期中押题模拟卷 03
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证
号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章、第三章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知直线 l1 : x 2y 1 0， l2 : 2x ay 1 0，若 l1 l2，则实数 a的值为（ ）
1
A．1 B 1． 2 C． D． 22
【答案】A
【解析】由 l1 l2 1 2 ( 2) a 0 a 1．
故选：A．
2．当圆C : x2 2x y2 3 0 截直线 l : x my m 2 0所得的弦长最短时，实数m （ ）
A． 2 B．1 C． 2 D． 1
【答案】D
【解析】圆C : x2 2x y2 3 0 ，即 x 1 2 y2 4，圆心为C 1,0 ，半径 r 2，
x 2 0 x 2
直线 l : x my m 2 0 1 y m x 2 0 ，即 ，令 ，解得 ，即直线 l恒过定点M 2,1
1 y 0 y
，
1
又 CM 2 1 2 1 0 2 2 2，所以点M 在圆C 内部，
1 0 1
所以当CM 直线 l时弦长最短，又 kCM 1，所以 kl 1，即 1，解得m 1；2 1 m
故选：D
3．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的
一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1） （2） （3）中椭圆的长轴
13 64 10
长与短轴长的比值分别 ，设图（1） （2）
9 45 7
（3）中椭圆的离心率分别为e1 e2 e3，则（ ）
A． e1 e3 e2 B． e2 e3 e1
C． e3 e2 e1 D． e2 e1 e3
【答案】B
c c2 a2 b2 b2 2b 2
【解析】因为椭圆的离心率 e ，
a a2 a2
1 2 1 a 2a
13 10 64
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.由 ，
9 7 45
所以 e1 e3 e2 .
故选：B.
4 2．圆心在抛物线 x 2y x 0 上，并且与抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的方程是（ ）
1
A 2． x y2 x 2y 0 B． x2 y2 2x 2y 1 0
4
x2 y2 x 2y 1 0 x2 y2 2x y 1C． D． 0
4
【答案】D
a2
【解析】由题意设所求圆的圆心为 (a, )，半径为 r ，其中 a 0，
2
因为抛物线 x2 2y x 0 的准线方程为 y 1 ，
2
且该圆与抛物线的准线及 y 轴都相切，
a2 1
所以 a r，解得 r a 1，
2 2
2 1 2
所以该圆的方程为 (x 1) (y ) 1，
2
x2即 y2 2x
1
y 0 .
4
故选：D.
7
5．点 P 为 x 轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以 A，B，P 为顶点的三角形的面积为 ，则点 P 的坐标为
2
（ ）
A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）
C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）
【答案】B
【解析】根据题意，设点 P 的坐标为 x,0 ，则
k 3 2AB 1 ，故直线 AB 为： y 3 x0 1 ，即 x y 3 0 ，
x 0 3 x 3
故 P 到直线 AB 上的距离为： d 2 ，1 1 2 2
2 2
又因为 AB 1 0 2 3 2 ，
1 1 x 3 x 3
所以由 S ABC AB d 2
7
得 x 3 7 ，
2 2 2 2 2
解得 x 4或 x 10，即 P 为 4,0 或 10,0 .
故选：B.
6．已知抛物线D : y2 4x的焦点为F ，准线为 l，点 P 在D上，过点 P 作准线 l的垂线，垂足为A ，若 PA AF ，
则 PF （ ）
A．2 B． 2 2 C． 2 3 D．4
【答案】D
【解析】由题知F 1,0 ，准线 l : x 1，设与 x 轴的交点为C ，点 P 在D上，
由抛物线的定义及已知得 PA AF PF ，则△PAF 为等边三角形，
解法 1：因为 APF , AP x 轴，所以直线PF 斜率 k 3，所以PF : y 3 x 1 ，3
y2 4x
由 解得P 3,2 3 P 1， ,
2 3
y 3(x 1) 3 3
舍去，
所以 PF
p
xP 3 1 4 .2
解法 2：在Rt ACF 中， CF 2, AFC 60 ，则 AF 4 .
