双曲线及 其性质
【知识梳理】
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点 F1, F2 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线
（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为 M MF1 MF2 2a(0 2a F1F2 ) ．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当 2a F1F2 时，点的轨迹是以 F1 和 F2 为端点的两条射线；当 2a 0时，点的轨迹是线段 F1F2 的
垂直平分线．
（3） 2a F1F2 时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“ F F 2 21 2 2a ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 a ，b 的值），注意
a2 b2 c2 的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
x2 y2 2 2
标准方程 2 2 1(a 0,b 0)
y x
1(a 0,b 0)
a b a2 b2
图形
A2
焦点坐标 F1( c,0) ， F2 (c,0) F1(0, c) ， F2 (0,c)
对称性 关于 x ， y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 A1( a,0)， A2 (a,0) A1(0,a) ， A2 (0, a)
范围 x a y a
实轴、虚轴 实轴长为 2a ，虚轴长为 2b
e c 1 b
2
离心率 2 (e 1)a a
x2 y2 2 20 y b y x a令 2 2 x ， 令 0 y x ，
渐近线方程 a b a a
2 b2 b
焦点到渐近线的距离为b 焦点到渐近线的距离为b
1,点(x0 , y0 )在双曲线内
x2 y2 （含焦点部分） 1,点(x0 , y0 )在双曲线内
点和双曲线 a2 b2
2 2
1,点(x0 , y0 )在双曲线上 y x
（含焦点部分）
a2
b2 的位置关系 1,点(x , y )在双曲线外 1,点(x0 , y0 )在双曲线上 0 0
1,点(x0 , y0 )在双曲线外
共焦点的双 x2 y2 2 2
1( a2 k b2 ) y x 1( a2 k b2 )
曲线方程 a
2 k b2 k a2 k b2 k
共渐近线的 x2 y2 2 2
2 2 ( 0)
y x
( 0)
双曲线方程 a b a
2 b2
x
切线方程 0
x y0 y
2 2 1,(x0 , y0 )
y y x x
为切点 0 02 1,(x , y ) 为切点a b a b2 0 0
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中 x2 换为 x0 x ， y
2 换成
切线方程
y0 y 便得．
x0 x y0 y
2 2 1,(x0 , y0 ) 为双曲线a b y0 y x x
切点弦所在 2
0
a b2
1,(x0 , y0 ) 为双曲线外一点
外一点
直线方程
点 (x0 , y0 ) 为双曲线与两渐近线之间的点
设直线与双曲线两交点为 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )， kAB k ．
1
则弦长 AB 1 k 2 x1 x2 1 2 y1 y2 (k 0)，k
弦长公式
x1 x
2 x
2
1 x2 4x1x2 ，其中“ a ”是消“ y ”后关于“ x ”的一元二次方程的a
“ x2 ”系数．
2
通径 通径（过焦点且垂直于 F1F
2b
2 的弦）是同支中的最短弦，其长为 a
双曲线上一点 P(x0 , y0 ) 与两焦点 F1, F2 构成的 PF1F2 成为焦点三角形，
2
设 F 2b1PF2 ， PF1 r1 ， PF2 r2 ，则 cos 1 ，r1r2
焦点三角形
S 1 r r sin sin 2 b
2 c y0 ,焦点在x轴上
PF F b ，1 2 2 1 2 1 cos tan
c x0 ,焦点在y轴上
2
焦点三角形中一般要用到的关系是
PF1 PF2 2a(2a 2c)
1
S PF F PF PF sin F PF1 2
2
1 2 1 2
F F 2 PF 2 1 2 1 PF
2
2 2 PF1 PF2 cos F1PF2
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 a b 离心率 e 2
等轴双曲线
两渐近线互相垂直 渐近线方程为 y x 方程可设为 x2 y2 ( 0) ．
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：双曲线的定义与标准方程
考点 2：双曲线方程的充要条件
考点 3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
考点 4：双曲线上两点距离的最值问题
考点 5：双曲线上两线段的和差最值问题
考点 6：离心率的值及取值范围
考点 7：双曲线的简单几何性质问题
考点 8：利用第一定义求解轨迹
考点 9：双曲线的渐近线
考点 10：共焦点的椭圆与双曲线
【典型例题】
考点 1：双曲线的定义与标准方程
1．（2022·江苏·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)经过点 6,0 ， 3,2 ；
(2)焦点为 0, 5 ， 0,5 4 3，经过点 , 2 3 ；
3
(3) a b，经过点 3, 1 ；
(4)经过 3, 4 2 9 ,5 和 两点．
4
2．（2022·上海市控江中学高二期末）经过两点 3,6 2 ， 2,3 3 的双曲线的标准方程为______．
2 2 sin C
3．（2022· x y江苏·高二专题练习）在 ABC 中， A 5,0 ，B 5,0 ，点 C 在双曲线 1上，则
16 9 sin B sin A
（ ）
5 5 5 5
A． B． C． D．
3 3 4 4
2 2
4．（2022· x y四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知双曲线C : 1的左 右焦点分别是F ， F ，
9 16 1 2
点 P 在双曲线 C 上，且 PF1 7，则 PF2 （ ）
A．13 B．16 C．1 或 13 D．3 或 16
2 2
5．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知点F1, F2 分别是等轴双曲线C :
x y
2 2 1 a 0,b 0 a b
的左、右焦点，O为坐标原点，点 P 在双曲线C 上， F1F2 2 OP ，△PF1F2 的面积为 8，则双曲线C 的方程
为（ ）
x2 y2 2A 1 B x y
2 2
1 C x y
2
1 D x
2 y2
． ． ． ． 1
2 2 4 4 6 6 8 8
6．（2022·陕西省丹凤中学高二阶段练习（文））江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它
蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 x 轴上的双曲线的一部
分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是 4，瓶口和底面的直径都是 8，瓶
高是 6，则该双曲线的标准方程是（ ）
x2 y2A x
2
． 1 B． y2 1
16 9 4
x2 y2 x2 y2C． 1 D． 1
8 9 4 3
7 x
2 y2
．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）若双曲线与椭圆 1有相同的焦点，它的一条渐近
16 64
线方程为 y＝－x，则双曲线的方程为（ ）
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
2 2
8．（2022· x y新疆石河子一中高二阶段练习（文））已知双曲线C : 1的左、右焦点分别为F1，F2 ，双9 7
曲线C 上有一点 P ，若 PF1 5 ，则 PF2 （ ）
A．13 B．11 C．1或11 D．11或13
9．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点分别为 (0, 6) ， (0,6) ，且经过点 A( 5,6) ；
(2)经过点 (3, 10)， 4, 2 6 ；
考点 2：双曲线方程的充要条件
x210 y
2
．（多选题）（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）关于 x，y 的方程 1表示的曲线可以是
m m 1
（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
11．（多选题）（2022·广东梅州·高二期末）若 0, π ，方程 x2 y2 cos 1表示的曲线可以是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
12．（多选题）（2022·全国·高二期中）已知曲线C : mx2 ny2 1 .则（ ）
A．若 m>n>0，则 C 是椭圆
B．若 m=n>0，则 C 是圆
C．若 mn<0，则 C 是双曲线
D．若 m=0，n>0，则 C 是两条直线
2 2
13．（2022·河南·高二期中（文））已知 k R ，则“ 2 k 3 ” “ x y是 方程 1表示双曲线”的（ ）
6 k k 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2
14．（2022· x y吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期中（理））“ mn 0 ”是“方程 1表示的曲线为双曲线”
m n
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
2 2 2
15．（2022· · x y y四川 阆中中学高二阶段练习（文））设椭圆 1和双曲线 x2 1的公共焦点为F ， F ，
49 24 24 1 2
P 是两曲线的一个交点，则 F1PF2 的值为（ ）
A ． 6 B． 4
C． D．
3 2
2 2
16．（2022· x y河南信阳·高二期末（文））设 P 为双曲线C : 1右支上一点，F1，F2 为左、右焦点，9 16
PF1 4 PF2 ，则（ ）
A． P ，F1，F2 为一个锐角三角形的顶点 B． P ，F1，F2 为一个钝角三角形的顶点
C． P ，F1，F2 为一个直角三角形的顶点 D． P ，F1，F2 不为三角形的顶点
2 2
17 x y．（2022·陕西省安康中学高二期末（文））设双曲线C : 2 1， b 0 的左、右顶点分别为 A1、 A2，左、5 b
右焦点分别为F1、F2 ，以F1F2 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以 A1A2 为直径的圆与直线PF2 相
切，则△F1PF2 的面积为（ ）
A． 4 5 B．8 5 C． 20 D． 40
2 2
18．（2022· x y河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（理））已知F1，F2 分别为双曲线C : 1的左、13 12
右焦点，P 是双曲线 C 上一点，若△F1PF2 的周长为10 10 13，则△F1PF2 的面积为______．
2 2
19．（2022· · x y广东 铁一中学高二阶段练习）已知F1, F2 是双曲线C : 1的两个焦点，P 为双曲线 C 上的16 9
一点.若△PF1F2 为直角三角形，则△PF1F2 的面积等于______________.
x2 y220．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））已知双曲线 1的左，右焦点分别为 F
4 2 1
，
F 2 ，过右焦点F2 且倾斜角为 直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点（点 M 位于第一象限），△MF4 1
F2 的内切圆
R1
半径为R1，△NF1F2 的内切圆半径为R2 ，则 R 为___________.2
x2 y221．（2022·安徽蚌埠·高二期末）已知双曲线 1(b 0)的左右焦点分别为F , F ，过点F 的直线交双
4 b2 1 2 2
曲线右支于 A，B 两点，若 ABF1 是等腰三角形，且 A 120 ，则 ABF1 的面积为___________.
2 2
22 x y．（多选题）（2022·全国·高二期末）已知双曲线C : 1的左、右焦点分别为F1、F2 ，过坐标原点O9 16
的直线与双曲线C 交于 A、B两点，点 P 为双曲线C 上异于 A、B的一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．F2 A F2B的最大值为 9
B．若以 AB 为直径的圆经过双曲线的右焦点F2 ，则 S AF F 161 2
C．若 PF1 7，则有 PF2 1或 13
1 4 9
D．设PA， PB的斜率分别为 k1、 k2 ，则 k 2 k 2 的最小值为1 2 4
2
23．（多选题）（2022·浙江· y诸暨市教育研究中心高二期末）如图所示，已知F1, F2 分别为双曲线 x2 1的3
左、右焦点，过F2 的直线与双曲线的右支交于 A, B两点，记△AF1F2 的内切圆O1的面积为 S1，△BF1F2 的内
切圆O2 的面积为 S2 ，则（ ）
A．圆O1和圆O2 外切 B．圆心O1一定不在直线 AO 上
C． S1 S
2
2 D．S1 S2的取值范围是 2 ,3
24 2．（多选题）（2022·江苏·高二专题练习）已知点Q是圆M ： x 2 y2 4 上一动点，点 N 2,0 ，若线
段 NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点 P ，则下列结论正确的是（ ）
A．点 P 的轨迹是椭圆
B．点 P 的轨迹是双曲线
C．当点 P 满足 PM PN 时， PMN 的面积 S△PMN 3
D．当点 P 满足PM MN 时， PMN 的面积 S PMN 6
考点 4：双曲线上两点距离的最值问题
x2 225 y．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆 1(m 9)右焦点 F 的圆与圆O : x2 y2 4外切，该圆
m m 9
直径FQ的端点 Q 的轨迹记为曲线 C，若 P 为曲线 C 上的一动点，则 FP 长度最小值为（ ）
A 1．0 B． 2 C．1 D．2
2
26．（2022· x安徽省宣城市第二中学高二阶段练习（理））已知F1, F2 分别是双曲线 y2 1的左、右焦点， P4
为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF F 内切圆圆心为 I ，则圆心 I 到圆 x2 (y 1)21 2 1上任意一点
的距离最小值为（ ）
A． 2 B． 5 1 C．1 D． 5 2
x2 227．（2022·101 y中学高二期末）双曲线C： 1的右焦点为F ，点 P 在椭圆C 的一条渐近线上.O为坐标
4 2
原点，则下列说法错误的是（ ）
A 6．该双曲线离心率为
2
2 2
B y x．双曲线 1与双曲线C 的渐近线相同
4 2
C．若PO PF ，则△PFO 的面积为 2
D． PF 的最小值为 2
28．（2022·北京八中高二期中）已知定点 A、B，且|AB|＝4，动点 P 满足||PA|﹣|PB||＝3，则|PA|的最小值是
（ ）
1 3 7
A． B． C． D．5
2 2 2
考点 5：双曲线上两线段的和差最值问题
2 2
29．（2022· x y四川省资阳市雁江区伍隍中学高二阶段练习（理））.已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的一条渐a b
5
近线的方程为 y x ，左、右焦点分别为F1，F2 ，直线 l : (m 1)x (m 4)y 5m 0(m R) 过定点 P，且
2
A(4, 15)在双曲线 C 上，M 为双曲线上的动点，则 | MP | MF2 的最小值为____________.
