期中押题模拟卷 02
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证
号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章、第三章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．将直线 l 沿 x 轴正方向平移 2 个单位，再沿 y 轴负方向平移 3 个单位，又回到了原来的位置，则 l的斜率
是（ ）
3
A． B．4 C 1．1 D．
2 2
【答案】A
【解析】设直线 l 上任意一点P x0, y 0 ，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 2 个单位，则 P 点移动后为
P1 x0 2, y0 ，再沿 y 轴负方向平移 3 个单位，则P1点移动后为P2 x0 2, y0 3 ．
y
P, P l l k 0
3 y0 3
∵ 2 都在直线 上，∴直线 的斜率 x ．0 2 x0 2
故选：A．
2．过点 A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x 或 x+y-3＝0 D．y＝2x 或 x-y+1＝0
【答案】D
2 0
【解析】当直线过原点时，其斜率为 21 0 ，故直线方程为
y＝2x；
x y 1 2
当直线不过原点时，设直线方程为 1，代入点（1，2）可得 1，解得 a＝－1，故直线方程
a a a a
为 x-y+1＝0.
综上，可知所求直线方程为 y＝2x 或 x-y+1＝0，
故选：D.
3．直线 mx-2y-m+1=0 与圆 x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】由题意得：
2 2
已知圆的方程可化为 x 2 y 1 4，即圆心的坐标为 (2,1)，半径为 r 2
2m 2 m 1 m 1
圆心 (2,1)到直线mx 2y m 1 0的距离为 d
m2 4 m2 4
m 1 2
当 d 2时，即 2 ，则 m 1 4(m2 4)整理可知：3m2 +2m 15 0，根据二次函数的性质，
m2 4
a 3 0, 4 4 3 15 0，故不等式恒成立，直线与圆相交；
m 1
当 d 2时，即 2 ，不等式无解；
m2 4
故直线 mx-2y-m+1=0 与圆 x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系是相交；
故选：A
4．已知抛物线C : y2 2 px（ p 0）的焦点为 F.若直线 x 4与 C 交于 A，B 两点，且 AB 8，则 AF
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】将 x 4代入 y2 2 px，解得 y 2 2 p ，
则 A(4, 2 2 p )、B(4, 2 2 p )，
所以 | AB | 4 2 p 8，解得 p 2 ，
则 AF
p
4 5 .
2
故选：C.
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O 0,0 ， A 4,0 ， AOC 600 ，则对角线交点E
的坐标为（ ）
A． 2, 3 B． 3,2 C． 3,3 D． 3, 3
【答案】D
【解析】过E 点作 ED OA 交OA于D，如图所示。
因为四边形OABC 是菱形，所以OB AC ， EOA
1
AOC 300 ,
2
所以在Rt OEA中，OE OAcos EOA 4cos300 2 3 ，
1
所以在Rt OED中， EOD 300 ， DE OE 3 ，
2 OD OE cos EOD 2 3 cos30
0 3，故 E 的坐标为：
3, 3 .
故选：D.
6．若直线 kx y 2 2k 0与曲线 4 (y 1)2 1 x 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是（ ）
2 6 4
A． , 1 5, B
． ,4
3 3
C． 2, 1
2 6 4 4
3
, 2 D．
3
,
3
【答案】A
【解析】方程 kx y 2 2k 0是恒过定点P(2, 2)，斜率为 k 的直线，
曲线 4 (y 1)2 1 x ，即 (x 1)2 (y 1)2 4(x 1)，是圆心为C(1,1)，半径 r 2，在直线 x 1及右侧的
半圆，半圆弧端点 A(1, 1)，B(1,3) ，
在同一坐标系内作出直线 kx y 2 2k 0与半圆C : (x 1)2 (y 1)2 4(x 1)，如图，
当直线 kx y 2 2k 0与半圆C 相切时，
k 3
2 2 6由 2 得相切时 k 1，又 kPB 5，1 k 3
所以 k 2 6 1，或 k 5，
3
k 1 2 6所以 或 k 5．
3
故选：A．
7．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k(k 0,k 1)的点的
| PB |
轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点 A，B 的距离为 2，动点 P 满足 3| PA | ，
若点 P 不在直线 AB 上，则△PAB面积的最大值为（ ）
A．1 B． 3 C．2 D． 2 3
【答案】B
【解析】设经过点 A，B 的直线为 x 轴， AB 的方向为 x 轴正方向，
线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，线段 AB 的中点 O 为原点，建立平面直角坐标系.