解法 3：过F 作FB AP于点 B ，则 B 为 AP 的中点，因为 AB 2 ，则 AP 4 .
故选：D.
7．若三条直线 l1 : 4x y 3, l2 : mx y 0, l3 : x my 2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有（ ）
A． 2个 B．3个
C． 4个 D．6个
【答案】C
【解析】 三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
1
若 l1∥ l2，则m 4 ；若 l1∥ l3 ，则 4m 1 m ；4
若 l2∥ l 23 ，则 m 1 m的值不存在；
若三条直线相交于同一点，
3
4x y 3 x
直线 l1和 l
4 m 3 3m
2联立： l l P ,
mx y 0
y 3m
， 直线 1和 2交点为 ;
4 m m 4
m 4
3m 2
4x y 3 x 1 4m 3m 2 5
直线 l1和 l3 联立： l l Q ,
x my 2
， 直线 和 交点为 ;
y 5
1 3 1 4m 1 4m
1 4m
3 3m 2
P Q 4 m 1 4m 5三条直线相交于同一点 、 两点重合 m 13m 5 或
.
= 3
m 4 1 4m
故实数m 的取值最多有 4个.
故选:C
2 2
8．已知椭圆C : x y2 2 1(a b 0)
3
的离心率为 ，过右焦点F 且倾斜角为 的直线与椭圆C 相交得到的
a b 2 4
8
弦长为 ，且椭圆C 上存在 4 个点M , N , P,Q构成矩形，则矩形MNPQ面积的最大值为（ ）
5
A．4 B． 4 2 C．8 D．16
【答案】A
c 3
【解析】由题意得， ，故 a 2b， c 3b ，F 3b,0 ，则直线 l： y x 3b ，
a 2
y x 3b
联立 2 2
x2 4y2 4b2
，解得5x 8 3bx 8b 0，
0
32b2 ，
2 32b
2 8
故所形成的弦长为 ，解得b 1，
5 5
x2
即椭圆C ： y2 1.
4
由对称性设M x0, y 0 ，其中 x0 y0 0，则 N x0 , y0 ，P x0 , y0 ，Q x0 , y0 ，
则 MN 2 x0 ， MQ 2 y0 ，
故矩形 MNPQ 的面积 S 4 x0 y0 ，
2
∴ S 2 16x2 20 y0 4x
4
0 16x
2
0 4 x20 2 16，
故矩形 MNPQ 面积的最大值为 4，
故选：A.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．下列结论中正确的有（ ）
A ．两条相交直线所成的角的范围是 0,
2
B．若两条相交直线所成的角为 ，其法向量的夹角为 ，则 或
C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 1
k k
D．若直线 y k1x b1与直线 y k2x b2 的夹角为 ，则 tan 2 11 k1k2
【答案】ABD
【解析】对于 A：两条相交直线时，其所成的角的范围是 0,
2
，故 A 正确；
对于 B：若两条相交直线所成的角为 ，其法向量的夹角为 ，则 或 ，故 B 正确；
对于 C：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故 C 不正确；
对于 D：设直线 y k1x b1的倾斜角为 1，直线 y k2x b2 的倾斜角为 2，
则 k1 tan 1, k2 tan 2 ，所以 tan tan
tan 1 tan 2 k k1 2 2 1 ，故 D 正确，1+ tan 1 tan 2 1 k1k2
故答案为：ABD.
