期中押题模拟卷 01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证
号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册第 1-3 章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．m＝－1 是直线 mx＋(2m－1)y＋1＝0 和直线 3x＋my＋2＝0 垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线 mx＋(2m－1)y＋1＝0 和直线 3x＋my＋2＝0 垂直，
所以m 3 2m 1 m 0，所以 2m2 2m 0，所以m 0或m 1，
所以当 m＝－1 时，直线 mx＋(2m－1)y＋1＝0 和直线 3x＋my＋2＝0 垂直.
但直线 mx＋(2m－1)y＋1＝0 和直线 3x＋my＋2＝0 垂直时，m＝－1 不一定成立.
所以 m＝－1 是直线 mx＋(2m－1)y＋1＝0 和直线 3x＋my＋2＝0 垂直的充分不必要条件.
故选：A.
2．已知直线3x my 3 0与6x 4y 1 0互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A 4 B 2 13 C 5 13 D 7 13． ． ． ．
13 26 26
【答案】D
【解析】取直线3x my 3 0上的定点 1,0 ，则3x my 3 0到6x 4y 1 0的距离即 1,0 到
6 1 4 0 1
6x 4y 1 0 d 7 7 13的距离为 .
62 42 52 26
故选：D
3．若圆 x2 2x y2 0与圆 C 关于直线 x y 0对称，则圆 C 的方程为（ ）
A． x2 2x y2 0 B． x2 y2 2y 0 C． x2 +y2 +2y 0 D． x2 2x y2 0
【答案】C
【解析】圆 x2 2x y2 0的标准方程为 (x 1)2 y2 1，其圆心为 (1,0)，半径为 r 1
因为 (1,0)关于直线 x y 0对称的点为 (0, 1) ，所以圆 C 的方程为 x2 (y 1)2 1
即 x2 +y2 +2y 0
故选：C
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y x b与曲线 x 1 y2 , 1 y 1，有两个公共点，则 b 的取值范
围是（ ）．
A． 2, 1 B． 1, 2 C． 1,1 D． 2, 2
【答案】A
2 2
【解析】曲线 x 1 y2 , 1 y 1，即 x y 1 0 x 1 ，
即以原点为圆心，半径为1的圆在 y 轴右侧的部分，
画出直线 y x b与曲线 x 1 y2 , 1 y 1的图象如下图所示，
y x b
由 yx2 y2 1消去 并化简得 2x
2 2bx b2 1 0，
4b2 8 b2由 1 4b2 8 0解得b 2 或b 2 （舍去）.
结合图象可知b 的取值范围是 2, 1 .
故选：A
5．过点 (3, 2)且与椭圆 4x2 9y2 36有相同焦点的椭圆的标准方程是（ ）．
2
A x y
2 2 2
． 1 B x y． 2 115 10 15 102
2 2 2 2
C x y x y． 1 D． 2 110 15 10 152
【答案】A
x2 y2
【解析】因为椭圆 4x2 9y2 36，即 1，
9 4
a2 9，b2 4，可得 c 9 4 5 ，椭圆的焦点为 5,0 ，
m n 5
x2 y2 m 15
设椭圆方程是 1(m n 0) ，则 32 ( 2)2 ，解得
m n
1 n 10
m n
x2 y2 所求椭圆的方程为 1.