则 A 1,0 ，B 1,0 ，设P x, y ，
| PB |
∵ 3| PA | ，
x 1 2 y2
∴ 3 ，
x 1 2 y2
两边平方并整理得 x2 y2 4x 1 0，即 x 2 2 y2 3．
要使△PAB的面积最大，只需点 P 到 AB（x 轴）的距离最大时，
即为圆 x 2 2 y2 3的半径 3，
1
此时面积为 2 3 3 ．
2
故选：B.
PF
8．已知点 F 为抛物线 C： y2 4x的焦点，点F 1,0 ，若点 Р 为抛物线 C 上的动点，当 PF 取得最大值
时，点 P 恰好在以 F，F 为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A 1 2． 2 B． C． 3 1 D． 2 12
【答案】D
【解析】如图，易知点F 1,0 在抛物线 C 的准线 x 1上，作 PD 垂直于准线，且与准线交于点 D，记
DPF 0 ，则 PF F .
2
PF | PF | 1 | PF |
由抛物线定义可知， PF | PD | cos .由图可知，当 | PF | 取得最大值时，
cos 最小，此时直线 PF 与
抛物线相切，设切线方程为 l : y k x 1 ，代入抛物线方程并化简得：
k 2x2 2k 2 4 x k 2 0， 2k 2 2 4 4k 4 0 k 1，方程化为： x2 2x 1 0 x 1，代入抛物线
2 2
方程解得： y 2，即 P 1, 2 ，则 | PF | | PD | 2， | PF | 1 1 2 2 2 .
1
于是，椭圆的长轴长 2a 2 2 2 a 2 1，半焦距 c 1，所以椭圆的离心率 e 2 1 .2 1
故选：D.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．下列说法错误的是（ ）
A．“ a 1”是“直线 a2x y 1 0与直线 x ay 2 0互相垂直”的充要条件
xsin y 2 0 0,
3
B．直线 的倾斜角 的取值范围是 ,
4 4
y y x x
C 1 1．过 x1, y1 ， x2, y 2 两点的所有直线的方程为 y2 y1 x2 x1
D．方程 y k x 2 k y与方程 表示同一条直线
x 2
【答案】ACD
【解析】对于 A，当 a 1时，两直线分别为 x y 1 0 和 x y 2 0，此时两直线的斜率乘积为 1，所
以两直线垂直，当直线 a2x y 1 0与直线 x ay 2 0互相垂直时，则 a 1或 a 0，所以“ a 1”是“直
线 a2x y 1 0与直线 x ay 2 0互相垂直”的充分不必要条件，所以 A 错误，
对于 B，直线 xsin y 2 0的斜率 k sin ，因为 sin [ 1,1]，所以 k [ 1,1]，所以 tan [ 1,1]，所
0, 3 以 4
, ，所以 B 正确，
4
x y y x x对于 C，当 1 x
1 1
2或 y1 y2 时，过 x 1, y1 ， x2, y 2 两点的直线不能用 y y x x 表示，所以 C 错误，2 1 2 1
y
对于 D，因为方程 y k x 2 表示的是一条直线，而方程 k 表示直线 y k x 2 上除去 (2,0)的部分，
x 2
y k x 2 k y所以方程 与方程 表示的不是同一条直线，所以 D 错误，
x 2
故选：ACD
10．已知点F1 1,0 ，F2 1,0 ，设动点 P PF到直线 x 2 d 2的距离为 ，若 2 ，则（ ）d 2
A 2．点 P 的轨迹是以F1F2 为直径的圆 B．点 P 的轨迹曲线的离心率等于
2
x2C．点 P 的轨迹方程为 y2 1 D．△PF
2 1
F2 的周长为定值 4 2
【答案】BC
2 2
【解析】设P x 1 yx, y ，则 PF x 1 2 2 PF y ， d x 2 ，所以由 2 2
1
2 ，得 ，整理可d 2 x 2 2 2
x2 x2 x2
得 y2 1，即点 P 的轨迹为椭圆且方程为 y2 1，故 A 错误，C 正确；由轨迹方程 y2 1得
