2.4.1二次函数的应用——最大（小）面积问题 学案

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2.4.1二次函数的应用——最大（小）面积问题 导学案
课题 2.4.1二次函数的应用——最大（小）面积问题 单元 第2单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 在本章前，学生已通过探索变量之间的关系、探究一次函数和反比例函数，逐步建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验.在本章的学习中，学生已研究了二次函数及其图象和性质，并掌握了求二次函数最大（小）值的一些方法，这些知识都为本节课的学习奠定了良好的知识基础．
核心素养分析 1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
学习目标 1.经历求最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力.
重点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
难点 学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
教学过程
课前预学 引入思考【思考1】如下图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD．其中AB和AD分别在两直角边上． (1)设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示 (2)设矩形的面积为y m2．则y= _______ 当x=____时，y的值最大 最大值是_____(3)如果设AD边的长为x m,，那么问题的结果又会怎样？你是怎样知道的？【思考2】【变式】在上面的问题中，如果把矩形改为如图2-9所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？图2-9
新知讲解 提炼概念利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤： (1)引入自变量； (2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量； (3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积； (4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．典例精讲 例：某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m) 此时，窗户的面积是多少
课堂练习 巩固训练1. 把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（ ）A．a2 B．a2 C．a2/2 D．a2/42．用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ）A．16 B．12 C．8 D．43．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18cm．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．(1)求S关于x的函数表达式．(2)若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．4.答案引入思考思考1解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，DC∥AN.∵AN=40m，AM=30m，AB=xm，∴CD=xm.∵CD∥AN，∴.∴.∴.（2），∴.∴当x=20时，面积有最大值，ymax=300m2.【思考2】解：由勾股定理知，MN=50m，∵△ONM中MN边上的高是24m，设AD=xm，AB=am，∴AD∥MN，△OAD∽△ONM.∴，.∴（0课堂小结
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