15 10
故选：A．
2 2
6 x y．已知F 为双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点，A 为C 的右顶点， B 为C 上的点，且 BF 垂直于 xa b
轴．若 AB 的斜率为6，则C 的离心率为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】由题意得：F c,0 ， A a,0 ，
2 2 2
当 x c c y b时，
a2 b2
1，解得 y ，
a
因为 AB 的斜率为6，
2
所以 B 点位于第一象限，则B c,
b
，
a
b2
故 a 6，整理得：b
2 6ac 6a2 ，
c a
因为b2 c2 a2 ，即 c2 6ac 5a2 0，
方程两边同除以 a2 得： e2 6e 5 0，
解得： e 5或 1（舍去）
故选：A
7．设圆 x2 y2 2x 2y 2 0 的圆心为 C，直线 l 过点 0，3 ，且与圆 C 交于 A，B 两点，若 | AB | 2 3 ，
则直线 l 的方程为（ ）
A．3x 4y 12 0 B．3x 4y 12 0或 4x 2y 1 0
C．x=0 D．x=0 或3x 4y 12 0
【答案】D
【解析】由 x2 y2 2x 2y 2 0 可得 (x 1)2 (y 1)2 4，则圆心 C 的坐标为 (1,1) ，半径为 2，
当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 的方程为 x 0时，代入圆的方程得 y2 2y 2 0，解得 y1 1 3 ，
y2 1 3 ，此时 | AB | 1 3 (1 3) 2 3 ，符合题意；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y kx 3即 kx y 3 0，
因为 | AB | 2 3 ，所以圆心 C 到直线 l 的距离为 22 ( 3)2 1，
| k 1 3 |
则 1，解得 k
3
，
1 k 2 4
3
故此时直线 l 的方程为 y x 3，即3x 4y 12 04 ，
故选：D
2 2
8．设F1、F
x y
2 分别是双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若a b
PF1 2 PF2 ，且△PF1F2 的最小内角为 30°，则以下说法中错误的是（ ）．
A．双曲线的离心率为 3 B．双曲线的渐近线方程为 y 2x
C． PAF2 45 D．直线 x＋2y－2＝0 与双曲线有两个公共点
【答案】C
【解析】因为 PF1 2 PF2 ， PF1 PF2 2a ，所以 PF1 4a ， PF2 2a ．
又因为 2c 2a 且 4a 2a ，所以 PF1F2 30 ，
2
cos PF F 16a 4c
2 4a2 3
所以 1 2 ，所以 c 3a，所以 e 3，故 A 选项正确．2 4a 2c 2
2 2 2 2
e2 c a b b
b
3，所以 2，所以 22 ，所以渐近线方程为 y 2x，故 B 选项正确．a2 a2 a a
因为2c 2 3a PF 2 PF 2 ，所以 1 2 F1F
2
2 ，所以 PF2F1 90 ．
又因为 AF2 c a 3 1 a， PF2 2a ，所以 AF2 PF2 ，所以 PAF2 45 ，所以 C 选项不成立．
x 2y 2 0
因为 x2 y2 所以 2 2 2y 2 y2 2a2 ，所以7y2 16y 8 2a2 0，
2 1 a 2a2
2 2
所以 16 4 7 8 2a 32 56a2 0，
所以直线 x＋2y－2＝0 与双曲线有两个公共点，所以 D 选项正确．
故选：C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．若直线 l1 : 3x y 4, l2 : x y 0, l3 : 2x 3my 4不能构成三角形，则m 的取值为（ ）
A 2
2
B C 2
2
． 3 ． ． D． 3 9 9
【答案】ABD
【解析】因为直线 l1 : 3x y 4, l2 : x y 0, l3 : 2x 3my 4不能构成三角形，
所以存在 l1 / / l3 , l2 / / l3， l3 过 l1与 l2的交点三种情况，
l / / l 3 1 4 m 2当 1 3时，有 ，解得 ；2 3m 4 9
当 l / / l
1 1 0 2
2 3时，有 ，解得m ；2 3m 4 3
3x y 4 x 1
当 l3 过 l1与 l
2
2的交点，则联立 ，解得 ，代入 l3 ，得 2 1 3m 1 4x y 0 y 1 ，解得
m ；
3
2 2 2
综上：m 或m 或m .
9 3 3
故选：ABD.
x2 y2 x210 y
2
．已知椭圆C1 : 1与双曲线C2 : 1 9 k 16 ，下列关于两曲线的说法正确的是（ ）16 9 16 k 9 k
A．C1的长轴长与C2 的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2 的虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率不相等
【答案】CD
【解析】由题意可知，椭圆C1的长轴长为 2a1 8，短轴长为 2b1 6，焦距为 2c1 2 16 9 2 7 ，
c
离心率为 e 1
7
1 ，a1 4
当9 k 16时，16 k 0，9 k 0，
双曲线C2 的焦点在 x 轴上，其实轴长为 2a2 2 16 k ，虚轴长为 2b2 2 k 9 ，
c 7
焦距为 2c2 2 16 k k 9 2 7 ，离心率为 e
2
2 .a2 16 k
故C1的长轴长与C2 的实轴长不相等，C1的短轴长与C2 的虚轴长不相等，
C1与C2 的焦距相等，离心率不相等．
故选：CD．
11．已知圆O1 : x
2 y2 2x 3 0 O 2 2和圆 2 : x y 2y 1 0的交点为 A，B，则（ ）.