2 2 2
c 2
a 2 ， c 1，则离心率 e ，故 B 正确；由椭圆定义知，△PF1F2 的周长为 2a 2c 2 2 2 ，故
a 2
D 错误．
故选：BC．
11．如图， A 2,0 ，B 1,1 ，C 1,1 ，D 2,0 ，弧 CD 是以 OD 为直径的圆上的一段圆弧，弧 CB 是以 BC
为直径的圆上的一段圆弧，弧 BA 是以 OA 为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线 w，则下述正确的是
（ ）
A．曲线 w 与 x 轴围成的图形的面积等于 2π
B．曲线 w 上有 5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．弧 CB 所在圆的方程为 x2 y 1 2 1
D．弧 CB 与弧 BA 的公切线方程为 x y 2
【答案】BC
【解析】如图所示，连接 BC，过点 C 作 CK⊥x 轴于点 K，过点 B 作 BL⊥x 轴于点 L，则曲线 w 与 x 轴围
成的图形的面积等于矩形BCKL的面积加上一个半径为 1 的圆的面积，其中BC 2,CK 1，故 S π 2，
故 A 错误；
曲线 w 上有 2,0 ， 1,1 ， 1,1 ， 2,0 ， 0,2 5 个整点，故 B 正确；
弧 CB 所在圆的圆心为 0,1 ，半径为 1，故圆的方程为 x2 y 1 2 1，故 C 正确；
k b b 1
设弧 CB 与弧 BA 的公切线方程为 y kx b，根据图象知 k 0，则 1， 1，解得 k 1，
1 k 2 1 k 2
b 2 1，即公切线方程为 x y 2 1，故 D 不正确．
故选：BC．
2
12 y．如图， F1， F 22 是双曲线C1： x 1与椭圆C2 的公共焦点，点A 是C1，C2 在第一象限内的公共点，3
2 2
设C x y2 方程为 2 2 1 a 0,b 0 ，则下列说法正确的是（ ）a b
A． a2 b2 4
B．△AF1F2 的内切圆与 x 轴相切于点 1,0
C．若 F1F2 AF
2
1 ，则C2 的离心率为 3
D AF AF C x
2 y2
．若 1 2 ，则 2 的方程为 17 3
【答案】BCD
【解析】由双曲线的方程，可知 F1F2 4，所以 a2 b2 4 ，故 A 不正确；
由双曲线的定义，可知 AF1 AF2 2 ，设切点为 B ，由内切圆的性质，可得 AF1 AF2 F1B BF2 2，
又 F1F2 F1B BF2 4 ，所以 F1B 3，故△AF1F2 的内切圆与 x 轴相切于点 1,0 ，（双曲线
x2 y2 x a,0
a2
2 1 a 0,b 0 的焦点三角形的内切圆与 轴相切于点 ）．故 B 正确；b
因为 F1F2 AF1 ， AF1 AF2 2 ，所以 AF2 2，所以 AF1 AF2 2a 6，即 a 3，所以C2 的离心率为
2
3 ，故 C 正确．
因为 AF1 AF
2
2 ，所以 AF1 AF
2
2 16 ，又 AF1 AF2 2 ，所以
2AF1 AF2 AF 21 AF 22 2 AF1 AF2 4，即 2 AF1 AF2 12，
2
所以 AF 2 21 AF2 AF1 AF2 2 AF1 AF2 28，所以 AF1 AF2 2a 2 7 ，
x2 y2
所以 a 7 ，又 c 2，所以b2 a2 c2 3，椭圆C2 的方程为 1．故 D 正确．7 3
故选：BCD
第ⅠⅠ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．写出经过三点 2,0 ， 2,2 ， 0,0 中的两点且圆心在直线 l： x y 0上的一个圆的标准方程为
______．
x 1 2 y 1 2【答案】 2
【解析】若选 2,0 ， 0,0 ，则圆心在直线 x 1上，
又在直线 l： x y 0上，
2 2
故圆心坐标为 1,1 ，半径为 r 1 0 1 0 2 ，
2 2