10．已知过点P 4, 2 的直线 l与圆C : (x 3)2 (y 3)2 4交于 A, B两点，O为坐标原点，则（ ）
A． AB 的最大值为 4
B． AB 的最小值为 2
C．点O到直线 l的距离的最大值为 2 5
D △POC 3 6． 的面积为
2
【答案】AC
【解析】由题意，圆C : (x 3)2 (y 3)2 4的圆心坐标为C(3,3)，半径为 r 2，
又由点P 4,2 在圆C 内部，
因为过点P 4,2 的直线 l与圆C : (x 3)2 (y 3)2 4交于 A, B两点，
所以 AB 的最大值为 2r 4，所以 A 正确；
因为 PC (4 3)2 (2 3)2 2 ，
当直线 l与PC 垂直时，此时弦 AB 取得最小值，
最小值为 AB 2 22 ( 2)2 2 2 ，所以 B 错误；
当直线 l与OP垂直时，点O到直线 l的距离有最大值，
且最大值为 OP (4 0)2 (2 0)2 2 5 ，所以 C 正确；
3 0 2 3
由 kOC 1,kPC 1，可得 kOC kPC 1，即OC PC ，3 0 4 3
1 OC PC 1所以△POC 的面积为 3 2 2 3，所以 D 错误.
2 2
故选：AC.
11 2 2．已知 O1 : x y 2mx 2y 0, O2 : x
2 y2 2x 4my 1 0 ． 则下列说法中， 正确的有（ ）
A．若 (1, 1) 在 O1内， 则m 0
B．当m 1时， O1与 O2 共有两条公切线
C．若 O1与 O
1 1
2 存在公共弦， 则公共弦所在直线过定点 ,3 6
D． m R 1， 使得 O1与 O2 公共弦的斜率为 2
【答案】BC
【解析】因为 O1 : x
2 y2 2mx 2y 0, O2 : x
2 y2 2x 4my 1 0 ，
所以 O1： (x m)2 (y 1)2 m2 1， O2 ： (x 1)2 (y 2m)2 4m2 ，
则O1(m， 1) ， r m2 1，O2 (1，2m) ， r2 2 | m |1 ，则m 0 ，
由 (1， 1)在 O 2 21内，可得1 ( 1) 2m 2 0，即m 0，A 错误；
当m 1时，O1(1， 1)， r1 2 ，O2 (1，2) ， r2 2，所以 | O1O2 | 3 (2 2，2 2) ，所以两圆相交，共两条公
切线，B 正确；
1
2x 4y 0 x ，，
O1 O2 ，得 ( 2m 2)x (2 4m)y 1 0，即m( 2x 4y) (2x
2y 1) 0 3，令
2x 2y 1 0
解得 所
， y 1 ，
6
1 1
以定点为 ， ，C 正确；
3 6
2m 2 2m 2 1
公共弦所在直线的斜率为 ，令 D2 4m 2 4m 2 ，无解，所以 错误，
故选：BC．
2 2 2
12．已知F1、 F
x y
2 分别为双曲线 2 2 1(a 0,b 0)
2b
的左、右焦点，且 F1F2 ，点 P 为双曲线右支一点，a b a
I 为△PF1F2 的内心，若 S△IPF S△IPF S1 2 △IF1F2 成立，则下列结论正确的有（ ）
A．当PF2 x轴时， PF1F2 30 B
1 5
．离心率 e
2
C． 5 1 D．点 I 的横坐标为定值 a
2
【答案】BCD
2
【解析】当PF x PF b c 12 轴时， 2 F F ，a 2 1 2
此时 tan PF
1
1F2 ，所以 A 错误；2
2
F F 2b 2c 2b
2 2c2 2a2
∵ 1 2 ，∴ ，a a a
整理得 e2 e 1 0（ e为双曲线的离心率），
e 1 e 1 5∵ ，∴ ，所以 B 正确.
2
设△PF1F2 的内切圆半径为 r，
由双曲线的定义得 PF1 PF2 2a ， F1F2 2c ，
S 1 1 1△IPF PF1 r ， S△PF PF2 r ， S△F F 2cr cr ，1 2 2 2 1 2 2
∵ S△IPF S1 △IPF S2 △IF1F2 ，
1 PF r 1∴ 1 PF2 2 2
r cr ，
PF
1
PF2 a 1 5 1
故 2c c 1 5 2 ，所以 C 正确.
