2.4.1二次函数的应用——最大（小）面积问题 教案
文档属性
| 名称 | 2.4.1二次函数的应用——最大（小）面积问题 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-05 19:08:43 | ||
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文档简介
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2.4.1二次函数的应用——最大（小）面积问题 教学设计
课题 2.4.1二次函数的应用——最大（小）面积问题 单元 第2 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 在本章前，学生已通过探索变量之间的关系、探究一次函数和反比例函数，逐步建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验.在本章的学习中，学生已研究了二次函数及其图象和性质，并掌握了求二次函数最大（小）值的一些方法，这些知识都为本节课的学习奠定了良好的知识基础．
核心素养分析 1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
学习目标 1.经历求最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力.
重点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
难点 学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题【思考1】如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少 利用课件演示变化过程：问题1：在运动变化过程中，有哪些量发生了变化？问题2：长方形OABC的面积是随着哪些量的变化而变化？学生普遍回答的应该是随长和宽的变化而变化，回答其他量只要合理都给予肯定，最终都引导回长和宽。问题3：在变化过程中，如果让你设一个变量为x，你会设哪一个？问题4：如果设AB=x，你能用x来表示出AD的长度吗？要求学生通过思考和计算后回答，注意和同学一起总结相似在解决类似问题中的作用，同时提醒学生注意x的范围。问题5：你认为长方形ABCD的面积有没有最大值？如果有，是多少？问题6：我们设长方形ABCD的面积为y，请同学们把y表示为x的函数。有了前面的铺垫，同学们应该很容易计算出y和x之间的二次函数关系，并利用学过的二次函数知识计算出面积的最大值。解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，DC∥AN.∵AN=40m，AM=30m，AB=xm，∴CD=xm.∵CD∥AN，∴.∴.∴.（2），∴.∴当x=20时，面积有最大值，ymax=300m2.【思考2】【变式】在上面的问题中，如果把矩形改为如图2-9所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？图2-9解：由勾股定理知，MN=50m，∵△ONM中MN边上的高是24m，设AD=xm，AB=am，∴AD∥MN，△OAD∽△ONM.∴，.∴（0讲授新课 提炼概念利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤： (1)引入自变量； (2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量； (3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积； (4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．典例精讲 【例2】某建筑物的窗户如图2-10所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到 0.01m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到 0.01m2）图2-10解：∵，∴.∵，且，∴.设窗户的面积是Sm2，则∴当时，.因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02m2 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力． 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
课堂练习 四、巩固训练1. 把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（ ）A．a2 B．a2 C．a2/2 D．a2/4C2．用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ）A．16 B．12 C．8 D．4B3．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18cm．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．(1)求S关于x的函数表达式．(2)若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．【答案】(1)S=-3/2x2+9x(2)窗户总面积S的最大值27/2m2，最小值是12m24.（1）（2）
课堂小结
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2.4.1二次函数的应用——最大（小）面积问题 教学设计
课题 2.4.1二次函数的应用——最大（小）面积问题 单元 第2 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 在本章前，学生已通过探索变量之间的关系、探究一次函数和反比例函数，逐步建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验.在本章的学习中，学生已研究了二次函数及其图象和性质，并掌握了求二次函数最大（小）值的一些方法，这些知识都为本节课的学习奠定了良好的知识基础．
核心素养分析 1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
学习目标 1.经历求最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力.
重点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
难点 学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题【思考1】如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少 利用课件演示变化过程：问题1：在运动变化过程中，有哪些量发生了变化？问题2：长方形OABC的面积是随着哪些量的变化而变化？学生普遍回答的应该是随长和宽的变化而变化，回答其他量只要合理都给予肯定，最终都引导回长和宽。问题3：在变化过程中，如果让你设一个变量为x，你会设哪一个？问题4：如果设AB=x，你能用x来表示出AD的长度吗？要求学生通过思考和计算后回答，注意和同学一起总结相似在解决类似问题中的作用，同时提醒学生注意x的范围。问题5：你认为长方形ABCD的面积有没有最大值？如果有，是多少？问题6：我们设长方形ABCD的面积为y，请同学们把y表示为x的函数。有了前面的铺垫，同学们应该很容易计算出y和x之间的二次函数关系，并利用学过的二次函数知识计算出面积的最大值。解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，DC∥AN.∵AN=40m，AM=30m，AB=xm，∴CD=xm.∵CD∥AN，∴.∴.∴.（2），∴.∴当x=20时，面积有最大值，ymax=300m2.【思考2】【变式】在上面的问题中，如果把矩形改为如图2-9所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？图2-9解：由勾股定理知，MN=50m，∵△ONM中MN边上的高是24m，设AD=xm，AB=am，∴AD∥MN，△OAD∽△ONM.∴，.∴（0
课堂练习 四、巩固训练1. 把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（ ）A．a2 B．a2 C．a2/2 D．a2/4C2．用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ）A．16 B．12 C．8 D．4B3．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18cm．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．(1)求S关于x的函数表达式．(2)若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．【答案】(1)S=-3/2x2+9x(2)窗户总面积S的最大值27/2m2，最小值是12m24.（1）（2）
课堂小结
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