2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学思路：一 自主学习：(一)设置情景：
复习：向量的定义以及有关概念
情景设置：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和： （3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：（4）船速为，水速为，则两速度和：
(二)、探索研究：
１、向量的加法：求两个___________________的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则______叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 规定：a + = + a
３．例1、已知向量、，求作向量+
练习：课本84页练习1
探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么不同？
（2）当向量与不共线时， |+|<||+||；什么时候|+|=||+||，什么时候|+|=||－||，当向量与不共线时，，，+的方向不同，且|+|<||+||；
当向量与共线时，① 当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，
②当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
４．加法的交换律和平行四边形法则
已知向量、，求作向量+，+
练习：课本84页练习2、3
问题：上题中+的结果与+是否相同？
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？
6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
二．合作、探究、展示：
例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h
试用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；
求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度之间的夹角表示，精确到度）。
练习：课本第84页1、2、3、4题
三、小结 1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.四、课后作业习题2.2A组第二题
A B
C
A B
C
A B C
C A B
A
B
C
a+b
a+b
a
a
b
b
a
ｂ
ｂ
ａ＋ｂ
a
b
a2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
一 自主学习（自学教材94-96页）
1.对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？——上节课针对这一问题我们做出了肯定的回答，接下来我们共同探究：把任意一个向量用两个互相垂直的向量来表示会给解决问题带来哪些方便。
_____________________________________________叫做把向量正交分解
2.提出问题
我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢 能不能象点一样也用坐标来表示？
解答问题
如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得=x+y ①，这样,平面内的任一向量都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y) ②
其中x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.
显然, =(1,0), =(0,1),=(0,0).
3.提出问题
在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？
解答问题
如图，在直角坐标平面内，以原点为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
二．探究、讨论、展示
例1、 如图,分别用基底、表示向量、、、,并求出它们的坐标.
例2、请在平面直角坐标系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）.
课堂小结：（1）什么是正交分解？
（2）平面直角坐标系中，向量与坐标有什么关系？
（3）如何根据平面直角坐标系中的向量求出其坐标？如何根据给出的坐标在平面直角坐标系中画出其对应的向量？2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质：
3．练习：
（1）已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
（2）已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量=-4的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量，，怎样用和的坐标表示？.
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2. 平面内两点间的距离公式
（1）设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么(平面内两点间的距离公式)
向量垂直的判定
设，，则⊥
两向量夹角的余弦
已知两个非零向量，，与之间的夹角为θ（）
cos =
二、讲解范例：
例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
练习1、习题2.4 A组第5题
设 = (5， 7)， = (6， 4)，求，、间的夹角θ的余弦及│-4│。
例3 导学与评价66，67页三个例题
练习 2、课后练习1、2、3、题
三、课堂小结： 1、 2、平面内两点间的距离公式 3、向量垂直的判定：设，，则⊥
四、作业布置 习题2.4 A组9、10、11 、题2.2.3向量数乘运算及其几何意义
一．自主学习
1.情景平台
已知非零向量a，把a+a+a记作3a，(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，试作出3a和
－3a．
2.概念导入
我们规定 这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：
（1）
（2）
有上可知：=0时，a=
向量数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.
3.运算律
完成以下三个问题
（1）已知非零向量a，求作向量2(3a)和6a，并进行比较．
（2）已知非零向量a，求作向量5a和2a+3a，并进行比较
a
（3）已知非零向量a，b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并把结果进行比较分析．
.总结运算律：设为实数,那么
（1）；（2）=+；（3）=+。
特别地，我们有（-）=-（）=（-）， =-
二．探究、讨论、展示
典例一向量数乘运算律
例1. 计算：（1）(-3)×4a （2）3(a+b)-2(a-b)-a （3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c)
变式训练
1、点C在线段AB上，且,则= ,= .
2、课本练习3、5题
3、若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.