2
设内切圆与PF1、PF2 、F1F2 的切点分别为 M、N、T，
可得 | PM | | PN | F1M F1T ， F2N F2T .
由 PF1 PF2 F1M F2N F1T F2T 2a，
F1F2 F1T F2T 2c，
可得 F2T c a，可得 T 的坐标为 a,0 ，
即Ⅰ的横坐标为 a，故 D 正确；
故选 BCD.
第ⅠⅠ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别交于点 P、Q，且线段 PQ 的中点坐标为（1，0），直线 l 的一般式方程
是 __．
【答案】 x 6y 1 0
【解析】由题意，设 P（x，1），Q（7，y），
∵线段 PQ 的中点坐标为（1，0），
x 7
1 2
∴
1 y
，解得 x＝﹣5，y＝﹣1，∴P（﹣5，1），
0
2
1 0 1
∴直线 l 的斜率 ，
5 1 6
1
故直线 l 的方程为 y﹣0 （x﹣1），即 x 6y 1 0 ，
6
故答案为： x 6y 1 0 ．
x2 y2 14．设双曲线 1的两个焦点分别为F1、F2 ，P 为双曲线上一点，若 PF1 PF2 32 ，则PF1 PF 9 16 2
______．
【答案】0
2 PF1 PF 6
【解析】由题意得， PF1 PF2 6,c 9 16 25
2
，联立
PF1 PF2 32
PF 2 2
2
1 PF2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 36 64 100 F
2
1F2 ，
因此PF1 PF2，则PF1 PF2 0．
故答案为：0.
15．已知直线 l过点 A a,0 且斜率为 1，若圆 x2 y2 4上恰有 3 个点到 l的距离为 1，则 a的值为
__________.
【答案】 2
【解析】由于直线 l过点 A(a,0) 且斜率为 1，
则直线 l : x y a 0，
圆 x2 y2 4上恰有 3 个点到 l的距离为 1，
圆心到直线的距离等于半径减去 1，
a
圆心 (0,0)到直线 l : x y a 0的距离为 2 1，解得 a 2 ．
2
故答案为： 2
16．在直线 l： y 2上取一点 D 做抛物线 C： x2 4y的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 与圆 E：
x2 y2 2x 2020 0交于 M，N 两点，当│MN│最小时，D 的横坐标是______．
【答案】1
【解析】设 A x1, y2 , B x2 , y2 ，且直线 AB 的方程为 y kx b，
2 y kx b联立抛物线 x 4y，可得 yx2 ，消去 可得：
2
4y x 4kx 4b 0，
根据韦达定理可得： x1 x2 4k, x1x2 4b，
1 1
由抛物线y x 2 ，求导可得：y x ，
4 2
过 A x 1 11, y1 的切线方程为 y x1 x x 2，2 4 1
过B x2 , y2
1 1 2
的切线方程为 y x x x
2 2 4 2
，
y
1 1
x1 x x
2
2 4 1
联立上式，可得：
y 1 1
，
x x x 2
2 2 4 2
消去 x 整理可得： 4y x1 x2 x1x2 x1 x2 ，
两式相减整理可得： 2x x1 x2 x1 x2 x1 x2 ，
因为 x x ，所以 x x 4y x
x x
，且 1 21 2 1 2 ，根据题意，可得 x1x2 8，即b 2 ，2
则直线 AB 的方程为 y kx 2，由此该直线过定点F 0,2 ，
由圆 E： x2 y2 2x 2020 0 2，可得 x 1 y2 2021，可得E 1,0 ，
1
易知当EF AB时，│MN│取最小，可得直线 AB 的方程为 y x 2，
2
x x1 x 4k所以点D的横坐标 2 1 .
2 2
故答案为：1.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M 是 BC 边上的中点.