故所求圆的标准方程为 x 1 y 1 2；
同理若选 2,0 ， 2,2 ，则圆心在直线 y 1上，
又在直线 l： x y 0上，
故圆心坐标为 1,1 ，半径为 r 1 2 2 1 0 2 2 ，
故所求圆的标准方程为 x 1 2 y 1 2 2；
或选 2, 2 ， 0,0 2 0 , 2 0 ，此时这两点的中点为 ，即 1,1 ，
2 2
2 0
此时连接这两点的直线斜率为 1，所以垂直平分线所在直线的斜率为 1，
2 0
所以垂直平分线所在直线方程为 y 1 x 1，即 x y 2 0，
则圆心在直线 x y 2 0上，又在直线 l： x y 0上，
故圆心坐标为 1,1 ，半径为 r 1 0 2 1 0 2 2 ，
故圆的标准方程均为 x 1 2 y 1 2 2．
2
故答案为： x 1 y 1 2 2
14．在平面直角坐标系中，从点P(5, 2)发出的光线射向 x 轴，经 x 轴反射到直线 y x 上，再反射经过点
(10,9) ，则光线由 P 到 Q 经过的路程长为______．
【答案】 4 10
【解析】如图，设光线自点 P 射向 x 轴上的A 点，经过反射后射向直线 y x 上的 B 点，再经过反射后射向Q
点，点 P 关于 x 轴的对称点P ,点Q关于直线 y x 的对称点Q ，
则P (5, 2)，Q (9,10)，
所以光线由 P 到 Q 经过的路程长为
PA AB BQ
P A AB BQ
P Q
(9 5)2 (10 2)2 4 10 ,
故答案为： 4 10
15．已知圆 C： x2 y2 2x 4y 3 0，直线 l： m 2 x m 1 y 4 4m 0，若在 l 上总存在点 M，使得
过 M 点作的圆 C 的两条切线互相垂直，则实数 m 的取值范围是___________．
【答案】 2 m 10
【解析】根据题意，圆 C： x2 y2 2x 4y 3 0即 (x 1)2 (y 2)2 2，
其圆心为 1，2 ，半径 r 2 ，
如图，设切点分别为 A，B．连接 AC，BC，MC，
由 AMB MAC MBC 90 ，又由 AC BC r 2 ，
则四边形 MACB 为正方形且 MC 2r 2，
若直线 l 上总存在点 M 使得过点 M 的两条切线互相垂直，
m 2 2 m 1 4 4m
只需圆心 1，2 到直线 l 的距离 d 22 2 ，(m 2) (m 1)
即m2 8m 20 0 ，
解可得： 2 m 10，
即 m 的取值范围为 2 m 10；
故答案为： 2 m 10
π
16．若过抛物线 y2 x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，且直线 l 的倾斜角 ，点 A 在 x 轴上方，
4
则 FA 的取值范围是______．
(1 ,1 2【答案】 ]
4 2
1 1 π
【解析】抛物线 y2 x 的焦点F ( ,0)，准线方程为 x ， AFx [ , π)，如图，
4 4 4
设点 A 的横坐标是 x0 ，则有 | FA | cos x
1 1
0 ，由抛物线定义知 | FA | x0 ，4 4
于是得 | FA |
1
y cos [π , π)
2(1 cos ) ，而函数 在 上单调递减，即4 1 cos
2
，
2
1 1 2
因此 2 2 2(1 cos ) 4，即有 1 ，
4 2(1 cos ) 2
所以 FA 1 2的取值范围是 ( ,1 ] .
4 2
1 2
故答案为： ( ,1 ]
4 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
已知M 1, 1 ， N 2,2 ，P 3,0 ．
(1)若点Q满足PQ MN ，PN ∥MQ，求点Q的坐标；
(2)若点Q在 x 轴上，且 NQP NPQ，求直线MQ 的倾斜角．
【答案】(1)Q 0,1
(2)90°
【分析】
第（1）问中，若 k1, k2存在，两直线垂直，则有 k1 k2 1，两直线平行，则有 k1 k2 ,设出点Q的坐标，列
方程即可求解.