典例二 三点共线问题
两个向量共线的等价条件是：
例2 如图,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗 为什么
例3 (1)已知两个非零向量和不共线，如果，，。求证;A 、B、 D 三点共线
(2)已知两个非零向量和不共线,欲使和共线，试确定实数k的值
典例三向量的线性运算
例4 如图, ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示和吗
变式训练1、课本练习第4题 2、课本练习第6题
【小结】
1°定义实数与向量的积
2°实数与向量积的运算律．
3°向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa．
作业：习题2.2 A组第9、10题
课下练习：习题2.2 A组第11、12、13题
课下思考：习题2.2 B组第1、2、3、4、5题
a
a
a
b2.1 平面向量的实际背景与基本概念
教学目标：
了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学过程：一、自主学习
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）请同学阅读课本74-76页后回答：
1、数量与向量有何区别？
__________________________________________________________________
2、如何表示向量？
__________________________________________________________________
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
__________________________________________________________________
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
__________________________________________________________________
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
__________________________________________________________________
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
__________________________________________________________________
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这时它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？
__________________________________________________________________
二 探究、合作、展示
例1 书本75页例1
.
例2判断及解答：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
例3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
变式三：与向量共线的向量有哪些？
例4判断及解答：
（1）不相等的向量是否一定不平行？
（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（3）当且仅当满足什么条件时两个非零向量相等？
（4）共线向量一定在同一直线上吗？
例5下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
三、小结 ：
描述向量的两个指标：模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示；
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
四、课后作业：
习题2.1A组3,4题2.2.2向量的减法运算及其几何意义
宣汉县第二中学 袁永红
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
教学思路：
复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：在四边形中， .
二、自主学习 (阅读教材85页)
用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度______、方向______的向量.记作____。易知(a) = a.
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 。 任一向量与它的相反向量的和是_________,.a + (a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义:______ ______________，叫做a与b的差.即： a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
求作差向量：已知向量a、b，求作向量a b
A
作法：在平面内取一点O，作= a， = b 则= a b
即向量的几何意义是：_________________________________________________
注意：1表示a b. 强调：差向量“箭头”指向被减向量。
2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)
探究：
如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量怎么作？
２）若a∥b， 如何作出a b ？
例题：
例1、已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
例2、平行四边形中，a，b， 用a、b表示向量、.
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直？
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？
变式三：a+b与ab可能是相等向量吗？ A D
B C
四：小结：向量减法的定义、作图法|
五：作业：
习题2.2 A组第4题
O
a
b
B
a
b
ab
O
A
B
a
B’
b
b
b
B
a+ (b)
a
b
b
a
d
c
A B
D C
O平面向量基本定理
一．自主学习（自学教材93，94页）
引子：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？
问题：如图，设、是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究与、之间的关系.
请完成：
给定平面内任意两个不共线的非零向量、，请你作出向量=3+2、=-2.
由①可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量、来表示向量,那么
平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示呢
【由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量、表示出来.当、确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.】
由此可得:【平面向量基本定理】:
____________________________________________________________________________
【定理说明】:(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.
提出问题
平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？
已知两个非零向量和 (如图),作=,=,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角. θ的取值范围是________________显然,当θ=0°时, 与同向;当θ=180°时, 与反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.
如果与的夹角是90°,我们说与垂直,记作⊥.
②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？
例1、已知向量、 (如图),求作向量-2.5+3.
例2.设与是两个不共线向量, =3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.
例3已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.
课堂小结
1.回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,
2.总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.
作业布置
已知向量、 (如图),求作向量（1）+2. （2）-+3高考资源网（ www.），您身边的高考专家
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2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、自主学习（一）复习
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量与，作＝，＝，则___________（０≤θ≤π）叫与的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围是0≤≤180
（2）两向量共线的判定定理________________________
（3）力做的功：W = ||||cos，是与的夹角.功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移确定的，类比这种运算，我们引入“数量积”的概念。
(二)、（预习教材103-105页）
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量_______________叫与的数量积，记作，即有_______________（其中０≤θ≤π）.并规定：向量与任何向量的数量积为0.