A．两圆的圆心距O1O2 2
B．直线 AB 的方程为 x y 1 0
C．圆O2 上存在两点 P 和 Q 使得 | PQ | | AB |
D．圆O1上的点到直线 AB 的最大距离为 2 2
【答案】BD
2 2
【解析】由圆O1 : x y 2x 3 0 O
2 2
和圆 2 : x y 2y 1 0，
可得圆O1 : x 1
2 y2 4 和圆O2 : x
2 y 1 2 2，
则圆O1的圆心坐标为 (1,0)和半径为 2，圆O2 的圆心坐标( 0, 1)和半径 2 ，
对于 A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距 | O1O2 | (1 0)
2 (0 1)2 2 ，故 A 错误；
对于 B，将两圆方程作差可得 2x 2y 2 0，即得公共弦 AB 的方程为 x y 1 0 ，故 B 正确；
对于 C，直线 AB 经过圆O2 的圆心坐标( 0, 1)，所以线段 AB 是圆O2 的直径，故圆O2 中不存在比 AB 长的弦，
故 C 错误；
对于 D，圆O
|1 1|
1的圆心坐标为 (1,0)，半径为 2，圆心到直线 AB： x y 1 0 的距离为 2 ，所以圆O2 1
上的点到直线 AB 的最大距离为 2 2 ，故 D 正确．
故选：BD
12．已知过抛物线C ： y2 4x的焦点F 的直线交抛物线C 于 P ，Q两点，交圆 x2 y2 2x 0于M ， N 两
1 4
点，其中 P ，M 位于第一象限，则 PM QN 的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】BCD
2
【解析】设P x1, y1 ，Q x2 , y2 ． x2 y2 2x 0可化为 x 1 y2 1，所以圆的半径 r 1，圆心 1,0 ．由
y2 4x，知焦点F 1,0 ，
当过点F 的直线的斜率不存在时， PQ的直线方程为 x 1，
与抛物线方程 y2 4x联立得 y 2，所以P 1,2 ,Q 1, 2 ，
与圆的方程 x2 y2 2x 0联立得 y 1，所以M 1,1 , N 1, 1 ，
1 4
所以 PM QN 1，此时 5PM QN ．
当过点F 的直线的斜率存在时，可设该直线方程为 y k x 1 ，代入抛物线方程 y2 4x并消去 y ，得
k 2x2 2k 2 4 x k 2 0，所以 x1x2 1．由抛物线的定义可知， PM r x1 1， QN r x2 1，因为
1 4 1 4
r 1，所以 PM x1， QN x2 ，所以 PM QN x1x2 1，故 2 4PM QN PM QN ，当且仅当
QN 4 PM 1即 PM , QN 2时等号成立，结合选项 BCD 正确．
2
故选：BCD．
第ⅠⅠ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．直线 l 过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线 l 的方程是___________.
【答案】 2x y 0或 2x y 4 0
【解析】根据题意，分 2 种情况讨论：
①直线过原点，又由直线经过点 1,2 ，此时直线的方程为 y 2x，即 2x y 0；
x y
②直线不过原点，设其方程为 1，
a 2a
1 2
又由直线经过点 1,2 ，则有 1，解可得 a 2，
a 2a
此时直线的方程为 2x y 4 0，
故直线 l 的方程为 2x y 0或 2x y 4 0 .
故答案为： 2x y 0或 2x y 4 0 .
14 x
2 y2
．设双曲线 1的两个焦点分别为F1、F2 ，P 为双曲线上一点，若 PF1 PF2 32 ，则PF PF 9 16 1 2
______．
【答案】0
PF PF 6
【解析】由题意得， PF1 PF2 6,c
2 9 16 25 1 2，联立
PF1 PF2 32
2
PF 21 PF
2
2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 36 64 100 F1F
2
2 ，
因此PF1 PF2，则PF1 PF2 0．
故答案为：0.