(1)求 AB 边所在的直线方程；
(2)求中线 AM 的长
(3)求 AB 边的高所在直线方程.
y 5 x 1
【解析】（1）法一：由两点式写方程得 1 5 2 1，即6x y 11 0 ；
1 5
法二：直线 AB 的斜率为 k 6 2 1 ，
直线 AB 的方程为 y 5 6 x 1 ，即6x y 11 0 ；
2 4 1 3
2 M x0 , y
x0 1, y0 1
0 M 1,1 （ ）设 的坐标为 ，则由中点坐标公式可得 2 2 ，故 ，
所以 AM 1 1 2 1 5 2 2 5 ；
k 1 5 6
2 1
（3）直线 AB 的斜率为 ，
1
所以由垂直关系可得 AB 边高线的斜率为 ，
6
1
故 AB 边的高所在直线方程为 y 3 x 4 ,化为一般式可得： x 6y 22 0 .
6
18．（12 分）
已知直线 l1过点 A 2,1 、B 0,3 ，直线 l2的斜率为 3且过点C 4,2 ．
(1)求直线 l1、 l2交点 D 的坐标；
M 2,2 N 15 7 (2)已知点 、 , ，若直线 l3 过点 D 且与线段 MN 相交，求直线 l3 的斜率 k 的取值范围．
2 2
1 l A 2,1 B 0,3 【解析】（ ）因为直线 1过点 、 ，
l y 1 3 1所以直线 1的方程为 ，即 y x 3x 2 0 2
又因为直线 l2的斜率为 3且过点C 4, 2 ，
所以直线 l2方程为 y 2 3 x 4 ，即 y 3x 14
11
y x 3 x 2
联立直线 l1, l2 方程
y 3x 14
，解得
y 5
2
11 5
所以交点坐标为D ,
2 2
y 5 11l k
x
（2）由题设直线 3 方程为 2 2
15
又由已知可得线段MN 方程为3x 19y 44 0 2 x
2
因为直线 l3 且与线段MN 相交
5
y k
x 11
2 2 209k 183 15
所以 ，解得 2
3x 19y 44 0 2 x 15 38k 6 2 2
k 3得 或 k 3
5
3
所以直线 l3 的斜率 k 的取值范围为 k 或 k 35
19．（12 分）
已知实数 x ， y 满足方程 x2 y2 4x 5 0，
(1)求3x y 的最大值和最小值；
(2)求 (x 3)2 (y 1)2 的最大值和最小值；
y 2
(3)求 x 3 的最大值和最小值.
x21 y
2 4x 5 0 x 2 2 y2 9 C 2,0 【解析】（ ）因为 ，即 ，所以圆心为 ，半径 r 3，
6 z
令3x y z ，即3x y z 0，则圆心到直线的距离 d 3，
32 1 2
所以6 3 10 z 6 3 10 ，即3x y 的最大值为6 3 10 ，最小值为 6 3 10 ；
(x 3)2（2） (y 1)
2 A x, y B 3,1
表示圆上的点 与点 的距离的平方，
因为 BC 3 2 2 12 2 ，
2 2
所以 r BC AB 2 r BC ，即11 6 2 AB 2 11 6 2 ，
所以 (x 3)2 (y 1)2 的最小值为11 6 2 ，最大值为11 6 2 ；
y 2
3 x 3 A x, y D 3, 2 （ ） 表示圆上的点 与点 连线的斜率，
设过点D 3,2 直线方程为 y 2 k x 3 ，即 kx y 3k 2 0，
5k 2
所以 d 32 ，即 2 16k
2 20k 5 0 5 3 5 k 5 3 5 ，解得 ，
k 1 8 8
y 2 5 3 5 5 3 5
所以 x 3 的最大值为 ，最小值为 ； 8 8
20．（12 分）
如图，已知圆M : x2 4x y2 3 0 ，点P( 1, t)为直线 l : x 1上一动点，过点 P 引圆M 的两条切线，切点
分别为 A，B
(1)求直线 AB 的方程，并写出直线 AB 所经过的定点的坐标；
(2)求线段 AB 中点的轨迹方程；
(3)若两条切线 PA, PB 与 y 轴分别交于 S ,T 两点，求 ST 的最小值.