2 2
30．（2022· x y湖南师大附中高二阶段练习）已知 F1，F2分别为双曲线 C： 1的左 右焦点，E 为双曲4 12
线 C 的右顶点.过 F2的直线与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点（其中点 A 在第一象限），设 M，N 分别为△
AF1F2，△BF1F2的内心，则 ME NE 的取值范围是（ ）
4 4 4 3 4 3 3 3 3 3 5 5 A． , B． , C． ,3 3 3 3 5 5
D． ,3 3
31．（2022·河南洛阳·高二期末（理））在平面直角坐标系中，已知点 A 2,0 ， B 2,0 ，C 2, 2 ， D 3,0 ，
5
直线 AP，BP 相交于点 P，且它们斜率之积是 .当 PA PB 时， PD PC 的最小值为（ ）
4
A． 29 4 B． 29 4 C． 5 4 D． 5
2
32．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知F1, F2 分别是双曲线C :
x
y2 1的左、右焦点，
4
动点 P 在双曲线的左支上，点 Q 为圆G:x2 (y 2)2 1上一动点，则 | PQ | PF2 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．3 5 D．5
x233．（2022·全国·高二专题练习）点 P 是双曲线 y2 1右支上一点，M , N 分别是 (x 5)2 y2 1和
4
(x 5)2 y2 1上的点，则 PM PN 的最大值是
A．2 B．4 C．6 D．8
考点 6：离心率的值及取值范围
2
34 2022· · C x y
2
．（ 全国 高二专题练习）设双曲线 ： 2 2 1(a 0，b 0)的右焦点为F ，双曲线C 的一条渐近a b
线为 l，以F 为圆心的圆与 l交于点M ， N 两点，MF NF ，O为坐标原点，OM ON 3 7 ，则双
曲线C 的离心率的取值范围是______．
2 2
35．（2022· x y安徽·合肥一中高二期末）已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为F1，F2 ，过a b
点F2 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 M，若 F1M 5 OM ，O 为坐标原点，则双曲线 C
的离心率为______.
2 2
36．（2022· x y福建厦门·高二期末）双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的左焦点为F1，OA 2F1O，过点 A 作 Ca b
的渐近线的垂线，垂足为 M．若 MF1O 30 ，则 C 的离心率为______．
2 2
37．（2022·四川达州·高二期末（理））已知F1，F
x y
2 是双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的左 右焦点，P 为曲线a b
上一点， F1PF2 60 ，△PF1F2 的外接圆半径是内切圆半径的 4 倍.若该双曲线的离心率为 e，则 e2
___________.
2
38．（2022·河南安阳· x高二阶段练习（理））已知双曲线 22 y 1(a 0)的左、右焦点分别为F1，F2 ，点 Pa
为双曲线上一点，若PF1 PF2，且 PF1 PF2 2 3 ，则双曲线的离心率为_________.
39．（多选题）（2022·浙江·温州中学高二期末）在等腰梯形 ABCD中， AB CD ，且 AB 4,CD 2, AD 2，
以下选项正确的为（ ）
A． AC BD 6
B．等腰梯形 ABCD外接圆的面积为2
C．若双曲线以 A, B为左右焦点，过C , D 两点，则其离心率为 3 1
D 3 1．若椭圆以C , D 为左右焦点，过 A, B两点，则其离心率为
2
40．（2022·安徽省皖西中学高二期末）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4, 2)，则
它的离心率为（ ）
A． 6 B． 5 C 6 5． D．
2 2
2 2
41．（2022·陕西安康· x y高二期末（理））已知双曲线 C： 2 2 1（ a 0，b 0）的左，右焦点分别为F ，a b 1
F2 ，A 为 C 的左顶点，以F1F2 为直径的圆与 C 的一条渐近线交于 P，Q 两点，且 PAQ
2π
，则双曲线 C
3
的离心率为（ ）
A 5． B 21． 2 C． 3 D．
2 3
2 2
42．（2022· x y云南·弥勒市一中高二阶段练习）已知F1, F2 分别是双曲线 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过Fa2 b2 1
b
作双曲线 C 的渐近线 y x 的垂线，垂足为 P，且与双曲线 C 的左支交于点 Q，若OQ∥PF2 （O 为坐标原a
点），则双曲线的离心率为（ ）
A B C D 3 2． 2 1 ． 2 ． 2 2 ．
2
2 2
43．（2022· x y河南平顶山·高二期末（文））已知点 P 是双曲线
a2
2 1 a 0,b 0 右支上一点，O为坐标原b
点， B 为虚轴的上端点，若△OPB 为等腰直角三角形，点 P 为直角顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
5
A． 6 B． C． 2 2 D．32
2
44．（2022· y江苏南通·高二期末）已知双曲线 x2 1的左、右焦点分别为F
b2 1
、F2 ， P 、Q是双曲线上关
于原点对称的两点， OP OF1 ，四边形PF1QF2 的面积为 2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 D． 5
2 2
45．（2022· · x y湖北 鄂州市教学研究室高二期末）已知F1，F2 分别是双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦a b
点，以F1F2 为直径的圆与双曲线 C 有一个交点 P，设△PF1F2 的面积为 S，若 2PF1 PF2 12S ，则双曲线
C 的离心率为（ ）
A 2 B 6． ． C． 2 D．2 2
2
2 2
46．（2022· x y安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的两个焦点分别为 F1 c,0 ，a b
F2 c,0 ，M 是双曲线C 上一点，若MF1 MF2 0，OM OF
1
c22 ，则双曲线C 的离心率为（ ）2
A． 3 B． 3 1 C． 2 D． 2 1
2 2
47．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知双曲线C : x y 1(a 0,b 0)的焦距为2c, F , F2 2 1 2 为其左右两个焦a b
点，直线 l 经过点 (0,b)且与渐近线平行，若 l 上存在第一象限的点 P 满足 PF1 PF2 2b ，则双曲线 C 离心
率的取值范围为（ ）
A． (1, 2) B． ( 2, 3)
C． (1, 3) D． ( 2, )
考点 7：双曲线的简单几何性质问题
48．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）已知曲线C : mx2 ny2 1，
① 若m n 0 ，则C 是椭圆，其焦点在 y 轴上；
② 若m n 0 ，则C 是圆，其半径为 n ；
③ 若mn 0，则C m是双曲线，其渐近线方程为 y x；
n
④ 若m 0， n 0，则C 是两条直线.
以上四个命题，其中正确的序号为_________.
2 2
49 x y．（2022·全国·高二单元测试）若双曲线 C 的方程为 2 2 1，则 k 的取值范围是___________.k 1 4 k
2
50 y．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二阶段练习（理））若双曲线C : x2 2 1(b 0) 的焦距为 2 5 ，b
则b _________
2 2
51．（2022· x y陕西·西北农林科技大学附中高二期末（文））若方程 1表示焦点在 y 轴上的双曲线，
k 5 10 k
则实数 k 的取值范围是______．
2 2
52．（多选题）（2022· · x y重庆 巫山县官渡中学高二期末）若方程 1所表示的曲线为C ，则下面四个
3 t t 1
命题中正确的是（ ）
A．若C 为椭圆，则1 t 3 B．若C 为双曲线，则 t 3或t 1
C．曲线C 可能是圆 D．若C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则1 t 2
2 2
53．（多选题）（2022·江苏连云港·高二期中）关于 x, y x y的方程 2 2 1（其中m
2 6 ）表示的曲线
m 2 6 m
可能是（ ）
A．焦点在 y 轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在 x 轴上的双曲线 D．长轴长为 4 2 的椭圆
2 2
54 x y．（多选题）（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期中）若方程 1所表示的曲线为C ，则下
3 t t 1
面四个选项中正确的是（ ）
A．若1 t 3，则曲线C 为椭圆
B．若曲线C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则 2 t 3
C．若曲线C 为双曲线，则 t 3或t 1
D．曲线C 可能是圆.
2 2 2 2
55．（2022·北京·101 x y x y中学高二期末）双曲线 1与椭圆 2 1的焦点相同，则 a等于（ ）a 2 4 a
A．1 B． 2 C．1 或 2 D．2
2 2
56．（2022· x y河南·高二阶段练习（理））若双曲线 1的一个焦点为 ( 2,0) ，则m 的值为（ ）
3 m
A． 7 B． 1 C．1 D． 7
考点 8：利用第一定义求解轨迹
57．（2022·河南·高二阶段练习（理））平面上动点 P 到点M 1,1 的距离与它到直线 l : x y 1 0的距离之比
为 2 ，则动点 P 的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆
2 2
58．（2022· x y四川省资阳中学高二开学考试（文））已知函数 y f (x) 的图象恰为椭圆C : 2 2 1(a b 0)a b
x 轴上方的部分，若 f (s t)， f (s)， f (s t)成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ）
A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分
C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
59．（2022·四川宜宾·高二期末（文））与圆 x2 y2 1和圆 x2 y2 10y 21 0 都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个圆上 B．一个椭圆上
C．双曲线的一支上 D．一条抛物线上
60．（2022·四川省资阳中学高二开学考试（文））已知定点F1 3,0 ，F2 3,0 ，M 是 O : x2 y2 1上的动
点，F1关于点 M 的对称点为 N，线段 F1N 的中垂线与直线 F2 N 交于点 P，则点 P 的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线
61．（2022·河南南阳·高二期末（文））已知动圆 P 过定点 A( 3,0) ，并且与定圆B : (x 3)2 y2 4外切，则
动圆的圆心 P 的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线的一支
62．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））平面内有两个定点F 1 5,0 和F2 5,0 ，动点 P 满足
PF1 PF2 6，则动点 P 的轨迹方程是（ ）．
2 2 2 2
A x y x y． 1 x 4 B． 1 x 3
16 9 9 16
x2 y2 x2 y2C． 1 x≥ 4 D． 1 x 3
16 9 9 16
考点 9：双曲线的渐近线
63 y
2 x2
．（2022·全国·高二单元测试）已知双曲线C : 1 a 0,b 0 的焦点在圆O : x2 y22 2 26上，圆 Oa b
与双曲线 C 的渐近线在第一 四象限分别交于 P，Q 两点，点E a,0 满足EP EQ EO（其中 O 是坐标原
点），则△OPQ 的面积是___________.
