjy*com
解答：解：当a=+2kπ（k∈Z）时，21cnjy
cos2a=cos（4kπ+）=cos=21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
反之，当cos2a=时，21*cnjy*com
有2a=2kπ+?a=kπ+（k∈Z），
或2a=2kπ﹣?a=kπ﹣（k∈Z），
故选A．
点评：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
2、在△ABC中，cos 2B＞cos 2A是A＞B的（ ）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
点评：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
3、关于函数f（x）=sin2x，有下列四个结论：
①f（x）为偶函数； ②当x＞2003时，f（x）＞恒成立；
③f（x）的最大值为； ④f（x）的最小值为．其中结论正确个数为（ ）21世纪教育网版权所有
A、1个 B、2个21世纪教育网
C、3个 D、4个21cnjy21*cnjy*com
考点：函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；二倍角的余弦；正弦函数的奇偶性。
专题：综合题；转化思想。21cnjy
分析：根据题意：依次分析命题：①运用f（﹣x）和f（x）关系，判定函数的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④运用sin2x=进行转化，然后利用cos2x和（）|x|，求函数f（x）的最值，综合可得答案．
故选B．
点评：本题以具体函数为载体，考查了函数奇偶性的判断及借助不等式知识对函数值域范围进行判断，涉及到函数奇偶性的判断，同时还涉及到三角函数、指数函数的范围问题，利用不等式的放缩求新函数的范围．综合性强
4、若f（cosx）=cos2x，f（sin15°）=（ ）21*cnjy*com
A、 B、21世纪教育网
C、 D、21世纪教育网版权所有
考点：函数的值；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：用三角函数中的诱导公式进行转化，可转化问题回应条件，也可转化条件回应问题．
解答：解：f（sin150）=f（cos（900﹣150））=f（cos750）=cos（2×750）=cos1500=
故选D
点评：本题主要通过求函数值来考查三角函数中的诱导公式，在三角函数中公式的灵活运用是研究三角函数的重要方面．
5、在0≤x≤2π范围内，方程cos2x=cosx（sinx+|sinx|）的解的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：根的存在性及根的个数判断；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：对0≤x≤π，π＜x≤2π，讨论方程去掉绝对值符号，分别求出方程的解，即可得到结果．
解答：解：当0≤x≤π时，sinx≥0，|sinx|=sinx，
cos2x=2cosx?sinx=sin2x，
tan2x=1 2x=kπ+x=k+（k=0，1）21*cnjy*com 21cnjy
所以x=，21世纪教育网版权所有
当π＜x≤2π时，sinx＜0，21世纪教育网
|sinx|=﹣sinx
cos2x=0 2x=kπ+x=（k=2，3）21世纪教育网
x=，，
综上方程cos2x=cosx（sinx+|sinx|）的解为：x=，，，．21世纪教育网版权所有
故选D．21*cnjy*com
点评：本题是中档题，考查分类讨论法思想，去掉绝对值是解好本题的一个关键，考查计算能力．
6、关于x的方程有一个根为1，则△ABC中一定有（ ）
A、A=B B、A=C
C、B=C D、
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二倍角的余弦；解三角形。
专题：计算题。
分析：将x=1代入方程得1﹣cosAcosB﹣cos2=0，化简可得cos（A﹣B）=0，再根据﹣π＜A﹣B＜π，求得A﹣B=0，从而得到结论．
点评：本题主要考查了函数与方程，以及二倍角和余弦的差角公式，属于中档题．
7、已知A，B，C为△ABC的三个内角；a，b，c分别为对边，向量=（2cosC﹣1，﹣2），=（cosC，cosC+1），若⊥，且a+b=10，则△ABC周长的最小值为（ ）
A、10﹣5 B、10+5
C、10﹣2 D、10+2
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；二倍角的余弦。
专题：综合题。
分析：由=（2cosC﹣1，﹣2），=（cosC，cosC+1），⊥，知2cos2C﹣3cosC﹣2=0，求出cosC=﹣．再由a+b=10，得到a2+b2+2ab=100，，然后由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab．由此能够求出△ABC周长的最小值．
解答：解：∵=（2cosC﹣1，﹣2），=（cosC，cosC+1），
⊥，
∴2cos2C﹣cosC﹣2cosC﹣2=0，21世纪教育网版权所有
即2cos2C﹣3cosC﹣2=0，
∴cosC=﹣，或cosC=2（舍）．
∵a+b=10，
∴，21*cnjy*com 21cnjy 21世纪教育网
∴c2=a2+b2﹣2abcosC