第（2）问中，根据 NQP NPQ，可知 kNQ kNP ，设点坐标列方程即可.
（1 Q x, y k）设 ，由题意得 MN 3 kPN 2， ．
因为PQ MN ，所以 kPQ kMN 1，
y
即 3 1．①
x 3
又PN
y 1
∥MQ，所以 kPN kMQ ，即 2 ．②x 1
由①②，得 x 0， y 1，即Q 0,1 ．
（2）如图所示：
设Q x,0 ，因为 NQP NPQ，
所以 kNQ kNP ．
2 2
又 kNQ ， k2 x NP
2 ，所以 2，即 x 1，
2 x
所以Q 1,0 ，又M 1, 1 ，所以MQ x轴，
故直线MQ 的倾斜角为 90°．
18．（12 分）
已知点P t, t 1 2，圆C ： x 3 y2 4．
(1)判断点 P 与圆C 的位置关系，并加以证明；
(2)当 t 5时，经过点 P 的直线n与圆相切，求直线n的方程；
(3)若经过点 P 的直线与圆C 交于A 、 B 两点，且点A 为 PB的中点，求点 P 横坐标的取值范围．
【解析】（1）把点 P 的坐标代入圆的方程的左边计算，
(t 3)2 ( t 1)2 2t2 4t 10 2(t 1)2 8 4 ，
所以点 P 在圆外．
（2）当 t 5时，点 P 的坐标为 (5, 6)，
由圆C : (x 3)2 y2 4．知圆心为 (3, 0)， r 2，
①当直线n的斜率不存在，方程为 x 5，圆以到直线 x 5的距离为 2，
所以 x 5是圆的切线；
②当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为 y 6 k(x 5)，即 kx y 5k 6 0 ，
3k 0 5k 6
2 4由题意有 2 ，解得 k ，k 1 3
4
所以直线n的方程为 y 6 (x 5)，即 4x 3y 2 03 ，
综上所述，过点 P 与圆相切的直线方程为 x 5或 4x 3y 2 0
（3）若存在经过点 P 的直线与圆C 交于A 、 B 两点，且点A 为 PB的中点，
由圆的半径为 2，所以 AB 4，
则有 PB 8， CP 6，当 AB 为直径时， CP 有最大值 6，
所以有 (t 3)2 ( t 1)2 6，
解得1 14 t 1 14 ，
所以横坐标的取值范围为{t |1 14 t 1 14}．
19．（12 分）
已知抛物线C : y2 2 px( p 0) 的准线与 x 轴的交点为 A( 1,0) .
（1）求C 的方程；
1 1
（2）若过点M (2,0)的直线 l与抛物线C 交于 P ，Q两点.求证： | PM |2 | QM |2 为定值.
p
【解析】（1）由题意，可得 1，即 p 2 ，
2
∴抛物线C 的方程为 y2 4x .
（2）证明：设直线 l的方程为 x my 2，P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，
x my 2
联立抛物线有 2 ，消去 x 得 y
2 4my 8 0，则 16 m2 2 0
y 4x
，
∴ y1 y2 4m ， y1 y2 8，又 | PM | 1 m2 y1 ， | QM | 1 m
2 y2 .
1 1 1 1 2 2 2 2
∴
y1 y2 16m 16 1 m 1
| PM |2 | QM |2 1 m2 y2 1 m2 y2 1 m2 y2 y2 64 1 m21 2 1 2 4 1 m2 4 .
1 1
∴ | PM |2 | QM |2 为定值.