x264．（2022·四川南充·高二期末（文））若双曲线 y2 1(m 0)的渐近线与圆 x2 y2 4x 1 02 相切，则m
m ______．
65．（2022·江苏盐城·高二期末）若直线 y 3x 1与双曲线C : x2 my2 1的一条渐近线平行，则实数 m 的值
为（ ）
1 1
A． B．9 C． D．3
9 3
2 2
66．（2022·福建· y x厦门外国语学校高二期末）若双曲线 2 2 1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，则其两条渐近a b
线所成的锐角为（ ）
π π 2π
A． B． C
． D．
3 4 6 3
2 2 2 2
67．（2022· x y x y北京市十一学校高二期末）椭圆C1： 1与双曲线C2 ： 2 2 1的离心率之积为 1，则4 3 a b
双曲线C2 的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
π π π π 5π π 2π
A π． ， 6 B． ， C． ， D． ，6 3 3 6 6 3 3
2 2
68．（2022·河南· x y新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知双曲线 2 a b2
1 a 0,b 0 的左，右焦点
分别为F1，F2 ，若双曲线的左支上存在一点P，使得PF2 与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且 PF2 3 F2Q ，
则双曲线的渐近线方程为（ ）
3 4 2
A． y x B． y x C． y x D 3． y x
4 3 3 2
2 2
69．（2022· · x y河南 封丘一中高二期末（文））已知点 F 4 2,0 是双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的右焦点，a b
过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 M，若△OMF（点 O 为坐标原点）的面积为 8，则 C 的实轴
长为（ ）
A．8 B．6 3 C．6 D． 4 3
2
70．（2022·福建三明· y高二期中）双曲线 x2 1的右顶点到渐近线的距离为（ ）
4
A 5 2 5． B． C．1 D．2
5 5
考点 10：共焦点的椭圆与双曲线
x2 y2
71．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））设F1，F2 同时为椭圆C1： 2 2 1 a1 b1 0 a1 b1
x2 y2
与双曲线C2 ： 2 2 1 a2 0,b2 0 的左右焦点，设椭圆C1与双曲线C2 在第一象限内交于点M ，椭圆Ca b 12 2
与双曲线C2 的离心率分别为 e1 ， e2，O为坐标原点．若 F1F2 4 MF2 ，则 e1e2 的取值范围是（ ）
2 2 3 2 2
A ． 0,
B． ,
3 3 2
C． , 2 D3 ．
,
3
2 2
72．（2022· x y河北·沧州市一中高二阶段练习）若F1 5,0 ，F2 5,0 是椭圆C1： 1与双曲线C2 ：8 m
x2 y2
1的公共焦点，且 P 是C1与C2 一个交点，则 F4 n 1
PF2 （ ）
A
2
． 6 B． C． D．3 2 3
73．（2022·吉林·长春市第二中学高二阶段练习）设 e1 、 e2分别为具有公共焦点F1与F2 的椭圆和双曲线的离
1 1
心率， P 为两曲线的一个公共点，且满足PF1 PF2 0，则 2 e e2 的值为（ ）1 2
3 5
A． 2 B． C． 4 D．
2 2
2
C : x y
2
74．（2022·山东·日照青山学校高二期末）已知椭圆 1 1 aa2 b2 1 b1 0 与双曲线1 1
2 2
C2 :
x y
2 2 1 a2 0,b2 0 有相同的焦点F1、F2 ，椭圆C1的离心率为 e1 ，双曲线C2 的离心率为 e2，点 Pa2 b2
1 3
为椭圆C1与双曲线C2 的交点，且 F1PF2 ，则当 取最大值时 e3 1
e2的值为（ ）e1 e2
A B 4 3 C 2 6． 3 ． ． 2 2 D．
3 2
75．（2022·全国·高二专题练习）如图，F1，F2 是椭圆C1与双曲线C2 的公共焦点，A ， B 分别是C1，C2 在
1
第二、四象限的公共点，若 OF1 AB ，且 OF1B ，则C1与C2 的离心率之积为_____.2 6
76．（2022·辽宁·大连八中高二期末）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；
光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装
置由有公共焦点F1, F2 的椭圆 与双曲线 '构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经 '与 反射，又回到了
点F1，历时 t1 秒；若将装置中的 '去掉，此光线从点F1发出，经 两次反射后又回到了点F1，历时 t2 秒；
若 t2 8t1，则 与 '的离心率之比为________．双曲线及 其性质
【知识梳理】
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点 F1, F2 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线
（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为 M MF1 MF2 2a(0 2a F1F2 ) ．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当 2a F1F2 时，点的轨迹是以 F1 和 F2 为端点的两条射线；当 2a 0时，点的轨迹是线段 F1F2 的
垂直平分线．
（3） 2a F1F2 时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“ F F 2 21 2 2a ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 a ，b 的值），注意
a2 b2 c2 的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
x2 y2 2 2
标准方程 2 2 1(a 0,b 0)
y x
1(a 0,b 0)
a b a2 b2
图形
A2
焦点坐标 F1( c,0) ， F2 (c,0) F1(0, c) ， F2 (0,c)
对称性 关于 x ， y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 A1( a,0)， A2 (a,0) A1(0,a) ， A2 (0, a)
范围 x a y a
实轴、虚轴 实轴长为 2a ，虚轴长为 2b
e c 1 b
2
离心率 2 (e 1)a a
x2 y2 2 20 y b y x a令 2 2 x ， 令 0 y x ，
渐近线方程 a b a a
2 b2 b
焦点到渐近线的距离为b 焦点到渐近线的距离为b
1,点(x0 , y0 )在双曲线内
x2 y2 （含焦点部分） 1,点(x0 , y0 )在双曲线内
点和双曲线 a2 b2
2 2
1,点(x0 , y0 )在双曲线上 y x
（含焦点部分）
a2
b2 的位置关系 1,点(x , y )在双曲线外 1,点(x0 , y0 )在双曲线上 0 0
1,点(x0 , y0 )在双曲线外
共焦点的双 x2 y2 2 2
1( a2 k b2 ) y x 1( a2 k b2 )
曲线方程 a
2 k b2 k a2 k b2 k
共渐近线的 x2 y2 2 2
2 2 ( 0)
y x
( 0)
双曲线方程 a b a
2 b2
x
切线方程 0
x y0 y
2 2 1,(x0 , y0 )
y y x x
为切点 0 02 1,(x , y ) 为切点a b a b2 0 0
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中 x2 换为 x0 x ， y
2 换成
切线方程
y0 y 便得．
x0 x y0 y
2 2 1,(x0 , y0 ) 为双曲线a b y0 y x x
切点弦所在 2
0
a b2
1,(x0 , y0 ) 为双曲线外一点
外一点
直线方程
点 (x0 , y0 ) 为双曲线与两渐近线之间的点
设直线与双曲线两交点为 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )， kAB k ．
1
则弦长 AB 1 k 2 x1 x2 1 2 y1 y2 (k 0)，k
弦长公式
x1 x
2 x
2
1 x2 4x1x2 ，其中“ a ”是消“ y ”后关于“ x ”的一元二次方程的a
“ x2 ”系数．
2
通径 通径（过焦点且垂直于 F1F
2b
2 的弦）是同支中的最短弦，其长为 a
双曲线上一点 P(x0 , y0 ) 与两焦点 F1, F2 构成的 PF1F2 成为焦点三角形，
2
设 F 2b1PF2 ， PF1 r1 ， PF2 r2 ，则 cos 1 ，r1r2
焦点三角形
S 1 r r sin sin 2 b
2 c y0 ,焦点在x轴上
PF F b ，1 2 2 1 2 1 cos tan
c x0 ,焦点在y轴上
2
焦点三角形中一般要用到的关系是
PF1 PF2 2a(2a 2c)
1
S PF F PF PF sin F PF1 2
2
1 2 1 2
F F 2 PF 2 1 2 1 PF
2
2 2 PF1 PF2 cos F1PF2
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 a b 离心率 e 2
等轴双曲线
两渐近线互相垂直 渐近线方程为 y x 方程可设为 x2 y2 ( 0) ．
【专题过关】
【考点目录】
考点 1：双曲线的定义与标准方程
考点 2：双曲线方程的充要条件
考点 3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
考点 4：双曲线上两点距离的最值问题
考点 5：双曲线上两线段的和差最值问题
考点 6：离心率的值及取值范围
考点 7：双曲线的简单几何性质问题
考点 8：利用第一定义求解轨迹
考点 9：双曲线的渐近线
考点 10：共焦点的椭圆与双曲线
【典型例题】
考点 1：双曲线的定义与标准方程
1．（2022·江苏·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)经过点 6,0 ， 3,2 ；
4 3
(2)焦点为 0, 5 ， 0,5 ，经过点 , 2 33 ；
(3) a b，经过点 3, 1 ；
(4)经过 3, 9 4 2 和 ,5 两点．
4
【解析】（1）根据题意，双曲线经过点 ( 6 ， 0) ，则双曲线的焦点在 x 轴上，且 a 6 ，
x2 y2
设双曲线的标准方程为： 2 1，6 b
双曲线经过 (3, 2)
9 4
，则有 2 1，解可得b2 8，6 b
x2 y2
则双曲线的标准方程为： 1；
6 8
（2）根据题意，焦点为 (0, 5)， (0,5) ，则双曲线的焦点在 y 轴上，且 c 5，
4 3
∵双曲线过点 , 2 3 ，故根据双曲线的定义可知：
3
2a 4 3 ( )2 4 3 (2 3 5)2 ( )2 (2 3 5)2 6
3 3 ，
则 a 3，则b2 c2 a2 16，
y2 x2
则双曲线的标准方程为： 1；
9 16
2 2
（3）根据题意，双曲线中 a b，设双曲线的方程为： x y t ，
又由双曲线经过点 (3, 1)，则有 t 32 ( 1)2 8，
则双曲线的方程为 x2 y2 8，
x2 y2
则双曲线的标准方程为： 1；
8 8
2 2
4 mx ny 1 mn 0 （ ）根据题意，设双曲线的方程为 ，
9m 32n 1
双曲线经过 (3, 4 2)
9
和 ( ，5)两点，则有
4 81 ， m 25n 1 16
m 1 n 1解可得： ， 16 ，9
y2 x2
则双曲线的标准方程为： 1．
16 9
2．（2022·上海市控江中学高二期末）经过两点 3,6 2 ， 2,3 3 的双曲线的标准方程为______．
x2 y
2
【答案】 1
9
9m 72n 1 1
【解析】设双曲线方程为mx2 ny2 1, mn 0，依题意有 ，解得m 1,n
4m 27n
，
1 9
2
所以所求双曲线的标准方程为： x2
y
1 .
9
2
故答案为： x2
y
1
9
2 2 sin C
3．（2022·江苏·高二专题练习）在 ABC 中， A 5,0 x y，B 5,0 ，点 C 在双曲线 1上，则
16 9 sin B sin A
（ ）
5 5 5 5
A． B． C． D．
3 3 4 4
【答案】C
x2 y2
【解析】由题意知点 A，B 为双曲线的两焦点，所以当点 C 在双曲线 1的右支上时，有
16 9
AB
CA CB 8 AB 10 sinC 10 5 ，又 ，所以由正弦定理得 sin B ；当点 C 在双曲线的左支 sin A CA CB 8 4
上时，有 CA CB 8
sinC 5
，可得 ．
sin B sin A 4
故选：C．
2 2
4．（2022· x y四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知双曲线C : 1的左 右焦点分别是F ， F ，
9 16 1 2
点 P 在双曲线 C 上，且 PF1 7，则 PF2 （ ）
A．13 B．16 C．1 或 13 D．3 或 16
【答案】A
2 2
【解析】由双曲线C :
x y
1可得 a 3， c 5 .
9 16
因为 PF1 7 a c ，所以点 P 在双曲线 C 的左支上，
所以 PF2 PF1 2a ，则 PF2 PF1 2a 7 6 13 .
故选：A
2 2
5．（2022· · x y安徽 合肥工业大学附属中学高二期末）已知点F1, F2 分别是等轴双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 a b
的左、右焦点，O为坐标原点，点 P 在双曲线C 上， F1F2 2 OP ，△PF1F2 的面积为 8，则双曲线C 的方程
为（ ）
x2 y2 x2A 1 B y
2 x2 y2 x2 y2
． ． 1 C． 1 D． 1
2 2 4 4 6 6 8 8
【答案】D
【解析】 F1F2 2 OP ，O是F1F2 的中点，所以PF1 PF2，
a b，则 c 2a ，
S
1
PF PF1F2 1 PF2 8
2
PF1 PF2 2a ，解得 a 2 2 ，
2
PF1 PF
2 2
2 8a
x2 y2
所以双曲线方程为 1．
8 8
故选：D．
6．（2022·陕西省丹凤中学高二阶段练习（文））江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它
蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 x 轴上的双曲线的一部
分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是 4，瓶口和底面的直径都是 8，瓶
高是 6，则该双曲线的标准方程是（ ）
x2A y
2 x2
． 1 B． y2 1
16 9 4
x2 y2 x2 2C 1 D y． ． 1
8 9 4 3
【答案】D
【解析】由题意可知该双曲线的焦点在 x 轴上，实轴长为 4，点 4,3 在该双曲线上．
x2 y2
设该双曲线的方程为 2 2 1 a 0,b 0 ，a b
2a 4,
则 42 32 解得 a 2，b 3 ，
2 2 1, a b
x2 y2
故该双曲线的标准方程是 1．
4 3
故选：D.
2 2
7．（2022· x y福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）若双曲线与椭圆 1有相同的焦点，它的一条渐近
16 64
线方程为 y＝－x，则双曲线的方程为（ ）
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
【答案】D
【解析】设双曲线方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为 (0, 4 3)，
∴λ<0 且 2 (4 3)2 ，得 λ＝－24.
故选：D.
2 2
8．（2022· x y新疆石河子一中高二阶段练习（文））已知双曲线C : 1的左、右焦点分别为F1，F2 ，双9 7
曲线C 上有一点 P ，若 PF1 5 ，则 PF2 （ ）
A．13 B．11 C．1或11 D．11或13
【答案】B
【解析】由双曲线方程知： a 3；
根据双曲线定义知： PF1 PF2 5 PF2 2a 6，解得： PF2 1（舍）或 PF2 11.
故选：B.
9．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点分别为 (0, 6) ， (0,6) ，且经过点 A( 5,6) ；
(2)经过点 (3, 10)， 4, 2 6 ；
y2 x2
2 2 1
【解析】(1)由题易知焦点在 y 轴上，设双曲线的方程 a b
c2 a2 b2 36
则 36 25
1 a2 b2
a2 16
解得： 2
b 20
y2 x2
所以所求双曲线的标准方程为 1
16 20
(2)设双曲线的方程为： Ax2 By2 1(AB 0)
9A+10B=1
代入点坐标得到：
16A 24B=1
A 1 4
解得：
B 1
8
x2 y2
故双曲线的标准方程为： 1
4 8
考点 2：双曲线方程的充要条件
2 2
10．（多选题）（2022· · x y湖北 武汉市第十九中学高二期末）关于 x，y 的方程 1表示的曲线可以是
m m 1
（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
【答案】AB
x2 y2
【解析】要使方程 1有意义，只需：m 0 且m 1.
m m 1
2 2
当m 1时，由m m 1 0 x y，方程 1表示的曲线是椭圆，故 A 正确；
m m 1
2 2
当0 m 1时，由m 0 m 1 x y，方程 1表示的曲线是双曲线，故 B 正确；
m m 1
2 2
当m 0 x y时，方程 1表示的曲线不存在.
m m 1
故选：AB.