15．过点 A 1,4 ，且与已知圆M : x2 y2 6x 2y 5 0切于点B 1,2 的圆C 的方程为______.
2 2
【答案】 x 1 y 3 5
【解析】设所求圆心C a,b ，半径为 r ，
因为C 到点A 与点 B 的距离相等，
所以点C 在线段 AB 的垂直平分线上，
因为 A 1,4 ，B 1,2 ，垂直平分线方程为 y 3，
所以b 3，即C a,3
圆M 的标准方程为 x 3 2 y 1 2 5，其圆心为M 3,1 ，
C, M , B 3 2 2 1而 三点共线，所以 ，解得 a 1，即C 1,3
a 1 1 3
r 1 1 2 3 4 2 5 ，
2
圆C 的标准方程为 x 1 y 3 2 5 .
x 1 2 y 3 2故答案为： 5
x216 y
2
．已知椭圆 2 2 1(a b 0)，过椭圆的左焦点F 且斜率为 3的直线 l 与椭圆交于 A, B两点（A 点在 Ba b
点的上方），若有 AF 2FB，则椭圆的离心率为________.
2
【答案】 3
【解析】设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
因为 AF 2FB， x1 2x2 = 3c ， y1+2y2 =0，
将 A, B代入椭圆方程得，
x2 21 y1
2 2 1 a b
4x2 2
，
2 4y 2
a2 b2
4
x1 2x2 x1 2x2 y1 2y2 y 2y 两式相减得： 2 1 22 3，a b
x1 2x2 = 3c ， y1+2y2 =0，
2 1 a2 a2 3c2
则 x1 2x2 =
a
， x
c 1
= 3c2 c
= ，
2c
y a2 1 = 3 y 3c
2 3b2
因为直线 l斜率为 3， x c ， 1
= 3 c = ，
1 2c
2c
a2 3c2 3b2
A ,
2c 2c
将A 代入椭圆方程整理得： 4a4 13a2c2 9c4 0 ，
4a2 =9c2 或 a2 =c2 （舍），
故 e
c 2
.
a 3
2
故答案为： 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
P 2, 3 已知直线 l 经过点 ，且与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 B，点 A 的横坐标与点 B 的纵
2
坐标均为整数，O 是坐标原点，若______，求直线 l 的一般式方程.
试从①△AOB 的周长为 12，②△AOB 的面积是 6 这两个条件中任选一个补充在前面的横线中，并解答.
x y * *
【解析】设直线 l 的方程为 1 a N ,b N ，a b
若选择①，
由题意可知a b a2 b2 12，（Ⅰ）
3 3
又∵直线 l 过点P
2, 2
，∴ 2
2 1，（Ⅱ）
a b
a 4
由（Ⅰ）（Ⅱ）且 a N*，b N*，解得 ，
b 3
∴直线 l 的一般式方程为 3x＋4y－12＝0.
若选择②，
3
3 3 2 2 a 4
直线 l 过P 2, ，则 2 2 ，联立 1，解得 ，
2 1 a ba b b 3
ab 12
∴直线 l 的一般式方程为 3x＋4y－12＝0.
18．（12 分）
2 2
已知圆C: x y 8内有一点P 1, 2 ，AB 为过点 P 且倾斜角为 的弦．
(1)当 135 时，求弦 AB 的长；
(2)当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 AB 的方程；
(3)求过点 P 的弦的中点的轨迹．
y 2 1 x 1 x y 1 0
【解析】（1）当 135 时，则 kAB tan135 1，此时直线 AB 方程为： ，
d 1
故圆心到直线 AB 的距离 2 ，又 r 2 2 ，
2 1
2
所以 AB 2 r 2 d 2 2 2 2 30 ，
2
k 2 k 1
（2）弦 AB 被点 P 平分时，则OP AB
OP AB
, 2 ,所以直线 AB 方程为：
y 2 1 x 1 x 2y 5 0
2 ，
3 Q(x, y) PQ x 1, y 2 ,OQ (x, y)（ ）设中点为 ，则 ，由于OQ PQ ,
2
所以PQ OQ 0 x(x 1) y(y 2) 0 x 1 5 ，即 y 1
2 ，
2 4
1 5
故点Q是以 ,12 为圆心， 为半径的圆． 2
19．（12 分）
2 2
已知椭圆G :
x y
2 2 1(a b 0)
6
的离心率为 ，右焦点为 2 2,0 .斜率为 1的直线 l与椭圆G 交于 A, B两点，a b 3
以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为P 3, 2 .