20．（12 分）
已知圆心在直线 x y 1 0 上且过点 A 2, 2 的圆C1与直线3x 4y 5 0相切，其半径小于 5,若圆C2 与圆C1
关于直线 x y 0对称．
(1)求圆C2 的方程；
(2)过直线 y 2x 6上一点 P 作圆C2 的切线PC, PD，切点为C , D ，当四边形PCC2D 面积最小时，求直线CD
的方程．
C a,1 a
【解析】（1）由题意，圆心在直线 x y 1 0 上，可设 1 ，
因为圆C1过点 A 2, 2 ，且与直线3x 4y 5 0相切，
2 2 3a 4 1 a 5
可得 a 2 1 a 2 ，整理得 a 2 a 62 0，
5
因为圆C1的半径小于 5，所以 a 2，即C1 2, 1 ，且半径 r1 3
2 2
所以圆C1的方程为 x 2 y 1 9 ，
设圆C2 m,n ，因为圆C2 与圆C1关于直线 x y 0对称，
n 1
1 1 m 2
可得 ，解得m 1,n 2 ，所以圆C2 的方程为 x 1 2 y 2m 2 n 1
2 9 ．
0
2 2
2 C2 : x 1
2 y 2 2 9
（ ）圆 ，可得 r2 3，
则四边形PCC2D 的面积 S
1
2S△PC D 2 PD 3 3 PD ，2 2
设P b, 2b 6 ，因为 PD b 1 2 2b 8 2 9 5 b 3 2 11，
所以当b 3时， PD 11min ，
此时四边形PCC2D 的面积最小，最小值为3 11，且P 3,0 ，
由P 3,0 ,C2 1,2 2，可得以PC2 为直径的圆的方程为 x 1 y 1 2 5
因为C , D 在以PC2 为直径的圆上，且在C2 上，且圆C2 : x 1
2 y 2 2 9，
两圆的方程相减，可得直线CD 的方程为 4x 2y 1 0 ．
21．（12 分）
2 2 6
已知椭圆C : x y2 2 1(a b 0)过点 1, ，直线 l： y x＋m与椭圆C 交于 A，B 两点，且线段 AB 的中a b 2
1
点为M ，O为坐标原点，直线OM 的斜率为 ．
2
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若椭圆C 上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线 l对称，求实数m 的范围．
x1 x2 y1 y2
1 A x , y , B x , y
M ,
【解析】（ ）设 1 1 2 2 ，则 2 2 ，
即 k
y1 y2 1
OM x1 x 2
．
2
x2 y2 2 2
因为 A，B 在椭圆 C 上，所以 1 1 1 x2 y2 ，
2 1，
a b2 a2 b2
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y 1 y1 y2 2 y1 y2 两式相减得 0
a2
2 0，即b a2 b2 x1 x2 x
，
1 x2
k y1 y 2 1 1 1又 AB x x ，所以 2 0，即
2 2 ．
1 2 a 2b2
a 2b
又因为椭圆 C 过点 1,
6 1 3
，所以
2 2
2 a2
2 1，解得 a 4,b 2，
2b
x2 y2
所以椭圆 C 的标准方程为 1；
4 2
P x , y
（2）设 3 3 , Q x4 , y4 , PQ N x0 , y0 x x 2x的中点为 ，所以 3 4 0 , y3 y4 2y0，
因为 P，Q 关于直线 l 对称，所以 kPQ 1且点 N 在直线 l 上，即 y0 x0 m．
2 2 2 2
又因为 P，Q x y x y在椭圆 C 上，所以 3 3 1, 4 4 1．
4 2 4 2
x x x x y
两式相减得 3 4 3 4 3
y4 y3 y4 0．
4 2
x3 x4 y3 y4 y3 y4 x x y y
即 0 3 4 3 4 x 2y4 2 x ，所以 ，即 ．3 x4 4 2 0 0
x0 2y0 x0 2m
联立 y x m，解得 ，即
N ( 2m, m) ．
0 0 y0 m
( 2m)2 ( m)2 6 6
又因为点 N 在椭圆 C 内，所以 1，所以 m
4 2 3 3
6 6
所以实数m 的范围为 m ．
3 3
22．（12 分）
x2 y2
已知双曲线 C： 2 2 1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为 60°，直线 l 交双曲线于 A、B 两点．a b
(1)求双曲线 C 的方程．
(2)若 l 过原点，P 为双曲线上异于 A、B 的一点，且直线 PA、PB 的斜率 kPA、 kPB均存在．求证： kPA kPB 为
定值．
(3)若 l 过双曲线的右焦点F1，是否存在 x 轴上的点 M（m，0），使得直线 l 绕点F1无论怎样转动，都有
MA MB 0成立？若存在，求实数 m 的值；若不存在，请说明理由．
4 9
2 2 1 a b
2
b
a 1,
3 2
【解析】（1）由题意得 a b 3.，解得
y2