11．（多选题）（2022·广东梅州·高二期末）若 0, π ，方程 x2 y2 cos 1表示的曲线可以是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】ACD
【解析】当 ，即cos 0时， x2 1，得 x 1表示垂直 x 轴的直线，故 A 正确；
2
当
0 ， 时，0 cos 1，方程 x2 y2 cos 1表示椭圆，故 C 正确；
2
当 ， 时， 1 cos 0，方程 x2 y2 cos 1表示双曲线，故 D 正确；
2
故选：ACD.
12．（多选题）（2022·全国·高二期中）已知曲线C : mx2 ny2 1 .则（ ）
A．若 m>n>0，则 C 是椭圆
B．若 m=n>0，则 C 是圆
C．若 mn<0，则 C 是双曲线
D．若 m=0，n>0，则 C 是两条直线
【答案】ABCD
2 2
mx2A m n 0 ny
2 x y 1 1 1 1【解析】 选项，当 时， ，
m n
0 1 1 ，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，A 选项正确.
m n
B 选项，当m n 0 mx2时， ny2 1 x2 y2
1
，表示圆，B 选项正确.
n
x2 y22 2
C 选项，当mn 0 mx ny 1 1时， 1 1 ，表示双曲线，C 选项正确.
m n
D 选项，当m 0,n 0时，mx2 ny2 1 y2 1 y 1 n ，表示两条直线，D 选项正确.
n n n
故选：ABCD
2 2
13．（2022·河南·高二期中（文））已知 k R ，则“ 2 k 3 ” “ x y是 方程 1表示双曲线”的（ ）
6 k k 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
x2 y2
【解析】由方程 1表示双曲线可得 6 k k 2 0，解得 2 k 6 ，显然 2 k 3能推出
6 k k 2
2 k 6 ，
2 2
反之 2 k 6 不能推出 2 k 3，故“ 2 k 3 ”是“ x y方程 1表示双曲线”的充分不必要条件.
6 k k 2
故选：A.
2 2
14．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期中（理））“ mn 0 ”是“ x y方程 1表示的曲线为双曲线”
m n
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
2 2
【解析】当mn 0，则m 0且 n 0 或m 0 n 0 x y且 ，此时方程 1表示的曲线一定为双曲线；则充
m n
分性成立；
x2 y 2
若方程 1表示的曲线为双曲线，则mn 0，则必要性成立，
m n
故选：C .
考点 3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
2 2 2
15．（2022·四川· x y y阆中中学高二阶段练习（文））设椭圆 1和双曲线 x2 1的公共焦点为F ， F ，
49 24 24 1 2
P 是两曲线的一个交点，则 F1PF2 的值为（ ）
A
． 6 B． 4
C． D．
3 2
【答案】D
PF1 PF2 14
【解析】依题意，焦距 | F1F2 | 10，由椭圆、双曲线定义得： ，
PF1 PF2 2
2 2
两式平方相加得： | PF1 | | PF2 | 100 | F1F
2
2 | ，于是有 F1PF2 ，2
所以 F1PF2 的值为 .2
故选：D
2 2
16．（2022· x y河南信阳·高二期末（文））设 P 为双曲线C : 1右支上一点，F1，F2 为左、右焦点，9 16
PF1 4 PF2 ，则（ ）
A． P ，F1，F2 为一个锐角三角形的顶点 B． P ，F1，F2 为一个钝角三角形的顶点
C． P ，F1，F2 为一个直角三角形的顶点 D． P ，F1，F2 不为三角形的顶点
【答案】D
【解析】设双曲线的实轴，虚轴，半焦距分别为 a，b ， c，则 a 3，b 4 ， c 5，
由已知得， | PF1 | | PF2 | 6，又 PF1 4 PF2 ，
所以 | PF1 | 8 c a ， | PF2 | 2 c a，
所以 P 为实轴的右端点，所以 P ，F1，F2 不为三角形的顶点.
故选：D .
2 2
17．（2022· x y陕西省安康中学高二期末（文））设双曲线C : 2 1， b 0 的左、右顶点分别为 A1、 A2，左、5 b
右焦点分别为F1、F2 ，以F1F2 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以 A1A2 为直径的圆与直线PF2 相
切，则△F1PF2 的面积为（ ）
A． 4 5 B．8 5 C． 20 D． 40
【答案】C
x2 y2
【解析】 双曲线C 的方程为： 2 1， b 0 ， a 5 ，5 b
设以 A1A2 为直径的圆与直线PF2 相切与Q点，则 OQ 5 ，且PF1 PF2，OQ PF2 ， OQ ∥PF1 .
又 O为F1F2 的中点， PF1 2 OQ 2 5 ，
又 PF2 PF1 2a 2 5 ， PF2 4 5 ，
F 1 11PF2 的面积为： S F PF PF1 PF2 2 5 4 5 20 .1 2 2 2
故选:C
2 2
18．（2022· · x y河南 临颍县第一高级中学高二阶段练习（理））已知F1，F2 分别为双曲线C : 1的左、13 12
右焦点，P 是双曲线 C 上一点，若△F1PF2 的周长为10 10 13，则△F1PF2 的面积为______．
【答案】60
【解析】由题可知 F1F2 10 ，则 PF1 PF2 10 13 ．
根据对称性，不妨设 P 在双曲线 C 的右支上，
则 PF1 PF2 2 13 ，解得 PF1 6 13 ， PF2 4 13 ．
F PF PF
2
1 PF
2 F F 2
在△ 1 2 中，由余弦定理知， cos F PF 2 1 2
12
1 2 ，2 PF1 PF2 13
因为 F1PF2 0,
所以 sin F PF 1 cos21 2 F PF 1
144 5
1 2 ，169 13
1 1 5
则△F1PF2 的面积为 PF PF sin F PF 6 13 4 13 60．2 1 2 1 2 2 13
故答案为：60
2 2
19．（2022·广东·铁一中学高二阶段练习）已知F1, F2 是双曲线C :
x y
1的两个焦点，P 为双曲线 C 上的
16 9
一点.若△PF1F2 为直角三角形，则△PF1F2 的面积等于______________.
45
【答案】 或 9
4
x2 y2
【解析】由 1，得 a2 16,b2 9，则 2 2 ，
16 9 a 4,b 3,c a b 5
所以F1( 5,0), F2 (5,0)，
由双曲线的对称性，不妨设点 P 在双曲线的右支上，
2
若 PF2F1 90
25 y 9
时，当 x 5时， 1，得 y ，所以 PF
9
2 ，16 9 4 4
1 9 45
所以△PF1F2 的面积为 10 ，2 4 4
当 F1PF2 90 时，则 PF 21 PF
2
2 F
2
1F2 100，
因为 PF1 PF2 2a 8，
2 2
所以 PF 1 2 PF 1 PF 2 PF 2 64，
所以 PF1 PF2 18，
1 1
所以△PF1F2 的面积为 PF 1 PF 2 18 9，2 2
45
综上所述，△PF1F2 的面积为 或 9，4
45
故答案为： 或 9，
4
2 2
20．（2022· · x y江西 赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））已知双曲线 1的左，右焦点分别为 F
4 2 1
，
F 2 ，过右焦点F2 且倾斜角为 直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点（点 M 位于第一象限），△MF1F2 的内切圆4
R1
半径为R1，△NF1F2 的内切圆半径为R2 ，则 R 为___________.2
【答案】3 2 2 【解析】设△MF1F2 的内切圆为圆O1，与三边的切点分别为 A, B,C ，如图所示，
设 MA MC m， AF1 BF1 n， BF2 CF2 t ，设△NF1F2 的内切圆为圆O2 ，
(m n) (m t) 2a
由双曲线的定义可得 n a c
n t
，得 ，
2c
由此可知，在△MF1F2 中，O1B x 轴于点 B ，同理可得O2B x轴于点 B ，
所以O1O2 x 轴，
过圆心O2 作CO1的垂线，垂足为D，
因为 O2O1D BF2C 180 , BF2C CF2x 180 ，
所以 O2O1D CF
2x ，4
∴ O1O2 2 O1D ，即R1 R2 2 R1 R2
∴ R2 1 R1 2 1 R 12 ，即 3 2 2R 2
故答案为：3 2 2 .
2 2
21．（2022· x y安徽蚌埠·高二期末）已知双曲线 2 1(b 0)的左右焦点分别为F1, F2 ，过点F2 的直线交双4 b
曲线右支于 A，B 两点，若 ABF1 是等腰三角形，且 A 120 ，则 ABF1 的面积为___________.
16 3
【答案】
3
【解析】 A 120 ，所以 AF1 AB , BF2 AF1 AF2 2a 4, BF1 BF2 2a 4a 8，而 ABF1 是
AF AB 8 A 120 1 8 8 的等腰三角形，所以 1 ，故 ABF1 的面积为 sin120
16 3
．
3 2 3 3 3
16 3
故答案为： ．
3
2 2
22．（多选题）（2022·全国·高二期末）已知双曲线C : x y 1的左、右焦点分别为F1、F2 ，过坐标原点O9 16
的直线与双曲线C 交于 A、B两点，点 P 为双曲线C 上异于 A、B的一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．F2 A F2B的最大值为 9
B．若以 AB 为直径的圆经过双曲线的右焦点F2 ，则 S AF 161F2
C．若 PF1 7，则有 PF2 1或 13
1 4 9
D．设PA， PB的斜率分别为 k1、 k2 ，则 k 2
k 2 的最小值为1 2 4
【答案】BD
C : x
2 y2
【解析】双曲线 1中 F1( 5,0) 、 F2 (5,0) ，焦距 2c 10，实轴长 2a 69 16
不妨设 A(x1, y1)、B( x1, y1)(x1 0, y1 0)，P(x2 , y2 )
选项 A：F2 A (x1 5, y1), F2B ( x1 5, y1)
则F2 A F2B (x1 5, y1) ( x 5, y ) 25 x
2 y 21 1 1 1 0，
y 2 16 x 2 9 F A F B 41 25 2又 1 9 1 ，则 2 2 x9 1
由 x1 3
2
，可知 x1 9，即 41
25
x 21 16，则F2 A F2B的最大值为 16.判断错误；9
选项 B：以 AB 为直径的圆经过双曲线的右焦点F2 ，则有F2 A F2B
F A F B (x 5, y ) ( x 5, y ) 25 x 2 y 2 25 2则 2 2 1 1 1 1 1 1 41 x 0，9 1
2 9 2 16 9 256 16
解之得 x1 41 ，则 y1 41 9 ，则 y 25 9 25 25 1 5
则 S
1
AF F F1F
1
2 y1 10
16
16 .判断正确；
1 2 2 2 5
选项 C：若 PF1 7，由 PF1 PF2 7 PF2 6，
可得 PF2 13或 PF2 1（因为 PF2 1 2 c a，舍去）.判断错误；
x 2 21 y1
1
D 9 16 x x x x选项 ：由 ，可得 2 1 2 1 y2 y1 y2 y1
x 2 y 2
0
2 2 9 16
1 9 16
x2 x1 x2 x1 y2 y1 y2 y 16即 1 0，则 k
9 16 1
k2 9
1 4 2 1 2 4 4 9 9 4故 2 2 k k k k k k 16 4 ，（当且仅当 k2 2k1 2 时等号成立）1 2 1 2 1 2 3
1 4 9
即 k 2
2 的最小值为 .判断正确.
1 k2 4
故选：BD
2
23．（多选题）（2022· y浙江·诸暨市教育研究中心高二期末）如图所示，已知F1, F2 分别为双曲线 x2 1的3
左、右焦点，过F2 的直线与双曲线的右支交于 A, B两点，记△AF1F2 的内切圆O1的面积为 S1，△BF1F2 的内
切圆O2 的面积为 S2 ，则（ ）
A．圆O1和圆O2 外切 B．圆心O1一定不在直线 AO 上
C． S1 S
2
2 D．S1 S2的取值范围是 2 ,3
【答案】ABC
y2
【解析】双曲线 x2 1的 a 1，b 3，c 2，渐近线方程为 y 3x、 y 3x，
3
2
两渐近线倾斜角分别为 和 O x G
3 3
，设圆 1与 轴切点为
过F2 的直线与双曲线的右支交于 A, B
2
两点，可知直线 AB 的倾斜角取值范围为 ,
3 3
由双曲线定义和圆的切线长定理可知O1、O2 的横坐标均为 a，即O1 O2 与 x 轴垂直.