=a2+b2+ab21*cnjy*com
=100﹣ab
≥100﹣2521世纪教育网版权所有
=75．21世纪教育网
∴．
∴△ABC周长的最小值为10+5．
故选B．
点评：本题以数量积为载体，巧妙地把三角函数、余弦定理、均值定理融合在一起，体现了出题者的智慧，是一道好题．
8、若，则角θ的终边在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
考点：象限角、轴线角；二倍角的正弦；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：欲判断角θ的终边所在象限，可先求角θ的某些三角函数值，由三角函数值的符号来判断所在象限．
点评：本题考查二倍角公式，二倍角公式是两角和三角公式的特殊化与引申，其作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．
9、若是θ第二象限角，则下列四个值中，恒小于零的是（ ）
A、sin2θ B、cos2θ
C、sin D、cos
考点：三角函数值的符号；二倍角的正弦；二倍角的余弦；半角的三角函数。
分析：根据θ是第二象限角，得出是第一象限角，得出sin＞0，cos＞0，排除C，D；2θ为第四象限角时，得出cos2θ＞0，排除B，最后得出答案．
解答：解：∵θ第二象限角
∴是第一象限角，
∴sin＞0，cos＞0
∴排除答案C，D21cnjy
又∵θ第二象限角21*cnjy*com
∴2θ为第三或第四象限角21世纪教育网
∵当2θ为第四象限角时，cos2θ＞021世纪教育网版权所有
∴排除答案B
故答案选A21世纪教育网
点评：本题主要考查三角函数值的符号问题．主要是根据角所在的象限来判断函数值的正负．
10、已知sin=，cos=﹣，那么α的终边在（ ）21世纪教育网版权所有
A、第一象限 B、第三或第四象限
C、第三象限 D、第四象限21*cnjy*com
考点：三角函数值的符号；二倍角的正弦；二倍角的余弦。
分析：先求出sinα、cosα的符号，根据三角函数在各个象限的符号可确定答案．
点评：本题主要考查各象限三角函数的符号问题．属基础题．对于三角函数在各象限的符号要熟练掌握．
11、若，则cos2θ的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用。
分析：根据条件，先求角的余弦，进而利用平方关系可求正弦，从而可求二倍角．
解答：解：由题意，∵
∴
∴
∴
故选A．
点评：本题以三角函数为载体，考查诱导公式，考查二倍角公式，属于中档题．
12、已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1的图象与g（x）=﹣1的图象在y轴的右侧交点按从横坐标由小到大的顺序记为D1，D2，D3，…，
则|D5D7|=（ ）
A、 B、π
C、2π D、21*cnjy*com
考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法。21cnjy
专题：应用题。
分析：利用两角和的正弦公式，二倍角公式 化简函数的解析式为sin（2x+），根据|D5D7|的值等于函数f（x）的一个周期的值，从而得到答案．21世纪教育网版权所有
解答：解：函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=sin（2x+），21世纪教育网版权所有
结合图象可得|D5D7|的值等于函数f（x）的一个周期的值，而函数f（x）的周期等于=π．
故选B．
点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的图象及周期性，判断|D5D7|的值等于函数的一个周期的长度，
是解题的关键．
13、函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为（ ）21世纪教育网
A、[，2] B、[，2]
C、[，] D、[，2]
考点：二倍角的余弦；二次函数的性质；三角函数值的符号。21*cnjy*com
专题：计算题；转化思想。
分析：把函数解析式第一个绝对值里边的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，设|cosx|=t，把函数解析式化为关于t的关系式，分两种情况讨论绝对值里边式子的正负来化简绝对值，当≤t≤1时，根据正数的绝对值等于它本身化简函数解析式，配方后，得到此时函数单调递增，求出此时函数的最大值及最小值，得到y的范围；当0≤t≤时，根据负数的绝对值等于它的相反数化简函数解析式，配方后，根据t的范围，利用二次函数的性质求出函数的最大值及最小值，得到y的范围，综上，求出y的两范围的并集即可得到原函数的值域．
∴≤y≤，
综上，函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为[，2]．21世纪教育网版权所有
故选B
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，绝对值的代数意义，以及二次函数的图象与性质，利用了分类讨论的数学思想，本题的思路是：利用二倍角的余弦函数公式把函数解析式化简后，设出t=|cosx|，把函数解析式化为关于t的二次函数，根据绝值的代数意义分情况讨论t的取值来化简绝对值，确定出函数解析式，然后利用二次函数的性质得出相应y的取值范围，得出函数的值域．
14、已知sin，则cos的值是（ ）21cnjy