探究：（1）、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
（2）、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
【平面向量数量积的几点说明】
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成；书写时要特别注意：.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是== (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是() ()
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
2．“投影”的概念：作图
定义：______________叫做向量在方向上的投影.投影是一个数量，不是向量；当为_____时投影为正值；当为____时投影为负值当为直角时投影为0；当 =_____时投影为││；当 = ________时投影为 ││.
3．向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影││cos的乘积.
探究1、：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量， 1、 = 0,2、当与同向时， = ||||； 当与反向时， = ||||. 特别的= ||2或 ,│ │ ≤|||| , cos =
探究2、：平面向量数量积的运算律
（1）．交换律： = （2）．数乘结合律：() =() = ()（3）．分配律：(+)=+
说明：（1）一般地，(·)≠（·）（2）·＝·，≠＝（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·
二 探究、讨论、展示
例1．证明：①(＋)２＝２＋２·＋２ ②(＋)(-)=２-２
例2．已知││=12，││=9，，求与的夹角θ。
例3．已知││=6，││=4，与的夹角为60o求：（1）(+2)·(-3).
（2）│+│与│-│.
（ 利用 ）
例4．已知││=3，││=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.
三、课堂练习：
1．课后练习1、2、3、题
2．已知││=8，││=10，│+│=16，与的夹角θ的余弦.
四、课堂小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积的重要性质及运算律；3．向量垂直的条件.
五、作业布置：习题2.4 A组1、2、3、
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.
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一 自主学习（预习教材98-100页）
【提出问题】①如何用坐标表示两个共线向量
②已知=(x1,y1),=(x2,y2),其中，且向量、共线，
试证明：x1 y2—x2 y1= 。
③已知=(x1,y1),=(x2,y2),其中，且x1 y2—x2 y1=
试证明：向量、共线。
【得出结论】当且仅当x1y2-x2y1=0时向量、 (≠0)共线.从而向量共线有两种表述形式:若=(x1,y1),=(x2,y2),则有∥ (≠)= x1 y2—x2 y1=
二 探究、讨论、展示
例1、已知=(4,2), =(6,y),且∥,求y.
练习1：已知A(-1, -1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.
例2、设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.
练习2：①已知=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB的三等分点，求P点坐标。
②已知A(2,3)，B（4，-3）点P在线段AB的延长线上，且=,求P点坐标。
例3、在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
练习3、已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,=+t.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.
【课堂小结】
1、复习平面向量的和、差、数乘的坐标运算。
2、学习两个向量共线的坐标表示.
3、总结本节学习的数学方法和思想方法。
【作业布置】
课本习题2.3 A组5、6、7题
【课后思索】
1、如图，当时，P点坐标是什么？
2、课本习题2.3 B组1、2、3、4、题2．3．3平面向量的坐标运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
情景平台:我们用有向线段表示向量时会进行线性运算，现在我们用坐标来表示向量还能不能进行线性运算？
讲解新课：
1．平面向量的坐标运算
思考1：已知： ，，你能得出、、的坐标吗？
结论：（1） 若，，
则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
结论：（ 2）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考2：已知，，怎样求的坐标？
结论：（3） 若，，则
( x2， y2) (x1，y1)(x2 x1， y2 y1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
思考3：你能标出坐标为(x2 x1， y2 y1)的P点吗？
结论：（4）向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
讲解范例：
例1 已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
练习1、课后练习1,2，3题
例2 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
练习2已知：四点A(5， 1)，B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，求证：四边形ABCD是梯形.
例3已知三个力 =(3， 4)， =(2， 5)， =(x， y)的合力++，求的坐标.
课堂小结：平面向量的坐标运算；
课后作业：习题2.3 A组1,2,3题