(1)求椭圆G 的方程；
(2)求直线 AB 的方程.
c 6
【解析】（1）由已知得 c 2 2 ，而 a 3 ，解得 a 2 3 ，所以b
2 a2 c2 4，
x2G y
2
故椭圆 的方程为 1．
12 4
y x m
x2 y2
1 2 2
（2）设直线 l的方程为 y x m，由 12 4 得 4x 6mx 3m 12 0
设A 、 B 的坐标分别为 (x1, y1) ， (x2 , y2 )， AB 中点为E(x0 , y0 ) ，
x x1 x2 3m y m则 0 ，2 4 0
x0 m ，4
因为 AB 是等腰△PAB的底边，所以PE AB ．
2 m 3 1 1 3
所以PE的斜率为 k 43m 1，解得m 2 ，即 x0 , y0 ，所以直线 AB 的方程为 y x ，
3 2 2 2 2
4
即 x y 2 0．
20．（12 分）
已知圆C 过点 A 4,0 ，B 0, 4 ，且圆心C 在直线 l： x y 6 0上.
(1)求圆C 的方程；
(2)若从点M 4,1 发出的光线经过直线 y x反射，反射光线 l1恰好平分圆C 的圆周，求反射光线 l1的一般
方程.
(3)若点Q在直线 l上运动，求QA2 QB2 的最小值.
0 4
1 A 4,0 B 0, 4
kAB 1
【解析】（ ）由 ， ，得直线 AB 的斜率为 4 0 D 2,2 ，线段中点 ，
所以 kCD 1，直线CD 的方程为 y 2 x 2，即 y x ，
x y 6 0 x 3
联立 y x ，解得 y 3，即
C 3,3 ，
2
所以半径 r AC 4 3 0 3 2 10 ，
C x 3 2 y 3 2所以圆 的方程为 10；
2 l1 C l1 C 3,3 （ ）由 恰好平分圆 的圆周，得 经过圆心 ，
设点M 关于直线 y x的对称点 N x, y ，
y x x 4 , y 1MN MN 则直线 与直线 垂直，且线段 的中点 在 y x上，
2 2
y 1
1 1 x 4 x 1
即 y ，解得 ， 1 x 4
y 4
2 2
所以 N 1, 4 ，
3 4
所以直线CN 即为直线 l1，且 kl k
7
CD 1 3 ， 1 4
7
直线 l1方程为 y 3 x 3 ，即7x 4y 9 0 ；4
（3）由已知点Q在直线 x y 6 0上，
设Q m,6 m ，
QA2 QB2 4 m 2 6 m 2 m 2 4 6 m 2则 4m2 24m 56 2 m 3 2 20，
所以当m 3时，QA2 QB2 取最小值为 20 .