A、﹣ B、﹣21世纪教育网版权所有
C、 D、21世21*cnjy*com纪教育网
考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值。
专题：计算题。
分析：利用诱导公式和二倍角公式化简cos为sin的表达式，然后代入sin的值，求解即可．
解答：解：cos（+2α）=﹣cos（﹣2α）
=﹣cos[2（）] 21*cnjy*com
=﹣[1﹣2si]
=﹣（1﹣）=﹣
故选A
点评：本题考查二倍角的余弦，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题．
15、函数是（ ）
A、周期为π的奇函数 B、周期为π的偶函数
C、周期为2π的奇函数 D、周期为2π的偶函数
考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：先根据二倍角公式和诱导公式进行化简，最后结合最小正周期T=和正弦函数的奇偶性可求得答案．
解答：解：
=sin2x，
所以，
故选A．
点评：本题主要考查二倍角公式和诱导公式的应用，考查三角函数的基本性质﹣﹣最小正周期和奇偶性．三角函数的公式比较多，不容易记，只有在平时多积累多练习在考试中才能做到熟练应用．
16、已知向=（2，sinx），=（cos2x，2cosx）则函数f（x）=的最小正周期是（ ）
A、 B、π21cnjy
C、2π D、4π
考点：三角函数的周期性及其求法；数量积的坐标表达式；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：先利用的坐标求得函数f（x）的解析式，进而利用两角和公式和二倍角公式化简整理，利用三角函数的周期公式求得答案．21世纪教育网版权所有
解答：解：f（x）==2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1
∴T==π21世纪教育网版权所有
故选B21*cnjy*com
点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式和二倍角公式化简求值，平面向量的基本运算．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
17、函数的最小正周期是（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、π D、2π
考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：利用二倍角公式化简函数的解析式为﹣cosx，从而得到它的最小正周期．
18、函数f（x）=cos2x﹣sin2x（x∈R）的最小正周期T=（ ）
A、2π B、π
C、 D、
考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：直接利用二倍角公式化简函数的表达式，利用周期公式求解即可．
解答：解：函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，所以函数的周期为：T=．
故选B
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，周期的求法，考查计算能力．
19、函数的最小正周期是（ ）
A、2π B、π
C、 D、
考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：由二倍角的正弦、余弦公式，我们可以化简函数的解析式，然后根据正弦函数的图象和性质及对折变换，我们易判断出其周期．
解答：解：∵函数==
又∵函数f（x）=的周期为π21世纪教育21cnjy网
∴函数f（x）=||的周期为21世纪教育网版权所有
故选C21cnjy
点评：本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，二倍角的余弦，本题易忽略对折变换引起函数周期的变化，而错选为B．
20、函数是（ ）21世纪教育网
A、最小正周期为π的偶函数 B、最小正周期为π的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的奇函数
考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦；余弦函数的奇偶性。21*cnjy*com
专题：计算题；综合题。
分析：化简函数是用一个角的一个三角函数的形式表示，然后求出周期，判断奇偶性．
二、填空题（共4小题）
21、已知f（cosx）=cos2x，则f（sinx）的表达为 f（sinx）=﹣cos2x ．
考点：函数解析式的求解及常用方法；二倍角的余弦。
专题：计算题；转化思想。
分析：先利用二倍角的余弦公式把已知条件进行转化，再整体代换即可求出结论．
解答：解：因为cos2x=2cos2x﹣1．
∴f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1．
∴f（sinx）=2sin2x﹣1=﹣（1﹣2sin2x）=﹣cos2x．
故答案为：f（sinx）=﹣2cos2x．
点评：本题主要考查函数解析式的求法以及二倍角的余弦公式的应用．二倍角的余弦公式一共有三种形式：cos2x=2cos2x﹣1=1﹣2sin2x=cos2x﹣sin2x，在解题过程中，具体用哪种形式由题中条件来决定．我们应该熟练掌握并会相互转化．