故圆O1和圆O2 均与 x 轴相切于G(1,0)，圆O1和圆O2 两圆外切.选项 A 判断正确；
由双曲线定义知，△AF1F2 中， AF1 AF2，则 AO 只能是△AF1F2 的中线，不能成为
F1AF2 的角平分线，则圆心O1一定不在直线 AO 上. 选项 B 判断正确；
在△O1O2F2中， O1F2O2 90 ，O1O2 F2G ，
2
则由直角三角形的射影定理可知F2G O1G O2G，即 (c a)
2 r1 r2
则 r1 r 1 22 ，故 S1 S2 r1 r
2 2
2 .选项 C 判断正确；
2 2
由直线 AB 的倾斜角取值范围为 , ，可知 AF2F1 的取值范围为3 3
, ，
3 3
则 O1F2F
1的取值范围为 ,
，
6 3
故 r1 F2G tan O F
3
1 2F1 tan O1F2F1 , 3
3
则 S1 S2 (r
2 r 21 2 ) (r
2 1
1 2 ),
3
r r1 , 3 1 3
f (x) x 1 1 , x ,3 1令 ，则 f (x)
在 ,1
单调递减，在 1,3 单调递增.x 3 3
f (1) 2， f (
1) 10 10 ， f (3) ， f (x)
1 1
x , x ,3 2,10 值域为
3 3 3 x 3 3
S S (r 2 1
), 3 故 1 2 1 2 ,
10
r 2 r1 , 3 的值域为 .选项 D 判断错误.1 3 3
故选：ABC
24 2．（多选题）（2022·江苏·高二专题练习）已知点Q是圆M ： x 2 y2 4 上一动点，点 N 2,0 ，若线
段 NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点 P ，则下列结论正确的是（ ）
A．点 P 的轨迹是椭圆
B．点 P 的轨迹是双曲线
C．当点 P 满足 PM PN 时， PMN 的面积 S△PMN 3
D．当点 P 满足PM MN 时， PMN 的面积 S PMN 6
【答案】BCD
【解析】依题意， MQ 2， MN 4，因线段 NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点 P ，于是得 PQ PN ，
当点 P 在线段MQ 的延长线上时， PM PN PM PQ MQ 2，
当点 P 在线段QM 的延长线上时， PN PM PQ PM MQ 2，
从而得 PM PN 2 4 MN ，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故 A 错，B 对；
2 PM PN 2
选项 C y，点 P 的轨迹方程为 x2 1，当 PM PN 时， PM PN 6 ，
3 PM
2 PN 2 MN 2 16
1
所以 S△PMN PM PN 3，故 C 对；2
PM PN 2
选项 D，当PM MN 时， 2 2 2 PM 3，
PN PM MN 16
所以 S
1
△PMN PM MN 6，故 D 对，2
故选：BCD.
考点 4：双曲线上两点距离的最值问题
2 2
25 x y．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆 1(m 9)右焦点 F 的圆与圆O : x2 y2 4外切，该圆
m m 9
直径FQ的端点 Q 的轨迹记为曲线 C，若 P 为曲线 C 上的一动点，则 FP 长度最小值为（ ）
A．0 B 1． 2 C．1 D．2
【答案】C
x2 y2
【解析】椭圆 1(m 9)， c m m 9 3，所以F 3,0 .
m m 9
设以FQ为直径的圆圆心为C ，如图所示：
因为圆O与圆C 外切，所以 OC CF 2，
因为 QF1 2 OC ， QF 2 CF ，
所以 QF1 QF 2 OC CF 4 F1F ，
所以Q的轨迹为：以F1, F 为焦点， 2a 4的双曲线的右支.
2 2
即 a 2,c 3,b 9 4 5 ，曲线C : x y 1 x 2 .
4 5
所以 P 为曲线C 上的一动点，则 FP 长度最小值为 c a 1 .
故选：C
2
26．（2022·安徽省宣城市第二中学高二阶段练习（理））已知F1, F
x 2
2 分别是双曲线 y 1的左、右焦点， P4
为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF1F2 内切圆圆心为 I ，则圆心 I 到圆 x2 (y 1)2 1上任意一点
的距离最小值为（ ）
A． 2 B． 5 1 C．1 D． 5 2
【答案】C
【解析】设△PF1F2 的内切圆分别与PF1, PF2切于点 A, B，与F1F2 切于点M ，则 | PA | | PB |,| F1A | | F1M |，
| F2B | | F2M |．又点 P 在双曲线右支上，
| PF1 | | PF2 | 2a，即 (| PA | | F1A |) (| PB | | F2B |) 2a，
| F1M | | F2M | 2a ①，
又 | F1M | | F2M | 2c ②，
由①＋②，解得 | F1M | a c，
又 | OF1 | c ，则M (a,0)，
x2
因为双曲线 y2 1的 a 2，
4
所以内切圆圆心 I 与在直线 x 2上，设 I (2, y0 ) ，
设圆 x2 (y 1)2 1的圆心为C ，则C(0,1)，
所以 | CI | 22 y 1 2 ，当 y 10 0 时， | CI |min 2，
此时圆 x2 (y 1)2 1上任意一点的距离最小值为 | CI |min 1 2 1 1．
故选： C．
2 2
27．（2022·101 x y中学高二期末）双曲线C： 1的右焦点为F ，点 P 在椭圆C 的一条渐近线上.O为坐标
4 2
原点，则下列说法错误的是（ ）
A 6．该双曲线离心率为
2
y2 x2B．双曲线 1与双曲线C 的渐近线相同
4 2
C．若PO PF ，则△PFO 的面积为 2
D． PF 的最小值为 2
【答案】B
2 2
【解析】A. C x y因为双曲线方程为 ： 1，所以 a 2,b 2,c 6 c 6，则 e ，故正确；
4 2 a 2
2
B. x y
2 2 y2 x2
双曲线C： 1的渐近线为 y x ，双曲线 1的渐近线方程为 y 2x，故错误；
4 2 2 4 2
C.设P x, y 2，因为点 P 在渐近线上，不妨设渐近线方程为 y x，即为直线 PO 的方程，又因为
2
2 2 6
y x x
PO PF ，所以直线 PF 的方程为 y 2 x 6 ，由 2 3 P 2 6 2 3 ，解得 ，即 ,3 3 ，
y 2 x 6 y 2 3 3
1 2 3
所以 S 6 2 ，故正确；
2 3
D. F 6,0 2，其中一条渐近线为 y x，则 PF 的最小值为点 F 到渐近线的距离，即
2
2
6
2
d 2
2 ，故正确.
2
1
2
故选：B
28．（2022·北京八中高二期中）已知定点 A、B，且|AB|＝4，动点 P 满足||PA|﹣|PB||＝3，则|PA|的最小值是
（ ）
1 3 7
A． B． C． D．5
2 2 2
【答案】A
【解析】由动点 P 满足||PA|﹣|PB||＝3，且3 AB
故可得点 P 的轨迹为以 A, B为左右焦点的双曲线，
3
故可得 2a 3, 2c 4，解得 a ,c 2，
2
1
由双曲线的几何性质可得 PA 的最小值为 c a .
2
故选：A.
考点 5：双曲线上两线段的和差最值问题
29 x
2 y2
．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二阶段练习（理））.已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的一条渐a b
近线的方程为 y 5 x ，左、右焦点分别为F1，F2 ，直线 l : (m 1)x (m 4)y 5m 0(m R) 过定点 P，且
2
A(4, 15)在双曲线 C 上，M 为双曲线上的动点，则 | MP | MF2 的最小值为____________.
【答案】5 2 4
x y 5 0
【解析】将直线 l : m 1 x m 4 y 5m 0，变形为 m x y 5 x 4y 0，可得 x 4y 0 ，解得：
x 4
y 1 ，所以定点为 P(4，1).
x2 y2 5
由双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线的方程为 y x ，及 A(4, 15)在双曲线上，可得：a b 2
b 5
a 2 a2 4
2 解得： ，
42 15 b
2 5
1 a2 b2
所以 c a2 b2 4 5 3，
所以左、右焦点分别为F1 3,0 ，F2 3,0 .
如图示，要求 | MP | MF2 的最小值，点 M 需在双曲线的右支上.
由双曲线的定义可得： MF1 MF2 2a ，
所以 MF2 MF1 2a MF1 4 ，
所以 | MP | MF2 | MP | MF1 4 .
所以当M , P, F1三点共线时，即 M 落在点 G 处， PF1 7
2 1 5 2 最小，
所以 | MP | MF2 的最小值为5 2 4 .
故答案为：5 2 4
2 2
30．（2022· x y湖南师大附中高二阶段练习）已知 F1，F2分别为双曲线 C： 1的左 右焦点，E 为双曲4 12
线 C 的右顶点.过 F2的直线与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点（其中点 A 在第一象限），设 M，N 分别为△
AF1F2，△BF1F2的内心，则 ME NE 的取值范围是（ ）
A
4 , 4
4 3 , 4 3 3 3 3 3
5 5
． B． C． , D． , 3 3 3 3 5 5
3 3
【答案】B
【解析】设 AF1, AF2 , F1F2 上的切点分别为 H I J，
则 | AH | | AI |, F1H F1J , F2J F2I .
由 AF1 AF2 2a，得 | AH | HF1 | AI | IF2 2a，
∴ HF1 IF2 2a ，即 JF1 JF2 2a .
设内心 M 的横坐标为 x0 ，由 JM x轴得点 J 的横坐标也为 x0 ，则 c x0 c x0 2a，
得 x0 a ，则 E 为直线 JM 与 x 轴的交点，即 J 与 E 重合.
同理可得△BF1F2 的内心在直线 JM 上，
设直线 AB 的领斜角为 ，则 EF2M , EF2N ，2 2
| ME | | NE | (c a) tan (c a) tan
2 2
cos
sin
(c 2cos 2 a) 2 2 (c a) (c a) ，
sin cos sin tan
2 2
当 时， | ME | | NE | 0；
2
当
时，由题知，a 2,c 4,
b
3 ，
2 a
因为 A，B 两点在双曲线的右支上，
2
∴ ，且 ，所以 tan 3或 tan 3 ，3 3 2
3 1 3 1
∴ 且 0，
3 tan 3 tan
4 4 3 4 3
∴ | ME | | NE | ,0 tan
0, ，
3 3
4 | ME | 4 3 4 3
综上所述， | NE |
tan
, .
3 3
故选：B.
31．（2022·河南洛阳·高二期末（理））在平面直角坐标系中，已知点 A 2,0 ， B 2,0 ，C 2, 2 ， D 3,0 ，
5
直线 AP，BP 相交于点 P，且它们斜率之积是 .当 PA PB 时， PD PC 的最小值为（ ）
4
A． 29 4 B． 29 4 C． 5 4 D． 5
【答案】A
y
【解析】设点 P 坐标为 (x, y)，则直线 AP 的斜率 kPA (x 2) ；x 2
y
直线BP的斜率 kPB (x 2)．x 2
y y 5
由已知有 (x 2)x 2 x 2 4 ，
x2 y2
化简得点 P 的轨迹方程为 1(x 2) ．
4 5
2 2
又 PA PB x y，所以点 P 的轨迹方程为 1(x 2)，即点 P 的轨迹为以A 、 B 为顶点的双曲线的左支（除
4 5
A 点），因为D 3,0 ，设F 3,0 ，由双曲线的定义可知 PD PF 4，所以
PD PC PF PC 4 FC 4，当且仅当F 、 P 、C 三点共线时 PF PC 取得最小值 FC ，因为
C 2, 2 FC 2 3 2，所以 22 29 ，所以 PD PC 29 4，即 PD PC 的最小值为 29 4；
故选：A
2
32．（2022· x宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知F1, F2 分别是双曲线C : y2 1的左、右焦点，4
2 2
动点 P 在双曲线的左支上，点 Q 为圆G:x (y 2) 1上一动点，则 | PQ | PF2 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．3 5 D．5
【答案】A
【解析】如图，圆G 的圆心为 (0， 2) ，半径为 1，F( 5，0)， |PQ| |PF2 | |PQ| |PF1 | 2a≥ |PG | 1 |PF1 | 41 ，当
P ，G ，F1三点共线时， | PQ | | PF2 |最小，最小值为 |GF1 | 3，而 |GF | = ( 5)2 22 3，所以 |GF1 | 3 61 ．
故选：A
2
33．（2022·全国· x高二专题练习）点 P 是双曲线 y2 1右支上一点，M , N 分别是 (x 5)2 y2 1和
4
(x 5)2 y2 1上的点，则 PM PN 的最大值是
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意得双曲线的两个焦点分别是F1( 5,0), F2 ( 5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点
P、F1、M 三点共线以及点P、N、F2 三点共线时所求的值最大，此时
PM PN ( PF1 1) ( PF2 1) ( PF1 PF2 ) 2；根据双曲线的定义知 PF1 PF2 2a 4，所以
PM PN ( PF1 PF2 ) 2 6，故选 C．
考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的性质．
【技巧点晴】本题主要考查了双曲线的定义和双曲线的简单性质、双曲线与圆的位置关系，属于中档题；
解决此类问题的有效方法是数形结合，画出双曲线及两个圆的方程，结合图形知当且仅当三点共线时取到
最值，根据双曲线的定义即可求出最大值．
考点 6：离心率的值及取值范围
2 2
34．（2022· x y全国·高二专题练习）设双曲线C ： 2 2 1(a 0，b 0)的右焦点为F ，双曲线C 的一条渐近a b
线为 l，以F 为圆心的圆与 l交于点M ， N 两点，MF NF ，O为坐标原点，OM ON 3 7 ，则双
曲线C 的离心率的取值范围是______．
5 5
【答案】 ，
2 4
b
【解析】由题可知，点F c，0 ，如图所示，不妨取直线 l的方程为 y x ，过点F 作FE l 于E ，则F 到
a
bc
a
直线 l的距离 | EF | b
b2
，
1
a2
MF NF ，且 | MF | | NF |，
△ MNF 为等腰直角三角形，
| MN | 2 | EF | 2b， | ME | | NE | b ，
| OE | OF 2 EF 2 c2 b2 a， | OM | | OE | | ME | a b ， | ON | | OE |－| NE | a－b ，
a b a b b 1 OM ON ， － ，即 ，a 1
c b 1离心率 e 1 ( )2 1 ( )2 ，
a a 1
令 f 1 1 2 ， 3，7 ，则 f f 3 ，f 7 ，即 f [
1 3
， ]，
1 1 2 4
e 5 5
，2 4
．
5 5
故答案为： ， .