所以双曲线 C 的方程为 x2 1．
3
（2）证明：设点 A x0 , y0 x , y 的坐标为 ，则由对称性知点 B 的坐标为 0 0 ．
k k y y0 y y0 y
2 y2
设 P（x，y），则 PA PB 0x x0 x x0 x
2 x2 ，0
y2x2 0 1
0 3 2 2 2 2
由 y y 3 x x
y2
得 0 0 ，
2
x 1 3
k k y
2 y20
所以 PA PB 2 2 3．x x0
3 y k x 2 （ ）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ，
2 2 2 2
与双曲线方程联立消 y 得 k 3 x 4k x 4k 3 0 ，
4k 2
k 2 3 0 x1 x2 k 2 3
所以 ，得 k2Δ 3
且 ，
0 2 x x 4k 3 1 2 k 2 3
所以MA MB x1 m x2 m y1 y2
x1 m x2 m k 2 x1 2 x2 2
k 2 1 x1x2 2k 2 m x1 x2 m2 4k 2
k 2 1 4k 2 3 4k 2 2k 2 m
2
2
2 m 4k
2
k 3 k 3
3 4m 5 k 2
2 m
2．
k 3
假设存在实数 m，使得MA MB 0，
则3 1 m2 k 2 m2 4m 5 0对任意的 k2 3恒成立，
1 m2 0
所以 2 ，解得m 1．
m 4m 5 0
所以当m 1时，MA MB 0．
当直线 l 的斜率不存在时，由 A（2，3），B（2，－3）及 M（－1，0）知结论也成立．
综上，存在 M（－1，0），使得MA MB 0．期中押题模拟卷 02
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证
号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章、第三章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．将直线 l 沿 x 轴正方向平移 2 个单位，再沿 y 轴负方向平移 3 个单位，又回到了原来的位置，则 l的斜率
是（ ）
3
A． B．4 C．1 D 1．
2 2
2．过点 A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x 或 x+y-3＝0 D．y＝2x 或 x-y+1＝0
3．直线 mx-2y-m+1=0 与圆 x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
4．已知抛物线C : y2 2 px（ p 0）的焦点为 F.若直线 x 4与 C 交于 A，B 两点，且 AB 8，则 AF
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O 0,0 ， A 4,0 ， AOC 600 ，则对角线交点E
的坐标为（ ）
A． 2, 3 B． 3,2 C． 3,3 D． 3, 3
6．若直线 kx y 2 2k 0与曲线 4 (y 1)2 1 x 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是（ ）
, 2 6
4
A． 1 5, B
． ,4
3 3
2, 2 6
4 4
C． 1
, 2
D． ,
3 3 3
7．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k(k 0,k 1)的点的
| PB |
轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点 A，B 的距离为 2，动点 P 满足 3| PA | ，
若点 P 不在直线 AB 上，则△PAB面积的最大值为（ ）
A．1 B． 3 C．2 D． 2 3
PF
8．已知点 F 为抛物线 C： y2 4x的焦点，点F 1,0 ，若点 Р 为抛物线 C 上的动点，当 PF 取得最大值
时，点 P 恰好在以 F，F 为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A 1． 2 B
2
． C． 3 1 D． 2 1
2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．下列说法错误的是（ ）
A．“ a 1”是“直线 a2x y 1 0与直线 x ay 2 0互相垂直”的充要条件
3
B．直线 xsin y 2 0的倾斜角
的取值范围是 0,
,
4 4
x y x y y y1 x xC 1．过 1, 1 ， 2, 2 两点的所有直线的方程为 y2 y1 x2 x1
D．方程 y k x 2 y与方程 k 表示同一条直线
x 2
10．已知点F1 1,0 ，F2 1,0 ，设动点 P PF 2到直线 x 2的距离为 d，若 2 ，则（ ）d 2
A．点 P 的轨迹是以F1F2 为直径的圆 B．点 P
2