22、（理）函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为 （﹣∞，2] ．
考点：函数恒成立问题；二倍角的正弦；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：函数在区间上单调递减，利用单调减函数的定义，可以转化为在区间上不等式的恒成立问题，进而转化为：．结合区间可求实数m的取值范围．
解答：解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式．21cnjy
任取x1，x2∈，且x1＜x2，则不等式f（x1）＞f（x2）恒成立，即恒成立．化简得m（cosx2﹣cosx1）＞2sin（x1﹣x2）21*cnjy*com 21世21世纪教育网纪教育网版权所有
由可知：cosx2﹣cosx1＜0，所以
上式恒成立的条件为：．
由于==21世纪教育网
且当时，，所以，
从而，
有，
即m的取值范围为（﹣∞，2]．
故答案为（﹣∞，2]．
点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查利用函数的单调性解决恒成立问题，关键是分离参数，利用函数的最值（或范围），有较强的技巧．
23、若f（x）是以5为周期的函数，f（3）=4，且cosα=，则f（4cos2α）= 4 ．
24、函数y=2sinx﹣cos2x的值域是 ．
考点：二次函数的性质；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：将函数f（x）变为关于sinx的二次函数，再由二次函数的性质求函数的值域．
解答：解：由题意可得：y=2sinx﹣cos2x=2sin2x+2sinx﹣1=，
又sinx∈[﹣1，1]
当sinx=时，函数f（x）取到最小值为，21*cnjy*com 21世纪教育网版权所有
当sinx=1时，函数f（x）取到最大值为3，21cnjy
综上函数f（x）的值域是．21世纪教育网
故答案为．
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，求解本题关键是将函数变为关于sinx的二次函数，由配方法将本方，根据正弦函数的有界性判断出函数的最值，从而得出函数的值域，本题是三角函数求值域的题型中一个很重要的题型，其规律是转化为关于三角函数二次函数，将问题变为二次函数在闭区间上的最值问题．
三、解答题（共5小题）
25、已知向量，，且．
（Ⅰ）若，求函数f（x）关于x的解析式；21世纪教育网版权所有
（Ⅱ）求f（x）的值域；
（Ⅲ）设t=2f（x）+a的值域为D，且函数在D上的最小值为2，求a的值．
解答：解：（I）∵由向量积的点坐标运算公式计算得：
∴
（II）∵，∴cos2x∈[0，1]，∴f（x）的值域为[0，1]
（III）∵t=2f（x）+a，∴t∈[a，a+2]，∴D=[a，a+2]
又函数在D上的最小值为2
∴g（t）在[a，a+2]上单调
∴
解得a=2或﹣6
点评：本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的周期性及其求法，同时还考查了三角函数的最值的求法．
26、对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=
（1）若函数f（x）=+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；21世纪教育网版权所有
（2）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．
解答：解（1）由函数可得M={x|x≠﹣1}，N=R
从而…..（2分）2121*cnjy*com世221cnjy 1世纪教育网纪教育网版权所有
当x＞﹣1时，…．（4分）21世纪教育网
当x＜﹣1时，…．（6分）21cnjy
所以h（x）的取值集合为{y|y≤﹣2，或y≥2或y=1}…．（7分）
（2）由函数y=f（x）的定义域为R，得g（x）=f（x+a）的定义域为R
所以，对于任意x∈R，都有h（x）=f（x）?g（x）即对于任意x∈R，都有cosx=f（x）?f（x+a）
所以，我们考虑将cosx分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化=
所以，令，且α=π，即可 …..（14分）
又
所以，令，且α=2π，即可（答案不唯一）
点评：本题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法以及函数的值域的求法．分段函数的值域是先分段求出，最后再综合．
27、已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（﹣sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1．
（1）记函数f（α）=?，α∈（﹣，），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，求|+|的值．
考点：函数单调性的判断与证明；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三点共线。
专题：计算题。