2 4
2 2
35．（2022· · x y安徽 合肥一中高二期末）已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为F1，F2 ，过a b
点F2 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 M，若 F1M 5 OM ，O 为坐标原点，则双曲线 C 的离心率
为______.
【答案】 2
b
【解析】解法一：由题得F2 c,0 ，不妨设过点F2 作双曲线渐近线 y x 的垂线，则由点到直线的距离得a
F2M b，又 OF2 c
b
，所以 OM a，所以 F1M 5a ，在Rt△OMF2 中， cos OF2M ，又在△F1MFc 2
2
cos F F M b 4c
2 5a2 b2 4c2 5a2 b
中， 1 2 ，所以 ，所以3b2 4c2 5a2 ，又b2 c2 a2 ，所以4bc 4bc c
2a2 c2 ，所以 e 2 .
解法二：由题得 F1 c,0 ，F2 c,0
b
，不妨设过点F2 作双曲线渐近线 y x 的垂线，则直线F2M 的方程为a
a2 2 2 2 2 2 2
y a x c ，联立方程组得M ,
ab
F M a
ab c OM a abb c c
，所以 1 ，
，所以 c c c c
2 2 2 2 2 a ab a ab 2
c
5
，化简得 2a
2 c2 ，所以 e 2 .
c c c c
故答案为： 2
2 2
36．（2022·福建厦门·高二期末）双曲线C : x y2 2 1 a 0,b 0 的左焦点为F1，OA 2FO，过点 A 作 Ca b 1
的渐近线的垂线，垂足为 M．若 MF1O 30 ，则 C 的离心率为______．
【答案】2
b
【解析】由题意，设 F1 c,0 ，因为OA 2F1O，则 A 2c,0 .又 AM 与渐近线垂直，且 tan MOA ，故a
cos a a MOA ,sin MOA b b
2 2 c 2 2 c ，所以OM OA cos MOA 2a ，故a b a b
2ab
2
M 2a cos MOA, 2a sin MOA M 2a , 2ab
MF c ，即 ，又c c 1
O 30 ，所以 2 tan 30 ，即
2a c
c
2 2 2
2a2 c2 2 3ab 3a2 2 3ab b2 0 3a b 0 b 3a c a 3a，故 ， ，即 ，故离心率 2
a a
故答案为：2
2 2
37．（2022·四川达州· x y高二期末（理））已知F1，F2 是双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的左 右焦点，P 为曲线a b
上一点， F1PF2 60 ，△PF1F2 的外接圆半径是内切圆半径的 4 倍.若该双曲线的离心率为 e，则 e2
___________.
12
【答案】
7
【解析】由题意，设PF1 m, PF2 n ，因为 F
2
1PF2 60 ，故 2c m2 n2 2mncos 60 ，即
4c2 m n 2 mn ，根据双曲线的定义有 4c2 4a2 mn ，故mn 4b2 .所以△PF1F2 的面积为
S 1 mnsin 60 3b2 .又 m n 2 m n 2 4mn 4a2 16b2 ，故m n 2 c2 3b2 .故内切圆半径 r 满足2
1 3b2S m n 2c r 3b2 ，解得 r .又△PF1F2 的外接圆半径 R 满足 2R
2c
，故
2 c2 3b2 c sin 60
2 3c 2 3c 4 3b2 2 2 2 2 2 2R ，由题意 ，即 2 2 2 2 ，所以 c c 3b 6b c ，故
3 5c
2 12b2 ，
3 c2 2
c c 3b 6b c
3b c
2 2 2 2 12故5c 12c 12a ，解得 e 7
12
故答案为：
7
2
38．（2022·河南安阳· x高二阶段练习（理））已知双曲线 2 y
2 1(a 0)的左、右焦点分别为F
a 1
，F2 ，点 P
为双曲线上一点，若PF1 PF2，且 PF1 PF2 2 3 ，则双曲线的离心率为_________.
【答案】 2
【解析】依题意PF1 PF2，
PF1 PF2 2 3
所以 PF1 PF2 2a ，
2 2 2 2
PF1 PF2 4c 4 a 1
2PF1 PF2 12
2 2
PF1 PF2 4a ，
PF 2 PF 2 4 a2 1
1 2
PF 2 2 PF 2
1 1
PF2 PF2 12
PF
2
1 2 PF1 PF2 PF
2
2 4a
2
，
2
PF1 PF
2
2 4 a2 1
2 2
2 PF1 2 PF2 12 4a
2
，
PF
2 2
1 PF2 4 a2 1
PF
2 PF 2 6 2a21 2
，
PF
2
1 PF
2
2 4a
2 4
所以6 2a2 4a2 4， 2a2 2, a 1,b 1,c a2 b2 2 ，
c
所以双曲线的离心率 e 2 .
a
故答案为： 2
39．（多选题）（2022·浙江·温州中学高二期末）在等腰梯形 ABCD中， AB CD ，且 AB 4,CD 2, AD 2，
以下选项正确的为（ ）
A． AC BD 6
B．等腰梯形 ABCD外接圆的面积为2
C．若双曲线以 A, B为左右焦点，过C , D 两点，则其离心率为 3 1
D 3 1．若椭圆以C , D 为左右焦点，过 A, B两点，则其离心率为
2
【答案】ACD
【解析】过点D作 DE AB，过点C 作CF AB，交 AB 于点E 、F ，
因为 AB 4 ，CD 2， AD 2，
AE 1
所以 AE BF 1，所以 cos DAB ，则 DAB 60 ，
AD 2 DE AD
2 AE 2 3 ，
所以BD BE2 DE2 2 3 ，所以 AD2 BD2 AB2，即 ADB 90 ，同理可得 ACB 90 ，
所以等腰梯形 ABCD外接圆的直径即为 AB 4 ，所以外接圆的面积为 22 4 ，故 B 错误；
所以 AC BD AD DC AD AB AD 1 AB AD AB
2
2 1 2
AD AB AD 1 AB
2 2
2
AD 1
1 2
AB AD AB
2 2
22 1 2 4 cos 60 1 42 6，故 A 正确；
2 2
A, B C , D
2c 4
对于 C：若双曲线以 为左右焦点，过 两点，所以 ，
BD AD 2 3 2 2a
c 2 e c 2所以 ，所以离心率 3 1，故 C 正确；
a 3 1 a 3 1
2c 2
对于 D：若椭圆以C , D 为左右焦点，过 A, B两点，所以 ，
BD AD 2 3 2 2a
c 1 c 1 3 1
所以 ，所以离心率 e ，故 D 正确；
a 3 1 a 3 1 2
故选：BCD
40．（2022·安徽省皖西中学高二期末）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4, 2)，则
它的离心率为（ ）
A 6 5． 6 B． 5 C． D．
2 2
【答案】D
x2 y2 b
【解析】由题意设双曲线方程为 2 2 1(a 0,b 0) ，则其渐近线方程为 y x，a b a
因为双曲线的一条渐近线经过点 (4, 2)，
2 4b b 1所以 ，所以 ，
a a 2
e c 1 b
2 2
1 1 5所以离心率 ，a a 2 2
故选：D
2 2
41．（2022·陕西安康· x y高二期末（理））已知双曲线 C： 2 2 1（ a 0，b 0）的左，右焦点分别为F1，a b
F 2π2 ，A 为 C 的左顶点，以F1F2 为直径的圆与 C 的一条渐近线交于 P，Q 两点，且 PAQ ，则双曲线 C3
的离心率为（ ）
A 5． B． 2 C
21
． 3 D．
2 3
【答案】D
【解析】设以F 2 2 21F2 为直径的圆的方程为 x y c ，且 P 、Q关于原点对称，
b
y x x a x a
由 a ，解得 或
x2 y2 c2 y b
y b
，
∴P a,b ，Q a, b ．
∵ A a,0 PAQ 2π， ，
3
π
∴ PAF2 ，6
tan PAF 3 b∴ 2 ，3 2a
3b2 4a2 3 c2 2 2∴ ，即 a 4a ，
c2 7∴ a2 ，
3
e c 21∴ ．
a 3
故选：D
2 2
42．（2022·云南· x y弥勒市一中高二阶段练习）已知F1, F2 分别是双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过Fa b 1
b
作双曲线 C 的渐近线 y x 的垂线，垂足为 P，且与双曲线 C 的左支交于点 Q，若OQ∥PF2 （O 为坐标原a
点），则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 1 B． 2 C
3 2
． 2 2 D．
2
【答案】B
【解析】因为OQ∥PF2 ，O 是F1F2 的中点，所以Q为 F1P 的中点．因为PF1 OP ，所以点F1( c,0)
b | bc |
到渐近线 y x 的距离 PF1 b，又 F1O c，所以 cos PF1O
b
．连接QF
a a2 b2 c 2
，易知
QF 1 b b1 PF1 ，则由双曲线的定义可知 QF2 QF1 2a 2a．在 QFF2 2 2 1 2
中，由余弦定理，得
b2 2
4c2 2a b
cos QF F 4
2 b 2 2a b c a b
1 2 ，整理，得 ，所以双曲线的离心率为 e b c a a2
2 ，
2 2c
2
故选：B．
2 2
43．（2022· x y河南平顶山·高二期末（文））已知点 P 是双曲线 2 2 1 a 0,b 0 右支上一点，O为坐标原a b
点， B 为虚轴的上端点，若△OPB 为等腰直角三角形，点 P 为直角顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
5
A． 6 B． C． 2 2 D．32
【答案】A
【解析】由题意可知， OB b，如图所示
因为△OPB 为等腰直角三角形，点 P 为直角顶点，
2 2 2 2
所以 2 OP OB ,即 2 OP b2 ，解得 OP b ，
2
在Rt PMO 中， OM OP cos 45
1
b, PM OP sin 45 1 b,
2 2
P 1 1 所以 b, b .
2 2
x2 y2
因为点 P 是双曲线 2 2 1 a 0,b 0 右支上一点，a b
1 2 b 1
2
2
所以
b
2
b
2 ，解得 2 5， 1 a
a2 b2
b2
所以该双曲线的离心率为 e 1 2 1 5 6 .a
故选：A.
2
44 y．（2022·江苏南通·高二期末）已知双曲线 x2 2 1的左、右焦点分别为F1、F2 ， P 、Q是双曲线上关b
于原点对称的两点， OP OF1 ，四边形PF1QF2 的面积为 2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 D． 5
【答案】A
【解析】由已知 OP OF1 OF2 ，所以， OPF1 OF1P ， OPF2 OF2P ，
所以， OPF1 OF1P OPF2 OF2P 2 F1PF2 ，可得 F1PF
2 ，2
由勾股定理可得 PF 21 PF
2
2 F1F
2
2 4c
2，
由双曲线的定义可得 PF1 PF2 2a ，
2
所以， 2 PF1 PF2 PF 21 PF 2 22 PF1 PF2 4b ，
1 2
由双曲线的对称性可知，四边形PF1QF2 为矩形，所以， S△F PF PF1 PF2 b 1，1 2 2
c
所以， c a2 b2 2 ，故该双曲线的离心率为 e 2 .a
故选：A.