【解析】（1）因为PA， PB为圆M 的切线，所以 PBM PAM 90 ，所以点 A, B在以PM 为直径的圆 P
上，又点 A, B在圆M 上，所以线段 AB 为圆 P 和圆M 的公共弦，
2 2 M 2,0 2 1 t 因为圆M ： x 4x y 3 0①，所以 ， PM 9 t ，PM 中点为 ,2 2 ，
1 2 t 2
P x 9 t
2
则圆 ： y ，整理得 x
2 x y2 ty 2 0②，
2 2 4
②-①得直线 AB 的方程为3x ty 5 0 ，所以 (3x 5)
5
ty 0 ，所以直线 AB 过定点 ,0 .
3
5
,0
（2）∵直线 AB 过定点 3 ，AB 的中点为直线 AB 与直线 MP 的交点，
设 AB 的中点为F 点，直线 AB 过的定点为 H 点，
5
易知 HF 始终垂直于 FM，所以F 点的轨迹为以 HM 为直径的圆，H ,0 ，M (2,0)3 ，
11 2 1
∴点F 的轨迹方程为 x y
2 (x 2) ；
6 36
（3）设切线方程为 y t k(x 1)，即 kx y k t 0，
d | 3k t |故M (2,0)到直线 kx y k t 0的距离 1，即8k 2 6kt t2 1 0 ，
k 2 1
2
设 PA PB
3t
， 的斜率分别为 k1， k2 ，则 k1 k2 k k
t 1
4 ， 1 2 ，8
把 x 0代入 kx y k t 0，得 y k t，
2 2 2
则 ST k1 t k2 t k1 k2 k1 k
2
2 4k k
9t t 1 t 8
1 2 ，16 2 4
故当 t 0时， ST 2取得最小值为 ．
2
21．（12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C : 2x2 y2 1．
(1)设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点，若 MF 2 2 ，求点 M 的坐标；
(2)设斜率为 k k 2 的直线 l 交 C 于 P、Q 两点，若 l 与圆 x2 y2 1相切，求证：OP OQ．
2
C : x 21 y 1
2
【解析】（1）由双曲线C : 2x y
2 1，可得 2 ，
∴F
6
,0 ，设M x, y ，则 2x
2 y2 1，
2
2
∴ MF 6 2 2 x y
2 ，
2
2 2
6 2 2 2∴ x 2x 1 3x 2
3x 2 2 ，
2 2
M C x 2又 是 右支上一点，故 ，
2
x 6∴ , y 2 ，
2
6
即M , 2 ；
2
（2）设直线 PQ 的方程为 y kx b，因直线 PQ 与已知圆相切，
b
故 1，即b22 k
2 1，
k 1
y kx b, 2 k 2由 2 2 ，得 x2 2kbx b2 1 02x y 1, ，
x1 x
2kb
2
2
设P x , y Q x , y 2 k1 1 、 2 2 ，则 ，
x x 1 b
2
1 2 2 k 2
又 y1 y2 kx1 b kx2 b ，
所以OP OQ x x y y 1 k 2 x x kb x x b21 2 1 2 1 2 1 2
1 1 b
2 2kb 1 b2 k 2
k 2 2 kb 2 b2 0 ，
2 k 2 k 2 k
2
所以OP OQ．
22．（12 分）
x2 y2 1
已知椭圆C : 1(a b 0)经过点 3, ，其右焦点为F 3,0a2 b2 . 2
(1)求椭圆C 的离心率；
1
(2)若点P,Q 在椭圆C 上，右顶点为A ，且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为 .求 APQ 面积的最大值.
20
c 3
a 2
3 1
【解析】（1）依题可得， 2 2 1，解得a 4b
b 1 ，
a2 b2 c2 c 3
2
所以椭圆C x的方程为 y2 1.
4
3
所以离心率 e .