的轨迹曲线的离心率等于
2
C P x
2
．点 的轨迹方程为 y2 1 D．△PF1F2 的周长为定值 4 22
11．如图， A 2,0 ，B 1,1 ，C 1,1 ，D 2,0 ，弧 CD 是以 OD 为直径的圆上的一段圆弧，弧 CB 是以 BC
为直径的圆上的一段圆弧，弧 BA 是以 OA 为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线 w，则下述正确的是
（ ）
A．曲线 w 与 x 轴围成的图形的面积等于 2π
B．曲线 w 上有 5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．弧 CB 所在圆的方程为 x2 y 1 2 1
D．弧 CB 与弧 BA 的公切线方程为 x y 2
2
12．如图， F1， F
y
2 是双曲线C1： x2 1与椭圆C2 的公共焦点，点A 是C1，C2 在第一象限内的公共点，3
2 2
设C x y2 方程为 2 1 a 0,b 0 ，则下列说法正确的是（ ）a b2
A． a2 b2 4
B．△AF1F2 的内切圆与 x 轴相切于点 1,0
C．若 F1F2 AF
2
1 ，则C2 的离心率为 3
2 2
D．若 AF1 AF
x y
2 ，则C2 的方程为 17 3
第ⅠⅠ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．写出经过三点 2,0 ， 2,2 ， 0,0 中的两点且圆心在直线 l： x y 0上的一个圆的标准方程为
______．
14．在平面直角坐标系中，从点P(5, 2)发出的光线射向 x 轴，经 x 轴反射到直线 y x 上，再反射经过点
(10,9) ，则光线由 P 到 Q 经过的路程长为______．
15．已知圆 C： x2 y2 2x 4y 3 0，直线 l： m 2 x m 1 y 4 4m 0，若在 l 上总存在点 M，使得
过 M 点作的圆 C 的两条切线互相垂直，则实数 m 的取值范围是___________．
π
16．若过抛物线 y2 x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，且直线 l 的倾斜角 ，点 A 在 x 轴上方，
4
则 FA 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
已知M 1, 1 ， N 2,2 ，P 3,0 ．
(1)若点Q满足PQ MN ，PN ∥MQ，求点Q的坐标；
(2)若点Q在 x 轴上，且 NQP NPQ，求直线MQ 的倾斜角．
18．（12 分）
已知点P t, t 1 2，圆C ： x 3 y2 4．
(1)判断点 P 与圆C 的位置关系，并加以证明；
(2)当 t 5时，经过点 P 的直线n与圆相切，求直线n的方程；
(3)若经过点 P 的直线与圆C 交于A 、 B 两点，且点A 为 PB的中点，求点 P 横坐标的取值范围．
19．（12 分）
已知抛物线C : y2 2 px( p 0) 的准线与 x 轴的交点为 A( 1,0) .
（1）求C 的方程；
1 1
（2）若过点M (2,0)的直线 l与抛物线C 交于 P ，Q两点.求证： | PM |2 | QM |2 为定值.
20．（12 分）
已知圆心在直线 x y 1 0 上且过点 A 2, 2 的圆C1与直线3x 4y 5 0相切，其半径小于 5,若圆C2 与圆C1
关于直线 x y 0对称．
(1)求圆C2 的方程；
(2)过直线 y 2x 6上一点 P 作圆C2 的切线PC, PD，切点为C , D ，当四边形PCC2D 面积最小时，求直线CD
的方程．
21．（12 分）
x2 y2 6
已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)过点 1, ，直线 l： y x＋m与椭圆C 交于 A，B 两点，且线段 AB 的中a b 2
1
点为M ，O为坐标原点，直线OM 的斜率为 ．
2
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若椭圆C 上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线 l对称，求实数m 的范围．
22．（12 分）
x2 y2
已知双曲线 C： 2 2 1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为 60°，直线 l 交双曲线于 A、B 两点．a b
(1)求双曲线 C 的方程．
(2)若 l 过原点，P 为双曲线上异于 A、B 的一点，且直线 PA、PB 的斜率 kPA、 kPB均存在．求证： kPA kPB 为
定值．
(3)若 l 过双曲线的右焦点F1，是否存在 x 轴上的点 M（m，0），使得直线 l 绕点F1无论怎样转动，都有
MA MB 0成立？若存在，求实数 m 的值；若不存在，请说明理由．