2 2
45．（2022·湖北· x y鄂州市教学研究室高二期末）已知F1，F2 分别是双曲线C : 1(a 0,b 0)的左、右焦a2 b2
2点，以F1F2 为直径的圆与双曲线 C 有一个交点 P，设△PF1F2 的面积为 S，若 PF1 PF2 12S ，则双曲线
C 的离心率为（ ）
A．2 B 6． C． 2 D．2 2
2
【答案】C
2 2 2 2
【解析】依题意，PF1 PF2，令F1( c,0) ，F2(c,0)，则有 | PF1 | | PF2 | | F1F2 | 4c ，
由 (| PF1 | | PF |)
2
2 12S
2 2 2
得： | PF1 | | PF2 | 2 | PF1 || PF2 | 6 | PF1 || PF2 |，即有 | PF1 || PF2 | c ，
而 4a2 (| PF1 | | PF2 |)
2 | PF 2 c1 | | PF |
2
2 2 | PF1 || PF2 | 2c
2
，所以 e 2 .
a
故选：C
2 2
46．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线C : x y 1 a 0,b 0 的两个焦点分别为 F2 2 1 c,0 ，a b
F2 c,0 ，M 是双曲线C
1
上一点，若MF1 MF2 0，OM OF c
2
2 ，则双曲线C 的离心率为（ ）2
A． 3 B． 3 1 C． 2 D． 2 1
【答案】B
1 1 【解析】OM OF MO 1 2 2 F1F2 MF MF2 4 1 2 MF2 MF1 c ， 2
2 2
则 MF1 MF2 2c
2 ，
又因为MF1 MF 0
2 2 2
2 ，MF1 MF2 ，即 MF1 MF2 4c ，
所以 MF1 3c， MF2 c ，
所以 2a MF1 MF2 3c c ，
则 e 3 1，
故选：B.
2 2
47．（2022· x y江西上饶·高二期末（文））已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的焦距为2c, F1, F2 为其左右两个焦a b
点，直线 l 经过点 (0,b)且与渐近线平行，若 l 上存在第一象限的点 P 满足 PF1 PF2 2b ，则双曲线 C 离心
率的取值范围为（ ）
A． (1, 2) B． ( 2, 3)
C． (1, 3) D． ( 2, )
【答案】A
【解析】因为满足 PF PF 2 21 2 2b 的所有点在以F1, F2 为焦点，长轴长为 2b，短轴长为 2 c b 2a的双曲
x2 y2 x2 y2
线，即 2 2 1上.故若 l 上存在第一象限的点 P 满足 PF1 PF2 2b ，则双曲线 2 2 1与直线 l 有交点b a b a
b 2 2
即可.又直线 l : y x b x y
a b
，数形结合可得，当b a 或 2 2 1的经过一象限的渐近线的斜率 即可，a b a b a
c2
两种情况均有 a2 b2 c2 a2，故 2 2，故离心率 e (1, 2)a
故选：A
考点 7：双曲线的简单几何性质问题
48．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）已知曲线C : mx2 ny2 1，
① 若m n 0 ，则C 是椭圆，其焦点在 y 轴上；
② 若m n 0 ，则C 是圆，其半径为 n ；
③ 若mn 0 m，则C 是双曲线，其渐近线方程为 y x；
n
④ 若m 0， n 0，则C 是两条直线.
以上四个命题，其中正确的序号为_________.
【答案】①③④
0 1 1【解析】①若m n 0 ，则 ，
m n
x2 y2
1 1 1因为方程化为： ，焦点坐标在 y 轴，所以①正确；
m n
②若m n 0 1，则 C 是圆，其半径为： ，不一定是 n ，所以②不正确；
n
③若mn 0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为mx2 ny2 y m，化简可得 x，所以③正确；
n
④若m 0， n 0，方程化为 ny2 1，则 C 是两条直线,所以④正确；
故答案为：①③④．
2 2
49．（2022· x y全国·高二单元测试）若双曲线 C 的方程为 2 2 1，则 k 的取值范围是___________.k 1 4 k
【答案】 ( 2, 1) (1,2)
k
2 1 0 k 2 1 0
【解析】由题意得： k 2 1 4 k 2 0，则有 或 ，解得： k ( 2, 1) (1, 2)2 2 .
4 k 0 4 k 0
故答案为： ( 2, 1) (1,2)
2
50．（2022· y四川省资阳市雁江区伍隍中学高二阶段练习（理））若双曲线C : x2 2 1(b 0) 的焦距为 2 5 ，b
则b _________
【答案】2
y2
【解析】因为双曲线的标准方程为 x2 2 1 ，所以 c
2 1 b2，
b
又焦距 2c 2 5 ，所以 c 5 ，
因为b 0，所以b 2 ，
故答案为：2
2 2
51．（2022· x y陕西·西北农林科技大学附中高二期末（文））若方程 1表示焦点在 y 轴上的双曲线，
k 5 10 k
则实数 k 的取值范围是______．
【答案】 ,5
x2 y2
【解析】因为方程 1表示焦点在 y 轴上的双曲线，
k 5 10 k
10 k 0
则 k 5
k 5 0
，解得 .
故答案为： ,5 .
x252 y
2
．（多选题）（2022·重庆·巫山县官渡中学高二期末）若方程 1所表示的曲线为C ，则下面四个
3 t t 1
命题中正确的是（ ）
A．若C 为椭圆，则1 t 3 B．若C 为双曲线，则 t 3或t 1
C．曲线C 可能是圆 D．若C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则1 t 2
【答案】BC
3 t 0
【解析】若C 为椭圆，则 t 1 0 ， 1 t 3且 t 2 ，故 A 错误
3 t t 1
若C 为双曲线，则 (3 t)(t 1) 0 ， t 3或t 1 ，故 B 正确
若C 为圆，则3 t t 1 ， t 2 ，故 C 正确
3 t 0
若C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则 t 1 0 ， 2 t 3 ，故 D 错误
t 1 3 t
故选：BC
2
53 2022· · x, y x y
2
．（多选题）（ 江苏连云港 高二期中）关于 的方程 2 2 1（其中m
2 6 ）表示的曲线
m 2 6 m
可能是（ ）
A．焦点在 y 轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在 x 轴上的双曲线 D．长轴长为 4 2 的椭圆
【答案】BC
2 2 2
【解析】m 2 6 m 2 m 2 ，
x2 y2
当m 2 时，m2 2 6 m2 4 ，此时 2 2 1表示圆，故 B 正确.m 2 6 m
当 2 m 2 ，则6 m2 m2 2 0，
x2 y2
故 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，
m2 2 6 m2
若此时长轴长为 4 2 ，则6 m2 8即m2 2，矛盾，故 D 错误.
若m 6 或m 6 ，则6 m2 0 ，
x2 y2
故 x2 2 1表示焦点在 轴上的双曲线，故 A 错误，C 正确.m 2 6 m
若 6 m 2 或 2 m 6 ，则m2 2 6 m2 0，
x2 y2
故方程 1表示焦点在 x 轴上的椭圆，
m2 2 6 m2
若长轴长为 4 2 ，则m2 2 8即m 6 ，矛盾，故 D 错误.
故选：BC.
2 2
54．（多选题）（2022· x y河北省曲阳县第一高级中学高二期中）若方程 1所表示的曲线为C ，则下
3 t t 1
面四个选项中正确的是（ ）
A．若1 t 3，则曲线C 为椭圆
B．若曲线C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则 2 t 3
C．若曲线C 为双曲线，则 t 3或t 1
D．曲线C 可能是圆.
【答案】BCD
3 t 0
2 2
【解析】A. x y若方程 1表示椭圆，则 t 1 0 ，解得1 t 3且 t 2，故错误；
3 t t 1
3 t t 1
3 t 0
B.若曲线C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则 t 1 0 ，解得 2 t 3，故正确；
3 t t 1
C.若曲线C 为双曲线，则 3 t t 1 0，解得 t 3或t 1，故正确；
3 t 0
D.曲线C 是圆，则 t 1 0 ，解得 t 2，故正确；
3 t t 1
故选：BCD
2 2 2 2
55．（2022·北京·101 x y x y中学高二期末）双曲线 1与椭圆 2 1的焦点相同，则 a等于（ ）a 2 4 a
A．1 B． 2 C．1 或 2 D．2
【答案】A
x2 y2
【解析】因为双曲线 1的焦点在 x 轴上，
a 2
x2 y2
所以椭圆 1的焦点在 x 轴上，
4 a2
a 0,
2
依题意得 0 a 4,
2
4 a a 2,
解得 a 1 .
故选：A
2 2
56．（2022· x y河南·高二阶段练习（理））若双曲线 1的一个焦点为 ( 2,0) ，则m 的值为（ ）
3 m
A． 7 B． 1 C．1 D． 7
【答案】B
x2 y2
【解析】因为双曲线 1的一个焦点为 ( 2,0) ，
3 m
所以 a2 3,b2 m， c 2，
所以3 ( m) 4 ，解得m 1，
故选：B
考点 8：利用第一定义求解轨迹
57．（2022·河南·高二阶段练习（理））平面上动点 P 到点M 1,1 的距离与它到直线 l : x y 1 0的距离之比
为 2 ，则动点 P 的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆
【答案】A
2 2 x y 1【解析】设点P x, y ，由题意可得 x 1 y 1 2 ，
2
1 1 1
化简可得 xy ，即 y x 0 ，曲线 y x 0 为反比例函数图象，
2 2x 2x
故动点 P 的轨迹是双曲线.
故选：A.
2 2
58．（2022· x y四川省资阳中学高二开学考试（文））已知函数 y f (x) 的图象恰为椭圆C : 2 2 1(a b 0)a b
x 轴上方的部分，若 f (s t)， f (s)， f (s t)成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ）
A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分
C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
【答案】A
x2 y2
【解析】因为函数 y f (x) 的图象恰为椭圆C : 2 2 1(a b 0) x 轴上方的部分，a b
2
所以 y f (x) b 1 x 2 ( a x a)，a
因为 f (s t)， f (s)， f (s t)成等比数列，
所以有 f 2 (s) f (s t) f (s t) ，且有 a s a, a s t a, a s t a 成立，
即 a s a, a t a 成立，
2 2 2
由 f 2 (s) f (s t) f (s t) (b s (s t) (s t) 1 )22 b 1 2 b 1 ，a a a2
化简得： t 4 2a2t 2 2s2t 2 t 2 (t 2 2a2 2s2 ) 0 t 2 0，或 t 2 2a2 2s2 0 ，
当 t 2 0时，即 t 0，因为 a s a，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）；
当 t 2 2a2 2s2 0 时，即 t 2 2a2 2s2，
因为 a t a ，所以 t 2 a2 ，而 2a2 2s2 a2 ，所以 t 2 2a2 2s2不成立，
故选：A
59．（2022·四川宜宾·高二期末（文））与圆 x2 y2 1和圆 x2 y2 10y 21 0 都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个圆上 B．一个椭圆上
C．双曲线的一支上 D．一条抛物线上
【答案】C
【解析】设动圆的圆心为 P ，半径为 r ，而圆 x2 y2 1的圆心为O(0,0) ，半径为 1；
圆 x2 y2 10y 21 0 的圆心为F (0,5)，半径为 2．
依题意得 PF 2 r, PO 1 r ，则 PF PO 2 r 1 r 1 FO ，
所以点 P 的轨迹是双曲线的一支．
故选：C．
60．（2022·四川省资阳中学高二开学考试（文））已知定点F1 3,0 ，F2 3,0 ，M 是 O : x2 y2 1上的动
点，F1关于点 M 的对称点为 N，线段 F1N 的中垂线与直线 F2 N 交于点 P，则点 P 的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线
【答案】A
【解析】由题意及图可知， PF1 PF2 PN PF2 NF2 ，
因为 O、M 分别为F1F2 , F1N 的中点，所以 NF2 2 OM 2，所以 PF1 PF2 2 F1F2
故点 P 的轨迹是以F1，F2 为焦点，2 为实轴长的双曲线.
故选：A
61．（2022·河南南阳·高二期末（文））已知动圆 P 过定点 A( 3,0) ，并且与定圆B : (x 3)2 y2 4外切，则
动圆的圆心 P 的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线的一支
【答案】D
【解析】圆 (x 3)2 y2 4的圆心为B 3,0 ，半径为 2，
依题意可知 PB PA 2，
结合双曲线的定义可知， P 的轨迹为双曲线的一支.
故选：D
62．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））平面内有两个定点F 1 5,0 和F2 5,0 ，动点 P 满足
PF1 PF2 6，则动点 P 的轨迹方程是（ ）．
x2A y
2 2 2
． 1 x x y 4 B． 1 x 3
16 9 9 16
2 2 2 2
C x y x y． 1 x≥ 4 D． 1 x 3
16 9 9 16
【答案】D
【解析】由 PF1 PF2 6 F1F2 可知，点 P 的运动轨迹是以F1，F2 为焦点的双曲线右支，
c 5， 2a 6，
a 3，b2 c2 a2 16 .
x2 y2
所以动点 P 的轨迹方程是 1 x 3 .