21．（12 分）
动圆 M 与圆C : x2 y2 4x 3 0外切，且与直线 x 1相切．
(1)求动圆 M 圆心的轨迹 的方程．
(2)已知斜率为－1 的直线 l 交曲线 于 A，B 两个不同的点，定点P 2,4 ．求证：直线 PA，PB 与 x 轴总围
成等腰三角形．
2
【解析】（1）圆C : x
2 y2 4x 3 0 x 2 y2 1 C 2,0 的标准方程为 ，即 ，半径 r 1．设圆 M 的半径
为 R，
则点 M 到点 C 的距离为R 1，点 M 到直线 x 1的距离为 R，所以点 M 到 C 的距离等于点 M 到直线 x 2
的距离，
即点 M 的轨迹 为抛物线，且抛物线方程为 y2 8x．
（2）要证结论，即证直线 PA，PB 的倾斜角互补，即证 kPA kPB 0．
y2 y2
由条件可设直线 l 的方程为 x y m， A 1 , y1 ，B 28
, y2 ．
8
y2 8x
由 ，得 y2 8y 8m 0，则 y1 y2 8， y1 y2 8m，
x y m
k y 1 4
8 y1 4 8 8
所以 PA
y21 y
2 16 y 4 ，同理 k1 1 PB 2 y2 4
．
8
8 8 8 y yk 1 2 8 所以 PA kPB 0y1 4 y2 4 y1 4 y2 4
，所以命题得证．
22．（12 分）
2 2
已知点F F x y1， 2 分别为双曲线 C： 2 a b2
1 a 0,b 0 的左、右焦点，点 A 为双曲线 C 的右顶点，已知
F2 A 3 5 ，且点F2 到一条渐近线的距离为 2.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若直线 l： y mx n 与双曲线 C 交于两点M ， N ，直线OM ，ON 的斜率分别记为 kOM ， kON ，且
1 1 10
k k m ，求证：直线 l过定点，并求出定点坐标.OM ON
y b x
【解析】(1) F (c,0)由题知， 2 ，其中一条渐近线为 a ，即bx ay 0 ，
c a 3 5
bc
所以 2 ，解得 a 5,c 3,b 2
b2 a2
c2 a
2 b2
x2 y2
所以 1
5 4
2 2
(2)设M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 )，将 y mx n
x y
代入 1
5 4
整理得： (5m2 4)x2 10mnx 5n2 20 0
x x 10mn 5n
2 20
则 1 2 2 , x1x 5m 4 2 5m2 4
由Δ 100m2n2 4(5m2 4)(5n2 20) 80(n2 5m2 4) 0得 n2 5m2 4 0
1 1 x1 x2 x1 y2 x2 y1 x1(mx2 n) x2 (mx1 n)
因为 kOM kON y1 y2 y1 y2 (mx1 n)(mx2 n)
2m(5n2 20) 10mn2
2mx1x2 n(x1 x2 )
5m
2 4 5m2 4 10m
m2x1x2 mn(x1 x2 ) n
2 m2 (5n2 20) 10m2n2 2 2
n2 5m n
5m2 4 5m2 4
10m 10
所以 ，得 n2 4m22 2 ，即 n 2m5m n m
所以直线 l的方程为 y m(x 2)
所以当 n2 5m2 4 0 ，且 n 2m时，直线 l过定点 ( 2,0) ；
所以当 n2 5m2 4 0 ，且 n 2m 时，直线 l过定点 (2,0) .期中押题模拟卷 01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证
号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册第 1-3 章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．m＝－1 是直线 mx＋(2m－1)y＋1＝0 和直线 3x＋my＋2＝0 垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知直线3x my 3 0与6x 4y 1 0互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A 4 B 2 13 C 5 13 D 7 13． ． ． ．
13 26 26
3．若圆 x2 2x y2 0与圆 C 关于直线 x y 0对称，则圆 C 的方程为（ ）
A． x2 2x y2 0 B． x2 y2 2y 0 C． x2 +y2 +2y 0 D． x2 2x y2 0
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y x b与曲线 x 1 y2 , 1 y 1，有两个公共点，则 b 的取值范
围是（ ）．
A． 2, 1 B． 1, 2 C． 1,1 D． 2, 2
5．过点 (3, 2)且与椭圆 4x2 9y2 36有相同焦点的椭圆的标准方程是（ ）．
x2 y2 x2 2A y． 1 B． 2 115 10 15 102
x2 y2C x
2 y2
． 1 D．
10 15 102 152
1
6 F C : x
2 y2
．已知 为双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点，A 为C 的右顶点， B 为C 上的点，且 BF 垂直于 xa b
轴．若 AB 的斜率为6，则C 的离心率为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．设圆 x2 y2 2x 2y 2 0 的圆心为 C，直线 l 过点 0，3 ，且与圆 C 交于 A，B 两点，若 | AB | 2 3 ，
则直线 l 的方程为（ ）
A．3x 4y 12 0 B．3x 4y 12 0或 4x 2y 1 0
C．x=0 D．x=0 或3x 4y 12 0
2 2
8．设F F x y1、 2 分别是双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若a b
PF1 2 PF2 ，且△PF1F2 的最小内角为 30°，则以下说法中错误的是（ ）．
A．双曲线的离心率为 3 B．双曲线的渐近线方程为 y 2x
C． PAF2 45 D．直线 x＋2y－2＝0 与双曲线有两个公共点
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．若直线 l1 : 3x y 4, l2 : x y 0, l3 : 2x 3my 4不能构成三角形，则m 的取值为（ ）
A 2
2 2
． B． 3 C
2
． 9 D． 3 9
x2 2 2 210．已知椭圆C1 :
y x y
1与双曲线C2 : 1 9 k 16 ，下列关于两曲线的说法正确的是（16 9 ）16 k 9 k
A．C1的长轴长与C2 的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2 的虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率不相等
11 O : x2．已知圆 1 y
2 2x 3 0和圆O2 : x
2 y2 2y 1 0的交点为 A，B，则（ ）.