2
（2）易知直线 AP 与 AQ 的斜率同号，所以直线 PQ不垂直于 x 轴，
故可设PQ : y kx m,k 0, P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
x2
y2 1
4 2 2 2由 可得， 1 4k x 8mkx 4m 4 0，
y kx m
x x 8mk , x x 4m
2 4
所以 1 2 1 4k 2 1 2
，
1 4k 2
y y 1
Δ 16 4k 2 1 m2 0 k 1 1 2，而 APkAQ ，即20 x1 2 x2 2 20 ，
化简可得 20 kx1 m kx2 m x1 2 x2 2 ，
20k 2x1x2 20km(x x
2
1 2 ) 20m x1x2 2(x1 x2 ) 4，
2
20k 2 4m 4
2
2 20km
8mk
2 20m
2 4m 4 2 8mk
1 4k 1 4k 1 4k 2
4
1 4k 2
化简得6k 2 mk m2 0，
所以m 2k 或m 3k ，
所以直线 PQ : y k x 2 或 y k x 3 ，
因为直线 PQ不经过点A ，
所以直线 PQ经过定点 3,0 .
设定点B 1 5 3,0 , S APQ S ABP S ABQ AB y1 y2 2 k x1 x2 2
5
k (x x )21 2 4x2 1
x2
5 8km 4m2 4
k ( )22 4 2 1 4k 1 4k 2
5 k 16 4k 2 1 m2 10 1 5k 2 k 2
，
2 1 4k 2
1 4k 2
1
因为1 5k 2 0 2，所以0 k ，5
设 t
9
4k 2 1 1,
，
5
S 5 5t
2 14t 9 5 2
9 1 7 4 5所以 APQ ，2 t 2 2 t 9 9 3
t 9 k 2 1 5当且仅当 即 时取等号，即 APQ 面积的最大值为 .
7 14 3期中押题模拟卷 03
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证
号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章、第三章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知直线 l1 : x 2y 1 0， l2 : 2x ay 1 0，若 l1 l2，则实数 a的值为（ ）
1 1A．1 B． 2 C． D． 22
2．当圆C : x2 2x y2 3 0 截直线 l : x my m 2 0所得的弦长最短时，实数m （ ）
A． 2 B．1 C． 2 D． 1
3．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的
一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1） （2） （3）中椭圆的长轴
13 64 10
长与短轴长的比值分别 ，设图（1） （2） （3）中椭圆的离心率分别为e1 e2 e3，则（ ）9 45 7
A． e1 e3 e2 B． e2 e3 e1
C． e3 e2 e1 D． e2 e1 e3
4 x2．圆心在抛物线 2 y x 0 上，并且与抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的方程是（ ）
A x2
1
． y2 x 2y 0 B． x2 y2 2x 2y 1 0
4
C． x2 y2 x 2y 1 0 D x2． y2
1
2x y 0
4
7
5．点 P 为 x 轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以 A，B，P 为顶点的三角形的面积为 ，则点 P 的坐标为
2
（ ）
A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）
C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）
6．已知抛物线D : y2 4x的焦点为F ，准线为 l，点 P 在D上，过点 P 作准线 l的垂线，垂足为A ，若 PA AF ，
则 PF （ ）
A．2 B． 2 2 C． 2 3 D．4
7．若三条直线 l1 : 4x y 3, l2 : mx y 0, l3 : x my 2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有（ ）
A． 2个 B．3个
C． 4个 D．6个
x2 y2 8．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)
3
的离心率为 ，过右焦点F 且倾斜角为 的直线与椭圆C 相交得到的
a b 2 4
8
弦长为 ，且椭圆C 上存在 4 个点M , N , P,Q构成矩形，则矩形MNPQ面积的最大值为（ ）