分析：（1）由已知中O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（﹣sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1，我们代入定比分点坐标公式，可以求出点P的坐标，进而根据函数f（α）=?，求出函数的解析式，利用除幂公式，及辅助解公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式后，结合α∈（﹣，）及正弦函数的性质，我们即可求出函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，我们向量共线的充要条件，求出tanα的值，结合|+|==，利用万能公式，代入即可求出|+|的值．
（1）∵=（sinα﹣cosα，1），=（2sinα，﹣1）21cnjy 21世纪教育网版权所有
∴f（α）=?=2sin2α﹣2sinαcosα﹣1=﹣（sin2α+cos2α）=﹣sin（2α+），（4分）21*cnjy*com
由2α+∈（0，）可知函数f（α）的单调递增区间为（，），单调递减区间为（﹣，），（6分）
所以sin（2α+）∈（﹣，1]，其值域为[﹣，1）；（8分）21世纪教育网
（2）由O，P，C三点共线的﹣1×（﹣sinα）=2×（2cosα﹣sinα），
∴tanα=，（10分）
∴sin2α===，
∴|+|===（12分）
点评：本题考查的知识点是正弦型函数的单调性，两角和与差的正弦，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三点共线，定比分点坐标公式，其中（1）的关键是根据已知条件求出函数f（α）=?的解析式，并化简为正弦型函数的形式，将问题转化为确定正弦型函数的单调区间和值域，（2）的关键是根据向量共线的充要条件，求出tanα的值．
28、定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n﹣m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax2﹣12x﹣3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；
（2）求关于x的不等式，x∈[0，2π]的解集构成的各区间的长度和；
（3）已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．
考点：函数恒成立问题；一元二次方程的根的分布与系数的关系；二倍角的正弦；二倍角的余弦。
专题：计算题；新定义。
分析：（1）观察二次项的系数带有字母，需要先对字母进行讨论，当a等于0时，看出合不合题意，a≠0时，方程2ax2﹣12x﹣3=0的两根设为x1、x2，根据根与系数之间的关系，写出两根的和与积，表示出区间长度，得到结果．
（2）根据所给的三角函数式，利用二倍角公式进行化简求值，根据三角函数的图象写出不等式成立的条件，写出在规定范围中的解集．
（3）先解关于x的不等式组，解出两个不等式的解集，求两个不等式的解集的交集，A∩B?（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，写出不等式组进行讨论，得到结果．21*cnjy*com
（2）因为==，
原不等式即为，x∈[0，2π]（6分）221cnjy 1世纪教育网版权所有
不等式的解集为，（7分）21世纪教育网
所以原不等式的解集为（8分）
各区间的长度和为（9分）
（3）先解不等式，整理得，即x（x﹣6）＜0
所以不等式的解集A=（0，6）（10分）
设不等式log2x+log2（tx+3t）＜2的解集为B，不等式组的解集为A∩B
不等式log2x+log2（tx+3t）＞2等价于（11分）
又A∩B?（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组，
当x∈（0，6）时，恒成立 （12分）
当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0（13分）
当x∈（0，6）时，不等式tx2+3tx﹣4＜0恒成立，即恒成立 （14分）
当x∈（0，6）时，的取值范围为，所以实数（15分）
综上所述，t的取值范围为（16分）
点评：本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的三种不同的题目进行整理变化，注意恒成立问题，这是高考题目中必出的．
29、已知f（x）=acos2x+2cosx﹣3
（Ⅰ） 当a=1时，求函数y=f（x）的值域；21世纪教育网版权所有
（Ⅱ）若函数y=f（x）存在零点，求a的取值范围．
考点：函数的零点与方程根的关系；二倍角的余弦。221*cnjy*com 1世纪教育网
专题：综合题。
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式，将化简f（x）为一个角的一个三角函数的形式：f（x）=2acos2x+2cosx﹣（3+a）．再用换元法结合二次函数性质求解．
（Ⅱ）令cosx=t，问题转化为y=2at2+2t﹣（3+a）=0在[﹣1，1]上有解．利用函数零点的定义，结合函数的图象分类解决．要注意对a取值进行讨论．
则①当g（﹣1）g（1）≤0时满足条件，此时有1≤a≤5
②当g（﹣1）g（1）＞0时时，必有以下四式同时成立
g（﹣1）＞0
g（1）＞021cnjy
△≥0
﹣1≤≤﹣1．
解得a＞5，或a≤
综上可得，的取值范围为（﹣∞，）∪[1，+∞）
点评：本题考查三角函数公式、函数零点的求解、二次函数图象与性质的应用，换元法，数形结合，分类讨论的思想方法．