A．两圆的圆心距O1O2 2
B．直线 AB 的方程为 x y 1 0
C．圆O2 上存在两点 P 和 Q 使得 | PQ | | AB |
D．圆O1上的点到直线 AB 的最大距离为 2 2
12．已知过抛物线C ： y2 4x的焦点F 的直线交抛物线C 于 P ，Q两点，交圆 x2 y2 2x 0于M ， N 两
1 4
点，其中 P ，M 位于第一象限，则 PM QN 的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第ⅠⅠ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．直线 l 过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线 l 的方程是___________.
x2 y2 14．设双曲线 1的两个焦点分别为F1、F2 ，P 为双曲线上一点，若 PF1 PF2 32 ，则PF PF 9 16 1 2
______．
15．过点 A 1,4 ，且与已知圆M : x2 y2 6x 2y 5 0切于点B 1,2 的圆C 的方程为______.
2 2
16 x y．已知椭圆 2 2 1(a b 0)，过椭圆的左焦点F 且斜率为 3的直线 l 与椭圆交于 A, B两点（A 点在 Ba b
点的上方），若有 AF 2FB，则椭圆的离心率为________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
3
已知直线 l 经过点P 2, ，且与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 B，点 A 的横坐标与点 B 的纵
2
坐标均为整数，O 是坐标原点，若______，求直线 l 的一般式方程.
试从①△AOB 的周长为 12，②△AOB 的面积是 6 这两个条件中任选一个补充在前面的横线中，并解答.
18．（12 分）
C: x2 y2已知圆 8内有一点P 1, 2 ，AB 为过点 P 且倾斜角为 的弦．
(1)当 135 时，求弦 AB 的长；
(2)当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 AB 的方程；
(3)求过点 P 的弦的中点的轨迹．
19．（12 分）
x2 y2
已知椭圆G : 2 2 1(a b 0)
6
的离心率为 ，右焦点为 2 2,0 .斜率为 1的直线 l与椭圆G 交于 A, B两点，a b 3
以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为P 3, 2 .
(1)求椭圆G 的方程；
(2)求直线 AB 的方程.
20．（12 分）
已知圆C 过点 A 4,0 ，B 0, 4 ，且圆心C 在直线 l： x y 6 0上.
(1)求圆C 的方程；
(2)若从点M 4,1 发出的光线经过直线 y x反射，反射光线 l1恰好平分圆C 的圆周，求反射光线 l1的一般
方程.
(3)若点Q在直线 l上运动，求QA2 QB2 的最小值.
21．（12 分）
动圆 M 与圆C : x2 y2 4x 3 0外切，且与直线 x 1相切．
(1)求动圆 M 圆心的轨迹 的方程．
(2)已知斜率为－1 的直线 l 交曲线 于 A，B 两个不同的点，定点P 2,4 ．求证：直线 PA，PB 与 x 轴总围
成等腰三角形．
22．（12 分）
2
F F C x y
2
已知点 1， 2 分别为双曲线 ： 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点，点 A 为双曲线 C 的右顶点，已知a b
F2 A 3 5 ，且点F2 到一条渐近线的距离为 2.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若直线 l： y mx n 与双曲线 C 交于两点M ， N ，直线OM ，ON 的斜率分别记为 kOM ， kON ，且
1 1 10
k k m ，求证：直线 l过定点，并求出定点坐标.OM ON