9 16
故选：D.
考点 9：双曲线的渐近线
2 2
63．（2022· · y x全国 高二单元测试）已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的焦点在圆O : x
2 y2 26上，圆 O
a b
与双曲线 C 的渐近线在第一 四象限分别交于 P，Q 两点，点E a,0 满足EP EQ EO（其中 O 是坐标原
点），则△OPQ 的面积是___________.
【答案】12
y2 x2
【解析】解析因为双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的焦点在圆O : x
2 y2 26上，所以 c 26 .
a b
设线段 PQ 与 x 轴的交点坐标为 M，结合双曲线与圆的对称性可知 M 为线段 PQ 的中点，
3a
因为EP EQ EO，所以 2EM EO，又点E a,0 ，所以M ,02 .
a 3a 3a2
因为直线 OP 的方程为 y x ，所以P , ，又点 P 在圆 O 上，
b 2 2b
2
3a
2
3a2
所以 26 ，又 a2 b2 26，所以 a2 8，b2 18， a 2 2,b 3 2 ，
2 2b
从而P 3 2,2 2 1，故 S OPQ 3 2 2 2 2 12 .2
故答案为：12
2
64．（2022· x四川南充·高二期末（文））若双曲线 y2 2 1(m 0)的渐近线与圆 x
2 y2 4x 1 0相切，则
m
m ______．
3
【答案】
3
x2
【解析】双曲线 y2 2 1(m 0)的渐近线： x my ，m
圆 x2 y2 4x 1 0的圆心 (2,0)与半径 3，
2
双曲线 y2 x 1(m 0)的渐近线与圆 x2 y2 4x 1 02 相切，m
2
3 3 3
2 ，解得m 或m （舍去）．1 m 3 3
3
故答案为： ．
3
65．（2022·江苏盐城·高二期末）若直线 y 3x 1与双曲线C : x2 my2 1的一条渐近线平行，则实数 m 的值
为（ ）
1 1
A． B．9 C． D．3
9 3
【答案】A
【解析】C : x2 my2 1的渐近线方程满足 x= my ，所以渐进线与 y 3x 1平行，所以渐近线方程为
y 3x 1，故m
9
故选：A
2 2
66 y x．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）若双曲线 2 2 1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，则其两条渐近a b
线所成的锐角为（ ）
π π 2πA． B． C． D．
3 4 6 3
【答案】A
y2 x2 2 2
【解析】因为双曲线 1的渐近线方程为 y
a
x c a b a 3
2 2 ，而 e 2，所以b
，
a b a a b 3
π 5π
故两条渐近线中一条的倾斜角为 ，一条的倾斜角为 ，它们所成的锐角为 ．
6 6 3
故选：A．
2 2 2 2
67．（2022·北京市十一学校高二期末）椭圆C x y x y1： 1与双曲线C ： 1的离心率之积为 1，则4 3 2 a2 b2
双曲线C2 的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
π π π π π 5π π 2πA． ， B． ， 6 C． ， D． ，6 3 3 6 6 3 3
【答案】D
x2 y2 x2 y2
【解析】因为椭圆C1： 1与双曲线C2 ： 2 2 1的离心率之积为 1，4 3 a b
4 3 a2 b2
所以有 1 b2 3a2 b 3a，
2 a
b
因此双曲线C2 的两条渐近线方程为： y x y 3x ，a
π 2π
所以双曲线C2 的两条渐近线的倾斜角分别为 ， ，3 3
故选：D
2 2
68．（2022·河南· x y新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知双曲线 2 1 a 0,b 0 的左，右焦点a b2
分别为F1，F2 ，若双曲线的左支上存在一点P，使得PF2 与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且 PF2 3 F2Q ，
则双曲线的渐近线方程为（ ）
y 3A． x y
4
B． x C． y
2
x D． y 3 x
4 3 3 2
【答案】D
【解析】F2(c,0)，
b a a
不妨设 P 在第三象限，PF2 与渐近线 y x垂直，PF2 的斜率为 ，直线PF2 方程为 y (x c) ，a b b
y a (x c) b a2 ab
由 ，得Q( , )，
y b x c c
a
P(x , y ) PF 3 F Q PF 3F Q (c x , y ) 3(a
2 ab
设 0 0 ，由 2 2 知 2 2 ，即 0 0 c, )，c c
3a2 3ab
所以 x0 2c， y0 ，P(x0 , y0 )在双曲线上，c c
3a2 2 2( 2c)2 9a b c22 2 2 13所以 c c 1，化简得 4c 13a ， 2 ，
a2 b2 a 4
b2 c2 a2 9 b 3
2 2 ， ，a a 4 a 2
3
所以渐近线方程是 y x ．
2
故选：D．
x2 y269．（2022·河南·封丘一中高二期末（文））已知点 F 4 2,0 是双曲线C :
a2 b2
1 a 0,b 0 的右焦点，
过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 M，若△OMF（点 O 为坐标原点）的面积为 8，则 C 的实轴
长为（ ）
A．8 B．6 3 C．6 D． 4 3
【答案】A
b b
【解析】由题意可得 a2 b2 32．取渐近线 y x ，易知点F 4 2,0 到直线 y x 的距离为 b，则a a
OM a 1，所以 S△OMF ab 8，联立得 a b 4．所以 C 的实轴长为 8．2
故选：A
2
70．（2022· y福建三明·高二期中）双曲线 x2 1的右顶点到渐近线的距离为（ ）
4
A 5． B 2 5． C．1 D．2
5 5
【答案】B
【解析】依题意得双曲线的右顶点坐标是 1,0 ，
一条渐近线方程是 y 2x，
即 2x y 0，
2 2 5
因此右顶点到渐近线的距离为 ，
22 1 5
故选：B
考点 10：共焦点的椭圆与双曲线
x2 y2
71．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））设F1，F2 同时为椭圆C1： 2 2 1 aa 1 b1 0 与1 b1
x2 y2
双曲线C2 ： 2 2 1 a2 0,b2 0 的左右焦点，设椭圆C1与双曲线C2 在第一象限内交于点M ，椭圆Ca b 1与2 2
双曲线C2 的离心率分别为 e1 ， e2，O为坐标原点．若 F1F2 4 MF2 ，则 e1e2 的取值范围是（ ）
0, 2A
2 3 2 2
． B． , C． , 2 D． ,
3 3 2 3 3
【答案】C
【解析】设MF1 m, MF2 n, F1F2 2c，因为点M 是双曲线和椭圆的交点，
根据椭圆和双曲线的定义可知m n2 2a1,m n 2a2，
所以m a1 a2 ,n a1 a2 ，又因为 F1F2 4 MF2 ，
1 1 1 1 1 1 2e所以有 2c 4 a1 a2 ，即 ，化简有 e 2e1 e2 2 e1 e 2 12 e2 2
，
1 1 1
因为椭圆离心率0 e1 1，所以 1 1e ，即1 2 e
，
2
2
e e 2e2 2 1 2
1 1
1 2 ，令 t , t 1,e2 2 e e 2 e 22 2 2
e 2 2 1所以有 1e2 t 2t 2 2 t 1 2 1 ，在 t 1时单调递减4 8 2
2
所以有 e e 2 .
3 1 2
故选：C
2 2
72．（2022·河北·沧州市一中高二阶段练习）若F1 5,0 ，F2 5,0 C x y是椭圆 1： 1与双曲线C2 ：8 m
x2 y2
1的公共焦点，且 P 是C1与C2 一个交点，则 F1PF2 （ ）4 n
A
2
． 6 B． C． D．3 2 3
【答案】B
【解析】由题可知：8 m 5，5 4 n，解得m 3,n 1，
不妨设 P 为C1,C2 在第一象限的交点， F1P x, F2P y，
由椭圆和双曲线定义可得： x y 4, x y 4 2 ，解得 x 2 2 2, y 2 2 2，
则 x2 y2 24, xy 4，又 F1F2 2 5 ，
2 2 2
在△F PF
x y 2 5
中，由余弦定理可得： cos F PF 24 20 1
1 2 1 2 ，则 F1PF2 .2xy 8 2 3
故选：B.
73．（2022·吉林·长春市第二中学高二阶段练习）设 e1 、 e2分别为具有公共焦点F1与F2 的椭圆和双曲线的离
1 1
心率， P 为两曲线的一个公共点，且满足PF1 PF 2 0，则 e2 e2 的值为（ ）1 2
3 5
A． 2 B． C． 4 D．
2 2
【答案】A
【解析】设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，不妨设 PF1 PF2 ，
PF1 PF2 2a1 PF1 a1 a2
由椭圆和双曲线的定义可得 PF PF 2a ，所以， ， 1 2 2 PF2 a1 a2
设 F1F2 2c ，因为PF1 PF2 0，则PF1 PF
2
2，由勾股定理得 PF1 PF
2
2 F1F
2
2 ，
1 1
即 a a 2 2 2 2 2 2 21 2 a1 a2 4c ，整理得 a1 a2 2c ，故 e2 e2 .1 2
故选：A.
x2 y2
74．（2022·山东·日照青山学校高二期末）已知椭圆C1 : a2 b2
1 a1 b1 0 与双曲线
1 1
2 2
C : x y2 2 2 1 a2 0,b2 0 有相同的焦点F1、F2 ，椭圆C1的离心率为 e1 ，双曲线C2 的离心率为 e2，点 Pa2 b2
1 3
为椭圆C1与双曲线C2 的交点，且 F1PF2 ，则当 取最大值时 e1 e2的值为（3 ）e1 e2
A 4 3 2 6． 3 B． C． 2 2 D．
3 2
【答案】D
【解析】设 P 为第一象限的交点， | PF1 | m 、 | PF2 | n，
则m n 2a1、m n 2a2 ，解得m a1 a2、 n a1 a2 ，
2 2 2
PF F cos F PF m n 4c 1在 1 2中，由余弦定理得： 1 2 ，2mn 2
2 2 2
∴m2 n2 mn 4c2 ，∴ (a1 a2 ) (a1 a2 ) (a1 a2 )(a1 a2 ) 4c ，
a2 3a22 1 3
∴ a 3a2 4c2，∴ 1 21 2 4c2 c2
4，∴ e21 e
2 ，
2
2
1 3 1 3
e e
2 e 2
e 2
8，
1 2 1 2
1 3 1 3
2 2 e 2 6即 ，当且仅当 ，即e e e e 1
， e2 时等号成立，
1 2 1 2 2 2
e e 2 6此时 1 2 2
故选：D
75．（2022·全国·高二专题练习）如图，F1，F2 是椭圆C1与双曲线C2 的公共焦点，A ， B 分别是C1，C2 在
1
第二、四象限的公共点，若 OF1 AB ，且 OF1B ，则C1与C2 的离心率之积为_____.2 6
【答案】2
【解析】连接 AF2 , BF2，根据椭圆的对称性可知：点O是 AB 的中点，
所以，四边形 AF1BF2 为平行四边形，
若 OF
1
1 AB ，所以 OF1 OA OB c，2
π
因为 OF1B ，所以 AOF1 ，所以△AOF1是等边三角形，6 3
所以 AF1 OF c AFO
π
1 ， 1 ， AF B
1 ，3 2
所以，四边形 AF1BF2 为矩形，
2
所以，在直角三角形 ABF1中， BF1 2c c2 3c，
所以， AF2 BF1 3c ，
c 2
在椭圆中， AF1 AF2 c 3c 2a1，可得 e1 a1 3 1
在双曲线中， AF AF 3c c 2a e
c 2
2 1 2，可得 2 a2 3 1
e e 2 2所以离心率之积 1 2 2，3 1 3 1
故答案为： 2 .
76．（2022·辽宁·大连八中高二期末）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；
光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装
置由有公共焦点F1, F2 的椭圆 与双曲线 '构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经 '与 反射，又回到了
点F1，历时 t1 秒；若将装置中的 '去掉，此光线从点F1发出，经 两次反射后又回到了点F1，历时 t2 秒；
若 t2 8t1，则 与 '的离心率之比为________．
3
【答案】 【解析】记椭圆的长半轴长为 a，双曲线的实半轴长为a ，
4
BF1 BF2 2a
由椭圆和双曲线的定义有： BF BF AF AF 2a 2a
AF2 AF 2a
，得 1 2 2 1 ，即
1
BF1 AB AF1 2a 2a ，
又由椭圆定义知，CD CF1 DF1 4a ，
因为 t2 8t1，所以 4a 8(2a 2a )
a 3
，即
a 4
c
a a 3
所以 c .a 4
a
3
故答案为：
4