5
A．4 B． 4 2 C．8 D．16
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．下列结论中正确的有（ ）
A ．两条相交直线所成的角的范围是 0,
2
B．若两条相交直线所成的角为 ，其法向量的夹角为 ，则 或
C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 1
k k
D．若直线 y k 2 11x b1与直线 y k2x b2 的夹角为 ，则 tan 1 k1k2
10．已知过点P 4, 2 的直线 l与圆C : (x 3)2 (y 3)2 4交于 A, B两点，O为坐标原点，则（ ）
A． AB 的最大值为 4
B． AB 的最小值为 2
C．点O到直线 l的距离的最大值为 2 5
D．△POC 3 6的面积为
2
11．已知 O1 : x
2 y2 2mx 2y 0, O2 : x
2 y2 2x 4my 1 0 ． 则下列说法中， 正确的有（ ）
A．若 (1, 1) 在 O1内， 则m 0
B．当m 1时， O1与 O2 共有两条公切线
C．若 O1与 O
1 , 1 2 存在公共弦， 则公共弦所在直线过定点 3 6
D． m R ， 使得 O1与 O
1
2 公共弦的斜率为 2
2
12 F F x y
2
1(a 0,b 0) F F 2b
2
．已知 1、 2 分别为双曲线 2 2 的左、右焦点，且 1 2 ，点 P 为双曲线右支一点，a b a
I 为△PF1F2 的内心，若 S△IPF S S1 △IPF2 △IF1F2 成立，则下列结论正确的有（ ）
A．当PF2 x轴时， PF1F2 30 B
1 5
．离心率 e
2
C． 5 1 D．点 I 的横坐标为定值 a
2
第ⅠⅠ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别交于点 P、Q，且线段 PQ 的中点坐标为（1，0），直线 l 的一般式方程
是 __．
x2 y2 14．设双曲线 1的两个焦点分别为F1、F2 ，P 为双曲线上一点，若 PF1 PF2 32 ，则PF1 PF 9 16 2
______．
15．已知直线 l过点 A a,0 且斜率为 1，若圆 x2 y2 4上恰有 3 个点到 l的距离为 1，则 a的值为
__________.
16．在直线 l： y 2上取一点 D 做抛物线 C： x2 4y的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 与圆 E：
x2 y2 2x 2020 0交于 M，N 两点，当│MN│最小时，D 的横坐标是______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M 是 BC 边上的中点.
(1)求 AB 边所在的直线方程；
(2)求中线 AM 的长
(3)求 AB 边的高所在直线方程.
18．（12 分）
已知直线 l1过点 A 2,1 、B 0,3 ，直线 l2的斜率为 3且过点C 4,2 ．
(1)求直线 l1、 l2交点 D 的坐标；
(2)已知点M 2,2 N 15、 ,
7
，若直线 l3 过点 D 且与线段 MN 相交，求直线 l2 2 3 的斜率
k 的取值范围．
19．（12 分）
已知实数 x ， y 满足方程 x2 y2 4x 5 0，
(1)求3x y 的最大值和最小值；
(2)求 (x 3)2 (y 1)2 的最大值和最小值；
y 2
(3)求 x 3 的最大值和最小值.
20．（12 分）
如图，已知圆M : x2 4x y2 3 0 ，点P( 1, t)为直线 l : x 1上一动点，过点 P 引圆M 的两条切线，切点
分别为 A，B
(1)求直线 AB 的方程，并写出直线 AB 所经过的定点的坐标；
(2)求线段 AB 中点的轨迹方程；
(3)若两条切线 PA, PB 与 y 轴分别交于 S ,T 两点，求 ST 的最小值.
21．（12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C : 2x2 y2 1．
(1)设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点，若 MF 2 2 ，求点 M 的坐标；
(2)设斜率为 k k 2 的直线 l 交 C 于 P、Q 两点，若 l 与圆 x2 y2 1相切，求证：OP OQ．
22．（12 分）
x2 2 1
已知椭圆C : y2 2 1(a b 0)经过点 3, ，其右焦点为F2 3,0 .a b
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若点P,Q
1
在椭圆C 上，右顶点为A ，且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为 .求 APQ 面积的最大值.
20
